第四章：一次函數(shù)

?4.1函數(shù)

1.函數(shù)的概念

一般地,在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y,如果紿定一個(gè)x值,相應(yīng)地就確定了一個(gè)y

值〉那么裝布森2復(fù)x的嬴莪「羹中x復(fù)自爰豆:當(dāng)自變至取二不值前,另二不施魯薪有吊二確

定的值與它對應(yīng)，這也是我們判斷兩個(gè)變量是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的依據(jù).

辨誤區(qū)自變量與另一個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系

若v是x的,函數(shù)，當(dāng)x取不同的值時(shí)，y的值不一定不同.如：y=x中，當(dāng)x=2,或*=一

2,時(shí)，p的值都是4.

［例1—1］下列關(guān)于變量*,v的關(guān)系式：①x—3y=1;②y=|x|;?2x-y=9.其中y是x

的函數(shù)的是＜＞.

A.①②③B.①②C.②③D.①②

［例1—2］已知y=2x+4,

＜1＞求x取錯(cuò)誤!和一錯(cuò)誤！時(shí)的函數(shù)值；＜2＞求v取W時(shí)x的值.

談重點(diǎn)函數(shù).中變量的對應(yīng)關(guān)系

當(dāng)自變量取一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就會有唯一的值與之相對應(yīng)；當(dāng)另一個(gè)變量取某一數(shù)值,

則自變量并不一定有唯一的值與之相對應(yīng)，所以另一個(gè)變量與自變量并不是一一對應(yīng)的關(guān)系.

2.函數(shù)關(guān)系式

用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)關(guān)系式，也稱為函數(shù)解析式或關(guān)系表達(dá)式.

談重點(diǎn)鹵薪關(guān)系E,%季問

①函數(shù)關(guān)系式是等式.②函數(shù)關(guān)系式中指明了哪個(gè)是自變量,哪個(gè)是函數(shù).通常等式右邊

的代數(shù)式中的變量是自變量，等式左邊的一個(gè)字母表示函數(shù).③函數(shù)的解析式在書寫時(shí)有順序

性.例如，v=x+1是表示y是x的函數(shù).若寫成x=y-1就表示x是y的函數(shù).也就是說：

求V與x的函數(shù)關(guān)系式，必須是用只含變量x的代數(shù)式表示人即得到的等式＜解析式）左邊只

含一個(gè)變量y,右邊是含x的代數(shù)式.

［例2］已知等腰三角形的周長為36,腰長為x,底邊上的高為6,若把面積y看做腰長x的函

數(shù)，試寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.

3.自變量的取值范圍

＜1＞使函數(shù)有意義妁自發(fā)堂的全體更值叫做自支董的雙值范國..

＜2＞后娶量/取福范由的確定方;￡：曾兔，爹年應(yīng)自變量出取正必須使解析式有意義.當(dāng)

解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)：當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍

是使被開方數(shù)不小于0的尖數(shù)；當(dāng)解析式中含有零整數(shù)寐或負(fù)整數(shù)指數(shù)寐時(shí)，自變量的取值應(yīng)

使相應(yīng)的底數(shù)不為0；其次，當(dāng)函數(shù)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值還必須使實(shí)標(biāo)問題

有意義.

［例3］若等腰三角形的周長為50cm,底邊長為Xcm,一腰長為ycm,y與x的函數(shù)關(guān)系式為

y=錯(cuò)誤!＜50—x＞,則變量*的取值范.圍是.

4.函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法一般有三種：列表法、圖象法、解析法，以解析法應(yīng)用較多.有的函數(shù)可

以用三種方法中的任何一種來表示，而有的只能用其中的一種或兩種來表示.

＜1＞列表法：列一張表，第一行表示自變量取的各個(gè)值，第二行表示相應(yīng)的函數(shù)值，這種表

示函數(shù)關(guān)系的方法稱為列表法.

＜2＞圖象法：通過建立平面直角坐標(biāo)系，以自變量取的每一個(gè)值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值

為縱坐標(biāo)，描出每一個(gè)點(diǎn)，力所有這些點(diǎn)組成的圖形稱為這個(gè)函數(shù)的圖象，這種表示函數(shù)關(guān)系

的方法稱為圖象法.

＜3＞解析法：用式子表示函數(shù)關(guān)系的方法稱為解析法，這樣的式子稱為函數(shù)的解析式.

析規(guī)律函數(shù)的三種表示方法

三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要視具體情況，選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?，或?qū)⑷N方法結(jié)

合使用.①列表法：優(yōu)點(diǎn)是能明顯地顯現(xiàn)出自變量與對應(yīng)的函數(shù)值，缺點(diǎn)是取值有限；②圖象

法：優(yōu)點(diǎn)是形象、，直觀、清晰地呈現(xiàn)出函數(shù)的一些性質(zhì)，缺點(diǎn)是求得的函數(shù)值是近似的；③

解析法：優(yōu)點(diǎn)是簡明扼要、規(guī)范準(zhǔn)確，并且可以根據(jù)解析式列表、畫圖象，進(jìn)而研究函數(shù)的性

質(zhì)；缺點(diǎn)是有些函數(shù)無法寫出解析式，只能列出表格或畫出圖象來表示.

［例4］你一定知道烏鴉喝水的故事吧！一個(gè)緊口瓶中盛有一些水，烏鴉想喝，但是嘴夠不著瓶

中的水.，于是烏鴉街來一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度隨石子的增多而上升，烏鴉喝到.

了水.但是還沒解渴，瓶中水面就下降到烏鴉夠不著的高度，烏鴉只好再去銜些石子放入瓶中，

水面又上升，烏鴉終于喝足了水，哇哇地飛走了.如果設(shè)銜入瓶中石子的體積為x,瓶中水面的

高度為y,下而能大致表示上面故事情節(jié)的圖象是<>.

5.怎樣判定函數(shù)關(guān)系

<1>從關(guān)系式判定函數(shù)

由函數(shù)的定義知道，在某個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量尸和y,對于x每一個(gè)確定的值,拄都有

且只有一個(gè)值與之對應(yīng)，當(dāng)x取不同的值時(shí)，v的值可以相等也可以不相等，但如果一個(gè)斤的值

對應(yīng)著兩個(gè)不同的V值，那么v一定不是x的函數(shù).根據(jù)這一點(diǎn)，我們可以判定一個(gè)關(guān)系式是

否表示函數(shù).

<2>從表格中判定函數(shù)

根據(jù)函數(shù)的定義知道，從表格中理解函數(shù)仍然是先看是否只有兩個(gè)變量，再看對于變.量x

每一個(gè)確.定的值,y是否都有唯一的值和它對應(yīng)，也就是說x若取相同的值,y必須是相同的

值.

<3>從圖象上判定函數(shù)

根據(jù)函數(shù)的定義知道，每一個(gè)x值只能對應(yīng)唯一的一個(gè)y值，因此要判斷哪些圖形表示的

是函數(shù)，只要在所給的自變量的取值范圍內(nèi)任作一條垂直于x軸的直線，若直線與所給圖形只

有一個(gè)交點(diǎn)，則說明這個(gè)圖形表示的是函數(shù)，若交點(diǎn)不止一個(gè)，則一定不是函數(shù).

［例5—1］下列表格中能反映v是x的函數(shù)的是<>._____________________________________

X-1123-1

A

y024810

X01230

B

y-22346

X22222

C

y-10113

X-11234

D

y024810

W5-2］下列表示y是x的函數(shù)圖象的是<>.

6.如何判斷同一函數(shù)

學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，判斷兩個(gè)函數(shù)是否表示同一函數(shù)要看它們是不是滿足以下三個(gè)條件：

<1>自變量的取值范圍完全相同.

<2>函數(shù)值的取值范圍完全相同.

<3>變形后，兩個(gè)函數(shù)的解析式是一致的，即自變量和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系完全相同.

如果兩個(gè)函數(shù)滿足以上三個(gè)條件，那么它們是同一函數(shù).

解答這類問題的關(guān)鍵是正確理解上述的三個(gè)條件.

☆函數(shù)的自變量取值范圍和解析式為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的關(guān)

鍵是看自變量取值范圍和解析式.自變量取值范圍和函數(shù)值分別相同的函數(shù)不一定是相等函

數(shù).

［例6T］下列函數(shù)中，與尸x表示同一個(gè)函數(shù)的是<>.

A.y=錯(cuò)誤！B.y=\x\C.y=〈錯(cuò)誤!￥D.y=錯(cuò)誤！

［例6-2］下列各組函數(shù)中，哪些是同一函數(shù)：

①y=x與y=x+l；

②y=x-l,x為實(shí)數(shù)，與為自然數(shù)；

③y=Vx2-4與y=Vx-2?4+2：

④y=l+，與〃=1+L

xx

/r~>/2x,x>0

⑤y=x\Jx~與)，=f9；⑥)=21x|與y=<:

-2x,x<0

7.函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用

函數(shù)的圖象是由點(diǎn)組成的，每個(gè)點(diǎn)都具有實(shí)際意義，利用函數(shù)的圖象可以反映實(shí)際問題中

的關(guān)系，同樣通過觀察函數(shù)的圖象也可以得到關(guān)于實(shí)際問題的相關(guān)信息.可以說，函數(shù)的圖象

是我們解決實(shí)際問題的有效手段和重要的工具.

解決函數(shù)圖象選擇問題的關(guān)鍵是在閱讀反映實(shí)際問題的文字語言的同時(shí)，對圖象進(jìn)行觀

察、分析，獲取有效的解題信息.

解答這類問題主要是利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題、解決問題.

［例7］父親節(jié)，學(xué)校"文苑"專欄登出了某同學(xué)回憶父親的小詩："同辭家門赴車站，別時(shí)叮嚀

語千萬，學(xué)子滿載信心去，老父懷抱希望還."如果用縱軸y表示父親和學(xué)子在行進(jìn)中離家的距

禹，橫軸七表示離家的時(shí)間，那么下面與上述詩意大致吻合的圖象是＜＞.

?4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)

1.一次函數(shù)的定義

若兩個(gè)變量X.-之間的關(guān)系式可以表示成為常數(shù),4手0＞的形式.則稱y是

x的一次函數(shù)是自變量〉.

談重點(diǎn):端襄盔看,

函數(shù)是一次函數(shù)必須符合下列兩個(gè)條件：＜1＞關(guān)于兩個(gè)變量x,y的次數(shù)是1;＜2＞必須是

關(guān)于兩個(gè)變量的整式.

［例1］下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是＜＞.

A.y=7xB.y=x—9C.y=錯(cuò)誤！D.y=錯(cuò)誤！

2.正比例函數(shù)的定義

對于一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)6=0,即y=kx＜k為常數(shù)?且〃=#0＞時(shí)）我們稱p是x的正比例

函瑟小

辨誤區(qū)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系

需要注，意的是正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況，特殊之處在于6=0,且k*0,因此,正

比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)并不一定是正比例函數(shù).

［例2］下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是＜＞.

A.y=-2xB.y=-2x+1C.y=~2xD.y=一錯(cuò)誤！

辨誤區(qū)正比例函數(shù)的判斷

要判斷一個(gè)函數(shù)是否是正比例函數(shù)，首先看它是否為一次函數(shù)，也就是能否轉(zhuǎn)化為y=kx

+灰〃于0》的形式；其次要清楚正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，函數(shù)解析式能否轉(zhuǎn)化為y=

AKZr手0》的形式.

3.根據(jù)條件列一次函數(shù)關(guān)系.式

列函數(shù)關(guān)系式是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能，力和抽象思維能力的一種方法，解決這類問題的基本思

路為：首先要認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞，找出問題中的變量并用字母表示，然后根據(jù)題意列出函數(shù)

關(guān)系式.

點(diǎn)技巧如何列函數(shù)關(guān)系式

列關(guān)系式時(shí)，一定要先知道兩個(gè)變量，并且弄清誰是自變量.

［例3］甲、乙.兩地相.距30km,某人從甲地以每小時(shí)4km的速度走了th到達(dá)丙地，并繼續(xù)

向乙地走.

＜1）試分別確定甲、丙兩地距離$＜km＞及丙、乙兩地距離s?＜km＞與時(shí)間Kh＞之間的函數(shù)

關(guān)系式.

它們是什么函數(shù).

4.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

若兩個(gè)變量x,V之間的關(guān)系r可以表示成y=kx+Xk,b為常數(shù)，4于0＞的形式，則稱y是x

的一次函數(shù)，特別地當(dāng)6=0時(shí)，稱v是x的正比例函數(shù)，顯然正比例函數(shù)是一次函數(shù)，而一次函

數(shù)不一定是正比例函感，正比例面數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況.

區(qū)別：

①正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)：②正比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)

過原點(diǎn)及經(jīng)過兩個(gè)象限，但一次函數(shù)一般不經(jīng)過原點(diǎn)，通常情況下要經(jīng)過三個(gè)象限.

行兩種函數(shù)的圖象都是一條直線：②兩種函數(shù)的增減性相同；③當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)轉(zhuǎn)

化為正比例函數(shù)，因此正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例.

［例4-1］在下列函數(shù)中，*是自變量，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？

線，因此畫一次函數(shù)的圖象，只要描出圖象上的兩個(gè)點(diǎn)錯(cuò)誤！，過這兩點(diǎn)作一條直線就行了.我

們常常杷這條首線叫做"首線y=b\

②一次函數(shù)中常量k,Xk*O）：直線y=kx+b<k*9馬y軸的交點(diǎn)是<0,6>,當(dāng)b>Q時(shí)，

直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)6Vo時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交；當(dāng)6=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，

此時(shí)一次函數(shù)即為正比例函數(shù).一次函數(shù)中的用決定了直線的傾斜程度，k的絕對

值越大，則直線越接近y軸，反之，越靠近x軸.

③一次函數(shù)y=〃x+從〃/0》的性質(zhì)：當(dāng)％>0時(shí)，直線y=Ax+6從左向右上升，函數(shù)v的

值隨自變量x的增大而增大；當(dāng)k<QB寸，直線y=Ax+6從左向右下降，函數(shù)y的值隨自變量

x的增大而減小.

<2>正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

①正比例函數(shù)的圖象：一般地，正比例函數(shù)y=kx<k是常數(shù),〃手0>的圖象是一條經(jīng)江原點(diǎn)

的直線，我們稱它為直線V=4x.在畫正比例函數(shù)尸Ax的圖象時(shí)，一般是經(jīng)過點(diǎn)<0,0>和<1,k>

作一條直線.

②正比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)〃>0時(shí)，直線y="經(jīng)過.第一、三象限，從左往右上升，

即y隨”的增大而增大；當(dāng)〃V0時(shí)，直線經(jīng)過第二、四象限，從左往右下降，即y隨x

的增大而減小.

［例3—1］作出一次函數(shù)尸一3*+3的圖象.

［例3—2］若一次函數(shù)y=<2m-6>x+5中，y隨x增大而減小，則m的取值范圍是.

［例3-3］下圖表示一次函數(shù)y=4x+b與正比例函數(shù)y=kx<k,b是常數(shù)，且K=0>圖象的是

<>.

4.用6的符號與直線所過象限的關(guān)系

學(xué)習(xí)了一次函數(shù)V=〃x+灰4/0》,我們知道一次函數(shù)圖象經(jīng)過哪些象限是由匕6的符號決

定的.一般分為四種情況：

<1乂>0,6>0時(shí)，圖象過第一、二、三象限；

<2M>0,bV0時(shí)，.圖象過第一、三、四象限;

<3>〃V0,6>0時(shí)，圖象過第一、二、四象限；

<4>AV0,6Vo時(shí)，圖象過第二、三、四象限.

析規(guī)律％6的符號與直線的關(guān)系

根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b中A,6的符號可以確定圖象所經(jīng)過的象限；根據(jù)函數(shù)圖象所經(jīng)過

的象限，可以確定用。的符號.解決有關(guān)問題，應(yīng)熟練把握〃,6的符號與函數(shù)圖象所經(jīng)過象限

的幾一個(gè)類型，并能靈活應(yīng)用.

［例4一1］一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四系限，則正比例函數(shù)y=〃6x圖象經(jīng)過

哪個(gè)象限？

W4-2］如圖是一次函救y=〃x+b的圖象的大致位置，試分別確定〃”的正負(fù)號，并罰斷一

次函數(shù)v=<—A—1>X—6的圖象所經(jīng)過的象限.

5.一次函數(shù)困象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

一次函數(shù)的圖象是直線，這條直線與x軸交于點(diǎn)錯(cuò)誤!，與v軸交于點(diǎn)<0,￡>.考查直線與

兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的問題常比的有三類：

<1>判定直線所過的象限，一般給出函數(shù)關(guān)系式，判定直線經(jīng)過哪幾個(gè)象限或確定不經(jīng)過

哪個(gè)象限.

<2>求直線的解析式，一般先設(shè)出函數(shù)關(guān)系式為y=4x+灰〃手0>,把已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

別代入，求出6的值即可.

<3>求兩交點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的二用形的面積，由于這個(gè)二角形是直角二角形，利用面積公

式即可.

［例5］如圖，已知直線y=kx-3經(jīng)過點(diǎn)伏一2,1>,求此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出

與坐標(biāo)軸所圍的三角形的面積.

6..關(guān)于一次函數(shù)的最值問題

對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大、最小值<

簡稱"最值”），但在實(shí)際問題中，因題目中的自變量受到實(shí)際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最

大值或最小值.

求解這類問題，先分析問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否適合一次函數(shù)模型，再在自變量允

許的取值范圍內(nèi)建立一次函數(shù)模型.運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的性

質(zhì)來解答.除正確確定函數(shù)表達(dá)式外利用自變量取值范囤去分布最值是解題的關(guān)犍.

"在生活中學(xué)數(shù)學(xué)，到生活中用數(shù)學(xué)"，是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的一個(gè)主旨之一，在考題中，有許多

利用數(shù)學(xué)知識求解生活中的實(shí)際問題的試題，考查同學(xué)們利用所學(xué)知識求解實(shí)際問題的彷力.

［例6］某報(bào)刊銷售亭從粕社訂購?fù)頇C(jī)的價(jià)格是0.7元，銷售價(jià)是每份1元，賣不掉的報(bào)紙可以

以每份0.2元的價(jià)格退回報(bào)社，若每月按30天計(jì)算，有20天每天可賣出100份報(bào)紙，其余10

天每天只能賣出60份，但每天報(bào)亭從報(bào)社訂購的份數(shù)必須相同，報(bào)亭每天從報(bào)社訂購多少份

報(bào)紙，才能使每月所獲得的利泗最大？

?4.4一次函數(shù)的應(yīng)用

1.確定一次函數(shù)表達(dá)式

<1>借助圖象確定函數(shù)的表達(dá)式

先觀察直線走否過坐標(biāo)原點(diǎn)，若過原點(diǎn)，則為正比例圉數(shù)，可設(shè)其關(guān)系式為y=kx<k土

若不過原點(diǎn)，則為一次函數(shù)，可設(shè)其關(guān)系式為y=kx+b<k豐0);然后再觀察圖象上有沒有明確

幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).對于正比例函數(shù)，只要知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可；對于一次函數(shù)，則需要知道兩

個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；最后將各點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=Ax或y=kx+6中，求出其中的gb,即可確定出其

關(guān)系式.

<2>確定正比例函數(shù)、一次函數(shù)表達(dá)式需要的條件

①由于正比例函數(shù)左0>中只有一個(gè)未知系數(shù)左,故只要一個(gè)條件，即一對x,y的值

或一個(gè)點(diǎn).的坐標(biāo)，就可以求出k的值，確定正比例函數(shù)的表達(dá)式.

②一次函數(shù)手0>有兩個(gè)未知系數(shù)需要兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)于〃”的條件，求得

k,b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或兩對x,y的蒞.

W1］如圖，直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是<>.

A.y=一錯(cuò)誤!x+3B.y=錯(cuò)誤!x+3C.y=.一錯(cuò)誤!x+3D.y=

錯(cuò)誤!x+3

點(diǎn)技巧用待定系數(shù)法求直線解析式

由圖象觀察可知該函數(shù)為一次函數(shù)，故應(yīng)設(shè)成y=〃x+灰〃手0》的形式，再將48兩點(diǎn)坐標(biāo)

代入該關(guān)系式，即可求出k,6,從而確定出具體的關(guān)系式.

2.待定系數(shù)法

<1>定義：先設(shè)出式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫出這個(gè)式子的方法,

叫做待定系數(shù)法，其中的未知數(shù)也稱為待定系數(shù).

<2>用待定系數(shù)法求解析式的一般步驟:

①根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的斛析式；

②將xty的幾對值或圖象上幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述的解析式中，得到以待定系數(shù)為未知

數(shù)的方程或方程組；

③解方程<組>，得到待定系數(shù)的值；

④將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中，得到所求函數(shù)的解析式.

［例2—1］一次函數(shù)圖象如圖所示，求其解析式.

［例2—2］在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=4x+6的圖象經(jīng)過三點(diǎn)4<2,0>,灰0,2>,次加,.3>,求

這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，并求m的值.

解：根據(jù)題意，得

2〃+6=0①,6=2,km+b=3②,

把h=?代入①，得2^+2=0,即〃=一1：

把6=2,k=—1代入②，得m=—1.

故函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+2.

3.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

<1>通過圖象獲取信息

通過觀察一次函數(shù)的用象獲取有用的信息是我們在日常生活中經(jīng)常遇到的問題，要掌握

這個(gè)重點(diǎn)在于對函數(shù)圖象的觀察和分析,觀察函數(shù)圖象時(shí)，首先要看橫軸、縱軸分別代表的是

什么，也就是觀察圖象反映的是哪兩一個(gè)變量之間的關(guān)系.

釋疑點(diǎn)函數(shù)圖象中的特殊點(diǎn)

觀察圖象獲取信息時(shí)，一定要注意圖象上的特殊點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)對我們解決問題有很大的

幫助.

<2>一次函數(shù)圖象的應(yīng)用

一次函數(shù)和正比例函數(shù)是我們接觸到的最簡單的函數(shù)，它們的圖象和性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中

有著廣泛的應(yīng)用.利用一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象解決問題是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)，這部分內(nèi)容

在中考中占有重要的地位.

談重點(diǎn)函數(shù)y=kx^b圖象的變化形式

在實(shí)際問題中，當(dāng)自變量的取值范圍受到一定的限制時(shí)，函數(shù)伙〃學(xué)0》的圖象就

不再是一條直線.要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析,其圖象可能是射線、線段或折線等等.

［例3—1］甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠，所挖河渠的長度/m＞與挖掘時(shí)間內(nèi)h＞

之間的關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：

＜1＞乙隊(duì)開挖到30m時(shí)，用了h.開挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了m.

＜2＞請，你求出:

①甲隊(duì)在0WxW6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②乙隊(duì)在2WxW6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

＜3＞當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所挖河柒的長度相等？

［例3-2］某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一國有出租車公司簽

訂月租車合同.設(shè)汽車每月行駛xkm,應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用為必元，應(yīng)付給國有出租車公

司的月費(fèi)用是。元,“分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象〈兩條射線＞如圖，觀察圖象回答下列問

題：

＜1》每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租國有出租車公司的車合算？

＜2＞每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？

＜3＞如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2600km,那么這個(gè)單位租哪家車合算？

析規(guī)律函數(shù)圖象交點(diǎn)規(guī)律

兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系中，當(dāng)取相同的自變量時(shí)，下方圖象對應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值?。航?/p>

點(diǎn)處的函數(shù)值相等.

4.一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系

當(dāng)一次函數(shù)產(chǎn)=〃X+伏4手0＞中的。數(shù)值為0時(shí)，可得0=〃x+6即〃x+6=0,這在形式上

變成亍策美于*6勺二元二屬茄￡,忑最更拓學(xué)二能番盔蓄密蒞為。記而正正&

變量的值即為方程依±2=0的解:若從圖類上奏看,則可看做函數(shù)丫=以±6的圖之與《軸的

交點(diǎn)M橫至標(biāo)，印為方程二=06勺薜.畝土匕可應(yīng),方程與荔袤是密木可分花.

［例4］某汽車生產(chǎn)廠對其生產(chǎn)的A型汽車進(jìn)行耗油量實(shí)臉,實(shí)驗(yàn)中汽車視為勻速行駛.已知

油箱中的余油量/!_＞與行駛時(shí)間Kh＞的關(guān)系如下表，與行駛路程底km＞的關(guān)系如下圖.請你

根據(jù)這些信息求A型車在實(shí)驗(yàn)中的速度.

行駛時(shí)間Kh＞0123

油箱余油量）＜L＞100846852

5.一次函數(shù)圖象的平移

一次函數(shù)y=Ax+d＜〃/0＞的圖象可以看做由直線v=〃x平移|引個(gè)單位長度而得到＜當(dāng)b

＞0時(shí)，向上平移；當(dāng)6Vo時(shí)，向下平移，實(shí)際上就是指一次函數(shù)y=〃x+6的圖象沿y軸平

移時(shí)，在6的位置上按照"上加下減"的規(guī)律進(jìn)行.如：一次函數(shù)A:y=錯(cuò)誤！x+2的圖象可

以看做是由正比例函數(shù)/:y=錯(cuò)誤！x的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位長度得到的：一次函

數(shù)/2:y=錯(cuò)誤！*一2的圖象可以看做是由正比例函數(shù)/：y=錯(cuò)誤！x的圖象沿v軸向下平移

2個(gè)單位長度得到的.

思考：函數(shù)圖像左右移動解析式如何變化呢？

［例5］如圖所示，將直線勿向上平移1個(gè)單位長度，得到一個(gè)一次函數(shù)的圖象，那么這個(gè)一次

函數(shù)的解析式是.

析規(guī)律平移中的函數(shù)解析式

解決平移問題可以對性質(zhì)進(jìn)行記憶直接運(yùn)用，也可以找出平移后借助坐標(biāo)系運(yùn)用特定系

效法求解.平移前后A的值不變，改變的是b的值.

6.函數(shù)、方程和不等式的完美結(jié)合

從"數(shù)"的角度看，由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+6=0＜a,6為常數(shù)，且a手0＞的形

式，所以解一元一次方程可以看做：當(dāng)一次函數(shù)y=ax+A的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量妁值；

反之，求自變量x為何值時(shí),一次函數(shù)y=ax+6的值為0,只要求出方程ax+b=0的解即5r.由

于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為類似ax+6＞0或ax+6Vo的形式，所以解一元一次不等

式可以看做：當(dāng)一次函數(shù)y=ax+b的值大＜?。居?時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍；反之，求一

次函數(shù)產(chǎn)=3*+6的值何時(shí)大＜?。┯?時(shí)，只要求出不等式ax+6＞0或ax+6＜0的解集即可.

從一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系可以看出，三者最終能用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)

一起來，并且達(dá)到一種完美的結(jié)合，這種結(jié)合，又常常在一些考題中得以體現(xiàn).

［例6］已知一次函數(shù)y=ax+灰a,6是常數(shù)，旦aWO>.x與"的部分對應(yīng)值如下表：

X-2-10123

y6420-2-4

那么方程ax+6=0的解是,不等式ax+力>0的解集是.

7.如何確定一次函數(shù)的表達(dá)式

確定正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式是一次函數(shù)這部分內(nèi)容考查的一個(gè)重要知識點(diǎn).那

么應(yīng)該怎樣確定正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式呢？因?yàn)檎壤瘮?shù)的解析式y(tǒng)=kx中，只

有一個(gè)待定系數(shù)4,確定了〃的值，也就確定了正比例函數(shù)的解析式.而一次函數(shù)的解析式y(tǒng)

=〃x+6中，有兩個(gè)待定系數(shù)〃和6,因此需要兩個(gè)條件，此條件可以是直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

也可以是兩對變量與函數(shù)的對應(yīng)值.但在實(shí)際求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該具體

問題具體分析.

<1>定義型

若兩個(gè)量y與x成正比例，可設(shè)為正比例函數(shù)形式：求其中％是常數(shù)，〃/0>,再用待

定系數(shù)法求比例系數(shù)A

<2>兩<或一>點(diǎn)型

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)的關(guān)系式中，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求解.

<3>圖象型

解決看圖獲取信息的問題，不僅要注意坐標(biāo)軸所表示的量是什么，還要抓住圖中一些關(guān)鍵

的點(diǎn)〈如：起點(diǎn)、終點(diǎn)、折淺中的折點(diǎn)>所反映出的信息.通過觀察圖象，發(fā)掘圖象經(jīng)過坐標(biāo)軸

上的兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造待定系數(shù)的方程組，求出k,b；它體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，是

解題的重要思想方法之一.點(diǎn)在函數(shù)圖象上，就是說點(diǎn)的坐標(biāo)滿足該圖象的函數(shù)解析式.只需

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后求方程<組>的解即可.

<4>平移型

平移不改變〃的大小，只改變。的大小.

<5>實(shí)際應(yīng)用型

解這類題的方法是對問題的審讀和理解，掌握用一個(gè)變量的代數(shù)式表示另一個(gè)變量，建立

兩個(gè)變量間的等量關(guān)系，同時(shí)從題中確定自變量的取值范圍.這是求實(shí)際應(yīng)用型問題的函數(shù)關(guān)

系式的至關(guān)重要的一點(diǎn).

［例7—1］求一次函數(shù)y=<m-2>x，n2~3一勿+3的關(guān)系式.

［例7—2］直線y=〃x+6經(jīng)過點(diǎn)水一3,0>和點(diǎn)次0,2>,求這條直線的表達(dá)式.

W7-3］已知某個(gè)一次函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為.

［例7—4］將直線y=2x向上平移兩個(gè)單位長度，所得的直線是<>.

A.y=2x+2B.y=2x~2C.y=2<x-2>D.y=2<x+2>

［例7—5］大拇指盡量伸開時(shí)，拇指與食指的距離稱為指距，某研究表明，一般情況下，人的身

高力是指距，的一次函數(shù)，下表是測得指距與身高的一組數(shù)據(jù)：

指距o<cm>20212223

身高》cm>160169178187

<1>求出6與4之間的函數(shù)關(guān)系式.

<2>某人身高196cm,一般情況下他的指距是多少？

8.分段計(jì)費(fèi)問題

在自變量的不同取佰篦圍內(nèi)袤示函數(shù)關(guān)系的解?析式有不同的形式，這樣的函數(shù)稱為分段

函數(shù)，有關(guān)運(yùn)用分段函數(shù)的知識解決生活中的問題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，能考查學(xué)生分析

問題、解決問題的能力，及培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.

分段計(jì)費(fèi)問題和實(shí)際生活聯(lián)系密切，這類問題考查有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)除問題的

能力.常見的分段計(jì)費(fèi)問題有：水費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、電費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、話費(fèi)分段計(jì)費(fèi)等.

點(diǎn)評：解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)建函數(shù)在不同的條件下的解析式，再由條件選

擇對應(yīng)的解析式求解.

［例8］某市居民生活用電基本價(jià)格為每度0.4元，若每月用電超過a度，超過部分按基本電價(jià)

的70%收費(fèi).

<1>某戶五月份用電84度，共繳電費(fèi)30.72元，求a的值：

<2>若該戶六月份的電費(fèi)平均為每度0.36元，求六月份共用電多少度？應(yīng)繳電費(fèi)多少

元？

9.〔補(bǔ)充知識直線/=公+6的參數(shù)用6與兩直線位置關(guān)系之間的聯(lián)系

直線4:y=k］X+與立線/,:y=k、x+b、的位置關(guān)系：

①兩直線相交:&￥k?;

②兩直線平行：k1=ky,

③兩直線垂直：k}k2=-1；

④兩直線重合:k、=k”b、=b、；

10.〔補(bǔ)充知識直線方程的五種基本形式

直線V=〃x+6的參數(shù)用。的意義：〃表示直線的斜率；6表示截距〔即直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的

坐標(biāo)值

①斜截式：y=Ax+6；

②點(diǎn)斜式：y-y0=k（x-xQ）；表示斜率為攵，且經(jīng)過定點(diǎn)2（天，線）的直線方程：

③兩點(diǎn)式：上」二2二表示經(jīng)過兩點(diǎn)尸（不））。（修，力）的直線方程：

x-x}x2-X1

④截距式：二+工=1,其中分為直線在軸上的截距；

ab

⑤一般式：At+B.v+C=O,AB不同時(shí)為0.

第四章：一次函數(shù)章末總結(jié)

［基礎(chǔ)知識］

1、函數(shù)的表示方法：①列式法；②解析式法；③圖像法。

2、正比例函數(shù)：形攵，y=心；〔A是常數(shù)，女工0的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，左是比例系數(shù)：圖像

是一條過原點(diǎn)的直線，如下表：

k>0k<0

圖像

①直線經(jīng)過第一、三象限；①直線經(jīng)過第二、四象限；

②y隨著x的增大而增大；②y隨著x的增大而減?。?/p>

③自變量X的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；

性質(zhì)

④正比例函數(shù)），二丘中，|攵|越大，直線），二質(zhì)圖像越靠近

y軸，即直線與x軸正當(dāng)軸的夾角越大：|Z|越小，直線

），=丘圖像越靠近X軸，即直線與X軸正半軸的夾角越小

3、一次函數(shù)：形如），=,&+力〔上,/?是常數(shù)，且&f0的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)。=（）

時(shí)，y二"+人即》=心?，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)如

下表所示：

女的符號