專題06立體幾何初步目錄目錄學考要求速覽必備知識梳理高頻考點精講考點一：空間幾何體的結構特征考點二：空間幾何體的表面積與體積考點三：空間中的位置關系考點四：空間角的計算考點五：立體幾何綜合問題實戰(zhàn)能力訓練必備知識梳理 1高頻考點精講 3考點一：集合的含義與表示 3考點二：集合間的基本關系 4考點三：集合的基本運算 5考點四：充分條件與必要條件 6考點五：全稱量詞與存在量詞 7實戰(zhàn)能力訓練 1、利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形,認識棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系,能運用這些結構特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2、知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3、知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.4、知道球的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.5、了解基本事實1~3和確定平面的推論,掌握平面的畫法及表示方法.6、借助長方體認識空間點、直線、平面之間的位置關系,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.7、掌握直線與平面平行的判定定理、性質定理,并加以證明.8、掌握平面與平面平行的判定定理、性質定理,并加以證明.9、掌握直線與平面垂直的判定定理和性質定理,并加以證明.10、掌握平面與平面垂直的判定定理、性質定理,并加以證明.11、掌握空間角和空間距離的計算方法1、空間幾何體的結構特征1．空間幾何體多面體:由若干個平面多邊形圍成的幾何體旋轉體:由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體.2．棱柱:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.①直棱柱:側棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱.②正棱柱:底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.3．棱錐:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.①正棱錐:底面為正多邊形,且頂點在底面的投影為底面的中心.②正三棱錐:底面為正三角形,側棱相等,對棱垂直.③正四面體：側棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體.(特殊正三棱錐,四個面都是等邊三角形)4.棱臺:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分,這樣的多面體叫做棱臺.①正棱臺：側面是全等的等腰梯形;側棱延長后相交于一點.5．圓柱:以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.①上、下底及平行于底面的截面都是等圓;過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.②圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.6．圓錐:以直角三角形的一直角邊為旋轉軸,其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比②軸截面是等腰三角形③l2=?2④圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心,以母線長為半徑的扇形.7．圓臺:用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺.8．球:以半圓的直徑所在直線為旋轉軸,半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體①球心與截面圓心的連線垂直于截面;②R2=r2+d2(其中,2、空間幾何體的表面積與體積(1)由于棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面多邊形圍成的幾何體，所以它們的表面積就是各個面的面積和.(2)圓柱的側面積S=2πrl(側面展開圖是矩形)圓柱的表面積(3)圓錐的側面積S=12?2πr?(4)圓臺的側面積S=πr'+r(5)V柱體(6)V錐體(7)V(8)S球=4πR23、立體幾何基本事實1．公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.∵A∈α2．公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.∵A,B,C三點不共線,∴推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.∵A?l,∴經(jīng)過A與推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.∵m∩n=A,∴經(jīng)過推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.∵m//l,∴經(jīng)過m與l3．公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.∵P∈α,P4．公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.∵a5．等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.4、平行的判定及其性質1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言.如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.圖形語言符號語言a(2)性質定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.圖形語言符號語言a//α,a?2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.圖形語言符號語言a?β,b(2)性質定理文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.圖形語言符號語言α//β,α∩4．平面與平面平行其他常用判定、性質（1）如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行.（2）平行于同一個平面的兩個平面平行.（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.(5)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,那么它也垂直于另一個平面.5、垂直的判定及其性質1．直線與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.圖形語言符號語言l(2)性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.圖形語言符號語言a⊥2．平面與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直.圖形語言符號語言l⊥α,(2)性質定理文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.圖形語言符號語言α考點精講講練考點一：空間幾何體的結構特征例題1（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）如圖所示，在三棱臺ABC-A1B1C1中，沿平面A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】B【分析】根據(jù)錐體、柱體、臺體等知識確定正確答案.【詳解】截去三棱錐B1-A1故選：B例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）在空間，到一個三角形的三個頂點距離相等的點的集合表示的圖形是（

）A．一個點 B．一條直線 C．一個平面 D．一個球面【答案】B【分析】易得空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設點O為△ABC的外心，且直線l⊥平面ABC，點P為直線l上任意一點，證明PA=PB=PC即可.【詳解】空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設點O為△ABC的外心，且直線l⊥平面ABC，點P為直線l上任意一點，則OA=OB=OC，且OA,OB,OC?平面ABC，所以直線l⊥OA，直線l⊥OB，直線l⊥OC，當點P與點O重合時，PA=PB=PC，即直線l的點到△ABC的三個頂點距離相等，當點P與點O不重合時，由勾股定理可得PA=PB=PC，即直線l的點到△ABC的三個定點距離相等，綜上直線l的點到△ABC的三個頂點距離相等，反之到△ABC的三個頂點距離相等的點都在直線l上，所以空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線.故選：B例題3．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）一個直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉360°形成的曲面所圍成的幾何體是（

A．球體 B．圓柱 C．圓臺 D．圓錐【答案】D【分析】根據(jù)圓錐定義可得結論.【詳解】依題意可知一個直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉360°形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐故選：D1．已知圓錐的母線長為22，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（

A．2 B．22 C．3 D．【答案】A【分析】利用圓錐底面周長即為側面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)=2πr，所以l=2r故選：A.2．如圖所示，這個幾何體的主要結構特征是（

）A．圓錐和圓柱的組合體B．球和圓柱的組合體C．圓錐和棱柱的組合體D．球和棱柱的組合體【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的特征可得出結論.【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個球和棱柱構成的組合體.故選：D3．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（

）A．四棱臺 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱【答案】C【分析】根據(jù)幾何體結構特征直接判斷即可.【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點分別為D,E,D由三棱錐性質可知，ABED和A1又平面ABB1A平面ACC1A1分別與平面ABB所以AA1//又AA1//所以盛水部分的幾何體是四棱柱.故選：C考點二：空間幾何體的表面積與體積例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）已知圓柱的底面半徑是2，高是3，則該圓柱的體積是（

）A．2π B．4π C．6π【答案】D【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計算.【詳解】根據(jù)題意，圓柱的體積為V=sh=π故選：D.例題2．（2024高二上·江蘇揚州·學業(yè)考試）若長方體的長、寬、高分別為1，1，3，且它的各個頂點都在一個球面上，則該球體積為（

）A．55π3 B．5π C．【答案】D【分析】由長方體外接球直徑為體對角線，結合球體體積公式求體積.【詳解】由題設，長方體外接球直徑為體對角線為12所以該球體積為43故選：D例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個半徑為2的球面上，則該圓柱側面積的最大值為（

）A．4π B．8π C．12π【答案】B【分析】設底面圓半徑為r，則圓柱的高為24-r2，圓柱側面積為【詳解】設底面圓半徑為r，則圓柱的高為24-圓柱側面積為S=2π當且僅當r=4-r2，即故選：B.1．一個圓錐的底面直徑和高都同一個球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（

）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9【答案】C【分析】設球體的半徑r，根據(jù)已知條件把圓錐和球體的體積表示出來相比就可以了.【詳解】設球體的半徑為r，圓錐底面半徑為r，高為2r則圓錐的體積為：V1球體的體積：V所以圓錐與球的體積之比為：1∶2故選：C.2．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y構示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和△FBC是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱BF與平面ABCD成的角45°，A．80 B．803 C．160 D．【答案】D【分析】先求兩個等腰梯形的高，進而計算出屋頂?shù)膫让娣e.【詳解】設G,H分別是BC,AD的中點，連接HG，根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)在平面ABCD的射影在HG上，設其為O，連接FO,OB，則FO⊥平面ABCD，而OB?平面ABCD，所以OF⊥OB，所以∠FBO是BF與平面ABCD成的角，即∠FBO=45所以FO=OB=8×2過O作OP⊥AB，垂足為P，連接FP，由于OP,AB?平面ABCD，所以FO⊥OP,FO⊥AB，由于FO∩OP=O,FO,OP?平面FOP，所以AB⊥平面FOP，由于FP?平面FOP，所以AB⊥FP，OP=12BC=4所以BP=82-所以該屋頂?shù)膫让娣e為：2×12+20故選：D3．已知圓柱的底面半徑和球的半徑均為2，圓柱的體積為8π，則圓柱與球的表面積之比為（

A．1:1 B．1:2 C．2:3 D．3:4【答案】A【分析】由圓柱的體積求出圓柱的高，再由圓柱與球的表面積公式即可得出答案.【詳解】設圓柱的底面半徑和球的半徑為R,圓柱的高為h，所以R=2，所以球的表面積為S1所以圓柱的體積為V=πR2圓柱的表面積為：S2所以S1故選：A.考點三：空間中的位置關系例題1（2024高二·江蘇·學業(yè)考試）設l是直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若l//α，lB．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βC．若α⊥β，l//αD．若l//α，l⊥β【答案】D【分析】利用線面位置關系判斷ABC，利用線面平行的性質定理與面面垂直的判定定理判斷D，從而得解.【詳解】對于A：若l//α，l//β，則α//β或對于B：若α⊥β，l⊥α，則l//β或l?β，故對于C：若α⊥β，l//α，則l//β或l?β或l與對于D：若l//α，由線面平行的性質定理可得過l的平面γ，若γ∩α=m，則因為l⊥β，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，故D正確；故選：D.例題2．（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）已知直線l∥平面α，則（

）A．l與α內所有直線都平行B．α內不存在直線與l垂直C．過l的平面與α必平行D．α內有無數(shù)條直線與l垂直【答案】D【分析】由直線與平面平行定義可得答案.【詳解】對于A，直線l∥平面α，則平面內的直線與直線l可能平行，或異面，故A錯誤；對于B，由A分析，在與直線l異面的直線中，存在與直線l垂直，故B錯誤；對于C，過l的平面可能與α相交，故C錯誤；對于D，由B分析，可在平面α內做無數(shù)條與直線l垂直的直線，故D正確.故選：D例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知直線l∥平面α，直線m?平面α，則l與m不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【分析】若l與m相交，得到l與α有交點，這與題設矛盾，得到答案.【詳解】直線l∥平面α，直線m?平面α，則l與m可能平行，異面和垂直，若l與m相交，l∩m=A，則A∈l，A∈m，直線m?平面α，故A∈α，即l與α有交點，這與題設矛盾.故選：B1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1DA．異面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由圖正方體結構特點及異面直線的定義可得答案.【詳解】由圖知DD1∩平面ABCD=D，BC?平面ABCD，根據(jù)異面直線的定義，直線BC與直線DD1故選：A2．已知平面α，直線m，n．（

）A．若m//n,n//α，則m//α B．若m⊥n,n//α，則m⊥αC．若m//α,n//α，則m//n D．若m⊥α,n//α，則m⊥n【答案】D【分析】根據(jù)線面平行，垂直的判定定理和性質即可判斷.【詳解】對A，若m//n,n//α，則m//α或m?α，故A錯誤；對B，若m⊥n,n//α，則m和α平行、相交或在平面內，故B錯誤；對C，若m//α,n//α，則m,n平行、相交或異面，故C錯誤；對D，若m⊥α,n//α，則m⊥n，故D正確.故選：D.3．關于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面γ，β，下面命題正確的是（

）A．若a//γ，b//γ，則a//b B．若a//γ，b⊥γ，則b⊥aC．若a//γ，γ⊥β，則a⊥β D．若a?γ，b?γ，且l⊥a，l⊥b，則l⊥γ【答案】B【分析】ACD可舉出反例，B選項，可利用線面平行的性質和線面垂直的性質推出.【詳解】A選項，若a//γ，b//γ，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯誤；B選項，因為a//γ，如圖3，不妨設a?α，且α∩γ=c，則a//c，因為b⊥γ，c?γ，所以b⊥c，由a//c，則b⊥a，B正確；C選項，如圖4，滿足a//γ，γ⊥β，但a?β，C錯誤；D選項，a?γ，b?γ，且l⊥a，l⊥b，若a//b，則不能得到l⊥γ，D錯誤.故選：B考點四：空間角的計算例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）在正方體ABCD-A1B1C1DA．33 B．63 C．2 D【答案】D【分析】根據(jù)正方體的特征結合線面角的定義得出線面角為∠A1在正方體ABCD-A1B又因為AA1⊥所以直線A1C與平面ABCD所成角為∠A故選：D.例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）如圖，正方體ABCD-A1B1C1DA．1 B．32 C．22 D【答案】C【分析】連接BD，DD1⊥平面ABCD，故∠DBD1是【詳解】如圖所示：連接BD，因為DD1⊥平面ABCD，故∠DBD1線BD1故選：C例題3．（2021高一·江蘇·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（

）A．33 B．22 C．2 D【答案】C【分析】利用定義作出∠A1OA為所求的角，再通過【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，則AO⊥BD,A1O⊥BD，∠A1OA為二面角A1－BD設A1A＝a，則AO＝22a所以tan∠故選：C【點睛】求二面角，可利用定義直接作出其平面角來求，或者利用法向量公式解決.1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為A1C的中點，A．23 B．33 C．22【答案】C【分析】將異面直線AE與BC所成角轉化為∠EAD或其補角，再通過邊的計算得到∠EAD=π4【詳解】連接DE,AC,A1D，由BC∥AD可得∠EAD或其補角即為異面直線AE與BC所成角，又A1A⊥面ABCD，AC?則AE=12A1C=12×2則異面直線AE與BC所成角的余弦值為cosπ故選：C.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π4【答案】D【分析】平移直線B1C至A1D，將直線DP與B1【詳解】如圖，連接A1P，A1D，所以∠PDA1或其補角為直線DP與因為BB1⊥平面A1B1C1DBB1∩B1D1=B又PD?平面BDD1B設正方體的棱長為2，則A1D=22在Rt△A1DP中，故選：D.3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】連接AC，由已知條件可證得BD⊥平面AA1C1C【詳解】連接AC，則AC⊥BD，因為AA1⊥平面ABCD，BD所以AA因為AA所以BD⊥平面AA因為CE在平面AA所以BD⊥CE，所以異面直線CE與BD所成的角為90°，故選：D【點睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎題考點五：立體幾何綜合問題例題1（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）如圖，已知正方體ABCD-A1(1)A1B1∥(2)B1C⊥平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）通過證明A1B1（2）通過證明B1C⊥B【詳解】（1）由題，四邊形ABB1A1為正方形，則A又A1B1?平面ABC1D1，AB?面（2）由題，AB⊥平面BCC1B1，又B1又四邊形CBB1C因B1C⊥BC1，B1則B1C⊥例題2．（2024高二上·江蘇揚州·學業(yè)考試）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，∠CBA=90°，PA⊥平面ABCD，(1)求證：PC⊥CD；(2)已知三棱錐A-PCD的體積為13，求直線PC與平面PAB【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)題意分析證明CD⊥平面PAC，進而可得結果；（2）由體積可得PA=1，可證BC⊥平面PAB，結合線面夾角的定義分析求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，由AB=BC=12AD=1，AD//BC所以AC2+C又因為PA⊥平面ABCD，且CD?平面ABCD，則PA⊥CD，因為PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．又PC?平面PAC，所以CD⊥PC．（2）由（1）知S△ACD所以VA-PCD=V又因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC，因為∠CBA=90°，所以BA⊥BC，因為PA?平面PAB，BA?平面PAB，且PA∩BA=A，所以BC⊥平面PAB，故PB是PC在平面PAB上的投影，所以∠CPB即為直線PC與平面PAB所成的角的平面角，在△PAB中，解得PB=P所以tan∠CPB=所以直線PC與平面PAB所成角正切值為22例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）如圖，三棱錐P-ABC的底面ABC和側面PBC都是邊長為2的等邊三角形，M,N分別是AB,BC的中點，PN⊥AN.(1)證明：MN//平面PAC；(2)求三棱錐P-ABC的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明PN⊥平面ABC，即可求出三棱錐的體積【詳解】（1）因為M,N分別是AB,BC的中點，所以MN//因為MN?平面PAC，AC?平面PAC，所以MN//平面PAC；（2）因為△PBC是等邊三角形，N是BC的中點，所以PN⊥BC，因為PN⊥AN，AN,BC?平面ABC，AN∩BC=N,所以PN⊥平面ABC，因為底面ABC和側面PBC都是邊長為2的等邊三角形，所以V1．如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點，F(xiàn)為PD上一點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面FAE；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）證明BD與PA,AC垂直，由線面垂直的判定定理得證；（2）先證明EA與平面PAB垂直，即可得證面面垂直．【詳解】（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PA⊥BD，而AC∩PA=A，AC?面PAC，PA?面PAC，∴BD⊥平面PAC；（2）∵ABCD是菱形，∠BC=60°，∴△ACD是等邊三角形，又E為CD中點，∴AE⊥CD，而CD//AB，∴AE⊥AB，又PA⊥面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，而AB∩PA=A，AB?面PAB，PA?面PAB，∴AE⊥平面PAB，又AE?平面AEF，∴平面PAB⊥平面FAE．【點睛】本題考查線面垂直和面面垂直的證明，掌握線面垂直與面面垂直的判定定理是解題關鍵．2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E為AP的中點，且AB=2,AP=4．(1)證明：CP//平面BDE；(2)求三棱錐P-BDE的體積．【答案】(1)證明過程見解析(2)4【分析】（1）作出輔助線，利用中位線得到線線平行，從而求出線面平行；（2）求出VP-ABD，進而求出V【詳解】（1）連接AC交BD于點H，連接EH，因為底面ABCD是正方形，所以H為AC的中點，因為E為AP的中點，所以EH//PC，因為EH?平面BDE，PC?平面BDE，所以PC//平面BDE；（2）因為AB=2,AP=4，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，所以VP-ABD因為E為AP的中點，所以VP-BDE3．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，側面CDD1C1是菱形，∠CD（1）求證：EF//平面AD（2）求EF與平面ABCD所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）5117【分析】（1）設DD1中點為G，連接EG,AG，得EG//CD,EG=1（2）過D1作D1M⊥DC于M，過E作EH⊥DC于H，連接FH，則EH//D1M，得EH⊥平面ABCD，所以∠EFH為直線EF與平面ABCD所成的角，設正方形ABCD的邊長為a，所以在直角三角形【詳解】（1）設DD1中點為G，連接因為E，G分別為CD所以EG//在正方形ABCD中，F(xiàn)是AB的中點，所以AF=12AB=所以EG//AF且所以四邊形AFEG是平行四邊形，所以EF//因為AG?平面ADD1A所以EF//平面AD（2）過D1作D1M⊥DC于M，過E作EH⊥DC于H，連接FH因為平面C1D1DC⊥平面ABCD，且平面EH?平面C1D1DC，所以所以FH是EF在平面ABCD內的射影，所以∠EFH為直線EF與平面ABCD所成的角，設正方形ABCD的邊長為a，因為側面CDD1C1是菱形，又因為EH//D1M且E是在正方形ABCD中，F(xiàn)為AB中點，H為CD的四等分點，F(xiàn)H=17所以在直角三角形EHF中，tan∠EFH=所以EF與平面ABCD所成角的正切值為5117.訓練1、已知圓錐的底面半徑為1，且其軸截面是一個等邊三角形，則這個圓錐的側面積為（

）A．2π B．3π C．4π D【答案】A【分析】根據(jù)題設確定圓錐母線長、底面周長，應用側面積公式求圓錐側面積.【詳解】由題設，圓錐的母線長為2，底面周長為2π，故圓錐的側面積為1故選：A2、乒乓球是一項深受我國廣大人民群眾喜愛的體育運動，乒乓球臺主要由乒乓球網(wǎng)和臺面組成．如圖所示，如果將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網(wǎng)的上邊緣抽象成直線，則直線l與平面α的位置關系是（

）．A．l?α B．l⊥αC．l//α D．l與【答案】C【分析】利用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】由題意得l?α，且l平行于乒乓球網(wǎng)的下邊緣，而乒乓球網(wǎng)的下邊緣在平面α內，由線面平行的判定定理得l//α成立，故C故選：C3、已知a，b是空間中兩條不同的直線，α，β，γ是空間中三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若a//α，b//α，則a//b B．若a⊥α,b⊥α，則a//bC．若a⊥b，a⊥α，則b//α D．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ【答案】B【分析】根據(jù)線面平行及線面垂直得出線面，線線位置關系判斷各個選項即可.【詳解】若a//α，b//α，則a//b或a,b相交或異面，A選項錯誤；根據(jù)線面垂直的性質若a⊥α,b⊥α，則a//b，B選項正確；若a⊥b，a⊥α，則b//α或b在平面α內，C選項錯誤；若α⊥β，β⊥γ，則α//γ或α,γ相交，D選項錯誤.故選：B.4、在正四棱錐P-ABCD中，PA=2,AB=2,E是PC中點，則異面直線PA與BE所成的角為（A．π2 B．π3 C．π4【答案】C【分析】根據(jù)線線平行可得∠BEO即為異面直線PA與BE所成的角或其補角，即可利用三角形的邊角關系求解.【詳解】連接AC,BD相交于O，連接OE,則O是AC,BD的中點，故OE//PA，故∠BEO即為異面直線PA與BE所成的角或其補角，由于PA=2,AB=2，故BD=2,OE=由于cos∠PCB=故BE=C故BE2=OE故∠BEO=π4，即異面直線PA與BE所成的角為故選：C5、如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC,AB⊥BC,BA=BC=BP=1，則這個三棱錐的體積為（

）A．17 B．16 C．15【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體的體積公式直接計算即得.【詳解】在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，則BP=1是三棱錐P-ABC的高，由AB⊥BC,BA=BC=1，得S△ABC所以該三棱錐的體積為V=1故選：B6、如圖，在三棱柱ABC-A1B1CA．AB B．CC1 C．BC D【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可得出答案.【詳解】由題意，AB?平面AA1B1B因為CC1//AA1，CC所以CC1//故選：B.7、如圖，在長方體，ABCD-A1B1C1D1中，AD=AAA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義求解：說明∠A1C1D【詳解】∵CD//C∴∠A1C1D在直角△A1Ctan∠A1所以異面直線CD與A1C1故選：A．8、小明同學在通用技術課上，制作了一個半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點的三條棱的中點分別記為A,B,C，如圖1所示，然后截去以△ABC為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（

）A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【分析】正方體的體積減掉8個以△ABC為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.【詳解】設此半正多面體模型的體積為V，則V=V故選：C.9、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱A1A，A．53 B．55 C．25【答案】D【分析】作出線面角，解直角三角形求得線面角的最小值.【詳解】設G是DD1的中點，連接由于EG//AD，所以EG⊥平面DCC1D1，且∠GC1E是直線C1設正方體的邊長為2，則EG=2,C所以sin∠G故選：D10、如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=2AC=2BC，M是PB的中點，O(1)求證：PA??//平面(2)求直線CP與平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）只需證明PA//MO，再結合線面平行的判定定理即可得證；（2）由等體積法即可求解.【詳解】（1）∵AB=2AC=2∴∠ACB=90°，△ABC又O為△ABC的外心，∴O為AB的中點.連接MO，又M為PB的中點，所以△PAB中PA//MO，又PA?平面COM，MO?平面COM，∴PA//平面COM.（2）由（1）知AC⊥BC，又由已知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC，因為PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面APC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC.不妨設BC=1，∵PA=AB=2∴AC=1，PA=AB=2，PB=2，CP=又∠PAB=∠PCB=90°，M為∴AM=CM=1，∴△ACM是邊長為1的等邊三角形，∴S設點P到平面ACM的距離為h，∵VP-ACM＝VM-ACP∴13×設直線CP與平面ACM所成的角為θ，∴sin所以直線CP與平面ACM所成角的正弦值為2311、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1(1)求證：AA(2)求證：PC//平面A1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)AA1⊥平面ABCD（2）根據(jù)平面ABCD//平面A1B1C1【詳解】（1）因為ABCD-A所以AA1⊥平面ABCD，又PC?所以AA（2）因為ABCD