2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)回歸教材基礎(chǔ)題（二）一、集合與常用邏輯用語1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|\log_2(x-1)=0})，則(A\cupB=)（）解析：解方程(x^2-3x+2=0)得(x=1)或(x=2)，故(A={1,2})；由(\log_2(x-1)=0)得(x-1=1)，即(x=2)，故(B={2})。因此(A\cupB={1,2})。2.命題“(\forallx\in\mathbf{R},x^2+x+1>0)”的否定是（）解析：全稱命題的否定為特稱命題，即“(\existsx_0\in\mathbf{R},x_0^2+x_0+1\leq0)”。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)3.函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\lg(3-x)})的定義域?yàn)椋ǎ┙馕觯盒铦M足(\begin{cases}x-1\geq0\3-x>0\\lg(3-x)\neq0\end{cases})，解得(1\leqx<3)且(x\neq2)，故定義域?yàn)?[1,2)\cup(2,3))。4.已知函數(shù)(f(x)=2^x+a\cdot2^{-x})為偶函數(shù)，則(a=)（）解析：由(f(-x)=f(x))得(2^{-x}+a\cdot2^x=2^x+a\cdot2^{-x})，整理得((a-1)(2^x-2^{-x})=0)對(\forallx)成立，故(a=1)。5.函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{1}{x})的單調(diào)遞減區(qū)間為（）解析：求導(dǎo)得(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2})，令(f'(x)<0)得(0<x<1)，故遞減區(qū)間為((0,1))。三、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.曲線(y=x^3-2x+1)在點(diǎn)((1,0))處的切線方程為（）解析：求導(dǎo)得(y'=3x^2-2)，則切線斜率(k=y'|_{x=1}=1)，故切線方程為(y-0=1\cdot(x-1))，即(y=x-1)。7.函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+3x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）解析：(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0)，導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故個(gè)數(shù)為(0)。四、三角函數(shù)與解三角形8.已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，則(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=)（）解析：由(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))得(\cos\alpha=-\frac{4}{5})，則[\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}]9.在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7)，故(c=\sqrt{7})。五、平面向量10.已知向量(\boldsymbol{a}=(2,1))，(\boldsymbol=(1,-2))，則(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol=)（），(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=)（）解析：(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol=(4,2)-(1,-2)=(3,4))；(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=2\times1+1\times(-2)=0)。11.已知(|\boldsymbol{a}|=2)，(|\boldsymbol|=3)，(\boldsymbol{a})與(\boldsymbol)的夾角為(60^\circ)，則(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=)（）解析：(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|^2=|\boldsymbol{a}|^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2=4+2\times2\times3\times\cos60^\circ+9=19)，故(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=\sqrt{19})。六、數(shù)列12.已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_3=5)，(a_7=13)，則(a_{10}=)（）解析：設(shè)公差為(d)，則(a_7-a_3=4d=8)，解得(d=2)，故(a_{10}=a_7+3d=13+6=19)。13.等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）解析：由(S_6=S_3+q^3S_3)得(63=7(1+q^3))，解得(q^3=8)，即(q=2)。七、不等式14.解不等式(x^2-2x-3\leq0)，并求其解集在數(shù)軸上的表示。解析：因式分解得((x-3)(x+1)\leq0)，解集為([-1,3])，數(shù)軸表示為區(qū)間內(nèi)包含端點(diǎn)的線段。15.已知(x>0)，(y>0)，且(x+2y=4)，則(xy)的最大值為（）解析：由基本不等式得(x+2y\geq2\sqrt{2xy})，即(4\geq2\sqrt{2xy})，解得(xy\leq2)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=2)，(y=1)時(shí)取等號。八、立體幾何16.一個(gè)正方體的棱長為(2)，則其外接球的表面積為（）解析：正方體的體對角線長為(2\sqrt{3})，即外接球的直徑(2R=2\sqrt{3})，(R=\sqrt{3})，表面積(S=4\piR^2=12\pi)。17.已知直線(l\perp)平面(\alpha)，直線(m\subset)平面(\beta)，則“(\alpha\parallel\beta)”是“(l\perpm)”的（）解析：若(\alpha\parallel\beta)，則(l\perp\beta)，故(l\perpm)；反之，若(l\perpm)，(\alpha)與(\beta)可能相交。故為充分不必要條件。九、解析幾何18.已知圓(C:x^2+y^2-4x+2y+1=0)，則圓心坐標(biāo)為（），半徑為（）解析：配方得((x-2)^2+(y+1)^2=4)，圓心為((2,-1))，半徑(r=2)。19.雙曲線(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)的實(shí)軸長為（），漸近線方程為（）解析：(a=3)，實(shí)軸長(2a=6)；漸近線方程為(y=\pm\frac{4}{3}x)。20.拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為（）解析：由(2p=4)得(p=2)，焦點(diǎn)((1,0))，準(zhǔn)線(x=-1)。十、概率與統(tǒng)計(jì)21.從(1,2,3,4,5)中任取(2)個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率為（）解析：總基本事件數(shù)為(\text{C}_5^2=10)，和為偶數(shù)需兩數(shù)同奇或同偶，共有(\text{C}_3^2+\text{C}_2^2=3+1=4)種，概率(P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})。22.一組數(shù)據(jù)(1,2,3,4,5)的方差為（）解析：平均數(shù)(\bar{x}=3)，方差(s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=2)。十一、復(fù)數(shù)23.復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=)（）解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)，共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)。十二、選考內(nèi)容（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）24.在極坐標(biāo)系中，曲線(\rho=2\cos\theta)與直線(\theta=\frac{\pi}{4}(\rho\in