體系搭建體系搭建一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.虛數(shù)單位:（1）它的平方等于，即；（2）與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；（4）的周期性：，，，（）.2.概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部。說(shuō)明：這里容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。3.復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)0.所以復(fù)數(shù)的分類(lèi)如下:（）5.復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即：如果，那么.特別地:.應(yīng)當(dāng)理解:（1）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.（2）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ).一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。6.共軛復(fù)數(shù)：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：復(fù)數(shù)和（）互為共軛復(fù)數(shù)。二、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母表示，即（），把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。2.四則運(yùn)算；；復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：。三、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)（）可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)。對(duì)于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)。故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。2.復(fù)數(shù)的幾何表示（1）坐標(biāo)表示:在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（）；（2）向量表示:以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù).向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模，記作.即.3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量。4.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)。例題分析例題分析考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念【例1】．已知復(fù)數(shù)z＝m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i；當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)（4）零．變式訓(xùn)練【變1-1】（多選）．已知復(fù)數(shù)，則（）A．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)z的虛部為 C．復(fù)數(shù)z的模為 D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為【變1-2】．以2i﹣的虛部為實(shí)部，以i﹣2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是（）A．2+i B．2﹣2i C．﹣+i D．+i【變1-3】．歐拉公式eix＝cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的虛部為．考點(diǎn)2復(fù)數(shù)相等問(wèn)題【例2】．已知復(fù)數(shù)z1＝a+2i，，a∈R，若z1＝z2，則a＝（）A．2 B．3 C．﹣3 D．9變式訓(xùn)練【變2-1】．若z1＝﹣3﹣4i，z2＝（n2﹣3m﹣1）+（n2﹣m﹣6）i（m，n∈R），且z1＝z2，則m+n＝（）A．4或0 B．﹣4或0 C．2或0 D．﹣2或0【變2-2】．定義運(yùn)算＝ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i＝，求實(shí)數(shù)x，y的值．【變2-3】．已知關(guān)于x，y的方程組有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a，b的值．考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義【例3】．已知復(fù)數(shù)z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C，若＝x+y（x、y∈R），則x﹣y的值是變式訓(xùn)練【變3-1】．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i，﹣2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B．若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A．4+8i B．8+2i C．4+i D．2+4i【變3-2】．關(guān)于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集為（﹣1，2），則復(fù)數(shù)m+pi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第象限．【變3-3】．已知x∈R，設(shè)z＝log2（3+x）+ilog2（3﹣x），當(dāng)x為何值時(shí)：（1）在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限？（2）在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y﹣2＝0上．考點(diǎn)4復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)【例4】．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．A B．B C．C D．D變式訓(xùn)練【變4-1】．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，|z|＝5，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y＝x上，則z＝．【變4-2】．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2m）+（3+m）i（m∈R）．（1）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍；（2）求當(dāng)m為何值時(shí)，|z|最小，并求|z|的最小值．考點(diǎn)5復(fù)數(shù)的幾何意義及加、減運(yùn)算【例5】．已知復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣i（a∈R，i為虛數(shù)單位）．（1）若z1?z2是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式訓(xùn)練【變5-1】．已知復(fù)數(shù)z+3i﹣3＝3﹣3i，則z＝（）A．0 B．6i C．6 D．6﹣6i【變5-2】（多選）．下面關(guān)于|（3+2i）﹣（1+i）|的表述正確的是（）A．點(diǎn)（3，2）與點(diǎn)（1，1）之間的距離 B．點(diǎn)（3，2）與點(diǎn)（﹣1，﹣1）之間的距離 C．點(diǎn)（2，1）到原點(diǎn)的距離 D．坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）的向量的?！咀?-3】．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z＝．【變5-4】．復(fù)數(shù)，其中a∈R．（1）若a＝﹣2，求z1的模；（2）若是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．考點(diǎn)6復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算【例6】．計(jì)算：（1）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）；（2）．變式訓(xùn)練【變6-1】．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z1＝3+4i，若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1與Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則Z1?Z2＝（）A．﹣25 B．25 C．﹣7 D．7【變6-2】．已知a，b∈R，（1+ai）（1+bi）＝2+i（i為虛數(shù)單位），則a+b＝，|a+bi|＝．【變6-3】．已知復(fù)數(shù)z＝m﹣2i（m∈R），ω＝z（z+i）的虛部減去它的實(shí)部所得的差為﹣4m，則|z|＝．考點(diǎn)7復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【例7】．（1）＝；（2）（）6+＝．變式訓(xùn)練【變7-1】．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝，則以下命題為真命題的是（）A．z的共軛復(fù)數(shù)為 B．z的虛部為 C．|z|＝3 D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【變7-2】．已知復(fù)數(shù)z＝a2+﹣1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【變7-3】．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z和|z|；（2）若復(fù)數(shù)z1＝﹣2m+（m2﹣2m﹣5）i在第四象限，求m的取值范圍．考點(diǎn)8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例8】．已知x＝﹣1+i是方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一個(gè)根．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明．變式訓(xùn)練【變8-1】．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程2x2﹣x+3＝0的解（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【變8-2】．已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個(gè)根，則a+b＝．【變8-3】．已知復(fù)數(shù)z＝2+i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根．（1）求p+q的值；（2）復(fù)數(shù)w滿足z?w是實(shí)數(shù)，且|w|＝2，求復(fù)數(shù)w．考點(diǎn)9復(fù)數(shù)的三角表示形式【例9】．已知k是實(shí)數(shù)，ω是非零復(fù)數(shù)，且滿足argω＝，（1+）2+（1+i）2＝1+kω．（1）求ω；（2）設(shè)z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π），若|z﹣ω|＝1+，求θ的值．變式訓(xùn)練【變9-1】．將復(fù)數(shù)4[cos（﹣）+isin（﹣）]化成代數(shù)形式，正確的是（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i【變9-2】．復(fù)數(shù)z＝3（cos+isin）的模是．【變9-3】．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，且z1，z2的輻角主值分別為α，β，模長(zhǎng)均為1．若△AOB的重心G對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為+i，求tan（α+β）．考點(diǎn)10復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義【例10】．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝+i，復(fù)數(shù)z2滿足|z2|＝2，且z1?z22在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，argz2∈（0，π），求z2的代數(shù)形式．變式訓(xùn)練【變10-1】．計(jì)算（cos+isin）×（cos+isin）＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【變10-2】．（cos60°﹣isin240°）×6（cos30°﹣isin210°）＝．【變10-3】．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)4+4i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°，求與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．考點(diǎn)11復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義【例11】．在復(fù)平面內(nèi)，將與復(fù)數(shù)3﹣i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，求與所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，寫(xiě)出你的思考過(guò)程．變式訓(xùn)練【變11-1】．計(jì)算2÷2（cos60°+isin60°）＝（）A．+i B．﹣i C．i D．i【變11-2】．（i）÷3（cos120°﹣isin300°）＝．【變11-3】．復(fù)數(shù)是方程x5﹣α＝0的一個(gè)根，那么α的值等于．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．復(fù)數(shù)＝（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i2．已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A．﹣1 B． C． D．13．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣3i）＝5﹣5i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝（）A． B． C．e D．π5．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z1＝1﹣i對(duì)應(yīng)的向量為，現(xiàn)將向量繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到向量，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，則＝（）A．2i B． C．2 D．（多選）6．下列命題正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R B．若復(fù)數(shù)z滿足，則z是純虛數(shù) C．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|，則z1＝±z2 D．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足且z1≠0，則|z1|＝|z2|（多選）7．在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足z?＝0，則z＝0 B．對(duì)任意復(fù)數(shù)z，必有|z|2＝z2 C．若復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），則“z為純虛數(shù)”的充要條件是“a＝0” D．若復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓（多選）8．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（）A．|z2|＝|z|2 B．當(dāng)r＝2，θ＝時(shí)，＝i C．當(dāng)r＝1，時(shí)，z3＝﹣1 D．當(dāng)r＝1，時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)zn為純虛數(shù)9．已知，則（）A．x4+x3+x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9） B．x4﹣x3+x2﹣x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9） C．x4﹣x3﹣x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9） D．x4+x3+x2﹣x﹣1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）10．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則|2+ai|＝．11．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+2＝0的解為．12．已知z1，z2∈C且z1＝i（i為虛數(shù)單位），滿足|z1﹣1|＝1，則|z1﹣z2|的取值范圍為．13．已知復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．若i為虛數(shù)單位，且，則a2022+a2023+1＝．15．德國(guó)數(shù)學(xué)家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖像表示法，形成由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的“復(fù)平面”，后來(lái)又稱“阿甘得平面”．高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也像實(shí)數(shù)一樣的“代數(shù)化”．若復(fù)數(shù)z滿足z?（1+2i）＝3+i，則復(fù)數(shù)z的模是．16．已知復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z1﹣z2+z3是實(shí)數(shù)？（2）當(dāng)a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z1﹣z2+z3是純虛數(shù)？17．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若z1＝+﹣i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（1）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z＝1+3i，求．（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣3+4i，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2