數(shù)學(xué)競(jìng)賽小學(xué)奧數(shù)之位值原理解題教學(xué)目標(biāo)12..利用位值原理的定義進(jìn)行拆分巧用方程解位值原理的題知識(shí)點(diǎn)撥位值原理當(dāng)我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過(guò)程中，會(huì)碰到的數(shù)越來(lái)越大，如果這種聯(lián)系過(guò)程中，只用我們的手指頭，那么到了“十”這個(gè)數(shù)，我們就無(wú)法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過(guò)能數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無(wú)窮無(wú)盡地寫下去的，因此，我們必須把數(shù)的概念從實(shí)物的世界中解放出來(lái)，抽象地研究如何表示它們，如何對(duì)它們進(jìn)行運(yùn)算。這就涉及到了記數(shù)，記數(shù)時(shí)，同一個(gè)數(shù)字由于所在位置的不同，表示的數(shù)值也不同。既是說(shuō)，一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。例555表示五百五十五時(shí)，這三個(gè)數(shù)字具有相同的數(shù)值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五表示五個(gè)一，最左邊的五表示五個(gè)百，中間的五表示五個(gè)十。但是在奧數(shù)中位值問(wèn)題就遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有這么簡(jiǎn)單了，現(xiàn)在就將解位值的三大法寶給同學(xué)們。希望同學(xué)們?cè)谧鲱}中認(rèn)真體會(huì)。1.位值原理的定義：同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“2”,寫在個(gè)位上，就表示2個(gè)一，寫在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。23.位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：=a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。.解位值一共有三大法寶：（1）最簡(jiǎn)單的應(yīng)用解數(shù)字謎的方法列豎式（（2）利用十進(jìn)制的展開(kāi)形式，列等式解答3）把整個(gè)數(shù)字整體的考慮設(shè)為x，列方程解答例題精講模塊一、簡(jiǎn)單的位值原理拆分【【【【例1】9100考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，初賽，7題，六年級(jí)，初賽，第8題，5分910010倍加上個(gè)位數(shù)字的10倍等于100，所以十位數(shù)字加個(gè)位數(shù)字等于100÷10＝10。答案】10?！尽纠?】學(xué)而思的李老師比張老師大18年齡，求李老師和張老師的年齡和最少是________？（注：老師年齡都在20歲以上）【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第5題【解析】解設(shè)張老師年齡為ab，則李老師的年齡為ba，根據(jù)題意列式子為：ba-ab=18，整理這個(gè)式子9b-a=18b-a=2a=b=313和31不符合題意，所以，答案為a=2與b=4符合條件的為：24+42=666歲。【答案】66歲【例3】把一個(gè)數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)得到的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)的逆序數(shù)，比如89的逆序數(shù)為98．如果一個(gè)兩位數(shù)等于其逆序數(shù)與1的平均數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)是________．【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第3題1b+a+1【【解析】設(shè)為ab，即10a+b=，整理得19a=b+1，a=b=7，兩位數(shù)為372答案】37【例4】幾百年前，哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸，那年的年份的四個(gè)數(shù)字各不相同，它們的和等于16十位數(shù)字加1，則十位數(shù)字恰等于個(gè)位數(shù)字的5倍，那么哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸是在公元___________年。考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，初賽，10題【【【【難度】2星【題型】填空解析】肯定是1×××16－1＝1515115＋1＝16時(shí)十位和個(gè)位和是6的倍數(shù)，個(gè)位不是1，只能是2，十位原來(lái)是9，百位是4，所以是在1492年?！敬鸢浮?492【【【例5】小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和．問(wèn)：他今年多少歲?考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第11題解析】設(shè)小明出生那年是，則【難度】2星【題型】填空1＋9＋a＋b＝95－10a－b【從而11a＋2b＝85在a≥8時(shí)，11＋2b＞85；在a≤6時(shí)，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4。小明今年是1＋9＋7＋4＝21(歲).【答案】21歲【例6】將一個(gè)數(shù)A的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，得到數(shù)BB＋A是B－A的________(結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)形式)【【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，初賽，第9題，5分解析】將A的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位則A變成100倍，即B=100A，那么B+A=101A，B-A=99A，B＋A01【難度】2星【題型】填空1是B－A的倍。99101【答案】99【例7】一個(gè)十位數(shù)字是067位數(shù)字，得到的新三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的倍。考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆【難度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第4題，5分【【【解析】令這個(gè)三位數(shù)為ab100a+b=67(a+b)a=b變?yōu)椋篵0a=b+a=b，而a+b=b，則得到的新三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的1b?b=34倍。【答案】34【例8】一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位和百位數(shù)字交換后還是一個(gè)三位數(shù)，它與原三位數(shù)的差的個(gè)位數(shù)字是7，試求它們的差?！尽究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第18題，10分【【解析】abc-個(gè)位是7，明顯a大于c，所以10+c-a=7，a-c=3，所以他們的差為297答案】297【【【例9】三位數(shù)abc比三位數(shù)小99，若a,b,c彼此不同，則abc最大是________考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第7題，6分【解析】由題意，abc+99=a=c+9abca=9c=0為三位數(shù)矛盾；如果a=8，那么c=9，剩下b最大取7，所以abc最大是879。【答案】879【【【【例10】一個(gè)三位數(shù)abc與它的反序數(shù)的和等于888，這樣的三位數(shù)有_________個(gè)?？键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試，第4題，5分解析】顯然a+c、b+b都沒(méi)有發(fā)生進(jìn)位，所以a+c=8、b+b=8，則b=4，a、c的情況有1+7、+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1這7種。所以這樣的三位數(shù)有7種?！倦y度】2星【題型】填空2【答案】7個(gè)【例11】將2，3，4，5，6，7，8，9不同的減法算式，要使計(jì)算結(jié)果最小，并且是自然數(shù)，則這個(gè)計(jì)算結(jié)果是__________?！酢酢酢酢酢酢酢酢尽究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，初賽，第5題，6分【題型】填空【解析】設(shè)原式=abcd-efgh=1000(a-e)+100(b-f)+10(c-g)+(d-h),其中a，b，c，d，e，f，gh從2~97￡a-eb-fc-gd-h￡7a-e=1，b-f=7，c-g=5，d-h=3，即a=6，e=5，b=2，f=9，c=3，g=8，d=4，h=7，∴這個(gè)計(jì)算結(jié)果是1000-700-50-3=247【答案】247【【【【鞏固】用1，2，3，4，5，7，8，9組成兩個(gè)四位數(shù)，這兩個(gè)四位數(shù)的差最小是___________?？键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第5題，5分解析】千位數(shù)差1987123以這兩個(gè)四位數(shù)應(yīng)該是4987和5123，差為136.【答案】136【例12】在下面的等式中，相同的字母表示同一數(shù)字，若abcd-dcba□，那么□中應(yīng)填。【【【考點(diǎn)】填橫式數(shù)字謎之復(fù)雜的橫式數(shù)字謎關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，決賽，第3題，10分a≥d,由差的個(gè)位為7可知，被減數(shù)個(gè)位上的d要向十位上的c借一位，則10+d－a=7,【難度】3星【題型】填空解析】由題意知，即a－d=3.又因?yàn)椴畹氖患鞍傥痪鶠?b=c位要向千位借一位，即ad2,因此內(nèi)應(yīng)填入2。--=□【答案】2【【【【例13】某三位數(shù)abc和它的反序數(shù)的差被99除，商等于______與______的差；考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第6題，4分解析】本題屬于基礎(chǔ)型題型。我們不妨設(shè)a＞b＞c。(abc-）÷99＝[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99＝(99a-99c)÷99＝a-c；【答案】a與c的差【鞏固】ab與ba的差被9除，商等于______與______的差；【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空【【解析】(ab-ba）÷9＝[(10a+b)-(10b+a)]÷9＝(9a-9b)÷9＝a-b；答案】a與b的差【鞏固】ab與ba的和被11除，商等于______與______的和?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空【【解析】(ab+ba）÷11＝[(10a+b)+(10b+a)]÷11＝(11a+11b)÷11＝a+b。答案】a與b的和【例14】，zw各表示一個(gè)兩位數(shù)，若+zw=139，則x+y+z+w=?！尽尽尽究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第5題，4分解析】和的個(gè)位為9，不會(huì)發(fā)生進(jìn)位，y+w=9，十位明顯進(jìn)位x+z=13，所以x+y+z+w=22答案】22【題型】填空【例15】把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)．如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】2星關(guān)鍵詞】美國(guó)，小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【題型】解答【解析】設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為ab，交換后的新的兩位數(shù)為ba，根據(jù)題意，ab-ba=a+b)-b-a)=9(a-b)=45，a-b=59a=9，b=4，原來(lái)的兩位數(shù)中最大的是94．【答案】94【【【例16】一個(gè)兩位數(shù)的中間加上一個(gè)08倍小1______?？键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，初賽，第13題，6分【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是ab100a+b=8(10a+b)-120a+1=7ba=1b=3的兩位數(shù)是13。【答案】13【【【例17】已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少．考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分關(guān)鍵詞】清華附中【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)這樣的四位數(shù)為，則abcd+a+b+c+d=2008，即a+b+c+2d=2008，則a=1或2．⑴⑵若a=2，則b+c+2d=6，得b=c=0，d=3，abcd=2003；a=1，b+c+2d=1007，c+2d￡11′9+2′9=117，若則由于所以1b31007-117=890，所以b>8，故b為9，c+2d=1007-909=98，則c為偶數(shù)，且1c398-2′9=80，故c>7，由c為偶數(shù)知c=8，d=5，abcd=1985；所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個(gè)，其和為：2003+1985=3988．【答案】3988【【【鞏固】已知abcd+abc+ab+a=1370,求abcd.考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，【題型】解答所以a＝1，則111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，111b＋11c＋d＝259推知b＝2；則222＋11c＋d＝259，11c＋d＝37進(jìn)而推知c＝3，d＝4所以＝1234。答案】1234【【例18】，abc，ab，a—abc—ab—a=考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分1787，則這四位數(shù)=或?！尽尽尽倦y度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，初賽，16題解析】原式可表示成：889a+b+9c+d=1787，則知a只能?。?或2，當(dāng)a=1時(shí)，b無(wú)法取，故此值舍去。當(dāng)a=2時(shí)，b=0，c=0或1，d相應(yīng)的取9或0.所以這個(gè)四位數(shù)是：2009或2010。答案】2009或2010【【例19】將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)大8802．求原來(lái)的四位數(shù)．【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)原數(shù)為，則新數(shù)為dcba，dcba-abcd=d+100c+b+a)-a+b+10c+d)=999(d-a)+90(c-b)．根據(jù)題意，有999(d-a)+90(c-b)=8802，111′(d-a)+10′(c-b)=978=888+90．推知d-a=8，c-b=9，得到d=9，a=1，c=9，b=0，原數(shù)為1099．【答案】1099【鞏固】有0的四位數(shù)M，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大4338．求這個(gè)四位數(shù)．【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分解析】設(shè)組成這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼為a，b，c，d(93a>b>c>d31)，【難度】3星【題型】解答則有abcd-dcba=3834+4338=8172，可得999(a-d)+90′b-c)=8172=7992+180，則a-d=8，b-c=2，a=9，d=1，M=9+4338，且M的四位數(shù)字分別為1、c、b、9，由于8+9=17的個(gè)位數(shù)字為7，所以b，c中有一個(gè)為7，但b-c=2，所以c不能為7，故b=7，c=5，M=1579+4338=5917．【答案】5917【例20】如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?×9＋(9＋9)＝99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請(qǐng)你寫出所有的巧數(shù)。【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)這個(gè)巧數(shù)為ab，則有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9。滿足條件的巧數(shù)有：19、29、39、49、59、69、79、89、99?！敬鸢浮壳蓴?shù)有：19、29、39、49、59、69、79、89、99?！纠?1】聰聰和明明做猜數(shù)游戲，聰聰讓明明任意寫出一個(gè)四位數(shù)，明明就寫了明年的年號(hào)20082008-(2+0+0+=1998讓明明將所得的數(shù)隨便圈掉一個(gè)數(shù)，將剩下的數(shù)說(shuō)出來(lái)，明明圈掉了8，告訴聰聰剩下的三個(gè)數(shù)是199。聰聰一下就猜出圈掉的是8后剩下的三個(gè)數(shù)是6，3，7，這次明明圈掉的數(shù)是多少，聰明你猜出來(lái)了么？【【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)任意一個(gè)四位數(shù)為依題意中的計(jì)算方法可得abcd-(a+b+c+d)=999a+b+9c=a+b+c)即任意一個(gè)四位數(shù)減去其各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和后的結(jié)果是9996＋3＋7＝16，16不是9的倍數(shù)，所以圈掉的數(shù)字是2?！敬鸢浮?【例22】設(shè)八位數(shù)A=aaLa具有如下性質(zhì)：a是A中數(shù)碼0的個(gè)數(shù)，a是A中數(shù)碼1的個(gè)數(shù)，……，01701a是A中數(shù)碼7的個(gè)數(shù)，則a+a+a+La=。a+a+a=，該八位數(shù)70127567A=考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的位值原理拆分?！尽尽尽倦y度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)解析】由于a是A中數(shù)碼0的個(gè)數(shù)，a是A中數(shù)碼1的個(gè)數(shù)，××××××，a是A中數(shù)碼7的個(gè)數(shù)，那么017a+a+a+×××+a表示A中所有數(shù)碼的個(gè)數(shù)；而實(shí)際上A中共有8個(gè)數(shù)碼，所以0127a+a+a+×××+a=8。0127(2)略a+a+a=0a、a、a都是0A的末三位都是0A的各567567位數(shù)碼中都沒(méi)有出現(xiàn)5、6、7，所以A的數(shù)碼中最大的最多為4，所以3￡a￡4。如果a=3，00也就是A的首位為30042個(gè)1和1個(gè)2。由于1出現(xiàn)了兩次，所以a=1，由于2和4各出現(xiàn)了1次，所以a和a都是1，124這樣可得A為42101000。【答案】a+a+a+×××+a=8，a+a+a=0，421010000127567模塊二、復(fù)雜的位值原理拆分【例23】有366個(gè)三位數(shù)的和是15543個(gè)數(shù)字分別是多少？【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分關(guān)鍵詞】希望杯，培訓(xùn)試題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)這六個(gè)不同的三位數(shù)為abc,acb,bac,bca,cab,，因?yàn)閍bc=100a+b+c，=100a+10c+b，……，它們的和是：222′(a+b+c)=1554，所以a+b+c=1554?222=70至少為1，2，而7-+2)=4，所以最大的數(shù)最大為4；又1+2+3=6<7，所以最大的數(shù)大于3，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2．【答案】1，2，4【鞏固】有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)的最小值．【【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)三個(gè)數(shù)字分別為a、b、c，那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為：abc++bac+++=2(a+b+c)′100+2(a+b+c)′10+2(a+b+c)=222′(a+b+c)所以a+b+c=2886?222=13，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和一定，故個(gè)位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時(shí)十位數(shù)為13-1-9=3，所以所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139．【答案】139【例24】從1～9九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。若這六個(gè)三位數(shù)之和是3330，則這六個(gè)三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別為a、b、c。由于每個(gè)數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個(gè)位，所以六個(gè)不同的三位數(shù)之和為222×（a＋b＋c）＝3330，推知a＋b＋c＝15。所以，當(dāng)a、b、c取1、5、9時(shí)，它們組成的三位數(shù)最小為159，最大為951?！敬鸢浮孔钚?59，最大為951【例25】用1，9，7三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】卡片“9”倒過(guò)來(lái)看是“6”“9”3題的結(jié)果可知，197可組成的六個(gè)不同的三位數(shù)之和是（1＋9＋7）×222；同理，作為卡片“6”，1，6，7可組成的六個(gè)數(shù)之和是（1＋6＋7）×222。這121＋9＋7）＋（1＋6＋7×222÷12＝573.5?！敬鸢浮?73.5【例26】a，b，c分別是0:9中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)之和是2234，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分解析】由a，b，c組成的六個(gè)數(shù)的和是222′(a+b+c)．因?yàn)?234>222′10，所以a+b+c>10．【難度】3星【題型】解答若a+b+c=11，則所求數(shù)為222′11-2234=208，但2+0+8=10111，不合題意．若a+b+c=12，則所求數(shù)為222′12-2234=430，但4+3+0=7112，不合題意．若a+b+c=13，則所求數(shù)為222′13-2234=652，6+5+2=13，符合題意．若a+b+c=14，則所求數(shù)為222′14-2234=874，但8+7+4=19114，不合題意．若a+b+c315，則所求數(shù)3222′15-2234=1096，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意．所以，只有a+b+c=13時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為652．【答案】652【例27】在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入0～9位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來(lái)兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！尽究键c(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】因?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的100或5果個(gè)位數(shù)是0，那么無(wú)論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個(gè)位數(shù)是5。設(shè)原兩位數(shù)是abb=5ab5100a＋10b＋510a＋5×9得a＋b＝4。變成的三位數(shù)只能是405，315，225，135?！敬鸢浮咳粩?shù)只能是405，315，225，135【例28】一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的三位數(shù)，請(qǐng)問(wèn)：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)。【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分解析】設(shè)第一個(gè)2位數(shù)為10a+b；第二個(gè)為10b+a；第三個(gè)為100a+b；由題意：(100a+b)-（10b+a）(10b+a)-（10a+b)；化簡(jiǎn)可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小時(shí)走61-16=45；601-106)÷45=1111的三位數(shù)。答案】11小時(shí)【難度】3星【題型】解答=（【【例29】有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼3，則可得到一個(gè)四位數(shù)．將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于3600．求原來(lái)的兩位數(shù)．【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)是ab，則得到的兩個(gè)三位數(shù)分別為ab3和ab，四位數(shù)為ab3，由題知ab3+ab+ab3=360010′ab+3+300+ab+3003+10′ab=360021′ab=294ab=14．答案】14【【例30】將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)(4′3′2′1=24)24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在3000～4000之間．求這24個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè)．【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答解析】從題中可以看出，這4個(gè)數(shù)都不為04個(gè)不同的數(shù)從小到大依次為a,b,c,d24個(gè)四位數(shù)中，第二小的是abdc，是5的倍數(shù)，又c不為0，所以c=5．它們組成的24dcab2的倍數(shù)但不是4bab不是4的倍數(shù)．由b是偶數(shù)且b<c=5知b為4或2．若為2，那么a=1，但此時(shí)ab=12是4的倍數(shù)，矛盾，所以，又ab不是4的倍數(shù)，所以a為1或3．它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第五小的為adbc(最小的5個(gè)依次為，abdc，，acdb，adbc)，第五大(第二十小)的為dacb(最大的5個(gè)依次為dcba，dcab，dbca，dbac，dacb)以dacb-adbc得到的四位數(shù)的千位為3．由于a<d，所以<dbc，那么減法算式中百位要向千位借位，所以d-1-a=3，故d=a+4．又d>c=5，所以a>1，那么a=3，d=7，它們組成的24個(gè)四位數(shù)中最大的為dcba，即7543．【答案】7543*【例31】記四位數(shù)為X，由它的四個(gè)數(shù)字a,b,c,d組成的最小的四位數(shù)記為X，如果X-X*=999，那么這樣的四位數(shù)X共有_______個(gè)．【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，復(fù)賽，8題*=*+【難度】4星【題型】填空【解析】X-X*=999得到X999=+XX-a、b、c、d組成的四位數(shù)X*末位數(shù)10001**字不是0，那么X等于將X的千位數(shù)字加1，個(gè)位數(shù)字減1，反過(guò)來(lái)X等于X的千位數(shù)字減1，*-+*個(gè)位數(shù)字加1X為a1bcd1X比較，b和ca和d，X表示為dbca，可以得到等式a-1=d，即a=d+1．所以a和d的取值組合，只有2和1，3和，……，9和8，共8種情況．2對(duì)于其中任意一種組合，由于dbca是由四個(gè)數(shù)字、、、d組成的最小的四位數(shù)，分別考慮b、c中有0的情況(可能兩個(gè)都為00b=0，d￡c￡a)b、c都不為0的情況(此時(shí)d￡b￡c￡a)，可知兩種情況下各有3種可能，共6種可能：d00a，d0da，d0aa，ddda，ddaa，daaa．比如以a=4，d=3為例，dbca可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444這6個(gè)數(shù)．根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)一共有8′6=48種．**如果a、b、c、d組成的最小的四位數(shù)X末位數(shù)字是0，顯然X的百位、十位都是0，此時(shí)a、b、c、d無(wú)法組成其它的四位數(shù)，不合題意．*由于每一個(gè)X對(duì)應(yīng)一個(gè)X，所以滿足條件的四位數(shù)X共有48個(gè)．【答案】48【例32】9000名同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們的考號(hào)分別是1000,1001,1002,…9999．小明發(fā)現(xiàn)他的考號(hào)是8210，而他的朋友小強(qiáng)的考號(hào)是2180差為2010的倍數(shù)．那么，這樣的考號(hào)（由相同的數(shù)字組成并且差為2010的倍數(shù)）共有對(duì)．【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】5星【題型】填空關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，復(fù)試，14題【解析】設(shè)與efgh2010abcd-efgh．由于與efgh的數(shù)字和相同，它們除以9的余數(shù)相同，即9-efgh，從而6030abcd-efgh．考慮到0<abcd-efgh<9000，于是abcd-efgh=6030，abcd-6030=efgh．從末位數(shù)字可知d=h，若abc-603=．c33，abc-603=(a-b(c-，但(a-6)+b+(c-=a+b+c-91a+b+c，(a-b(c-1efg，abc-603=(a-b(c-不成立．若c￡2，b=0，abc-603=a0c-603=(a-7)9(c+7)，同上知這種情況也不成立．因此，c￡2，b31．a(chǎn)bc-603=(a-b-c+7)．c+7在這里可能等于a或者ba=c+7b=c+1(a,b,c)可以等于0)、以及2)b=c+7a=c+6(a,b,c)可以等于和2)．(a,b,c)確定之后，再考慮d，d可以等于0,1,2,…9中的任何一個(gè)數(shù)字．這樣，可以得到50個(gè)不同的，繼而可得到相應(yīng)的efgh．于是，一共有50對(duì)這樣的考號(hào)，由相同的數(shù)字組成，并且差為2010的倍數(shù)．【答案】50【例33】有一類三位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是1230位數(shù)的和是多少？【【考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答ìa+b+c=12?a′b′c=30解析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)是abc，則根據(jù)題意可得：í，由a′b′c=30找突破口，將30分解成3個(gè)因數(shù)相乘，符合a+b+c=12的即為所求，組成三位數(shù)的三個(gè)數(shù)碼只有1，5，6符合要求，即三位數(shù)有：156，165，516，561，615，651。其和為：156+165+516+561+615+651=222′+5+6)=2664【答案】2664【【例34】一個(gè)三位數(shù)除以11所得的商等于這個(gè)三位數(shù)各位數(shù)碼之和，求這個(gè)三位數(shù)是多少？考點(diǎn)】復(fù)雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答b+10c【【解析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)是abc，則根據(jù)題意有：100a+b+c=(a+b+c)′11，化簡(jiǎn)得a=因?yàn)閍，89b，c都是位值，即為一位數(shù)，所以a=b=c=8。答案】198模塊三、巧用方程解位值原理【例35】有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可以得到一個(gè)三位數(shù)，如果把1寫在它的后面，那么也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而且這兩個(gè)三位數(shù)相差414，求原來(lái)的兩位數(shù)?！尽究键c(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答解析】本題可以有三種分析方法：方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來(lái)解。列豎式如下：分析豎式知1減b1位，即：10+1-b=4b＝7b借1給個(gè)位十位，此時(shí)6－a＝1，整理得：a＝5，經(jīng)百位計(jì)算驗(yàn)證，結(jié)果正確。方法二：設(shè)原兩位數(shù)為ab，則數(shù)碼1加寫在它的前面為ab，數(shù)碼1寫在它的后面為1，分析比較知道1＞ab，所以可以得到：1-ab=414，a+b+-+10a+b)=414，90a+b-99=414，90a+b=513，10a+b=57，即：ab=57方法三：設(shè)兩位數(shù)為x，則有（10x＋1）－（100＋x）＝414，解得：x＝57。答案】57【【鞏固】66加寫在它的后面，則也可以得到一個(gè)四位數(shù)，且這兩個(gè)四位數(shù)之和是9999，求原來(lái)的三位數(shù)。【【考點(diǎn)】巧用方程解位值原理解析】本題可以有兩種分析方法：方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來(lái)解。列豎式如下：【難度】3星【題型】解答分析可得c＝3，b＝6，a＝3。方法二：設(shè)三位數(shù)為x，則有（6000＋x）＋（10x＋6）＝9999，解得：x＝363.【答案】363【【【例36】如果ab′7=ab，那么ab等于幾？考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】3星解析】本題可以有兩種分析方法：【題型】解答方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來(lái)解。列豎式如下：通過(guò)分析b′7=b知道b=5，同時(shí)向前進(jìn)3，同時(shí)a′7+3=a0，知道a=1，所以ab＝15.方法二：將ab′7=ab，展開(kāi)整理得：(a′10+b)′7=a′100+0+b70a+7b=100a+b0a=ba=b由于位值的性質(zhì)，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)值在0～9之間，得出a=1，b=5。答案】1535【【【【【例37】已知1+2+3++n（n>2）的和的個(gè)位數(shù)為3，十位數(shù)為0，則n的最小值是考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】4星【題型】填空關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第8題，10分n1+n×n÷230n+1×n的末兩位解析】是066的連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)的成積的末位只能為2×3或者78n取37時(shí)，37×38=1406符合條件，所以n的最小值為37。答案】37′【【例38】把7位數(shù)2變成7位數(shù)ABCDEF27位數(shù)比原7位數(shù)大35913331）原72）如果把漢語(yǔ)拼音字母順序編為1～26號(hào)，且以所求得原7位數(shù)的前四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)2A和所對(duì)應(yīng)的拼音字母拼成一個(gè)漢字，再以后三個(gè)數(shù)字D，E，F(xiàn)分別對(duì)應(yīng)的拼音字母拼成另一個(gè)漢字，請(qǐng)寫出由這兩個(gè)漢字組成的詞?！尽究键c(diǎn)】巧用方程解位值原理關(guān)鍵詞】2005年，祖沖之杯【難度】4星【題型】解答【解析】（1）設(shè)=x，根據(jù)題意得，x+2)-(2000000+x)=3591333，解得，x＝621259，原7位數(shù)是2621259。（22）按順序?qū)懗?6個(gè)字母，從左到右給每個(gè)字母從1～26編號(hào)，結(jié)合2A＝26，＝21，D＝，E＝5，F(xiàn)＝9，按對(duì)應(yīng)關(guān)系有：26對(duì)應(yīng)Z，21對(duì)應(yīng)U，2對(duì)應(yīng)B，5對(duì)應(yīng)E,9對(duì)應(yīng)I，ZU拼成“祖”，BEI拼成“杯”【1）26212592）祖杯【鞏固】把55知這兩個(gè)五位數(shù)的差是22122，求這個(gè)四位數(shù)?！尽究键c(diǎn)】巧用方程解位值原理解析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為x50000＋x）－（10x＋5）＝22122或（10x＋5）－（50000＋x）＝2122，得，x＝3097或x＝8013.答案】x＝3097或x＝8013【難度】3星【題型】解答2【【例39】如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加1111，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A?？键c(diǎn)】巧用方程解位值原理【【【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則10x+5-x＝1111，化簡(jiǎn)得9x＝1106，等號(hào)右邊是9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得A＝1，x＝1234?！敬鸢浮緼＝1，x＝1234【鞏固】如果把數(shù)碼3加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加了12345A，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A。考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【【【難度】3星【題型】解答解析】設(shè)這個(gè)數(shù)碼為x10x＋3x＝123450＋A,9x＝123447＋A9據(jù)被9整除的數(shù)字的特點(diǎn)知道，A＝6，故：x＝13717?！敬鸢浮?【【【【例40】等式：ab54＝39×c6恰好出現(xiàn)1、2、3、4、…、9九個(gè)數(shù)字，abc代表的三位數(shù)是（考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】填空關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第3題，10分ab只能從27839能被3a+b+5+4也要能被3ab解析】根據(jù)題意，從2，7里選，a+b=9或者a、b從7或8里選a+b等于15；或者a、b從2或8里選a+b等于1110，若a+b=9，則左邊是9的倍數(shù)，而等式39是3的倍數(shù)，1+8+6也是，符合，則86×39=7254，即abc=728。若a+b等于15，即c=2,39×126=4914。不符；此題也可以用126，76，186試算?！敬鸢浮?28【【【例41】某八位數(shù)形如2abcdefg，它與3的乘積形如abcdefg4，則七位數(shù)abcdefg應(yīng)是多少？考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】4星【題型】解答7+abcdefg4=10x+4，根據(jù)題意，有，得7x=6′107-4=59999996，所以x=8571428．解析】設(shè)abcdefg=x，則2abcdefg210=′x，2′107+x′3=10x+4【答案】8571428【例42】一個(gè)六位數(shù)，如果滿足4′=fabcde，則稱為“迎春數(shù)”(例如4′102564=10256，則102564就是“迎春數(shù)”)．請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和．考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】5星【題型】解答4【【解析】由于是把六位數(shù)的末位f調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù)fabcdeabcde看成一個(gè)整體，設(shè)abcde=A，則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是10A+f，并滿足關(guān)系式：10A+f=100000f+．對(duì)等式化簡(jiǎn)得：39′A=99996′f．4′A所以：A=2564′f．因?yàn)锳是五位數(shù)，f是一位數(shù)，所以f可以為4，5，6，7，8，9．而“迎春數(shù)”=10A+f=10′2564′f+f=25641′f，那么，所有“迎春數(shù)”的總和是：25641′4+5+6+7+8+9=25641′39=999999．【答案】999999【例43】設(shè)六位數(shù)滿足fabcde=f′，請(qǐng)寫出這樣的六位數(shù)．考點(diǎn)】巧用方程解位值原理【難度】5星【題型】解答關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第12題，10分5+，=10x+f