江蘇省揚州市梅嶺中學2026屆數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種2．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.14．過雙曲線的右焦點有一條弦是左焦點，那么的周長為（）A.28 B.C. D.5．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.6．經(jīng)過點的直線的傾斜角為，則A. B.C. D.7．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，交其準線于點，若，且，則的值為（）A. B.C. D.9．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.510．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.22011．甲、乙兩名同學8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞12．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前3項和為21，則()A.84 B.72C.33 D.189二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．雙曲線的離心率為，則它的一個焦點到一條漸近線的距離為______15．，成立為真命題，則實數(shù)的取值范圍______.16．拋物線的準線方程是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且長軸長為4（1）求C的標準方程；（2）直線，分別經(jīng)過點與C相切，切點分別為A，B，證明：18．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問題：已知直線過點M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點A、B，求弦AB的長19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，若焦距為4，點P是橢圓上與左、右頂點不重合的點，且的面積最大值.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于點、，且滿足（為坐標原點），求直線的方程.20．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；（3）若關于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.2、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點，所以故選：A3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標性質進行求解即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，故選：B4、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C5、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.6、A【解析】由題意，得，解得；故選A考點：直線的傾斜角與斜率7、A【解析】由橢圓標準方程求得，再計算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標準方程求出即可8、B【解析】分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設，根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性質可求得，結合已知條件求得，分析出為的中點，進而可得出，即可得解.【詳解】如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因為，則，從而得，所以，，則為的中點，從而.故選：B.9、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，求出點A的坐標，代入可求得結果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D10、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數(shù)列，由，算出公比，結合，即可求出.【詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數(shù)列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數(shù)列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.11、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.12、A【解析】分析：設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項的和為列方程，結合等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設等比數(shù)列的公比為，首項為3，前三項的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點睛：本題考查以一個特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項，等比數(shù)列的性質和前項和等知識點，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)雙曲線離心率為，可得的值，進而可得雙曲線焦點到一條漸近線的距離.【詳解】由雙曲線離心率為，得，即，故雙曲線方程為，焦點坐標為，漸近線方程為：，故焦點到漸近線的距離為，故答案為：.15、.【解析】根據(jù)題意轉化為，恒成立，得到，即可求解.【詳解】由題意，命題，成立為真命題，即，恒成立，當時，，所以，即實數(shù)的取值范圍.故答案為：.16、【解析】將拋物線方程化為標準形式，從而得到準線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線準線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標準方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)共焦點求出參數(shù)c，由長軸長求參數(shù)a，即可確定C的標準方程；（2）令過切線為，聯(lián)立橢圓C結合得到關于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關系即可證明結論.【小問1詳解】由題設，對于橢圓C有，又橢圓的焦點為，則，所以，故C的標準方程.【小問2詳解】由題設，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程并整理可得：，由相切關系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.18、（1）（2）【解析】(1)可依次根據(jù)直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【小問1詳解】選條件①：∵直線過點(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦距求出，利用面積最大值，得到求出，從而得到，求出橢圓方程；（2）分直線斜率存在和斜率不存在，結合題干條件得到，進而求出直線方程.【小問1詳解】∵∴，又的面積最大值，則，所以，從而，，故橢圓的方程為：；【小問2詳解】①當直線的斜率存在時，設，代入③整理得，設、，則，所以，點到直線的距離因為，即，又由，得，所以，.而，，即，解得：，此時；②當直線的斜率不存在時，，直線交橢圓于點、.也有，經(jīng)檢驗，上述直線均滿足，綜上：直線的方程為或.【點睛】圓錐曲線中，有關向量的題目，要結合條件選擇不同的方法，一般思路有轉化為三角形面積，或者線段的比，或者由向量得到共線等.20、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，再由，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設點，利用空間向量法可得出關于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，在上找一點，其中，，，，設面的一個法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點，符合題意.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結論；（2）假設存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質可推出矛盾，故說明假設錯誤。從而證明原結論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結合時，，即可求得結果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數(shù)列等比數(shù)列，且；【小問2詳解】假設存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側是奇數(shù)，右側是一個偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；【小問3詳解】關于正整數(shù)n的不等式，即，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，，并且當時，，因關于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的