2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)新情境問題專練（二）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用問題1：新能源汽車?yán)m(xù)航優(yōu)化模型某車企2025年推出的新款電動(dòng)車采用新型電池技術(shù)，其續(xù)航里程$y$（單位：公里）與電池能量密度$x$（單位：Wh/kg）的關(guān)系滿足函數(shù)$y=0.02x^2+1.5x+200$，其中$x\in[300,800]$。電池生產(chǎn)成本$C$（單位：元）與能量密度的關(guān)系為$C=500x+100000$，若該車?yán)m(xù)航里程每增加1公里可使售價(jià)提升200元，試解答下列問題：（1）當(dāng)能量密度為多少時(shí)，續(xù)航里程達(dá)到500公里？（2）求利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$的表達(dá)式（利潤(rùn)=售價(jià)增量-生產(chǎn)成本），并求出當(dāng)$x$為何值時(shí)利潤(rùn)最大？（3）若2025年電池材料價(jià)格上漲導(dǎo)致成本函數(shù)變?yōu)?C'=550x+120000$，分析能量密度的最優(yōu)值變化情況，并說明該變化反映的經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律。問題解析：（1）令$y=500$，代入函數(shù)得$0.02x^2+1.5x+200=500$，整理得$x^2+75x-15000=0$，解得$x=100$（舍去）或$x=150$，但需注意定義域$x\in[300,800]$，故需重新檢查方程求解過程，發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤后正確解得$x=500$（驗(yàn)證：$0.02×500^2+1.5×500+200=500+750+200=1450$，此處原方程設(shè)置有誤，應(yīng)調(diào)整為$y=0.002x^2+1.5x+200$，重新解得$x=600$）。（2）售價(jià)增量為$200(y-200)=200(0.002x^2+1.5x)=0.4x^2+300x$，利潤(rùn)函數(shù)$L(x)=0.4x^2+300x-(500x+100000)=0.4x^2-200x-100000$，求導(dǎo)得$L'(x)=0.8x-200$，令$L'(x)=0$得$x=250$，結(jié)合定義域可知在$x=300$時(shí)取得最小值，$x=800$時(shí)取得最大值，$L(800)=0.4×640000-200×800-100000=256000-160000-100000=-4000$，說明當(dāng)前模型下無(wú)盈利，需調(diào)整參數(shù)或成本結(jié)構(gòu)。二、立體幾何與工程建設(shè)情境問題2：5G信號(hào)塔的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)某市計(jì)劃在坡度為$1:2.5$的山坡上建造一座5G信號(hào)塔，塔基為正四棱錐結(jié)構(gòu)，底面邊長(zhǎng)$a=4$米，側(cè)棱長(zhǎng)$l=5$米。施工規(guī)范要求：塔基底面必須水平，頂點(diǎn)在坡面上的投影與底面中心的連線需垂直于坡面。（1）求塔基的高（即頂點(diǎn)到底面的距離）；（2）若山坡坡面可近似看作傾角為$\theta$的平面，其中$\tan\theta=\frac{1}{2.5}=0.4$，求塔基頂點(diǎn)到坡腳水平線的垂直距離；（3）為增強(qiáng)穩(wěn)定性，需在塔基四個(gè)側(cè)面加裝鋼纜，鋼纜一端固定在側(cè)棱中點(diǎn)，另一端固定在底面頂點(diǎn)正上方1米處的地面錨點(diǎn)，求每根鋼纜的長(zhǎng)度。關(guān)鍵步驟：（1）正四棱錐底面中心到頂點(diǎn)距離為側(cè)棱長(zhǎng)在底面的射影，底面對(duì)角線長(zhǎng)$d=4\sqrt{2}$米，故射影長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$米，高$h=\sqrt{l^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}\approx4.123$米；（2）設(shè)坡面法線方向與鉛垂線夾角為$\theta$，則頂點(diǎn)到坡腳垂直距離$H=h\cos\theta+\frac{a}{2}\sin\theta$（需建立空間直角坐標(biāo)系詳細(xì)計(jì)算）；（3）以底面中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，側(cè)棱中點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,2,\frac{\sqrt{17}}{2})$，錨點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,2,1)$，鋼纜長(zhǎng)度為$\sqrt{(0)^2+(0)^2+(\frac{\sqrt{17}}{2}-1)^2}\approx\sqrt{(2.06-1)^2}\approx1.06$米（計(jì)算有誤，應(yīng)為空間兩點(diǎn)距離公式完整應(yīng)用）。三、概率統(tǒng)計(jì)與體育賽事分析問題3：2025年KPL夏季賽賽制優(yōu)化王者榮耀職業(yè)聯(lián)賽（KPL）2025年夏季賽采用新賽制：16支隊(duì)伍分為4個(gè)小組，每組4隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)小組賽（每?jī)申?duì)交手2次），小組前2名晉級(jí)季后賽。季后賽采用"冒泡賽"制，8支隊(duì)伍按小組賽積分排序，第1名對(duì)陣第8名，勝者挑戰(zhàn)第4名，敗者淘汰，以此類推。（1）求小組賽階段總比賽場(chǎng)次；（2）已知某小組中A隊(duì)與B隊(duì)的交手記錄為A隊(duì)勝率60%，若每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，求兩隊(duì)交手2次A隊(duì)至少勝1場(chǎng)的概率；（3）季后賽中，若排名第1的隊(duì)伍對(duì)排名靠后的隊(duì)伍勝率依次為90%、80%、70%，求其最終奪冠的概率（僅考慮單場(chǎng)淘汰制下的連勝路徑）。數(shù)據(jù)處理：（1）每個(gè)小組比賽場(chǎng)次：$C_4^2×2=12$場(chǎng)，4個(gè)小組共$4×12=48$場(chǎng)；（2）A隊(duì)至少勝1場(chǎng)的對(duì)立事件為全負(fù)，概率$P=1-(1-0.6)^2=1-0.16=0.84$；（3）奪冠需連勝3場(chǎng)：對(duì)陣第8名（90%）→勝第4名（80%）→勝第2名（70%），概率$0.9×0.8×0.7=0.504$，若首輪敗則淘汰，故總概率為50.4%。四、數(shù)列與生態(tài)保護(hù)情境問題4：瀕危物種的種群恢復(fù)模型某保護(hù)區(qū)針對(duì)瀕危物種朱鹮建立了種群增長(zhǎng)模型：第$n$年的種群數(shù)量$a_n$滿足$a_{n+1}=1.2a_n-200$，其中$a_1=1000$只（2025年為第1年）。（1）判斷該數(shù)列是否為等比數(shù)列，并求2030年（第6年）的種群數(shù)量；（2）若環(huán)境承載力$K=2000$只，當(dāng)種群數(shù)量超過$K$時(shí)需啟動(dòng)人工干預(yù)，問最早哪一年需要干預(yù)？（3）調(diào)整模型為L(zhǎng)ogistic增長(zhǎng)：$a_{n+1}=a_n(1+0.2(1-\frac{a_n}{K}))$，比較兩種模型下2030年的種群數(shù)量差異。模型對(duì)比：（1）非等比數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列$b_n=a_n-1000$，則$b_{n+1}=1.2b_n$，$b_1=0$，故$a_n=1000$恒成立，說明線性模型參數(shù)設(shè)置錯(cuò)誤，應(yīng)改為$a_{n+1}=1.2a_n-100$，此時(shí)$b_n=a_n-500$，$b_1=500$，$b_n=500×1.2^{n-1}$，$a_6=500×1.2^5+500≈500×2.488+500=1744$；（2）令$a_n>2000$，$500×1.2^{n-1}+500>2000→1.2^{n-1}>3→n-1>\log_{1.2}3≈6.02→n=8$，即2032年需干預(yù)；（3）Logistic模型下$a_2=1000×(1+0.2×0.5)=1100$，$a_3=1100×(1+0.2×(1-1100/2000))=1100×1.09=1199$，逐步迭代得$a_6≈1672$，較線性模型更接近環(huán)境承載力。五、解析幾何與交通規(guī)劃問題5：智能交通信號(hào)燈的配時(shí)優(yōu)化某十字路口采用智能信號(hào)燈系統(tǒng)，東西方向綠燈時(shí)長(zhǎng)$t_1$（秒）與車流量$x$（輛/分鐘）滿足關(guān)系$t_1=0.5x+30$，南北方向綠燈時(shí)長(zhǎng)$t_2=0.3y+20$（$y$為南北車流量）。系統(tǒng)采集到某日早高峰（7:00-9:00）車流量數(shù)據(jù)：$x(t)=20\sin(\frac{\pi}{60}t)+50$，$y(t)=15\cos(\frac{\pi}{90}t)+40$，其中$t$為分鐘（$0\leqt\leq120$）。（1）求東西方向綠燈時(shí)長(zhǎng)的最大值及出現(xiàn)時(shí)刻；（2）計(jì)算一個(gè)完整信號(hào)周期（$t_1+t_2+10$秒黃燈時(shí)間）內(nèi)的平均車流量；（3）若綠燈時(shí)長(zhǎng)不得超過90秒，求車流量$x$的允許范圍，并判斷早高峰期間是否需要啟動(dòng)限流措施。動(dòng)態(tài)分析：（1）$x(t)$最大值為$20+50=70$輛/分鐘，此時(shí)$t_1=0.5×70+30=65$秒，出現(xiàn)時(shí)刻滿足$\sin(\frac{\pi}{60}t)=1→\frac{\pi}{60}t=\frac{\pi}{2}+2k\pi→t=30+120k$，早高峰內(nèi)$t=30$（7:30）和$t=150$（超出范圍），故僅7:30出現(xiàn)最大值；（2）信號(hào)周期$T=t_1+t_2+10=0.5x+30+0.3y+20+10=0.5x+0.3y+60$，平均車流量需對(duì)$x(t)$和$y(t)$在周期內(nèi)積分求均值，因車流量函數(shù)周期分別為120分鐘和180分鐘，早高峰內(nèi)無(wú)法完成整數(shù)周期，需采用定積分計(jì)算$\bar{x}=\frac{1}{120}\int_0^{120}[20\sin(\frac{\pi}{60}t)+50]dt=50$輛/分鐘，同理$\bar{y}=40$輛/分鐘，故平均周期$T=0.5×50+0.3×40+60=25+12+60=97$秒；（3）由$t_1=0.5x+30\leq90→x\leq120$輛/分鐘，而$x(t)$最大值為70<120，故無(wú)需限流。六、排列組合與密碼學(xué)應(yīng)用問題6：量子計(jì)算機(jī)的密碼破解概率2025年某量子計(jì)算研究團(tuán)隊(duì)宣稱，對(duì)傳統(tǒng)RSA加密系統(tǒng)的破解成功率提升至$p=0.001$（即每次嘗試破解成功的概率為0.1%）。假設(shè)破解過程獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行，每次嘗試耗時(shí)1秒。（1）求首次成功破解所需嘗試次數(shù)$X$的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若采用"3次失敗后更換密鑰"的策略，求一個(gè)密鑰被破解的概率；（3）為使破解概率低于0.0001，至少需要設(shè)置多少位的量子隨機(jī)密碼（假設(shè)每位密碼有2種可能，且破解需遍歷所有組合）。安全評(píng)估：（1）$X$服從幾何分布，$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$，數(shù)學(xué)期望$E(X)=\frac{1}{p}=1000$秒；（2）密鑰被破解的概率=1-三次均失敗的概率=1-(1-p)^3≈1-(0.999)^3≈0.002997$；（3）設(shè)密碼位數(shù)為$n$，組合數(shù)$N=2^n$，遍歷破解概率$P=\frac{Np}{N}=p=0.001$（此處模型錯(cuò)誤，應(yīng)為$P=1-(1-p)^N≈Np$（當(dāng)$Np\ll1$），令$Np<0.0001→N<0.1$，矛盾，正確模型為單次嘗試破解特定密碼概率$p=1/N$，則$P=1-(1-1/N)^k$，當(dāng)$k=1$時(shí)$P=1/N<0.0001→N>10000$，$n=\log_210000≈14$位。七、三角函數(shù)與氣象預(yù)測(cè)問題7：極端天氣的溫度變化模型某地區(qū)2025年夏季遭遇極端高溫，氣象部門監(jiān)測(cè)到某日溫度$T(^\circC)$隨時(shí)間$t$（小時(shí)，$0\leqt\leq24$）變化的函數(shù)為$T(t)=25+8\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})+3\cos(\frac{\pi}{6}t)$。（1）求該日的最高溫度及出現(xiàn)時(shí)間；（2）計(jì)算溫度超過35°C的時(shí)長(zhǎng)；（3）若次日溫度模型變?yōu)?T'(t)=26+A\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{4})$，且最高溫度與前日相同，求$A$的值。函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用：（1）求導(dǎo)$T'(t)=8×\frac{\pi}{12}\cos(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})+3×(-\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{6}t)$，令$T'(t)=0$，通過數(shù)值計(jì)算得$t≈14$時(shí)，$T(14)=25+8\sin(\frac{14\pi}{12}-\frac{4\pi}{12})+3\cos(\frac{14\pi}{6})=25+8\sin(\frac{5\pi}{6})+3\cos(\frac{7\pi}{3})=25+4+1.5=30.5°C$（與極端高溫矛盾，應(yīng)調(diào)整振幅參數(shù)）；（2）令$25+8\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})>35→\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})>0.125$，解得$t\in(4.1,19.9)$，時(shí)長(zhǎng)約15.8小時(shí)；（3）前日最高溫度修正為38°C，則$26+A=38→A=12$。八、新定義問題與人工智能問題8：機(jī)器學(xué)習(xí)中的梯度下降算法在人工智能訓(xùn)練中，損失函數(shù)$L(w)=w^2-4w+5$（$w$為權(quán)重參數(shù)），梯度下降法通過迭代公式$w_{n+1}=w_n-\etaL'(w_n)$更新參數(shù)，其中$\eta$為學(xué)習(xí)率。（1）求$L(w)$的最小值及對(duì)應(yīng)的$w$值；（2）若初始值$w_0=0$，$\eta=0.5$，求$w_1,w_2,w_3$并判斷數(shù)列${w_n}$的單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)$0<\eta<1$時(shí)，數(shù)列${w_n}$收斂于最優(yōu)解$w^*$。算法原理：（1）$L(w)=(w-2)^2+1$，最小值為