云南省玉溪市通海三中2025-2026學年高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學舉行黨史學習教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學被選中的概率是（）A. B.C. D.2．將上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.3．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?34．設、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.6．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.7．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.68．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.9．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設雙曲線的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（）A. B.C. D.11．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．在直三棱柱中，側面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內心，連接并延長交于點N，則________.14．已知函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，則的外接圓E的方程是________15．不等式的解集是___________.16．雙曲線的實軸長為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點F為棱PD的中點，二面角的余弦值為.（1）求PD的長；（2）求異面直線BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.18．（12分）已知拋物線的焦點為F，其中P為E的準線上一點，O是坐標原點，且（1）求拋物線E的方程；（2）過的直線與E交于C，D兩點，在x軸上是否存在定點，使得x軸平分？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由19．（12分）函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.21．（12分）在三棱柱中，側面正方形的中心為點平面，且，點滿足（1）若平面，求的值；（2）求點到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值22．（10分）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數(shù)列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學被選中的概率為.故選：.2、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設點為曲線C上任一點，其在上對應在的點為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設，則，兩方程相減整理得，因為AB中點坐標為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A3、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，求出點的坐標代入目標函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B4、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關系可得結論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.5、D【解析】設雙曲線的方程為，利用焦點為求出的值即可.【詳解】因為雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，所以可設雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.6、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.7、C【解析】由題意，點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.8、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B9、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系判斷單調性，數(shù)形結合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D10、C【解析】據(jù)三角形中位線可得；再由雙曲線的定義求出，進而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為：，，設以為直徑的圓與直線相切與點，則，且，，∥.又為的中點，，又，，的面積為：.故選:C11、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.12、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內切圓入手，找到等量關系，進而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設內切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎上，借助內切圓的相關公式求解，層層遞進，是一道好題．關鍵點在于找到“”這一關系14、【解析】由題可求三角形三頂點的坐標，三角形的外接圓的方程即求.【詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標為2，設，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.15、##【解析】將分式不等式等價轉化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價于，解得,故答案為：.16、4【解析】根據(jù)雙曲線標準方程的特征即可求解.【詳解】由題可知.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，設，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長；（2）由空間向量法求異面直線所成的角；（3）由空間向量法求線面角【小問1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線，建立如圖坐標系，則，，，設，，，，設平面一個法向量為，則，令，則，，即，平面的一個法向量是，因為二面角余弦值為.所以，（負值舍去）所以；【小問2詳解】由（1），，，，所以異面直線BF與PA所成角的余弦值為【小問3詳解】由（1）平面的一個法向量為，又，，所以直線AF與平面BCF所成角的正弦值為18、（1）（2）存在；【解析】（1）設，利用向量坐標運算求出p即可；（2）設直線MC，MD的斜率分別為，，利用坐標計算恒成立，即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點為，設，則，因為，所以，得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設在x軸上存在定點，使得x軸平分設直線的方程為，設點，，聯(lián)立，可得∵恒成立，∴，設直線MC，MD的斜率分別為，，則由定點，使得x軸平分，則，所以把根與系數(shù)的關系代入可得，得故存在滿足題意．綜上所述，在x軸上存在定點，使得x軸平分19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設，原不等式等價于，分類討論即可得出結論；（2）不等式對任意恒成立，即，即可求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當時，原不等式等價于，當時，，解得，即；當時，恒成立，即；當時，，解得，即；綜上，不等式的解集為；（2），，即或，解得，∴a取值范圍是.20、（1）；（2）（?。唬áⅲ┳C明見解析.【解析】（1）求出，，利用導數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（?。└鶕?jù)題意對參數(shù)分類討論，當時，等價轉化，且構造函數(shù)，利用零點存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（?。┲兴蟮玫脚c的等量關系，求得并構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（?。┮驗椋士傻?，因為，則當時，，則，無零點，不滿足題意；當時，若在有一個零點，即在有一個零點，也即在有一個零點，又，則單調遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點，則；（ⅱ）由（?。┛芍?，若在區(qū)間上有唯一的零點，則，也即，則，令，則，又在都是單調增函數(shù)，故是單調增函數(shù)，又，故，則在單調遞增，則，故，即證.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的零點以及最值；處理問題的關鍵是合理轉化函數(shù)零點問題，以及充分利用零點存在定理，熟練掌握構造函數(shù)法，屬綜合困難題.21、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計算作答.(2)以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點，于是得為的中點，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，依題意，，則，，設平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運