絕密★考試結(jié)束前

2025學(xué)年第一學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高二年級期中考試

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準(zhǔn)考證號并核對條形碼信息；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確

的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i=2,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則z點(diǎn)的軌跡方程為(▲)

A.(x-1)2+y2=2B.(x-1)2+y2=4

C.x2+(y-1)2=2D.x2+(y-1)2=4

2.已知集合U=R,A={x|x>2},B={x|1og?x<1},則(CuA)NB=(▲)

A.{x|x≤2}B.{x|x<2}c.{x|0<x<2}D.{x|0<x≤2}

3.若k∈Z,則“α=β+2kπ”是“sinα=sinβ”的(▲)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1,2),b=(2,y,1),c=(4,-4,2),且a⊥c,b1/c,|a-5|=(▲)

A.3B.2√3C.√14D.2√7

5.過點(diǎn)P(3,1)且斜率小于0的直線與x軸，y軸圍成的封閉圖形面積的最小值為(▲)

A.3B.6C.9D.12

6.已知直線l:y=kx與橢圓E:交于P,Q兩點(diǎn)，若|FF?|=|PQ(F?,F?是橢圓的兩個焦點(diǎn)),

則四邊形FPF?Q的面積為(▲)

A.1B.√2C.2D.4

7.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P為線段A?C上的動點(diǎn)，則異面直線BP與AD?所成角的最小值為

(▲)

A.B.C.D.

8.若實數(shù)x,y,z滿足則x,y,z的大小關(guān)系不可能是(▲)

A.x<y<ZB.z<y<xC.y<x<ZD.x<z<y

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.

9.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子拋擲1次，記試驗的樣本空間是Ω={1,2,3,4,5,6},事件

A={1,2},B={1,3},C={2,4,6},則(▲)

A.AB與C是互斥事件B.事件A與C相互獨(dú)立

C.

10.已知函數(shù)f(x)=cos3x-cos2x,則(▲)

A.f(x)的一個周期為-2πB.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱

C.f(x)的最大值為2D.f(x)在(0,2π)上的所有零點(diǎn)之和為4π

11.底面半徑為3,高為6的圓柱內(nèi)放有一個半徑為1的球，球與圓柱側(cè)面相切，作不與圓柱底面平行的

平面α,與球切于點(diǎn)F,若平面α與圓柱側(cè)面相交所得封閉曲線為C,則下列命題正確的有(▲)

A.曲線C的離心率最大值為

B.曲線C的離心率最大值為

C.平面α與底面所成夾角正弦最大值為

D.F點(diǎn)到底面距離最小值為

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知雙曲線C:則雙曲線的離心率是▲

13.已知直線1經(jīng)過點(diǎn)P(3,0),且與圓C:(x-2)2+(y-2)2=16相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2√15,則

直線l的方程為▲

14.已知直三棱柱ABC-A?B?C,AB⊥AC,AB=AC=AA?=2,且MB=2AM,AN=NC,過B作

平面α,使α/lA?M,a//C?N,若α∩B?C?=P,則BP=▲

四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)已知△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的外接圓的半徑為R,

且△ABC的面積

(1)求sinB·sinC的值；

(2)若4cosBcosC=1,R=√3,求△ABC的周長.

16.(本題滿分15分)如圖，正三棱柱ABC-A?B?C的所有棱長都為2,D為A?C的中點(diǎn)，

且B?E=λB?C,

(1)若求證：DEI/平面A?BC;

(2)若直線DE與平面A?BC所成角的正弦值為,求實數(shù)λ的值.

17.(本題滿分15分)動點(diǎn)與定點(diǎn)

M(x,y)(√3,0)的距離和它到定直線的距離比為

(1)求動點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程；

(2)若斜率為k的直線與圓x2+y2=1相切，與(1)中所求點(diǎn)M(x,y)的軌跡交于A,B兩點(diǎn)，且

OA·OB≥4(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的取值范圍.

18.(本題滿分17分)如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面是直角梯形ABCD,ABIIDC,∠D=90°,

AB=2,CD=1,AD=√3,AE=√6,△BCE為正三角形.

(1)求證：平面BCE⊥平面ABCD;

(2)求平面ADE與平面BCE夾角的余弦值：

(3)設(shè)點(diǎn)T是三棱錐E-ACD外接球上一點(diǎn)，求點(diǎn)T到平面ADE距離的最大值.

B

19.(本題滿分17分)設(shè)橢圓C:a,b>0且a≠b),過C外一點(diǎn)P作C的兩條切線，斜率

分別為k?,k?.若滿足k?·k?=k(k∈R且k≠0),則稱點(diǎn)P的軌跡為C的k—相關(guān)曲線.特別地，當(dāng)

k=-1時，P的軌跡為一個圓，且滿足方程x2+y2=a2+b2,這樣的圓被稱作為蒙日圓.(注：

M(x?,yo)為C:mx2+ny2=1上任一點(diǎn)，則M處的切線方程：mx?x+ny?y=1).

(1)設(shè)橢圓C?:與其-1—相關(guān)曲線C?,點(diǎn)P,Q分別為曲線C?,C?上點(diǎn)，記

d=|PQm,用含d的式子表示a(直接寫出結(jié)果);

(2)設(shè)橢圓C其2—相關(guān)曲線C?,求C?;

(3)設(shè)橢圓與其k—相關(guān)曲線,設(shè)C?與C?在第一象限的交點(diǎn)為

M,過M分別作C?與C?的切線L,L2,滿足I⊥l?.設(shè)C?的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,滿足

,求k的值.

2025學(xué)年第一學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高二年級期中考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確

的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

題號12345678

答案DDACBCBB

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案ABCABDBD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.13.x=3或3x+4y-9=0

【11題解析】:

易得b=3,如圖為軸截面，當(dāng)平面與球相切時，恰為離心率最大時，

當(dāng)軸截面為AE時，AG=5,OG=1,由相切得

高二數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共6頁)

此時，,再由

此時，點(diǎn)F到底面的距離為

當(dāng)軸截面為DI時，F(xiàn)點(diǎn)與H點(diǎn)重合，所對應(yīng)的離心率,此時F點(diǎn)到底面的距離為

答案：BD.

【14題解析】:

法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A?(0,0,2),

N(0,1,0),C?(0,2,2),,NC?=(0,1,2),

設(shè)P(t,2-t,2),B(2,0,0),則BP=(t-2,2-t,2),

由題得BP,MA,NC,共面，則設(shè)BP=xMA?+yNC,

x,2-t=y,2=2x+2y,

所以得,所I

法二：補(bǔ)成正方體ABCD-A?B?C?D?,再平移線段，過B作BK平行于MA?交B?A?于K,作BH平

行于NC?交B?D?于H,連接KH交B?C?于P,由比例關(guān)系計算得,則

答案：

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解：(1)由,又sinA>0,所以3R2=bc,……………3分

由正弦定理：,得b=2RsinB,c=2RsinC,

所以bc=4R2sinB·sinC=3R2,所以得…………6分

(2)由

所以則………9分

所

又bc=3R2=9,由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc·cosA,

高二數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共6頁)

即：9=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-27,

得(b+c)2=36,得b+c=6,所以△ABC周長為9.……………13分

16.解：(1)(1)當(dāng)時，則E為B?C的中點(diǎn)，所以E為BC?的中點(diǎn)，

又D為A?C?的中點(diǎn)，所以DE為△A?BC?的中位線，

所以DE//A?B,又DE?平面A?BC,而A?Bc平面A?BC,

所以DE//平面A?BC.……………4分

(2)如圖，設(shè)0為線段AC的中點(diǎn)，OB,OC,OD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，所以A,(0,-1,2),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(0,0,2),B?(√3,0,2),

所以BC=(-√3,1,0)CA?=(0,-2,2),B?C=(-√3,1,-2),

設(shè)平面A?BC的法向量為m=(x,y,z),

則m·BC=-√3x+y=0,m·CA?=-2y+2z=0

令x=1,則y=z=√3,得m=(1,√3,√3).

……9分

DE=DB?+B?E=(√3,0,0+(-√32,a,-22)=(√3-√32,a,-22)

設(shè)直線DE與平面DAB?所成的角為θ,

則3(1-2λ)2=8λ2-6λ+3,化簡得422-6λ=0,則……………15分

17.解：(1)根據(jù)題意有

將上式化簡得：………………4分

(2)設(shè)直線l方程為y=kx+b,A(x?,y?),B(x?,y?),

直線1與圓相切有即b2=k2+1………6分

再聯(lián)立消去y,得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0,

高二數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共6頁)

1-2k2≠0且△>0,因此0≤k2<2,……………8分

……………10分

OA·OB=x?x?+y?y?=(k2+1)x?x?+kb(x?+x?)+b2≥4

…………15分

18.解：(1)設(shè)0為BC的中點(diǎn)，連接AC,OA,OE,由題得，AC=BC=2,

所以△ABC為正三角形，則OA⊥BC,OE⊥BC,

所以∠EOA為平面BCE與平面ABCD的夾角，

又OA=OE=√3,AE=√6,所以O(shè)A2+OE2=AE2,

所以∠EOA=90°,所以平面BCE⊥平面ABCD.

……………4分

(2)由(1)得：以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OE所在直線為x,y,軸建立

空間直角坐標(biāo)系，貝

設(shè)平面ADE的法向量為m=(x,y,z),

m·AE=-√3x+√3z=0,

令x=√3,則而=(√3,-1,√3),………………7分

平面BCE的一個法向量為n=(1,0,0),

所以平面ADE與平面BCE夾角的余弦值為………………10分

高二數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共6頁)

(3)設(shè)外接球的球心為Q,則Q在AC的中垂線上，設(shè)

則,√3-t),又|QA|=|QE|,

,化簡得：

所以,則外接球的半徑,(直接給出點(diǎn)Q坐標(biāo)也給分)……14分

,所以點(diǎn)Q到平面ADE的距離

所以點(diǎn)T到平面ADE距離的最大值為