體系搭建體系搭建一、知識框架知識概念（一）正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）變形：①②角化邊③邊化角（二）余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2－2bccosA； ①b2=c2+a2－2cacosB； ②c2=a2+b2－2abcosC. ③在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得cosA=；cosB=；cosC=.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.（3）在ABC中，若，則角是直角；若，則角是鈍角；若，則角是銳角．（三）三角形中的公式變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式：其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（四）解斜三角形的常規(guī)思維方法（1）已知兩角和一邊（如），由求，由正弦定理求；（2）已知兩邊和夾角（如），應(yīng)用余弦定理求邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如），應(yīng)用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求邊，要注意解可能有多種情況；A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解也可設(shè)出第三邊,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.(五)射影定理在任意三角形中,設(shè)的對邊分別為a,b,c，則有（六）張角定理在中,是BC上的一點,連結(jié)AD.那么例題分析例題分析考向1利用正弦、余弦定理解三角形【例1】在中，，，，則變式訓(xùn)練【變1-1】在中，，，，則A． B． C． D．【變1-2】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3【變1-3】記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．【變1-4】．在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并判斷三角形是否有解，若有解，求出的值；若無解，請說明理由．在中，已知道，，分別是角，，的對邊，且滿足，．考向2判斷三角形的形狀【例2】在中，、、分別為角、、的對邊），則的形狀為A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形變式訓(xùn)練【變2-1】．（多選）下列命題中，正確的是A．在中，，則 B．在銳角中，不等式恒成立 C．在中，若，則必是等腰直角三角形 D．在中，若，，則必是等邊三角形【變2-2】．已知向量，，，（1）求函數(shù)的最小正周期及取得最大值時對應(yīng)的的值；（2）在銳角三角形中，角、、的對邊為、、，若，求三角形面積的最大值并說明此時該三角形的形狀．【變2-3】在中，角，，所對的邊長為，，，，．（Ⅰ）若，求的面積；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．考向3三角形面積有關(guān)計算問題【例3】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，則的面積為________.變式訓(xùn)練【變3-1】．（多選）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜幕減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是A．周長為 B．三個內(nèi)角，，滿足關(guān)系 C．外接圓半徑為 D．中線的長為【變3-2】在中，、、的對邊分別為、、，且，則的面積為．【變3-3】在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為．【變3-4】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點，是圓弧與直線的切點，四邊形為矩形，，垂足為，，，，，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為．【變3-5】的內(nèi)角、、的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．考向4平面幾何中的解三角形問題【例4】如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則．變式訓(xùn)練【變4-1】如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，（1）求的值；（2）若，求的長【變4-2】如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，，分別為線段上的點，且，．（1）求線段的長；（2）求的面積．【變4-3】如圖，在四邊形中，，，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．考向5射影定理在三角形中的應(yīng)用【例5】．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則B＝____A． B． C． D．變式訓(xùn)練【變5-1】．在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，已知a＝2，則bcosC+ccosB等于（）A．1 B． C．4 D．2【變5-2】．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝bcosC且c＝6，A＝，則△ABC的面積（）A．2 B．3 C．4 D．6【變5-3】△ABC中角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若a＝bcosC+csinB，b＝2，則△ABC面積的面積的最大值為______.考向6張角定理在三角形中的應(yīng)用【例6】．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足為∠BAC的角平分線，且，則b＝．變式訓(xùn)練【變6-1】．如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα＝7，與的夾角為45°．若＝m+n（m，n∈R），則m+n＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【變6-2】．已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分線，則AC＝（）A． B． C． D．【變6-3】．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則2a+c的最小值為．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則等于（）A． B． C． D．2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，設(shè)AB邊上的高為h，則h＝（）A． B． C． D．3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，則＝（）A．6 B．5 C．4 D．3（多選）4．某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3km，結(jié)果離出發(fā)點恰好，則x的值為（）A． B．2 C．2 D．3（多選）5．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形 B．若△ABC為銳角三角形，有，則sinA＞cosB C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個 D．若sin2A+sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，A＝60°，則c＝3，sinB+sinC＝．7．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosB＝，b＝4，S△ABC＝4，則△ABC的周長為．8．在△ABC中，C＝60°，且＝2，則△ABC的面積S的最大值為．9．如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝，則BD的長為．10．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面積為，若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC＝，則CD＝．11．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinB+bcosA＝0．（1）求角A的大??；（2）若，b＝2，求△ABC的面積S．12．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周長的最大值．13．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．14．如圖，在△ABC中，角A．B、C所對的邊分別為a、b、c，bcosA﹣asinB＝0．（1）求∠BAC：（2）若AB⊥AD，AC＝2，CD＝，求AD的長．15．如圖，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D為BC邊上一點．（I）若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的長；（Ⅱ）若AB＝AD，試求△ADC的周長的最大值．16．在①（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB），②2ccosC＝acosB+bcosA，③△ABC的面積為c（asinA+bsinB﹣csinC）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．已知△