專題01因式分解（6知識(shí)&8題型&3易錯(cuò)&4方法清單）【清單01】因式分解的概念1.把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式，也稱為；2.因式分解的過(guò)程和的過(guò)程正好：前者是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)多項(xiàng)式的，后者是把幾個(gè)多項(xiàng)式的化為一個(gè).【清單02】提公因式法1.一般地，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的因式，叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的，簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式的公因式.2.公因式的確定：(1)系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的；(2)字母：取多項(xiàng)式各項(xiàng)中的字母；(3)各字母的指數(shù)：取次數(shù)的．3.定義：逆用乘法對(duì)加法的律，可以把提到括號(hào)外邊，作為積的一個(gè)，這種將多項(xiàng)式因式分解的方法，叫作提公因式法.【清單03】公式法一、平方差公式：1.因式分解中的平方差公式a2b2＝(a+b)(ab)2.多項(xiàng)式的特征：(1)可化為2個(gè)整式；(2)兩項(xiàng)符號(hào)；(3)每一項(xiàng)都是整式的.3.注意事項(xiàng)：(1)有公因式時(shí)，先提出公因式；(2)分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.二、完全平方公式法：1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2，a22ab+b2=()2.2.多項(xiàng)式的特征：(1)三項(xiàng)式；(2)有兩項(xiàng)符號(hào)，能寫(xiě)成兩個(gè)整式的的形式；(3)另一項(xiàng)是這兩整式的倍.3.注意事項(xiàng)：有公因式時(shí)，應(yīng)先提出.【清單04】十字相乘法利用線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法xx2abxaxbax+bx=(a+b)x【清單05】分組分解法1.分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.2.【方法規(guī)律】分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點(diǎn)分組分解法四項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)①按字母分組②按系數(shù)分組③符合公式的兩項(xiàng)分組三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式六項(xiàng)三項(xiàng)、三項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式3.添、拆項(xiàng)法把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.添、拆項(xiàng)法分解因式需要一定的技巧性，在仔細(xì)觀察題目后可先嘗試進(jìn)行添、拆項(xiàng)，在反復(fù)嘗試中熟練掌握技巧和方法.【題型一】因式分解概念辨析【例1】（2425八年級(jí)下·四川成都·期中）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A．x+1x?1=xC．x2?3x?4=xx?3【變式11】下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A．x+1x?1=xC．6a2b=3【變式12】下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．a(chǎn)+4a?4=aC．x2?2x+2=xx?1【變式13】如果把二次三項(xiàng)式x2?cx?3因式分解得x2?cx?3=x?1A．3 B．?3 C．2 D．?2【題型二】提公因式法分解因式【例2】（2425九年級(jí)下·吉林·期中）分解因式：4a3【變式21】因式分解：a2?7a=【變式22】如果x+y=?3，xy=?2，那么2x2【變式23】利用因式分解計(jì)算(1)2(2)?2【題型三】平方差公式分解因式【例3】（2425七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）若m2?n2=12，m+n=6【變式31】若x2?y2=7A．14 B．21 C．49 D．56【變式32】因式分解：9x2【變式33】因式分解：(x?y)2?4【題型四】完全平方式分解因式【例4】（2425八年級(jí)下·寧夏銀川·期中）若多項(xiàng)式4x2?nxy+y2【變式41】運(yùn)用公式a2?2ab+b2=(a?b)2A．3x B．9x C．3x2 【變式42】根據(jù)如圖對(duì)算式9x2?12x+4的分析，則a=A．9x B．9x2 C．3x 【變式43】公式法分解因式：(1)m+n2(2)4a?b【題型五】綜合提公因式和公式法分解因式【例5】（2425八年級(jí)下·四川成都·期中）分解因式：mx【變式51】因式分解：x3?25x=【變式52】因式分解：x2y?9y=【變式53】因式分解：?2【題型六】因式分解法的應(yīng)用【例6】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·期中）學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)的卡片，如圖1：A型卡片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型卡片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型卡片是長(zhǎng)和寬分別為a，b的長(zhǎng)方形．(1)選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照?qǐng)D2的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形，通過(guò)不同方式表示大正方形的面積，可得到等式：______；(2)請(qǐng)用這3種卡片拼出一個(gè)面積為a2(3)選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）為沒(méi)有放置卡片的部分．已知GF的長(zhǎng)度固定不變，DG的長(zhǎng)度可以變化，圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1，S2．若S=S2?S1，當(dāng)a與b【變式61】穎穎同學(xué)將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，如圖，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m、寬為n的相同小長(zhǎng)方形，且m>n．(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2(2)若每塊小長(zhǎng)方形的面積為10，兩個(gè)大正方形和兩個(gè)小正方形的面積和為58，試求m+n的值．【變式62】對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，如果m=kk+1，其中k是正整數(shù)，則稱m為“矩?cái)?shù)”，k為m(1)請(qǐng)判斷110，1560為“矩?cái)?shù)”嗎？如果是，請(qǐng)求出最佳拆分點(diǎn)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)把“矩?cái)?shù)”p與“矩?cái)?shù)”q的差記為Dp,q，其中p>q，Dp,q>0．若“矩?cái)?shù)”p的最佳拆分點(diǎn)為t，“矩?cái)?shù)”q的最佳拆分點(diǎn)為s．當(dāng)D【變式63】我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?=2[解決問(wèn)題]（1）已知34是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（（2）若x2?6x?1可配方成x?m2+n（m、[探究問(wèn)題]（3）已知x2+y（4）已知S=x2+4y2+2x?12y+k（x、y是整數(shù)，【題型一】混淆因式分解與整式乘法因式分解是將多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，而整式乘法是幾個(gè)整式相乘得到多項(xiàng)式，二者是互逆的過(guò)程?！纠?】下列從左到右的變形是因式分解的是（

）A．2x?2y+3=2x?y+3 C．x2?1=x+1【變式11】下列因式分解正確的是（

）A．x3?x=xxC．x2+y【變式12】下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．6ab＝2a·3b B．C．x2?4=x+2x?2【題型二】公因式提取不當(dāng)1.公因式提取不徹底：提取公因式時(shí)，要把各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)和相同字母的最低次冪都提取出來(lái)。2.忽略首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情況：當(dāng)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，通常要提出一個(gè)帶負(fù)號(hào)的公因式，使括號(hào)里首項(xiàng)不含負(fù)號(hào)。3.提公因式后漏項(xiàng)：多項(xiàng)式中某一項(xiàng)全提公因式后，括號(hào)里這一項(xiàng)應(yīng)該為1，但學(xué)生容易漏掉。【例2】已知實(shí)數(shù)a滿足a2?2a?3=0，則代數(shù)式a3A．?5 B．0 C．5 D．?3【變式21】因式分解：(1)5a(2)6xx?y【變式22】把下列各式分解因式：(1)4xy(2)?9m(3)(2a+1)2【變式23】將下列各式因式分解：(1)3x(2)4aa+b【題型三】公式運(yùn)用錯(cuò)誤平方差公式：運(yùn)用時(shí)要注意多項(xiàng)式必須是兩項(xiàng)式，且兩項(xiàng)都要是平方的形式，并且符號(hào)相反。完全平方公式：需要滿足是三項(xiàng)式，其中兩項(xiàng)是平方項(xiàng)且同號(hào)，另一項(xiàng)是這兩個(gè)平方項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍。【例3】分解因