重難點(diǎn)培優(yōu)04四大分布的期望與均值目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 4題型一兩點(diǎn)分布期望與均值（★★） 4題型二二項分布期望與均值（★★★） 9題型三超幾何分布期望與均值（★★★） 14題型四正態(tài)分布（★★★） 2103實(shí)戰(zhàn)檢測?分層突破驗(yàn)成效 26檢測Ⅰ組重難知識鞏固 26檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 351.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.（想象成扔硬幣問題）2.二項分布1．n重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征(1)同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項分布（若有件產(chǎn)品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服從二項分布的）一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．3.超幾何分布01……為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.注意：若有件產(chǎn)品，其中件為次品，無放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服出超幾何分布.4.正態(tài)分布1．正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)正態(tài)曲線：(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,\r(2πσ))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：甲乙2．正態(tài)分布3．正態(tài)總體三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．4．3σ原則通常服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值．【規(guī)律方法】1.求正態(tài)曲線的兩個方法(1)圖解法：明確頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值μ，縱坐標(biāo)為eq\f(1,\r(2π)σ)．(2)待定系數(shù)法：求出μ，σ便可．2.正態(tài)分布下2類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．3.正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1．(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－Pμ－b<X<μ＋b,2)．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對稱．題型一兩點(diǎn)分布期望與均值【技巧通法·提分快招】兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.1．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知甲盒子中有1個黑球，1個白球和2個紅球，乙盒子中有1個黑球，1個白球和3個紅球，現(xiàn)在從甲乙兩個盒子中各取1個球，分別記取出的紅球的個數(shù)為，則有（

）【答案】C【分析】題中事件服從兩點(diǎn)分布，分別計算出成功概率，再由兩點(diǎn)分布均值與方差計算公式計算并比較大小即可.故選：C【答案】B【詳解】由題知變量，的分布列均為兩點(diǎn)分布．變量，的分布列如下：0101故選:B．A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小【答案】C故選：C.【答案】D則隨機(jī)變量的分布列為:所以C錯誤,D正確故選:DX01PA．增大 B．先增大后減小 C．減小 D．先減小后增大【答案】B【分析】先求出期望，再求出方差，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷.故選：B.A． B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分步的均值、方差計算公式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意可得隨機(jī)變量的所有可能取值為，，故選：A.A． B．0 C． D．1【答案】B故選：B．【答案】C【分析】由超幾何分布與兩點(diǎn)分布，求解離散隨機(jī)變量的期望與方差，然后判斷選項.【詳解】由題意可知，從乙款禮盒里隨機(jī)取出個粽子，取到肉粽的個數(shù)為，故選：C．題型二二項分布期望與均值【技巧通法·提分快招】一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【答案】1【分析】根據(jù)二項分布概率模型求數(shù)學(xué)期望和概率即可求解.故答案為:1;.2．（2024·天津?qū)氎妗つM預(yù)測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病，而新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎，嚴(yán)重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”．（1））求一個試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機(jī)組“甲類組”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為．【分析】（1）把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個互斥的基本事件的和來表示，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.（2）首先判斷隨機(jī)變量服從二項分布，再求其分布列和均值.依題意有所求的概率為的分布列為01233．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）袋中有2個紅球，2個白球，2個黑球共6個球，現(xiàn)有一個游戲：從袋中任取3個球，恰好三種顏色各取到1個則獲獎，否則不獲獎.則獲獎的概率是.有3個人參與這個游戲，則至少有1人獲獎的概率是.【答案】故答案為：；.【答案】152他遇到紅燈的次數(shù)值為0,1,2,3,4,5,6.他在每個路口遇見紅燈的概率均為,他遇到紅燈的次數(shù)滿足二項分布.故答案為：(1).15

(2).2（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅲ）從企業(yè)中任選個，這個企業(yè)年上繳稅收少于萬元的個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方體面積之和為1.列式求的值；（Ⅱ）先確定可以申請政策優(yōu)惠的概率，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率的乘積得結(jié)果，（Ⅲ）先確定企業(yè)年上繳稅收少于萬元的概率，再根據(jù)服從二項分布，確定分布列與數(shù)學(xué)期望.012346．（2025·天津·二模）為幫助學(xué)生減壓，高三某班準(zhǔn)備了“幸運(yùn)抽獎箱”，箱中共有10張卡片，其中6張為“獲獎卡”．每位同學(xué)隨機(jī)抽取3張，抽到獲獎卡可兌換獎品，每人抽完后箱中恢復(fù)原先10張卡片．甲同學(xué)參加了一次抽獎活動，則甲同學(xué)恰好抽到2張“獲獎卡”的概率為；若該班有60名同學(xué)，每人都恰參加一次抽獎活動，則至少抽到1張“獲獎卡”的人數(shù)的均值是．【答案】；58【分析】由古典概型的概率公式代入計算，即可得到甲同學(xué)恰好抽到2張“獲獎卡”的概率，再由二項分布的期望公式代入計算，即可得到結(jié)果.故答案為：；7．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位數(shù)為17【答案】B【分析】由百分位數(shù)、正態(tài)分布、二項分布、獨(dú)立事件概率的概念逐項判斷；故選：B.【答案】；4.【分析】根據(jù)超幾何分布，即可求解甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率；當(dāng)時，X的取值可能是2，3，4；當(dāng)時，X的取值可能是0，1，2，利用超幾何分布分布求出對應(yīng)的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式分布計算即可求解.【詳解】由題可知，當(dāng)時，X的取值可能是2，3，4，當(dāng)時，X的取值可能是0，1，2，故答案為：；4.題型三超幾何分布期望與均值【技巧通法·提分快招】01……【詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，記事件第二次取到個白球個紅球，故答案為：；.2．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）某校高三年級有男生360人，女生240人，對高三學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，從這600名學(xué)生中抽取5人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是，記抽取的男生人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．【答案】/0.9/1.8【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概型計算概率；再利用超幾何分布的期望公式計算作答.故答案為：；【答案】/若從甲箱中隨機(jī)取出1紅球放入乙箱中，則此時乙箱中有11個球，且其中5個是紅球，，題意可得X的取值可能為0，1，2，3，則故答案為：，4．（2025·天津北辰·二模）近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)．環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染．現(xiàn)工作人員從這7天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行某項研究，則抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率為；記表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．【答案】【分析】第一空，先求抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式求解即可；第二空，隨機(jī)變量服從超幾何分布，計算即可.【詳解】解：設(shè)事件A表示“抽取3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，事件B表示“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”，則事件A與事件B互為對立事件，所以隨機(jī)變量分布列為：故答案為：；5．（2025·天津河西·二模）某批產(chǎn)品共10件，其中含有2件次品，若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為；取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)的期望是.【答案】【分析】（1）先計算所有抽取產(chǎn)品的可能，再計算3件產(chǎn)品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率計算公式即可求得；（2）先求得的分布列，再求其期望即可.故答案為：；.6．（2024·天津·一模）近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴(yán)重和電池技術(shù)的提高，電動汽車已被世界公認(rèn)為21世紀(jì)汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向.為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動汽車車型和車型，并在周期間同時投放市場.為了了解這兩款車型在周的銷售情況，制造商隨機(jī)調(diào)查了5家汽車店的銷量（單位：臺），得到下表：店甲乙丙丁戊車型6613811車型1291364（1）若從甲、乙兩家店銷售出的電動汽車中分別各自隨機(jī)抽取1臺電動汽車作滿意度調(diào)查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型的概率；（2）現(xiàn)從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動，用表示其中車型銷量超過車型銷量的店的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【分析】（1）先根據(jù)古典概型依次求出從甲、乙店分別隨機(jī)抽取的1臺電動汽車是車型的概率，然后依據(jù)獨(dú)立事件的概率和從對立事件的角度出發(fā)求解問題即可；（2）由表可知，車型銷量超過車型銷量的店有2家，故的可能取值為0，1，2，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法逐一求出每個的取值所對應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）解：設(shè)“從甲店隨機(jī)抽取的1臺電動汽車是車型”為事件，“從乙店，隨機(jī)抽取的1臺電動汽車是車型”為事件，設(shè)“抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型”為事件，（2）解：由表可知，車型銷量超過車型銷量的店有2家，故的所有可能取值為：0，1，2，所以隨機(jī)變量的分布列為：0127．（2024·天津河西·一模）某中學(xué)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué)，對其社會實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：男同學(xué)人數(shù)715111221女同學(xué)人數(shù)51320932若將社會實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱為“社會實(shí)踐標(biāo)兵”．（Ⅰ）將頻率視為概率，估計該校1600名學(xué)生中“社會實(shí)踐標(biāo)兵”有多少人？（Ⅱ）從已抽取的8名“社會實(shí)踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加社會實(shí)踐表彰活動．（i）設(shè)為事件“抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率；（ii）用表示抽取的“社會實(shí)踐標(biāo)兵”中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）見解析【詳解】（Ⅰ）樣本中“社會實(shí)踐標(biāo)兵”不低于次的學(xué)生有人（Ⅱ）名“社會實(shí)踐標(biāo)兵”中有男同學(xué)人，女同學(xué)人則的分布列如下：8．（2025·天津·一模）某大學(xué)在一次公益活動中聘用了10名志愿者，他們分別來自A、B、C三個不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個訪談節(jié)目．（1）求3個人來自兩個不同專業(yè)的概率；（2）設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列．【答案】（1）（2）見解析【詳解】令事件A表示“3個來自兩個不同專業(yè)”，表示“3個人來自同一個專業(yè)”，表示“3個人來自三個不同專業(yè)”，隨機(jī)變量X有取值為0，1，2，3，的分布列為：X0123P題型四正態(tài)分布【技巧通法·提分快招】利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．1．（2025·天津?qū)幒印つM預(yù)測）下列說法中，正確的有（

）③在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好；A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】利用回歸直線的特點(diǎn)可判斷①；利用獨(dú)立型檢驗(yàn)可判斷②；利用決定系數(shù)與模型擬合效果的關(guān)系可判斷③；利用正態(tài)分布可判斷④.即可得出合適的選項.即有的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤，②對；對于③，在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好，③對；故選：C.2．（2025·天津北辰·三模）下列命題中①根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程所得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】依次分析每個命題的正確性，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程、隨機(jī)變量的方差性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的意義以及正態(tài)分布的性質(zhì)來判斷.【詳解】經(jīng)驗(yàn)回歸方程所得到的預(yù)報值是響應(yīng)變量的估計值，而不是精確值，所以命題①錯誤.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，所以命題③正確.所以命題④錯誤.綜上，錯誤的命題有①②④，共個.故選：B.3．（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象性質(zhì)判斷即得.故選：C4．（2025·天津?yàn)I海新·三模）下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14【答案】B【分析】對于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解判斷即可；對于B，根據(jù)樣本中心點(diǎn)求得，進(jìn)而求得預(yù)測值判斷即可；對于C，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解判斷即可；對于D，根據(jù)期望和方差的性質(zhì)判斷即可.故A錯誤；故選：B.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合概率的性質(zhì)，可得答案.6．（2025·天津·一模）下列說法錯誤的是（

）B．在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好D．一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7【答案】D【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)，可得A的正誤；由決定系數(shù)的作用，可得B的正誤；由平均數(shù)的計算公式，可得C的正誤；由百分位數(shù)的計算，可得D的正誤.【詳解】對于A，由為標(biāo)準(zhǔn)差，該值越小，數(shù)據(jù)越集中，則曲線越高瘦，故A正確；對于B，當(dāng)決定系數(shù)越大時，殘差平方和越小，即模型擬合的效果越好，故B正確；故選：D.A．該物理量在一次測量中小于2的概率為0.5B．該物理量在一次測量中小于1.98與大于2.02的概率相等【答案】C【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量小于2的概率為，故A正確；故選：C.8．（2025·天津?qū)幒印ひ荒＃┫铝姓f法不正確的是（

）C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越高D．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14【答案】D【分析】利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項A，利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項B，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項C，利用百分位數(shù)的定義即可判斷選項D.對C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；故選：D.檢測Ⅰ組重難知識鞏固1．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機(jī)取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；對這6瓶飲料依次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時終止檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為．【答案】【詳解】記事件A為“第一次取到過期飲料”，事件B為“第二次取到未過期飲料”，2．（2025·天津和平·三模）下列結(jié)論中不正確的是（

）B．用決定系數(shù)來刻畫回歸的效果時，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好C．用0，1，2，3四個數(shù)字，組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為30【答案】D【分析】由二項分布的期望與方差公式即可判斷A；由決定系數(shù)的概念即可直接判斷B；由分布乘法計數(shù)原理及間接法即可判斷C；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)性質(zhì)即可直接判斷D.對于B，用來刻畫回歸效果，的值越接近于1，說明模型的擬合效果越好，的值越接近于0，說明模型的擬合效果越差，故B正確；故選：D.3．（2025·天津·一模）已知甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計，在一局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽互不影響.現(xiàn)在甲、乙二人準(zhǔn)備進(jìn)行三局比賽.則在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率是，用表示三局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則的數(shù)學(xué)期望是.【答案】.【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率公式，即可求解（2）根據(jù)題意求出的可能取值，分別求出每種取值的概率，列出分布列，進(jìn)而求解.則的分布列為：0123【答案】/0.25為正四面體與桌面接觸面上的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，則隨機(jī)變量服從二項分布，故答案為：；.【答案】【分析】第一問可根據(jù)條件概率公式求解，第二問可先確定隨機(jī)變量的取值，再求出每個取值的概率，最后根據(jù)期望公式計算期望.【詳解】設(shè)“第一次取到黑球”為事件，“第二次取到白球”為事件.隨機(jī)取出個球，取出的球中白球的個數(shù)可能取值為，，.故答案為：；.6．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測）下列命題中，不正確的是（

）D．兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)【答案】D【分析】對于A，由二項分布方差公式計算即可；對于B，由正態(tài)分布的對稱性計算即可；對于C，由基本不等式計算即可；對于D，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.對于D，線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，故D錯誤.故選：D.7．（2025·天津和平·三模）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強(qiáng)，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；故選：C.8．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（

）C．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；【答案】BC選項，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，C錯誤；故選：B【答案】所以隨機(jī)變量的概率分布為123所以甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率為.故答案為：；10．（2024·天津和平·一模）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為；黨員甲能通過初試的概率為.【答案】故答案為：；11．（2025·天津南開·二模）一個盒子中裝有5個電子產(chǎn)品，其中有3個一等品，2個二等品，從中每次抽取1個產(chǎn)品.若抽取后不再放回，則抽取三次，第三次才取得一等品的概率為；若抽取后再放回，共抽取10次，則平均取得一等品次.【答案】0.1/所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率為:若抽取后再放回，則設(shè)為抽取一等品的次數(shù)，抽取一等品的概率為，所以平均取得一等品次.故答案為：；6.12．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答．（1）已知張同學(xué)至少取到1道乙類題，則他取到的題目不是同一類的概率為；（2）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立．用表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望為．所以隨機(jī)變量的分布列為：0123故答案為：0.96；2.13．（2025·天津·二模）某籃球隊對隊員進(jìn)行考核，規(guī)則是①每人進(jìn)行5個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為0.6，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲第一輪通過的概率為；甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是.【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式得出甲第一輪通過的概率，再由服從二項分布得出甲5個輪次通過的次數(shù)的期望.【答案】/【詳解】由題意知甲?乙每次投籃命中的概率分別為和，故答案為：；【答案】/【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由條件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及對應(yīng)概率得出期望.【詳解】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.故答案為：；檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升【答案】2【分析】設(shè)出事件，利用條件概率列出方程，求出的值；寫出的可能取值及對應(yīng)的概率，得到數(shù)學(xué)期望.【詳解】設(shè)第一次取得黑球?yàn)槭录?，第二次取得黑球?yàn)槭录目赡苋≈禐?,1,2,3，故答案為：2，2．（2025·天津·一模）下列命題錯誤的是（

）A．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于【答案】B【分析】利用相關(guān)關(guān)系判斷A；由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B；由線性回歸直線的性質(zhì)判斷C；由隨機(jī)變量條件建立方程組解出即可判斷D.【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可知，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；故B錯誤；根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)可知，故C正確；故D正確；故選：B.3．（2025·天津西青·模擬預(yù)測）天津市某學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行知識競賽，規(guī)則為：每位參賽學(xué)生都要回答3個問題，且這3個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分設(shè)為一、二、三等獎給予獎勵.已知對給出的3個問題，學(xué)生甲答對的概率分別為，，，則學(xué)生甲恰好答對1個問題的概率為；在上述條件下，設(shè)隨機(jī)變量X表示學(xué)生甲答對題目的個數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為.【答案】/0.25學(xué)生甲恰好答對1個問題的概率為，故答案為：；.【答案】；/.【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率的公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可.故答案為：；5．（2025·天津南開·模擬預(yù)測）某學(xué)校高一年級計劃成立一個統(tǒng)計方向的社團(tuán)，為了了解高一學(xué)生對統(tǒng)計方面的興趣，在高一年級的全體同學(xué)中抽取了8名同學(xué)做了一個調(diào)查，結(jié)果顯示其中3人對統(tǒng)