2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)審美素養(yǎng)教育試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數(shù)學(xué)符號的簡潔美在數(shù)學(xué)史上，符號的演變體現(xiàn)了人類對抽象規(guī)律的簡潔表達。已知復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-2i|=3)，則復(fù)數(shù)(z)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線解析：復(fù)數(shù)模長公式(|z-a-bi|=r)表示復(fù)平面內(nèi)到點((a,b))距離為(r)的圓，體現(xiàn)了代數(shù)形式與幾何圖形的直觀對應(yīng)，這種“數(shù)與形”的統(tǒng)一是數(shù)學(xué)美的核心表現(xiàn)。2.邏輯推理的嚴謹美設(shè)(m,n)是兩條不同直線，(\alpha,\beta)是兩個不同平面，則下列推理過程中不嚴謹?shù)氖牵ǎ〢.若(m\perp\alpha,n\parallel\alpha)，則(m\perpn)（線面垂直與線面平行的性質(zhì)結(jié)合）B.若(\alpha\perp\beta,m\subset\alpha,m\perp\beta\cap\alpha)，則(m\perp\beta)（面面垂直的性質(zhì)定理）C.若(m\parallel\alpha,n\parallel\alpha)，則(m\paralleln)（忽略異面直線的可能性）D.若(\alpha\parallel\beta,m\subset\alpha)，則(m\parallel\beta)（面面平行的性質(zhì)）解析：選項C中，平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面，推理過程未排除所有情況，違背了邏輯推理的嚴謹性。數(shù)學(xué)證明的美感恰恰體現(xiàn)在每一步推理的“必然性”上。3.幾何圖形的對稱美在平面直角坐標系中，曲線(C:x^2+y^2=|x|+|y|)被稱為“四葉玫瑰線”的簡化形式，其圖形關(guān)于原點、x軸、y軸均對稱。下列結(jié)論正確的是（）①曲線(C)圍成的圖形面積為(\pi+2)②曲線上任意兩點間的最大距離為(2)③若(P(x,y))是曲線(C)上一點，則(x+y)的最小值為(-\sqrt{2})A.①②B.①③C.②③D.①②③解析：方程可化為(\left(|x|-\frac{1}{2}\right)^2+\left(|y|-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2})，在第一象限內(nèi)是圓心為((\frac{1}{2},\frac{1}{2}))、半徑為(\frac{\sqrt{2}}{2})的圓，面積為(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2})，由對稱性知總面積為(4\times(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2})=\pi+2)，①正確；曲線上點到原點的最大距離為(\sqrt{2})（如點((\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}))），故兩點間最大距離為(2\sqrt{2})，②錯誤；設(shè)(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)，代入曲線方程得(r=|\cos\theta|+|\sin\theta|)，則(x+y=r(\cos\theta+\sin\theta)=(|\cos\theta|+|\sin\theta|)(\cos\theta+\sin\theta))，當(\theta=\frac{5\pi}{4})時，最小值為(-\sqrt{2})，③正確。4.算法的程序化美執(zhí)行如圖所示的程序框圖（圖略，流程為：輸入(n)→初始化(S=0,i=1)→若(i\leqn)，則(S=S+\frac{1}{i(i+1)})，(i=i+1)→輸出(S)），若輸出(S=\frac{99}{100})，則輸入的(n)值為（）A.98B.99C.100D.101解析：程序中(\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1})，通過裂項相消法求和得(S=1-\frac{1}{n+1})。令(1-\frac{1}{n+1}=\frac{99}{100})，解得(n=99)。算法的美感體現(xiàn)在通過“重復(fù)操作”實現(xiàn)復(fù)雜問題的簡化，這種“程序化思維”是數(shù)學(xué)機械化的基礎(chǔ)。5.數(shù)學(xué)模型的抽象美某公司為優(yōu)化物流配送路線，將城市劃分為(5\times5)的網(wǎng)格，每個格點代表一個配送點。若從原點((0,0))出發(fā)，每次只能向右或向上移動一個單位，到達終點((5,5))的不同路徑數(shù)為（）A.252B.126C.64D.32解析：問題可抽象為“10步走法中選5步向右（或向上）”，即組合數(shù)(C_{10}^5=252)。數(shù)學(xué)模型的美感在于將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)符號后，通過公式快速求解，體現(xiàn)了“抽象化”對效率的提升。6.函數(shù)圖像的形態(tài)美函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})的圖像大致形狀是（）A.關(guān)于原點對稱的奇函數(shù)，在((0,+\infty))單調(diào)遞增B.關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)，在((0,+\infty))單調(diào)遞減C.非奇非偶函數(shù)，圖像過原點D.既奇又偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點和y軸均對稱解析：首先判斷奇偶性：(f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{x^2+1}=-f(x))，為奇函數(shù)，排除B、C；當(x>0)時，(e^x-e^{-x}>0)，且(f'(x)>0)（分子分母均為增函數(shù)），故在((0,+\infty))單調(diào)遞增，A正確。函數(shù)圖像的對稱性、單調(diào)性等特征，是數(shù)學(xué)形態(tài)美的直觀載體。7.數(shù)列的遞推美斐波那契數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n)，其前n項和為(S_n)。若(a_{2025}=m)，則(S_{2023}=)（）A.(m-1)B.(m)C.(m+1)D.(2m)解析：由遞推關(guān)系可得(S_n=a_{n+2}-1)（例如(S_1=1=a_3-1=2-1)，(S_2=2=a_4-1=3-1)），故(S_{2023}=a_{2025}-1=m-1)。數(shù)列的遞推美體現(xiàn)在“從有限項推知無限項”，這種“延續(xù)性”是數(shù)學(xué)預(yù)測能力的體現(xiàn)。8.概率模型的隨機美在“拋硬幣”隨機模擬實驗中，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記“正面向上次數(shù)為奇數(shù)”的概率為(P(n))，則(P(100)+P(101)=)（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{3}{4})C.1D.(\frac{5}{4})解析：當n為偶數(shù)時，正面向上次數(shù)為奇數(shù)的概率(P(n)=\frac{1}{2})（對稱性）；當n為奇數(shù)時，(P(n)=\frac{1}{2})。故(P(100)+P(101)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1)。隨機現(xiàn)象中的“規(guī)律性”（如頻率穩(wěn)定性）是概率美的核心，看似無序的背后隱藏著確定的數(shù)學(xué)規(guī)律。9.數(shù)學(xué)公式的統(tǒng)一美在空間幾何體中，柱體、錐體、臺體的體積公式可統(tǒng)一表示為(V=\frac{1}{3}h(S_上+\sqrt{S_上S_下}+S_下))，其中h為高，(S_上,S_下)分別為上下底面面積。當幾何體為正方體（棱長為a）時，公式中(S_上=S_下=a^2)，(h=a)，則體積(V=\frac{1}{3}a(a^2+a^2+a^2)=a^3)，與正方體體積公式一致。若某幾何體的上下底面均為相似三角形，相似比為1:2，高為3，且(S_上=2)，則該幾何體的體積為（）A.14B.18C.21D.24解析：由相似比1:2得(S_下=4S_上=8)，代入統(tǒng)一公式得(V=\frac{1}{3}\times3\times(2+\sqrt{2\times8}+8)=2+4+8=14)。數(shù)學(xué)公式的統(tǒng)一美在于用同一形式概括不同對象的規(guī)律，體現(xiàn)了“從特殊到一般”的認知升華。10.極限思想的動態(tài)美魏晉數(shù)學(xué)家劉徽在“割圓術(shù)”中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，其思想與下列極限表達式一致的是（）A.(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0)（無窮小量）B.(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e)（重要極限）C.(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\pir^2}{n}\sin\frac{k\pi}{n}=\pir^2)（圓面積的極限定義）D.(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1)（等價無窮?。┙馕觯焊顖A術(shù)通過正n邊形面積逼近圓面積，即(S=\lim_{n\to\infty}n\times\frac{1}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{n}=\pir^2)，與選項C的極限思想一致。極限的動態(tài)美在于“無限過程”與“確定結(jié)果”的統(tǒng)一，是微積分的靈魂。11.參數(shù)方程的動態(tài)美在平面直角坐標系中，曲線(\begin{cases}x=2\cos\theta\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數(shù)）上的點到直線(x+2y-4=0)的最小距離是（）A.(\frac{\sqrt{5}}{5})B.(\frac{2\sqrt{5}}{5})C.(\sqrt{5})D.0解析：曲線為橢圓(\frac{x^2}{4}+y^2=1)，設(shè)點((2\cos\theta,\sin\theta))，由點到直線距離公式得(d=\frac{|2\cos\theta+2\sin\theta-4|}{\sqrt{5}}=\frac{|2\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})-4|}{\sqrt{5}})，最小值為(\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\approx\frac{\sqrt{5}}{5})。參數(shù)方程通過“動態(tài)參數(shù)”描述曲線變化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對運動規(guī)律的精確刻畫。12.數(shù)學(xué)史的人文美17世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在研究古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》時，提出“從一個定點到一條定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡”，這一描述統(tǒng)一了橢圓、雙曲線、拋物線的定義。若該常數(shù)為(e)，則下列說法錯誤的是（）A.當(0<e<1)時，軌跡為橢圓B.當(e=1)時，軌跡為拋物線C.當(e>1)時，軌跡為雙曲線D.當(e=0)時，軌跡為圓（退化情形）解析：當(e=0)時，定點到定直線的距離之比為0，即定點到定直線的距離為無窮大（或定直線不存在），此時軌跡退化為一個點（定點），而非圓。數(shù)學(xué)史的美感在于不同時代、不同文化的數(shù)學(xué)家對同一問題的“接力探索”，費馬的統(tǒng)一定義正是站在阿波羅尼奧斯肩膀上的創(chuàng)新。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.對稱多項式的輪換美已知(a+b+c=0)，則(a^3+b^3+c^3-3abc=)______。答案：0解析：由對稱多項式分解公式(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca))，因(a+b+c=0)，故結(jié)果為0。輪換對稱多項式的美感體現(xiàn)在變量位置互換后表達式不變，這種“公平性”是數(shù)學(xué)對稱美的延伸。14.分形幾何的自相似美科赫雪花是一種分形圖形，其生成規(guī)則為：第0級：邊長為1的等邊三角形；第n級：將每邊三等分，以中間一段為邊向外作等邊三角形，再去掉中間一段。若第0級面積為(S_0=\frac{\sqrt{3}}{4})，則第2級圖形的面積(S_2=)______。答案：(\frac{13\sqrt{3}}{12})解析：第1級在每條邊新增1個小等邊三角形（邊長(\frac{1}{3})），共3個，面積(S_1=S_0+3\times\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3})；第2級在每條邊新增4個小等邊三角形（原3條邊，每條邊生成4段），共(3\times4=12)個，面積(S_2=S_1+12\times\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{9})^2=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{27}=\frac{10\sqrt{3}}{27})（注：此處原解析計算有誤，正確應(yīng)為(S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times(1+3\times\frac{1}{3}+12\times\frac{1}{9})=\frac{13\sqrt{3}}{12})）。分形圖形的自相似美在于“局部與整體相似”，放大任意細節(jié)都能看到與整體相同的結(jié)構(gòu)。15.數(shù)學(xué)證明的構(gòu)造美用反證法證明“(\sqrt{2})是無理數(shù)”時，第一步應(yīng)假設(shè)______。答案：(\sqrt{2})是有理數(shù)解析：反證法的核心是“先假設(shè)結(jié)論不成立，再推出矛盾”，其構(gòu)造性在于通過“否定假設(shè)”引出邏輯矛盾，從而間接證明原命題。這種“正難則反”的思維方式是數(shù)學(xué)證明的重要美學(xué)范式。16.優(yōu)化問題的極值美某工廠生產(chǎn)一種圓柱形容器，要求容積(V=1000\pi,\text{cm}^3)，若材料成本與表面積成正比，則當容器表面積最小時，底面半徑(r=)______cm。答案：10解析：設(shè)高為h，由(V=\pir^2h=1000\pi)得(h=\frac{1000}{r^2})，表面積(S=2\pir^2+2\pirh=2\pir^2+\frac{2000\pi}{r})。求導(dǎo)得(S'=4\pir-\frac{2000\pi}{r^2})，令(S'=0)解得(r=10)。優(yōu)化問題的美感在于通過數(shù)學(xué)方法找到“最優(yōu)解”，體現(xiàn)了人類對“效率最大化”的理性追求。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.數(shù)學(xué)史與邏輯推理（10分）題目：《九章算術(shù)》中“勾股章”記載：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”（1丈=10尺，池方一丈指正方形水池邊長10尺）（1）畫出示意圖，用符號表示已知量與未知量；（2）通過方程求解水深與葭長，并說明其中蘊含的方程思想。解答：（1）設(shè)水深為(x)尺，葭長為(x+1)尺，水池中央到岸的距離為5尺，構(gòu)成直角三角形：直角邊為水深(x)、池半邊長5，斜邊為葭長(x+1)。（2）由勾股定理得(x^2+5^2=(x+1)^2)，解得(x=12)，故水深12尺，葭長13尺。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)：將實際問題轉(zhuǎn)化為方程模型，通過代數(shù)運算求解幾何問題，體現(xiàn)了“代數(shù)與幾何的融合”；《九章算術(shù)》的“問題-解法”體例與現(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)一致，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的傳承美。18.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的動態(tài)美（12分）題目：已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a>0)）。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個極值點(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），證明：(f(x_2)>-\frac{1}{2})。解答：（1）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，令(g(x)=\lnx-2ax+2a)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)。當(x\in(0,\frac{1}{2a}))時，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(x\in(\frac{1}{2a},+\infty))時，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減。故(f(x))的增區(qū)間為((0,x_1),(x_2,+\infty))，減區(qū)間為((x_1,x_2))（其中(x_1,x_2)為(g(x)=0)的兩根）。（2）由極值點定義知(\lnx_2=2a(x_2-1))，代入(f(x_2)=x_2\lnx_2-ax_2^2+(2a-1)x_2=ax_2^2-2ax_2+x_2)。因(x_2>\frac{1}{2a})且(a=\frac{\lnx_2}{2(x_2-1)})，化簡得(f(x_2)=\frac{x_2(\lnx_2-x_2+1)}{2(x_2-1)})。令(h(x)=\lnx-x+1)，則(h'(x)=\frac{1}{x}-1)，當(x>1)時(h(x)<0)，故(f(x_2)>-\frac{1}{2})。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)工具揭示了函數(shù)的“變化率”與“極值”的關(guān)系，通過構(gòu)造輔助函數(shù)將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為單調(diào)性分析，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的“轉(zhuǎn)化與化歸”之美。19.立體幾何的空間美（12分）題目：如圖，在正四棱柱(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(AB=2,AA_1=4)，點E為(CC_1)的中點，平面(A_1BE)交(DD_1)于點F。（1）求證：四邊形(A_1BEF)為平行四邊形；（2）求平面(A_1BEF)與底面(ABCD)所成銳二面角的余弦值。解答：（1）由正四棱柱性質(zhì)知(A_1B\parallelCD\parallelEF)，且(A_1B=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5})，(EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2})（此處需修正：E為CC1中點，CE=2，設(shè)F為DD1中點，則DF=2，EF=CD=2，A1B=EF且A1B∥EF，故四邊形為平行四邊形）。（2）以D為原點建立坐標系，(A_1(2,0,4),B(2,2,0),E(0,2,2),F(0,0,2))，平面(A_1BEF)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，底面法向量(\vec{m}=(0,0,1))，二面角余弦值(\cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=0)（銳二面角為90°，余弦值0）。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)：正四棱柱的對稱性為空間幾何證明提供了直觀輔助，坐標系的建立將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，體現(xiàn)了“空間想象”與“坐標量化”的結(jié)合美。20.概率與統(tǒng)計的模型美（12分）題目：某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)審美素養(yǎng)水平，從高二隨機抽取100名學(xué)生進行測試，得分（滿分100分）分布如下表：得分區(qū)間[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51020302510（1）估計這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值代替）；（2）若得分不低于80分為“優(yōu)秀”，現(xiàn)從“優(yōu)秀”學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人得分在[90,100]的概率。解答：（1）平均數(shù)(\bar{x}=45\times0.05+55\times0.1+65\times0.2+75\times0.3+85\times0.25+95\times0.1=74.5)。（2）“優(yōu)秀”學(xué)生共35人（[80,90)25人，[90,100]10人），設(shè)事件A為“至少有1人得分在[90,100]”，則(P(A)=1-\frac{C_{25}^2}{C_{35}^2}=1-\frac{300}{595}=\frac{59}{119})。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)：統(tǒng)計圖表將零散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為有序分布，平均數(shù)反映整體水平，概率計算體現(xiàn)“不確定性中的確定性”，這種“用數(shù)據(jù)說話”的思維是數(shù)學(xué)應(yīng)用美的典型。21.圓錐曲線的動態(tài)美（12分）題目：已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點F的直線l與橢圓交于A,B兩點，是否存在直線l，使得以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。解答：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。代入點(2,1)得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）右焦點F(√6,0)，設(shè)直線l:(x=my+\sqrt{6})，聯(lián)立橢圓方程得((m^2+4)y^2+2\sqrt{6}my+2=0)。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則(y1+y2=-\frac{2\sqrt{6}m}{m^2+4})，(y1y2=\frac{2}{m^2+4})。以AB為直徑的圓過原點等價于(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x1x2+y1y2=0)，代入得((m^2+1)y1y2+\sqrt{6}m(y1+y2)+6=0)，解得(m^2=-\frac{13}{3})（無解），故不存在這樣的直線l。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)：橢圓的離心率刻畫了“扁平程度”，直線與橢圓的位置關(guān)系通過代數(shù)方程的判別式或向量數(shù)量積判斷，體現(xiàn)了“幾何性質(zhì)代數(shù)化”的和諧統(tǒng)一。22.數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新探究（14分）題目：閱讀下列材料，完成問題。材料：“黃金分割”是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618)，被認為是最具審美意義的比例數(shù)字。在數(shù)學(xué)中，黃金分割數(shù)(\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2})滿足(\omega^2=1-\omega)。（1）證明：(\omega^3=2\omega-1)；（2）類比黃金分割，定義“白銀分割數(shù)”為方程(x^