第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省揚州市2026屆高三上學期期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={x|lnx<1,x∈Z}，B={x||x|≤3}，則A∩B=(

)A.{1,2,3} B.{1,2} C.(0,e) D.(0,3]2.函數y=sin3x圖象的一條對稱軸方程為(

)A.x=0 B.x=π12 C.x=π3.“?x1，x2∈[1,2]，當x1<x2時，都有f(A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.函數y=f(x)的部分圖象如圖所示，則y=f(x)的解析式可以是(

)A.f(x)=x+sinx

B.f(x)=xsinx

C.f(x)=x+cosx

D.f(x)=xcosx5.?x∈R，[x]表示不超過x的最大整數，十八世紀，函數y=[x]被高斯采用，因此得名高斯函數，例如：[?2.2]=?3，[2.1]=2.若[x]2?2[x]≤0，則實數xA.[0,2] B.(0,2) C.[0,3) D.(0,3)6.若2sinθ?cosθ=2，θ∈(π2,π)，則cos2θ=A.?35 B.35 C.?7.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+2bcosA=2c，2sin(C+π3)=3A.33 B.1 C.38.已知a=sinπ9，b=ln98A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在正△ABC中，邊長為3，D為邊BC的中點，則下列結論正確的有(

)A.AB+BC+CA=0 B.AB在BC上的投影向量為BD10.下列各式結果為1的有(

)A.2(1?2sin215°) B.3?tan15°1+11.已知x>0，y>0且x+y=1，則下列結論正確的有(

)A.1x+2y的最小值為3+22 B.x+y的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b，c均為單位向量，且a+b=c，則a和b的夾角大小為

13.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)：

．

①f(x1x2)=f(x1)+f(x2)14.在平面四邊形ABCD中，∠A=π3，∠B=2π3，AB=2，AD=3，若滿足上述條件的平面四邊形ABCD有且只有1個，則邊CD的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<π2)的部分圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式及其單調增區(qū)間；

16.(本小題15分)

一個盒子中有6個大小重量相同的小球，其中2個白球，4個黑球，甲同學從盒子中分3次隨機抽取，每次抽取1個球．

(1)若每次抽出的球放回，求恰有2次抽取到黑球的概率；

(2)若每次抽出的球不放回．

①記抽取到的黑球個數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；

②在抽取到1個黑球與2個白球的前提下，求第2次抽到黑球的概率．17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD和四棱錐Q?ABCD中，底面ABCD為邊長為6的正方形，PA⊥平面ABCD，QD⊥平面ABCD，且PA=QD=8．

(1)求證：PA//平面QCD；

(2)求直線QB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)求四棱錐P?ABCD和四棱錐Q?ABCD重合部分的體積．18.(本小題17分)

已知函數f(x)=ae2x+(a?2)ex?x．

(1)若函數f(x)在x=0處的切線方程為y=3x+b，求b的值；

(2)討論f(x)的單調性；

(3)當a=1時，記函數g(x)=f(x)?x(ex19.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S.已知sinB=3sinC．

(1)若a2?c2=2SsinA，求cosA的值；

(2)若S=32，求a2的最小值；

(3)若A=π3，c=1，P，參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.120°

13.f(x)=log12|x|(答案不唯一，滿足f(x)=log14.{15.解：(1)由題意得f(x)的最大值為A=2，

函數的周期T滿足3T4=5π12?(?π3)=3π4，可得T=π，即2πω=π，解得ω=2，

因為x=5π12時，f(x)取得最大值，所以2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，

結合φ∈(?π2,π2)，解得φ=?π3，可得f(x)=2sin(2x?π3)，

令?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ(k∈Z)，

解得f(x)的遞增區(qū)間為[?π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z；

(2)當x∈[0,π]時，2x?π3∈[?π3,5π6]，

若f(x)≥1，則X

12

3

P

1

3

1E(X)=1×15+2×35+3×15=2；

②記事件A為“抽取到1個黑球與2個白球”，事件B為“第2次抽到黑球”，

則事件AB為“第1次和第3次抽到白球，第2次抽到黑球”，

因為P(AB)=26×45×17.解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，QD⊥平面ABCD，

所以PA//QD，

又因為PA?平面QCD，QD?平面QCD，

所以PA//平面QCD；

(2)分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

由題意得：B(6,0,0)，P(0,0,8)，D(0,6,0)，C(6,6,0)，Q(0,6,8)，

所以QB=(6,?6,?8)，CD=(?6,0,0)，PD=(0,6,?8)，

設平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

故n?CD=(x,y,z)?(?6,0,0)=?6x=0n?PD=(x,y,z)?(0,6,?8)=6y?8z=0，令y=4得x=0y=4z=3，

故平面PCD的一個法向量為n=(0,4,3)，

直線QB與平面PCD所成角為α，

sinα=|cos<QB,n>|=|QB?n|QB||n||=|?6×4?8×362+62+82×42+32|=123485，

所以直線QB與平面PCD所成角的正弦值123485；

(3)連接PQ，由PA//QD且PA=QD，

可得：四邊形APQD為平行四邊形，故PD，QA相交，設交點為H，

18.解：(1)f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1，

因函數f(x)在x=0處的切線方程為y=3x+b，

則f′(0)=3a?3=3，f(0)=2a?2=b，得a=2，b=2；

(2)f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(2ex+1)(aex?1)，2ex+1>0，

當a≤0時，f′(x)<0，則f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f′(x)<0，得x<?lna；f′(x)>0，得x>?lna；

則f(x)在(?∞,?lna)上單調遞減，在(?lna,+∞)上單調遞增．

綜上，a≤0時，f(x)在R上單調遞減；

a>0時，f(x)在(?∞,?lna)上單調遞減，在(?lna,+∞)上單調遞增．

(3)證明：當a=1時，g(x)=f(x)?x(ex?1)=e2x?ex?x?x(ex?1)=e2x?(x+1)ex，

則g′(x)=2e2x?(x+2)ex=ex(2ex?x?2)，

令h(x)=2ex?x?2，則h′(x)=2ex?1，

則h′(x)>0得x>ln12，則h(x)<0得x<ln12，

則h(x)在(?∞,ln12)上單調遞減，在(ln12,+∞)上單調遞增，

故h(x)min=h(ln12)=ln2?1<0，

又h(0)=0，h(?1)=2e?1?1<0，h(?2)=2e?2>0，

則由零點存在性定理可知，?x0∈(?2,?1)使得h(x0)=2ex0?x0?2=0，

則x<x0或x>0時，h(x)>0，g′(x)>0；x0<x<0時，h(x)<0，g′(x)<0，

故g(x)在(?∞,x0)和(0,+∞)上