體系搭建體系搭建一、向量的有關(guān)概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度)．2．向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：用一條有向線段表示向量．如，等．（3）坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量的起點(diǎn)為在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)A坐標(biāo)為，則稱為的坐標(biāo)，記為=．3．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．兩向量與相等，記為．4．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量．零向量只有一個(gè)，其方向是任意的．5．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量．6．共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量．任一組共線向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：與任一向量共線．注：共線向量又稱為平行向量．7．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．二、向量的運(yùn)算1．運(yùn)算定義運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+==記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實(shí)數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個(gè)向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y22．運(yùn)算律加法：①(交換律)；②(結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：①；②；③兩個(gè)向量的數(shù)量積：①·=·；②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·3．運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的．③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=(x，y)；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0．(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則(4)兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長(zhǎng)度)；②(垂直的判斷)；③(求角度)．例題分析例題分析考點(diǎn)1利用向量解決平面幾何中的求值或最值問(wèn)題【例1】．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝（3cosx，3sinx），＝（3cosx，sinx），＝（，0），x∈（0，）．（1）求證：（﹣）⊥；（2）若△ABC是等腰三角形，求x的值．變式訓(xùn)練【變1-1】．滿足＜0的△ABC（）A．一定為銳角三角形 B．一定為直角三角形 C．一定為鈍角三角形 D．可能為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形【變1-2】．點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三角形的內(nèi)心 B．三角形的外心 C．三角形的重心 D．三角形的垂心【變1-3】（多選）．已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，（其中λ，μ∈R）（）A．當(dāng)λ＝μ時(shí)，直線OC過(guò)邊AB的中點(diǎn) B．若，且λ＝μ＝1，則 C．若λ＝2，μ＝3時(shí)，△AOB與△AOC的面積之比為2：3 D．若，且，則λ，μ滿足λ2+u2＝1【變1-4】．已知△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則的范圍是．【變1-5】．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則的值為（）A．1 B． C． D．【變1-6】．四邊形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，則的最小值為（）A． B． C．3 D．﹣3【變1-7】．四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且OB＝2OD，AC＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，若?＝6，則四邊形ABCD的面積為．考點(diǎn)2向量在物理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例2】．已知＝（1，0），＝（0，1），一動(dòng)點(diǎn)P從P0（﹣1，2）開(kāi)始，沿著與向量的+相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|+|m/s．另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q0（﹣2，﹣1）開(kāi)始，沿著與向量3+2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小|3+2|m/s，設(shè)P，Q在t＝0s時(shí)分別在P0，Q0處，問(wèn)當(dāng)PQ⊥P0Q0，所需的時(shí)間t為多少？變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為（）A．20N B． C．10N D．【變2-2】．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2km/h．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250m的碼頭C處卸貨．若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度是km/h．【變2-3】．如圖，某班體重為70kg的體育老師在做引體向上示范動(dòng)作，兩只胳膊的夾角為60°，拉力大小均為F，若使身體能向上移動(dòng)，則拉力F的最小整數(shù)值為N．（取重力加速度大小為g＝10m/考點(diǎn)3向量與解三角形綜合問(wèn)題【例3】．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知向量＝（cosA，sinA），＝（1，﹣1），且∥．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，asinB﹣csinA＝0，求△ABC的面積．變式訓(xùn)練【變3-1】．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是為a，b，c，2ccosA＝bcosA+acosB．（1）求A；（2）若b＝8，c＝5，O為△ABC內(nèi)切圓的圓心，，求λ+μ的值．【變3-2】．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知6bcos2＝3b﹣2a+3c，D是AC邊上一點(diǎn)，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．【變3-3】．已知a，b，c分別是銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量，，設(shè)．（Ⅰ）若f（A）＝2，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，，求三角形ABC的面積．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則S△ABC：S△OBC＝（）A．3：1 B．1：3 C．2：1 D．1：22．已知D是△ABC內(nèi)部（不含邊界）一點(diǎn)，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，＝x+y，則x+y＝（）A． B． C． D．13．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是（）A．P在AB邊上 B．P在AC邊上 C．P在BC邊上 D．P在△ABC內(nèi)部4．過(guò)△ABC的中線AD的中點(diǎn)E作直線PQ分別交AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，若，則＝（）A．4 B． C．3 D．15．已知平面向量與的夾角為30°，則的最大值為（）A． B．2 C．4 D．86．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)且滿足＝λ（），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心7．若，點(diǎn)C在∠AOB外，且，設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A．﹣2 B．2 C． D．8．平面內(nèi)△ABC及一點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心（多選）9．已知，是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，且，則的值可能為（）A． B． C． D．110．如圖，已知函數(shù)，A1，A2，A3是圖象的頂點(diǎn)，O，B，C，D為f（x）與x軸的交點(diǎn)，線段A3D上有五個(gè)不同的點(diǎn)Q1，Q2，…，Q5，記（i＝1，2，…，5），則n1+n2+…+n5的值為（）A． B．45 C． D．11．設(shè)P為不等邊銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足5＝2+，則三角形PBC的面積與三角形ABC的面積之比為．12．已知向量，，滿足++＝，||＝2，與﹣所成的角為120°，則當(dāng)t∈R時(shí)，的取值范圍是．13．已知△ABC是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是△ABC的重心．若，則＝．14．等腰三角形△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在線段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，則△ABC面積為，點(diǎn)M是△ABC外接圓上任意一點(diǎn)，則?最大值為．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，異于原點(diǎn)的A、B、C三點(diǎn)滿足OA2+2OB2+3OC2＝6，則△ABC面積的最大值為16．如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，∠x(chóng)Oy＝θ，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若（其中，分別是x軸，y軸正方向的單位向量），則P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為（x，y），向量的斜坐標(biāo)為（x，y）．給出以下結(jié)論：①若θ＝60°，P（2，﹣1），則||＝；②若P（x1，y1），Q（x2，y2），則；③若P（x，y），λ∈R，則λ；④若，，則；⑤若θ＝60°，以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為x2+y2+xy﹣1＝0．其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)，G是AD，BC的三等分點(diǎn)（AF＝AD，BG＝BC）．設(shè)＝，＝．（Ⅰ）用，表示，．（Ⅱ）如果||＝||，用向量的方法證明：EF⊥EG．18．已知△ABC中，過(guò)重心G的直線PQ交線段AB于P，交線段AC于Q，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，設(shè)的面積為S1，△ABC的面積為S2，．（1）用表示，并證明為定值；（2）求的取值范圍．19．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，（1）求角B的大?。唬?）若點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2DC，BD＝2，求