2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)探究性問題集錦（二）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合探究問題1：分段函數(shù)的極值與零點(diǎn)分布已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^3-3x^2+2x+a,&x\leq0\\ln(x+1)-bx,&x>0\end{cases}$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。（1）若$a=0$，討論$f(x)$在$(-\infty,0]$上的單調(diào)性，并求出所有極值點(diǎn)；（2）當(dāng)$b=1$時(shí)，若函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）試證明：對任意$b>0$，存在唯一的$x_0>0$，使得曲線$y=f(x)$在$x=x_0$處的切線與直線$y=-x$平行。問題2：導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一種新型節(jié)能燈具，其使用壽命$t$（單位：千小時(shí)）與生產(chǎn)成本$C$（單位：元/個(gè)）的關(guān)系為$t=k\ln(C+1)$，其中$k>0$為常數(shù)。已知當(dāng)$C=19$時(shí)，$t=3$。（1）求$k$的值，并寫出$t$關(guān)于$C$的函數(shù)解析式；（2）若每個(gè)燈具的售價(jià)$P$（元）與生產(chǎn)成本$C$的關(guān)系為$P=50-0.2C$，且工廠每月生產(chǎn)能力不超過10000個(gè)。設(shè)月利潤為$L$（元），求$L$關(guān)于$C$的函數(shù)表達(dá)式，并求出月利潤最大時(shí)的生產(chǎn)成本；（3）在（2）的條件下，若政府對每個(gè)燈具征收環(huán)保稅$m$元（$m<10$），為保證工廠月利潤不低于未征稅時(shí)的最大值的80%，求$m$的取值范圍。二、立體幾何與空間向量應(yīng)用問題3：折疊問題中的空間角計(jì)算如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=2$，點(diǎn)$E$為$BC$的中點(diǎn)。將$\triangleABE$沿$AE$折疊，使得點(diǎn)$B$的對應(yīng)點(diǎn)$B'$落在平面$AECD$內(nèi)，連接$B'D$、$B'C$。（1）求證：$B'E\perp$平面$AB'D$；（2）若二面角$B'-AD-E$的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求三棱錐$B'-AED$的體積；（3）在線段$B'D$上是否存在點(diǎn)$F$，使得$CF$與平面$AB'E$所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$？若存在，求出$BF$的長度；若不存在，說明理由。問題4：空間幾何體的動態(tài)軌跡在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$P$是棱$CC_1$上的動點(diǎn)，點(diǎn)$Q$是平面$A_1BD$上的動點(diǎn)。（1）當(dāng)$CP=1$時(shí)，求$PQ$長度的最小值；（2）若點(diǎn)$P$從$C$運(yùn)動到$C_1$，求點(diǎn)$Q$的軌跡長度的取值范圍；（3）設(shè)平面$BPQ$與平面$A_1BD$所成的銳二面角為$\theta$，試判斷是否存在點(diǎn)$P$、$Q$，使得$\cos\theta=\frac{1}{3}$？若存在，求出此時(shí)$CP$的長；若不存在，說明理由。三、解析幾何綜合應(yīng)用問題5：橢圓與直線的位置關(guān)系已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$M(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)$N(1,0)$的直線$l$與橢圓$C$交于$A$、$B$兩點(diǎn)，設(shè)$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{4}{5}$，求直線$l$的方程；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)$P$在橢圓$C$上，且滿足$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$（$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$），試探究$\lambda^2+\mu^2$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。問題6：拋物線中的定點(diǎn)與定值問題已知拋物線$E:y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A$、$B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$D$在拋物線$E$的準(zhǔn)線上，且$BD\parallelx$軸。（1）求證：直線$AD$恒過原點(diǎn)$O$；（2）設(shè)$\triangleAOB$的面積為$S$，求$S$的最小值及此時(shí)直線$l$的方程；（3）過點(diǎn)$A$作拋物線$E$的切線$l_1$，過點(diǎn)$B$作拋物線$E$的切線$l_2$，設(shè)$l_1$與$l_2$交于點(diǎn)$P$，試判斷以$AB$為直徑的圓與直線$PF$的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。四、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模問題7：幾何概型與實(shí)際問題某智能快遞柜公司為優(yōu)化柜體設(shè)計(jì)，在柜群中設(shè)置了“大件柜”（容積$V\geq50,\text{L}$）和“小件柜”（容積$V<50,\text{L}$）。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，包裹的容積$V$（單位：L）服從正態(tài)分布$N(30,10^2)$。（1）求隨機(jī)抽取一個(gè)包裹，其容積在$(20,50]$內(nèi)的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）若柜群中共有100個(gè)柜子，為使“大件柜”的使用率不低于90%，且“小件柜”的使用率不低于80%，試確定“大件柜”的數(shù)量（結(jié)果取整數(shù)）；（3）在（2）的條件下，公司為每個(gè)“大件柜”配備智能稱重裝置（成本50元），“小件柜”無需配備。已知每個(gè)包裹的存儲收益為$0.5$元，若某天有120個(gè)包裹需要存儲，求該天的期望利潤（精確到1元）。問題8：統(tǒng)計(jì)案例與回歸分析某地區(qū)教育部門為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績$y$（單位：分）與每周學(xué)習(xí)時(shí)間$x$（單位：小時(shí)）的關(guān)系，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：$x$810121415161820$y$6570758082858892（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，并判斷$y$與$x$是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$，并預(yù)測當(dāng)每周學(xué)習(xí)時(shí)間為22小時(shí)時(shí)的數(shù)學(xué)成績；（3）為檢驗(yàn)回歸方程的有效性，計(jì)算殘差平方和$Q=\sum_{i=1}^8(y_i-\hat{y}i)^2$，并利用相關(guān)指數(shù)$R^2=1-\frac{Q}{\sum{i=1}^8(y_i-\bar{y})^2}$說明回歸模型的擬合效果（$R^2$越接近1，擬合效果越好）。五、數(shù)列與不等式綜合問題9：遞推數(shù)列的通項(xiàng)與求和已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}(n\in\mathbb{N}^)$。（1）求證：數(shù)列$\left{\frac{1}{a_n}\right}$是等差數(shù)列，并求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=a_n\cdota_{n+1}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（3）若對任意$n\in\mathbb{N}^$，不等式$S_n<\lambdaa_{n+1}$恒成立，求實(shí)數(shù)$\lambda$的最小值。問題10：數(shù)學(xué)歸納法與不等式證明已知函數(shù)$f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）試比較$f(2^n)$與$\frac{n+2}{2}$的大小，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)$a_n=f(n)-\lnn$，求證：數(shù)列${a_n}$是遞減數(shù)列；（3）利用（2）的結(jié)論，證明：對任意$n\geq2$，都有$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{\ln2}{2}+\frac{1}{2}$。六、跨模塊綜合探究問題11：函數(shù)與數(shù)列的交匯已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x}$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{n+1}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$；（3）若對任意$n\in\mathbb{N}^*$，不等式$T_n<m-\frac{1}{2^n}$恒成立，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。問題12：導(dǎo)數(shù)與解析幾何的綜合已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1$、$x_2$（$x_1<x_2$），且過點(diǎn)$A(x_1,f(x_1))$、$B(x_2,f(x_2))$的直線與橢圓$\frac{x^2}{4}+y^2=1$交于$C$、$D$兩點(diǎn)，求$|CD|$的最大值。七、開放性探究問題問題13：數(shù)學(xué)建模與優(yōu)化設(shè)計(jì)某小區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)矩形休閑廣場，廣場的一邊靠墻（墻長20米），另三邊用總長為30米的柵欄圍成。設(shè)廣場的長為$x$米，寬為$y$米，面積為$S$平方米。（1）寫出$S$關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式，并求出$S$的最大值；（2）若在廣場內(nèi)修建一個(gè)半徑為$r$的圓形花壇，且花壇面積不超過廣場面積的$\frac{1}{4}$，求$r$的取值范圍；（3）為滿足居民需求，現(xiàn)需在廣場內(nèi)劃分出一個(gè)矩形健身區(qū)和一個(gè)三角形綠化區(qū)（綠化區(qū)的一邊為廣場的長邊），請你設(shè)計(jì)一種劃分方案，使得健身區(qū)面積最大，并說明理由。問題14：概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用某電商平臺為提升用戶體驗(yàn)，推出“次日達(dá)”服務(wù)。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，快遞員小李在“次日達(dá)”配送中，成功送達(dá)的概率為$p(0<p<1)$，且各次配送相互獨(dú)立。（1）若小李一天配送5單，求恰好成功送達(dá)3單的概率（用含$p$的式子表示）；（2）若平臺規(guī)定：成功送達(dá)1單得獎(jiǎng)金20元，未送達(dá)1單扣獎(jiǎng)金10元。設(shè)小李一天配送$n$單的收益為$X$元，若$E(X)=35n$，求$p$的值；（3）在（2）的條件下，小李連續(xù)工作3天，每天配送5單，記3天中成功送達(dá)的總單數(shù)為$Y$，求$Y$的數(shù)學(xué)期望和方差。八、創(chuàng)新題型探究問題15：新定義函數(shù)與性質(zhì)探究定義：對于函數(shù)$f(x)$，若存在非零常數(shù)$T$，使得對任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x+T)=f(T-x)$，則稱函數(shù)$f(x)$為“$T$對稱函數(shù)”。（1）判斷函數(shù)$f(x)=x^2-2x$是否為“$T$對稱函數(shù)”，若是，求出所有$T$的值；若不是，說明理由；（2）設(shè)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的“$T$對稱函數(shù)”，且$f(x)$在區(qū)間$[T,+\infty)$上單調(diào)遞增，求證：$f(x)$在區(qū)間$(-\infty,T]$上單調(diào)遞減；（3）若函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$是“$\frac{\pi}{2}$對稱函數(shù)”，且在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{4}]$上的最大值為1，求$\omega$和$\varphi$的值。問題16：動態(tài)幾何與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，已知點(diǎn)$A(2,0)$，點(diǎn)$B$在圓$O:x^2+y^2=1$上運(yùn)動，點(diǎn)$C$滿足$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$。（1）求點(diǎn)$C$的軌跡方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與點(diǎn)$C$的軌跡交于$M$、$N$兩點(diǎn)，若以$MN$為直徑的圓過點(diǎn)$A$，求$m$的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求$\triangleAMN$面積的最大值。九、實(shí)際應(yīng)用題問題17：物流調(diào)度中的數(shù)學(xué)模型某物流公司有$A$、$B$兩個(gè)倉庫，分別庫存某種商品12噸和6噸?，F(xiàn)需將商品調(diào)往甲、乙兩個(gè)門店，甲門店需要10噸，乙門店需要8噸。已知從$A$倉庫調(diào)運(yùn)1噸商品到甲、乙門店的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元，從$B$倉庫調(diào)運(yùn)1噸商品到甲、乙門店的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元。（1）設(shè)從$A$倉庫調(diào)往甲門店$x$噸商品，求總運(yùn)費(fèi)$y$關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式，并寫出$x$的取值范圍；（2）求總運(yùn)費(fèi)的最小值及此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案；（3）若甲門店的需求量增加了$t$噸（$0<t<4$），乙門店的需求量不變，為使總運(yùn)費(fèi)不超過原最小值的1.2倍，求$t$的最大值。問題18：環(huán)境監(jiān)測中的數(shù)據(jù)分析某監(jiān)測站對某條河流的水質(zhì)進(jìn)行監(jiān)測，測得一周內(nèi)的$pH$值數(shù)據(jù)如下：7.2，7.5，7.3，7.4，7.6，7.5，7.4。（1）求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和中位數(shù)；（2）若$pH$值在$[7.3,7.5]$內(nèi)為“優(yōu)良”，求這一周水質(zhì)為“優(yōu)良”的頻率；（3）假設(shè)該河流的$pH$值服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$為（1）中的平均數(shù)，$\sigma^2$為（1）中的方差，求未來3天中至少有2天水質(zhì)為“優(yōu)良”的概率（精確到0.01）。十、拓展探究題問題19：復(fù)數(shù)與幾何意義已知復(fù)數(shù)$z_1=1+i$，$z_2=2-3i$，復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-z_1|=|z-z_2|$。（1）求復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)復(fù)數(shù)$z$對應(yīng)的點(diǎn)為$P$，求點(diǎn)$P$到直線$l:z_1z+\overline{z_1}\ov