數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)

中考考點(diǎn)綜述：

特殊平行四邊形即矩形、菱形、正方形，它們是歷年中考的必考內(nèi)容之一，主要出現(xiàn)的題型多

樣，注重考察學(xué)生的根基證明和計(jì)算能力，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。內(nèi)容主要

包括：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)計(jì)算，了解平行四邊形與矩形、菱形、正方形

之間的聯(lián)系，掌握平行四邊形是矩形、菱形、正方形的條件。

知識(shí)目標(biāo)

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，通過(guò)定理的證明和應(yīng)

用的教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā)，尋找論證思路分析法和綜合法。

重難點(diǎn)：

1.矩形、菱形性質(zhì)及判定的應(yīng)用

2.相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)歸納

矩形菱形正方形

邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等

性角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角

質(zhì)

對(duì)

角互相垂直平分，且每條互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平

互相平分且相等

線對(duì)角線平分一組對(duì)角分一組對(duì)角

?有三個(gè)角是直角；-四邊相等的四邊形；

?是平行四邊招且?是平行四邊彬且有一

?是矩形，且有一組鄰邊相等；

判定有一個(gè)角是直角；組鄰邊相等；

?是菱形，且有一個(gè)角是直角。

?是平行四邊形且?是平行四邊形且兩條

兩條對(duì)角線相等.對(duì)角線互相垂直。

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

一.矩形

矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.

【強(qiáng)調(diào)】矩形（1）是平行四邊形：（2）—一個(gè)角是直角.

矩形的性質(zhì)

性質(zhì)1矩形的四個(gè)角都是直角；

性質(zhì)2矩形的對(duì)角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。；

矩形的判定

矩形判定方法1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）對(duì)角線相等

矩形判定方法2:四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形.

矩形判斷方法3：有個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

例1：假設(shè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm,兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為60°,則該矩形的面枳為

例2：菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線互相平分；B.四條邊都相等；C.對(duì)角相等；【).鄰角互補(bǔ)

例3：：如圖，OABC1)各角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,?H,

?求證：?四邊形EFGH是矩形.

二.菱形

菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

【強(qiáng)調(diào)】菱形(1)是平行四邊形；(2)一組鄰邊相等.

菱形的性質(zhì)

性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；

性質(zhì)2菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;

菱形的判定

菱形判定方法1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

注意此方法包括兩個(gè)條件：(1)是一個(gè)平行四邊形；(2)兩條對(duì)角線互相垂直.

菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形.

例1:如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC

于E.求證：ZAFD=ZCBE.

例2：如圖口ABCD的對(duì)隹線AC的垂直平分線與邊AD、BC分

別交了E、F.

求證：四邊形AFCE是菱形.

例3如圖，在ABCD。中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F,求證：四

邊形AFCE是菱形.

例4如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE、BD交于

M,假設(shè)AB二AE,NEAD=2NBAE°求證：AM=BE。

例5如圖，在菱形ABCQ中，/4=60。,46=4,。為對(duì)角線8。

的中點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作OE_LA8,垂足為E.

(1)求線段3E的長(zhǎng).C

例6如圖，四邊形ABCD是菱形，DE_LAB交BA的延K線于E,

DF_LBC,交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜想DE與DF的大小

有什么關(guān)系并證明你的猜想

D

例7如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BD=2,E、F分別是邊AD,

CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.AEEB

C

(1)求證：△BDE@Z\BCF；

(2)判斷aBEF的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)aBEF的面積為S,求S的取值范圍.

三.正方形

正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：

①有一組鄰邊相等的平行四邊形(菱形)一?正方形

②有一個(gè)角是直角的平行四邊形(矩形)一?/

正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中

點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；

因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)

總結(jié)如下：

邊：對(duì)邊平行，四邊相等；

角：四個(gè)角都是直角；

對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

注意：正方形的一-條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是

45。；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì).

正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì).

正方形的判定方法：

?(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;

?(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

?注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：

?(1)是平行四邊形；

?(2)有一個(gè)角是直角；

?(3)有一組鄰邊相等.

2、要確定一個(gè)四邊形是止方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后冉加上相應(yīng)的條件，確定是止方

形.

例1：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O,E是0B上的一點(diǎn)，DG_LAE于G,DG交0A

于F.

求證：OE=OF.

例2：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作作BM_L/i于M,DNJ_/|于N,

直線MB、DN分別交6于Q、P點(diǎn).

求證：四邊形PQMN是正方形.

例3如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)

A、C不重合)，點(diǎn)E在射線8c上，且PE=PB.

(1)求證：①PE=PD：②P￡_LPQ；

(2)設(shè)AP=x,/\PBE的面積為)，.

①求;Hy關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出入?的取值范圍：

②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.

實(shí)戰(zhàn)演練：

1.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是()

AAA

A

（1）四邊形A8CQ是平行四邊形嗎說(shuō)出你的結(jié)論和理由：.

（2）如圖2,將Rt△呂CZ）沿射線B。方向平移到RtA^GDi的位置，四邊形是平行四邊形

嗎說(shuō)出你的結(jié)論和理由：.

（3）在RtABCO沿射線方向平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，四邊形ABGG為

矩形，其理由是；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，四邊

形/WGd為菱形，其理由是.（圖3、圖4用于探究）

應(yīng)用探究：

1.如圖，將矩形A3CD紙片沿對(duì)角線B力折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD于E,假設(shè)

ZDBC=22.5°,則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45°的角1虛線也視為角的邊）有（）

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

RAD

2.如圖，正方形A/8時(shí)面積為1,M是48的中點(diǎn),則囪?陰影局部的I必（)

3B.14

A.—D.-

10V-t9

3.4c為矩形A3CO樂(lè)筱，則圖中N1與N2一定不相與

旭D上

DA.CDB-_CD“C.C

F茲病防治商而；.將寬

4為1cm的紅絲鋁竊插成6（。角重曲k起〔如

1

*r的面積為71二22：BAB4B

5.如圖，將矩形紙ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)心3EFGH,假設(shè)EH

=3厘米，EF=4厘米，則邊AD的長(zhǎng)是?厘米.

6.如圖，ZAOB,OA=OB,點(diǎn)、E在0B邊上,四邊形AEB錄用無(wú)刻度的直尺在

圖中畫出NA03的平分線（請(qǐng)保存畫圖痕跡）.

AAC。

F

0

EBBEC

7.如圖：矩形紙片ABCQ,AB=2,點(diǎn)E在上，KAE=EC.假設(shè)將紙片沿4E折疊，點(diǎn)B恰好落

在AC上，則AC的長(zhǎng)是.

第二章一元二次方程

一、一元二次方程

（一）一元二次方程定義

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式

。/+以+。=0（。=0）,它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，

等式右邊是零，其中ad叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次

項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

例方程（〃?一2）/七十（3一〃?口一2二0是一元二次方程，則機(jī)=.

二、一元二次方程的解法

1、直接開(kāi)平方法

直接開(kāi)平方法適用于解形如（五+〃）2=〃的一元一次方程。當(dāng)〃>0時(shí)，

x=-a±4b;當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

例第二象限內(nèi)一點(diǎn)A（x一l?x2-2）,關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,且AB=6,則x=.

2、配方法一般步驟：

（1）方程or?+-+C=0（。工0）兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.

（2）將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。

（3）所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

（4）配方，化成（x+〃）2=/?

（5）開(kāi)方，當(dāng)力之（）時(shí)，x=-a土瓜當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

例假設(shè)方程（x-4）2=〃有解，則a的取值范圍是（）.

A.6/<0B.r/>0C.a>0D.無(wú)法確定

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程+c=0(。*0)的求根公式：

例『十以-2=0,那么+12x+2012的值為

4、因式分解法

一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法。

例一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是方程x2?8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是().

A.y<8B.3<y<5c.2<y<8D.無(wú)法確定

補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式

根的判別式

I、定義：一元二次方程+法+。=0(。60)中，4〃C叫做一元二次方程

ax2+bx+c=0(a工0)的根的判別式。

2、性質(zhì)：當(dāng)/-4健>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/-4〃c=0時(shí)，方

程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)〃2-4〃cV0時(shí)、方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

例假設(shè)關(guān)于x的方程e-2(a-l)x=(b+2)2有兩個(gè)相等的實(shí)根，則a20"+b5的值

為.

例假設(shè)關(guān)于x的方程x2-2x(k?x)+6=0無(wú)實(shí)根，則k可取的最小整數(shù)為()

(A)-5(B)-4(C)-3(D)-2

補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

2

如果方程ax+/以+c=0(。工0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是X],x2,那么X]+4=-2，

a

c

=-O

a

第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

一、知識(shí)概括1、頻率

(1)在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做型契；

(2)每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻?率?；即：

頻率二頻數(shù)二步發(fā)數(shù)

數(shù)據(jù)總數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)

(3)在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻

率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。

2、概率的求法：

(1)一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等,

事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-

n

⑵表格法

用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(3)樹(shù)狀圖法

通過(guò)畫樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求H1其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法。

(當(dāng)一次試除要涉及三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不聿不漏地

列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。)

例在布袋中裝有兩個(gè)大小一樣，質(zhì)地一樣的球，其中一個(gè)為紅色，一個(gè)為白色。模擬

“摸出一個(gè)球是白球〃的時(shí)機(jī)，可以用以下哪種替代物進(jìn)展實(shí)驗(yàn)()

(A)“拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點(diǎn)朝上〃的時(shí)機(jī)

(B)“拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上〃的時(shí)機(jī)

(C)“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面朝上〃的時(shí)機(jī)

(D)“拋擲一枚普通圖釘出現(xiàn)針尖觸地〃的時(shí)機(jī)zCT\zCD

例如圖，圖中的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個(gè)和4個(gè)扇形，每6關(guān)卜+

個(gè)扇形上都標(biāo)有數(shù)字，同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停頓后，指

針都落在奇數(shù)上的概率是()

2331

(A)-⑻而?加-

例如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)穿插口都有向左

或向右兩種時(shí)機(jī)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)”點(diǎn)的概率是()

(A)-(B)-(C)-(D)-

2468

例如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊

1、2、3、4,將它們反面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張,Q

那么摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是()Ffc

(A)-(B)-(C)-(D)-摩

2345[jj

例在圖中的甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中，指針指向每一個(gè)數(shù)字

的時(shí)機(jī)是均等的.當(dāng)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停頓后指針?biāo)?/p>

的兩個(gè)數(shù)字表示兩條線段的長(zhǎng)，如果第三條線段的長(zhǎng)為5,

那么這三條線段不?能*構(gòu)成三角形的概率是()

(A)—⑻晟

25

三、典.例題

例1.袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)，它們除顏色外其余都一樣，每次任取一個(gè)，又放回抽取兩次。

求以下事件的概率。

(I)全紅［2)顏色全同(3)無(wú)白

解：

說(shuō)明：顏色全同包括都是紅色或都是黃色或都是白色：無(wú)白指沒(méi)有白色球。

例2.一個(gè)密碼保險(xiǎn)柜的密碼由6個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是由0?9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，王叔叔

忘記了其中最后面的兩個(gè)數(shù)字，那么他一次就能翻開(kāi)保險(xiǎn)柜的概率是多少

解：他前面的4個(gè)數(shù)字都道只有最后兩個(gè)數(shù)字忘記了，而最后兩個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的可能結(jié)果都

有10種情況，那么組成兩個(gè)數(shù)字的可能結(jié)果就有100種，因此正好是密碼上的最后兩個(gè)數(shù)字的概率

是j

100

例3.袋中有紅色、黃色、藍(lán)色、白色球假設(shè)干個(gè)，小剛又放入5個(gè)黑球后，小穎通過(guò)屢次摸球?qū)嶒?yàn)

后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球、藍(lán)球、白球及黑球的頻率依次為25%,30%,30%,10%,5%,試估

計(jì)袋中紅色球、黃色球、藍(lán)色球及白色球各有多少個(gè)

解：小剛放入5個(gè)黑球后摸到的黑色球的頻率為5%,則可以由此估計(jì)出袋中共有球

焉=100(個(gè))。說(shuō)明此時(shí)袋中可能有100個(gè)球(包括5個(gè)黑球)，則有紅色球

5%10()X

25%=25個(gè)，黃色球100X30%=30個(gè)，藍(lán)色球100X30%=30個(gè)，白色球100X10%=10個(gè)。

例4.甲、乙兩人用如以以下列圖的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各1次

(1)假設(shè)兩次數(shù)字之差的絕對(duì)值為。，1或2,則甲勝，否則乙勝。這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎為什么

(2)假設(shè)兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝，而假設(shè)和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝。這個(gè)游戲?qū)?/p>

雙方公平嗎為什么

解：(1)用列表的方法可看出所有可能的結(jié)果：

從上表中可以看出兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值，為0的有4種可能結(jié)果，1的有7種可能

結(jié)果，2的有6種可能結(jié)果，所以甲勝的概率為“17，而乙勝的概率為1二3，因此

3030甲勝的

可能性比乙大，所以不公平。

(2)通過(guò)列表可知:

出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種，5

的倍數(shù)有6種，所以甲勝的概率為工，而乙勝的概率為生，因此甲勝的可能性

3030比乙

小，所以不公平。

例5.小明與同學(xué)一起想知道每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖一樣的概率，他們想設(shè)計(jì)一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)

6個(gè)人中恰有兩個(gè)人生肖一樣的概率，你能幫他們?cè)O(shè)計(jì)這個(gè)模擬方案嗎

分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤、計(jì)算器模擬隨機(jī)整數(shù)等方法。注意“一次實(shí)驗(yàn)”的設(shè)計(jì)。

解：用12個(gè)完全一樣的小球分別編上號(hào)碼I?12,代表12個(gè)生肖，放入一個(gè)不透明的袋中搖勻后，

從中隨機(jī)抽取一球，記下號(hào)碼后放回，再搖勻后取出一球記下號(hào)碼……連續(xù)取出6個(gè)球?yàn)橐淮螌?shí)驗(yàn),

重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程屢次，統(tǒng)計(jì)每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)一樣號(hào)碼的次數(shù)除以總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，得到的實(shí)驗(yàn)頻率

可估計(jì)每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖一樣的概率。

笫四章圖形相似與相似三角形知識(shí)點(diǎn)解讀

知識(shí)點(diǎn)1..相似圖形的含義

把形狀一樣的圖形叫做相似圖形。（即對(duì)應(yīng)角相等、龍應(yīng)邊的比也相等的圖形）

解讀：11）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.

（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀一樣，大小也一樣.

（3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀一樣，與其他因素?zé)o關(guān).

例I.放大鏡中的正方形與原正方形具有假設(shè)何的關(guān)系呢

分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒(méi)有改變.

解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钜粯?，大小不一定一?

例2.以下各組圖形：①兩個(gè)平行四邊形；②兩個(gè)圓；③兩個(gè)矩形；④有一個(gè)內(nèi)角80°的兩個(gè)等

腰三角形；⑤兩個(gè)正五邊形；⑥有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是

_________（填序號(hào)）.

解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀一樣，但大小不一定一樣，而平行四邊形、矩形、

等腰三角形都屬F形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一,

它們都相似.答案：②⑤⑥.

知識(shí)點(diǎn)2.比例線段

對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即@=￡

bd

（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

解讀：⑴四條線段ahc,d成比例，記作q（或a:b=c:d）,不能寫成其他形式，即比例線

bd

段有順序性.

（2）在比例式幺=￡（或a:b=c:d）中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d,其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng),

bd

d是第四比例項(xiàng).

（3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是一-樣的線段，即9=2或a：b=b:c,那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。

bc

⑷通常四條線段a.b.c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為

另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等.

例3.線段a=2cm.b=6mm,求巴.

b

分析：求且即求與長(zhǎng)度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.

b

3

例4.a,b,c,d成比例,且a=6cm,b=3dm,d=—dm,求c的長(zhǎng)度.

2

分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d,再把所給各線段a,b”d統(tǒng)一單位后代入求c.

知識(shí)點(diǎn)3.相似多邊形的性質(zhì)

相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對(duì)應(yīng)”關(guān)系.

（2）明確相似多邊形的“對(duì)應(yīng)”來(lái)自于書寫，且要明確相似比具有順序性.

例5.假設(shè)四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別是4,6,8,10,與四邊形ABCD相似的四邊形A由］CQi

的最大邊長(zhǎng)為30,則四邊形AiB.C.D,的最小邊長(zhǎng)是多少

分析：四邊形ABCD與四邊形AIBCQI相似，且它們的相似比為對(duì)?應(yīng)的最大邊長(zhǎng)的比，即為1,

3

再根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)4.相似三角形的概念

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.

解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；

（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來(lái)理解相似三角形：

（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；

（4）相似用“s〃表示，讀作“相似于"；

（5）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比.

注意：①相似比是有順序的，比方△ABCS/XAIBICI，相似比為k,假設(shè)△AIBIGSAABC,則

相似比為②假設(shè)兩個(gè)三角形的相似比為1,則這兩個(gè)三角形全等，全等三角形是相似三角形的

k

特殊情況。假設(shè)兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；假設(shè)兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形不

一定全等.

例6.如圖，AADE^AABC,DE=2,BC=4,則和的相似比是多少點(diǎn)D,E分別是AB,AC

的中點(diǎn)嗎

注意：解決此類問(wèn)題應(yīng)注意兩方面：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識(shí)別.

ADAFOF21

解：因?yàn)椤鰽DES/\ABC,所以匕=叱==，因?yàn)樯?=￡=上，

BCABACBC42

AnApi

所以一=一=-,所以D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).

ABAC2

知識(shí)點(diǎn)5.相似三角的判定方法

（1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；

（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長(zhǎng)線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似.

（3）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

（4）如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三

角形相似.

（5）如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相

似.

（6）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似.

經(jīng)過(guò)歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種根本類型：

①平行線型

常見(jiàn)的有如下兩種，DE〃BC,則AADEs/XABC

②相交線型

常見(jiàn)的有如下四種情形，如圖，N1=NB,則由公共角NA得，△ADEs/XABC

如下左圖，Z1=ZB,則由公共角NA得，AADC^AACB

如下右圖，ZB=ZD,則由對(duì)頂角Nl=/2得，ZXADEs^ABC

③旋轉(zhuǎn)型

ZBAD=ZCAE,ZB=ZD,則△ADEs^ABC,以以以下列圖為常見(jiàn)的根本圖形.

④母子型

ZACB=90°,ABXCD,則△CBDs-BCsJAACD.

解決相似三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述根本圖形.

例7.如圖，點(diǎn)D在4ABC的邊AB上，滿足假設(shè)何的條件時(shí)，4ACD與aABC相似試分別

加以列舉.

分析?：此題屬于探索性問(wèn)題，由相似三角形的判別方法可知，4ACD與aABC已有公共角NA,

要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，AACDs/XABC

Ansr

條件一：Z1=ZB；條件二：Z2=ZACB；條件三：——=-即AC2=AD-AB.

ACAB

知識(shí)點(diǎn)6.相似三角形的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等：

(2)對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比：

(3)相似三角形周長(zhǎng)之上等于相似比；面積之比等于相似比的平方.

例8.如圖，△ADEs^ABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7

(I)求DE、AE的長(zhǎng)；

(2)你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.

ripAnAT

分析：此題重點(diǎn)考察由兩個(gè)三角形相似，可得到對(duì)應(yīng)邊成例，即==—=——.

BCABAC

?DEADAE

解：⑴VAADE^AABC,

'13C~AB~AC

Qy

V,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7設(shè)DE=x,則一=—,A12x=8X15,x=10;

1215

,a8ADAE

設(shè)AE=a,貝-----=——，；?a=l4.(z2x)—=—

a+712BDEC

A82

例9.AABC^AAiBiCi.,——=一，ZXABC的周長(zhǎng)為20cm,面積為40cm2.

443

求⑴△A[B]Ci的周長(zhǎng);(2)△A]BC1的面積.

分析：根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解.

易求出△AIBIG的周長(zhǎng)為30cm;4AiBCi的面積90cnr

五、視圖與投影

1、視圖

三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

在畫視圖時(shí)，看得見(jiàn)的局部的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見(jiàn)的局部輪廓線通常畫成

虛線。

例如圖，一幾何體的三視圖如右：

那么這個(gè)幾何體是.?—11—?

主視圖左視圖俯視圖

例如果用口表示1個(gè)立方體，用口表示兩個(gè)立方體疊加，用■表示三個(gè)立方體疊加，那

么下面右圖由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是()

2、投影

(1)投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。

(2)平行投影：太陽(yáng)光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投

影。

(3)中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這

樣的光線所形成的投影稱為中心投影。

(4)區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

(5)從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投

影。①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；

②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；

線段平行于投影而時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。

③平面圖形在某