成考（高起本）數(shù)學(xué)（文）函數(shù)極限的概念極限的計算方法02函數(shù)極限的基本概念01極限的應(yīng)用03目錄Contents函數(shù)極限的基本概念0101030204極限的概念引入極限描述了函數(shù)值在自變量趨近某一點時的變化趨勢極限是微積分學(xué)的基石之一極限的引入是為了解決某些實際問題，如曲線的切線問題函數(shù)極限的定義形式函數(shù)極限通常是指當(dāng)自變量趨向于某一確定的值時函數(shù)值的趨勢函數(shù)在某點的極限可以用數(shù)學(xué)符號表示為：(\lim_{{x

\to

a}}

f(x)

=

L)其中，(L)

是函數(shù)

(f(x))

當(dāng)

(x)

接近

(a)

時的極限值極限存在的條件極限存在要求左極限和右極限相等極限存在還需要函數(shù)在該點附近有定義，但不一定在該點有定義如果左極限和右極限不相等，則該點的極限不存在極限的數(shù)學(xué)表達極限的數(shù)學(xué)表達涉及鄰域和epsilon-

delta定義對于任意小的正數(shù)

(\epsilon)，都存在另一個正數(shù)

(\delta)，使得當(dāng)

(0

<

|x

-

a|

<

\delta)

時，(

|f(x)

-

L|

<

\epsilon)這個定義量化了“接近”的概念，確保了極限的精確性函數(shù)極限的定義極限的四則運算法則極限的保號性質(zhì)極限的基本性質(zhì)無窮小量與無窮大量極限的四則運算法則包括和、差、積、商的極限法則如果

(

\lim_{{x

\to

a}}

f(x)

=

L_1

)

和

(

\lim_{{x

\to

a}}

g(x)

=

L_2

)，則

(

\lim_{{x

\to

a}}

[f(x)

+

g(x)]

=

L_1

+

L_2

)極限的運算法則可以推廣到多個函數(shù)和復(fù)雜的函數(shù)組合極限的保號性質(zhì)指的是如果極限為正，則存在一個區(qū)間，函數(shù)值在該區(qū)間內(nèi)也為正如果極限為負，則存在一個區(qū)間，函數(shù)值在該區(qū)間內(nèi)也為負這個性質(zhì)對于判斷函數(shù)的正負性很有幫助極限的基本性質(zhì)包括極限的存在的必要條件和充分條件極限的保序性，即如果

(f(x)

\leq

g(x))，則

(\lim_{{x

\to

a}}

f(x)

\leq

\lim_{{x

\to

a}}

g(x))極限的反身性，即如果

(\lim_{{x

\to

a}}

f(x)

=

L)，則

(L)

是

(f(x))

的極限無窮小量是指極限為零的量無窮大量是指函數(shù)的極限為無窮大或無窮小無窮小量與無窮大量的運算需要特別小心，比如

(0

\cdot

\infty)

是一個不確定型01020304極限的性質(zhì)01數(shù)列的極限數(shù)列極限是指數(shù)列的項隨著項數(shù)增加趨向于某一值數(shù)列極限的引入是為了研究離散情況下的變化趨勢數(shù)列極限是理解函數(shù)極限的基礎(chǔ)02函數(shù)在某點的極限函數(shù)在某點的極限描述的是當(dāng)自變量無限接近某一點時函數(shù)值的變化趨勢這個極限值可能和函數(shù)在該點的實際值不同函數(shù)在某點連續(xù)的必要條件是該點的極限存在且等于函數(shù)值03函數(shù)在無窮遠處的極限函數(shù)在無窮遠處的極限描述的是當(dāng)自變量趨向于正無窮或負無窮時函數(shù)值的變化趨勢這個極限可以是無窮大，也可以是某一確定的值函數(shù)在無窮遠處的極限有助于研究函數(shù)的整體行為04兩側(cè)極限與單側(cè)極限兩側(cè)極限是指從函數(shù)定義域的兩側(cè)逼近某一點時的極限單側(cè)極限是指僅從函數(shù)定義域的一側(cè)逼近某一點時的極限兩側(cè)極限相等是函數(shù)在該點連續(xù)的一個充分條件極限的分類極限的計算方法02代入法直接將極限變量代入函數(shù)中計算適用于函數(shù)表達式直接可求的情況需要注意函數(shù)在極限點處是否連續(xù)簡單函數(shù)的極限指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的極限基本極限公式的直接應(yīng)用需要熟悉各類函數(shù)的極限性質(zhì)無窮小乘以無窮大的極限找出無窮小和無窮大的因子分析無窮小和無窮大的關(guān)系通常結(jié)果為零或無窮大，需具體分析無窮小除以無窮小的極限利用洛必達法則或等價無窮小替換分析無窮小的階數(shù)關(guān)系結(jié)果可能為零、無窮大或有確定值直接計算法對分子分母同時除以相同的項簡化表達式，便于計算極限適用于分子分母多項式程度相同的情況分子分母同除法提取分子分母的公因子消去公因子后計算極限適用于分子分母有共同因子的情況提公因子法對根號表達式進行有理化處理將分子分母乘以共軛表達式適用于含有根號的極限計算有理化的方法對復(fù)雜表達式進行換元簡化利用新變量的極限性質(zhì)計算原極限適用于表達式復(fù)雜難以直接計算的情況換元法變換法極限的連鎖法則利用極限的連鎖性質(zhì)計算復(fù)合函數(shù)的極限首先計算內(nèi)層函數(shù)的極限，再計算外層函數(shù)的極限適用于多層復(fù)合函數(shù)的極限計算復(fù)合函數(shù)的極限計算復(fù)合函數(shù)在極限點處的極限需要考慮內(nèi)外函數(shù)的連續(xù)性可以通過分解函數(shù)來簡化計算無窮小的比較比較不同無窮小的階數(shù)利用無窮小的比較求極限適用于多個無窮小相乘或相除的極限計算極限的反函數(shù)法則利用函數(shù)反函數(shù)的極限性質(zhì)通過原函數(shù)的極限求反函數(shù)的極限適用于已知原函數(shù)極限求反函數(shù)極限的情況復(fù)雜極限的計算極限的應(yīng)用03連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上可積連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上可達極值連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)（除個別點外）函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點分為可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點和振蕩間斷點可去間斷點可以通過定義函數(shù)值來“補上”跳躍間斷點兩側(cè)極限存在但不相等函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）也是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)在某點連續(xù)是指該點的極限值等于函數(shù)值函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)是指該區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線極限在函數(shù)連續(xù)性中的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化率高階導(dǎo)數(shù)可以用來研究函數(shù)的拐點和曲率高階導(dǎo)數(shù)在求解更復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)時非常重要導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以用來求函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)可以用來研究函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性導(dǎo)數(shù)在物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域的模型建立中起到關(guān)鍵作用導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的瞬時變化率導(dǎo)數(shù)是極限的一種應(yīng)用，表示函數(shù)在某點的切線斜率導(dǎo)數(shù)的存在意味著函數(shù)在該點連續(xù)導(dǎo)數(shù)的計算利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則進行計算高階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以用來描述函數(shù)的彎曲程度隱函數(shù)和參數(shù)方程函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過求導(dǎo)法則計算極限在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用定積分的概念定積分表示函數(shù)在某一區(qū)間上的累積和定積分可以理解為求曲線下的面積定積分是微積分中的基本概念之一定積分的性質(zhì)定積分的值與被積函數(shù)和積分區(qū)間的選擇有關(guān)定積分具有線性性質(zhì)，即可以拆分和合并定積分與積分變量的符號選擇無關(guān)定積分的計算方法牛頓-

萊布尼茨公式是定