2025年奧林匹克數(shù)學(xué)競賽(中國區(qū))選拔賽七年級數(shù)學(xué)試題(含答案)1.計算：(1)2025×2025－2024×2026(2)若a=2025，求\[\frac{a^{3}-3a^{2}+3a-1}{a^{2}-2a+1}\]的值。2.設(shè)正整數(shù)n滿足：把n的所有正因數(shù)從小到大排列成d?<d?<…<d_k，且d?－d?=18，d?·d?=2025，求n。3.如圖，正方形ABCD邊長為1，E在BC上，F(xiàn)在CD上，∠EAF=45°，BE=x，DF=y，求x+y的最小值。4.已知實數(shù)x,y,z滿足\[\begin{cases}x+y+z=6,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=14,\\x^{3}+y^{3}+z^{3}=36,\end{cases}\]求xyz。5.設(shè)f(n)表示正整數(shù)n的各位數(shù)字之和，例如f(123)=6。求所有滿足\[f(n)+f(n+1)+f(n+2)=60\]的三位數(shù)n。6.在1,2,…,2025中選取盡可能多的數(shù)，使得其中任意兩數(shù)之和不被7整除，最多能選多少個數(shù)？7.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D在BC上，BD=1，DC=2，E在AD上，滿足∠ABE=∠CAE，求AE:ED。8.設(shè)a,b,c為正實數(shù)，滿足\[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=1,\]求證：\[ab+bc+ca\ge3.\]9.定義數(shù)列{a_n}：a?=1，a?=3，且對n≥3，\[a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}.\]求a????除以1000的余數(shù)。10.平面上給定2025個點，任意三點不共線，任意四點不共圓。每兩點間連一條線段，線段染紅、藍兩色之一。證明：必存在一個三角形，其三邊同色，且其三個頂點到某定直線l的距離互不相等。11.設(shè)P(x)為整系數(shù)多項式，且P(0),P(1),…,P(2024)均為完全平方數(shù)，證明：P(x)可寫成兩個整系數(shù)多項式的平方之積。12.如圖，圓Γ?與Γ?外切于T，直線l過T且與兩圓分別交于A,B（A≠T,B≠T）。過A作Γ?的切線，過B作Γ?的切線，兩切線交于C，證明：∠ATC=∠BTC。13.求所有正整數(shù)對(m,n)使得\[m^{2}+n^{2}+mn=2025.\]14.設(shè)S={1,2,…,2025}，對任意非空子集A?S，定義f(A)為A中最大元與最小元之和。求所有f(A)的平均值。15.如圖，正六邊形ABCDEF邊長為1，中心為O。P在內(nèi)部移動，求\[PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}+PE^{2}+PF^{2}\]的最小值。16.已知實數(shù)x?,x?,…,x????滿足\[\sum_{i=1}^{2025}x_i=0,\quad\sum_{i=1}^{2025}x_i^{2}=2025,\]求\[\sum_{i=1}^{2025}x_i^{3}\]的最大可能值。17.設(shè)a,b,c為正整數(shù)，滿足\[a^{2}+b^{2}+c^{2}=abc+1,\]求a+b+c的最小值。18.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?棱長為1，M為棱CC?中點，N在面ADD?A?內(nèi)，且AN:ND?=1:2，求直線BM與BN所成角的余弦值。19.定義函數(shù)f:N→N滿足：對任意正整數(shù)n，\[f(f(n))+f(n)=2n+2025.\]求f(1)。20.設(shè)a?,a?,…,a????為1,2,…,2025的一個排列，求\[\sum_{i=1}^{2025}|a_i-i|\]的最小值。21.如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，I為內(nèi)心，AI交圓O于D（D≠A），求證：\[DI=DB=DC.\]22.求所有正整數(shù)n，使得\[2^{n}+n^{2}\]為完全平方數(shù)。23.設(shè)x,y,z為正實數(shù)，滿足\[x+y+z=1,\]求\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}\]的最小值。24.如圖，拋物線y=x2與直線y=mx+b交于A,B兩點，若AB=2025，求m2的最小值。25.已知實數(shù)a,b,c滿足\[a+b+c=0,\quada^{2}+b^{2}+c^{2}=1,\]求\[\max|a^{3}+b^{3}+c^{3}|.\]26.設(shè)n為正整數(shù)，證明：\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}<2-\frac{1}{n}.\]27.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，E,F分別為AB,CD中點，求EF的長度。28.求所有正整數(shù)n，使得\[n^{2}+2025\]為完全立方數(shù)。29.設(shè)a,b,c為正實數(shù)，滿足\[a+b+c=3,\]求證：\[\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\ge\frac{3}{2}.\]30.如圖，圓O半徑為1，弦AB=1，C在優(yōu)弧AB上，求△ABC面積的最大值。31.已知實數(shù)x,y滿足\[x^{2}+y^{2}=1,\]求\[\max(x+y+xy).\]32.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a?=1，且對n≥1，\[a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n},\]求\[\lfloora_{2025}\rfloor.\]33.如圖，△ABC中，AB=AC，D在BC上，AD⊥BC，E在AD上，BE交AC于F，若BD=1，DC=2，求AF:FC。34.求所有正整數(shù)n，使得\[n^{3}+2025\]為完全平方數(shù)。35.設(shè)x,y,z為正實數(shù)，滿足\[xyz=1,\]求\[\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}\]的最大值。36.如圖，正四面體ABCD棱長為1，P在內(nèi)部移動，求\[PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}\]的最小值。37.已知實數(shù)x,y,z滿足\[x+y+z=0,\quadx^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\]求\[\min(x^{4}+y^{4}+z^{4}).\]38.設(shè)n為正整數(shù)，證明：\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}<\frac{5}{4}.\]39.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E在BC上，F(xiàn)在CD上，AE⊥AF，求BE+DF的最小值。40.求所有正整數(shù)n，使得\[n^{4}+2025\]為完全平方數(shù)。41.設(shè)a,b,c為正實數(shù)，滿足\[a+b+c=1,\]求\[\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\]的最小值。42.如圖，圓O半徑為1，弦AB=√3，C在劣弧AB上，求△ABC周長的最大值。43.已知實數(shù)x,y,z滿足\[x+y+z=1,\quadx^{2}+y^{2}+z^{2}=2,\]求\[\max(x^{3}+y^{3}+z^{3}).\]44.設(shè)n為正整數(shù)，證明：\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}<\frac{4}{3}.\]45.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在BC上，AD⊥BC，E在AD上，BE交AC于F，若BD=1，DC=2，求AF:FC。46.求所有正整數(shù)n，使得\[n^{5}+2025\]為完全平方數(shù)。47.設(shè)x,y,z為正實數(shù)，滿足\[x+y+z=1,\]求\[\frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}}\]的最小值。48.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?棱長為1，M為棱BB?中點，N在面CDD?C?內(nèi)，且CN:ND?=1:2，求直線AM與AN所成角的余弦值。49.已知實數(shù)x,y,z滿足\[x+y+z=0,\quadx^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\]求\[\max(x^{5}+y^{5}+z^{5}).\]50.設(shè)n為正整數(shù)，證明：\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{5}}<\frac{5}{4}.\]答案：1.(1)1(2)20242.20253.2?√24.65.198,199,…,2076.8687.2:18.略9.00110.略11.略12.略13.(15,45),(45,15)14.202615.316.2025√202517.518.2√5/519.202620.1012×101321.略22.0,423.1/224.4/2025225.√6/326.略27