2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)測試（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知空間向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(1,2,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.-3B.-1C.1D.3在空間直角坐標(biāo)系中，點$A(1,2,3)$關(guān)于坐標(biāo)平面$xOy$對稱的點的坐標(biāo)是（）A.$(1,2,-3)$B.$(-1,2,3)$C.$(1,-2,3)$D.$(-1,-2,-3)$若直線$l$的方向向量為$\vec{v}=(2,1,-1)$，平面$\alpha$的法向量為$\vec{n}=(4,2,-2)$，則直線$l$與平面$\alpha$的位置關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.斜交D.直線在平面內(nèi)已知空間三點$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，則向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$直線$3x-4y+5=0$的傾斜角為（）A.$\arctan\frac{3}{4}$B.$\arctan(-\frac{3}{4})$C.$\pi-\arctan\frac{3}{4}$D.$\pi+\arctan\frac{3}{4}$過點$(2,-1)$且與直線$2x+y-5=0$平行的直線方程為（）A.$2x+y-3=0$B.$2x+y+3=0$C.$x-2y-4=0$D.$x-2y+4=0$圓$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.$(2,-3)$，4B.$(-2,3)$，4C.$(2,-3)$，$\sqrt{16}$D.$(-2,3)$，$\sqrt{16}$直線$x+y-1=0$與圓$x^2+y^2=1$的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交但不過圓心在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長為1，則點$A$到平面$A_1BD$的距離為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$已知點$P(1,2)$，$Q(3,4)$，則線段$PQ$的垂直平分線方程為（）A.$x+y-5=0$B.$x-y+1=0$C.$x+y+5=0$D.$x-y-1=0$若圓$C_1$：$x^2+y^2=1$與圓$C_2$：$(x-a)^2+(y-b)^2=4$外切，則$a^2+b^2$的值為（）A.1B.3C.9D.25在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=1$，則二面角$P-BC-A$的大小為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知空間向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$|\vec{a}+\vec|=$________。過點$(1,2)$且與直線$x-2y+3=0$垂直的直線方程為________。圓$x^2+y^2=4$上的點到直線$x+y-4=0$的最大距離為________。在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=1$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知空間三點$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，求：（1）向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的數(shù)量積；（2）平面$ABC$的一個法向量。（本小題滿分12分）已知直線$l_1$：$2x+y-4=0$，直線$l_2$：$x-y+1=0$，求：（1）直線$l_1$與$l_2$的交點坐標(biāo)；（2）過交點且與直線$3x-4y+5=0$垂直的直線方程。（本小題滿分12分）在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分別是$AB$，$AD$的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求：（1）向量$\overrightarrow{A_1E}$與$\overrightarrow{C_1F}$的坐標(biāo)；（2）異面直線$A_1E$與$C_1F$所成角的余弦值。（本小題滿分12分）已知圓$C$經(jīng)過點$A(1,2)$，$B(3,4)$，且圓心在直線$x-y+1=0$上，求：（1）圓$C$的方程；（2）過點$P(0,1)$且與圓$C$相切的直線方程。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$E$是$PC$的中點。（1）求證：$PA\parallel$平面$EDB$；（2）求直線$DE$與平面$PBC$所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知圓$C$：$x^2+y^2-2x-4y+4=0$，直線$l$：$kx-y+3-2k=0$。（1）求證：直線$l$與圓$C$總有兩個不同的交點；（2）若直線$l$與圓$C$交于$A$，$B$兩點，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求$k$的值；（3）在（2）的條件下，求過點$A$，$B$且圓心在直線$y=x$上的圓的方程。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.A3.A4.C5.A6.A7.A8.D9.B10.A11.C12.B二、填空題（每小題5分，共20分）$\sqrt{26}$14.$2x+y-4=0$15.$2\sqrt{2}+2$16.$\frac{1}{2}$三、解答題（共70分）解：（1）$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$，則$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\times(-1)+1\times0+0\times1=1$。（5分）（2）設(shè)平面$ABC$的法向量為$\vec{n}=(x,y,z)$，則$\left{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，即$\left{\begin{array}{l}-x+y=0\-x+z=0\end{array}\right.$，令$x=1$，得$y=1$，$z=1$，所以平面$ABC$的一個法向量為$\vec{n}=(1,1,1)$。（10分）解：（1）聯(lián)立$\left{\begin{array}{l}2x+y-4=0\x-y+1=0\end{array}\right.$，解得$\left{\begin{array}{l}x=1\y=2\end{array}\right.$，所以交點坐標(biāo)為$(1,2)$。（5分）（2）直線$3x-4y+5=0$的斜率為$\frac{3}{4}$，所以所求直線的斜率為$-\frac{4}{3}$，則直線方程為$y-2=-\frac{4}{3}(x-1)$，即$4x+3y-10=0$。（12分）解：以$D$為原點，$DA$，$DC$，$DD_1$所在直線分別為$x$軸，$y$軸，$z$軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則$A_1(2,0,2)$，$E(2,1,0)$，$C_1(0,2,2)$，$F(1,0,0)$。（3分）（1）$\overrightarrow{A_1E}=(0,1,-2)$，$\overrightarrow{C_1F}=(1,-2,-2)$。（6分）（2）$\overrightarrow{A_1E}\cdot\overrightarrow{C_1F}=0\times1+1\times(-2)+(-2)\times(-2)=2$，$|\overrightarrow{A_1E}|=\sqrt{0^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{C_1F}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}=3$，所以$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}\times3}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$。（12分）解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為$(a,b)$，則$\left{\begin{array}{l}a-b+1=0\(a-1)^2+(b-2)^2=(a-3)^2+(b-4)^2\end{array}\right.$，解得$\left{\begin{array}{l}a=2\b=3\end{array}\right.$，半徑$r=\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{2}$，所以圓$C$的方程為$(x-2)^2+(y-3)^2=2$。（6分）（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為$x=0$，此時圓心到直線的距離為2，大于半徑，不相切；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為$y=kx+1$，則$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$，解得$k=1$或$k=7$，所以切線方程為$y=x+1$或$y=7x+1$。（12分）解：（1）連接$AC$，交$BD$于點$O$，連接$OE$，因為$ABCD$是正方形，所以$O$是$AC$的中點，又$E$是$PC$的中點，所以$OE\parallelPA$，因為$OE\subset$平面$EDB$，$PA\not\subset$平面$EDB$，所以$PA\parallel$平面$EDB$。（5分）（2）以$A$為原點，$AB$，$AD$，$AP$所在直線分別為$x$軸，$y$軸，$z$軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則$P(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$E(1,1,1)$，$\overrightarrow{DE}=(1,-1,1)$，$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{PC}=(2,2,-2)$，設(shè)平面$PBC$的法向量為$\vec{n}=(x,y,z)$，則$\left{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot\overrightarrow{PB}=0\\vec{n}\cdot\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$，即$\left{\begin{array}{l}2x-2z=0\2x+2y-2z=0\end{array}\right.$，令$x=1$，得$z=1$，$y=0$，所以$\vec{n}=(1,0,1)$，則$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{DE},\vec{n}\rangle|=\frac{|1\times1+(-1)\times0+1\times1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\times\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。（12分）解：（1）圓$C$的方程可化為$(x-1)^2+(y-2)^2=1$，圓心$C(1,2)$，半徑$r=1$，直線$l$的方程可化為$k(x-2)-y+3=0$，所以直線$l$過定點$M(2,3)$，因為$|CM|=\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{2}>1$，所以點$M$在圓外，所以直線$l$與圓$C$總有兩個不同的交點。（4分）（2）圓心到直線的距離$d=\frac{|k-2+3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|1-k|}{\sqrt{k^2+1}}$，因為$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-d^2}=2\sqrt{3}$，所以$1-d^2=3$，解得$d^2=-2$（舍去），發(fā)現(xiàn)計算錯誤，正確應(yīng)為$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-d^2}=2\sqrt{3}$，則$1-d^2=3$，此方程無解，重新計算：$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-d^2}=2\sqrt{3}$，方程兩邊同時除以2得$\sqrt{1-d^2}=\sqrt{3}$，平方得$1-d^2=3$，$d^2=-2$，顯然錯誤，正確應(yīng)為圓的半徑為1，弦長不可能為$2\sqrt{3}$，題目數(shù)據(jù)有誤，假設(shè)圓的方程為$x^2+y^2-2x-4y-4=0$，則半徑為3，此時$|AB|=2\sqrt{9-d^2}=2\sqrt{3}$，得$9-d^2=3$，$d^2=6$，$\frac{|1-k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{6}$，解