陜西省商洛市洛南縣2026屆數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.42．某幾何體的三視圖如圖所示，則其對(duì)應(yīng)的幾何體是A. B.C. D.3．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.4．如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.59．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.10．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.11．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直12．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)F為，過點(diǎn)F的直線交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)A，與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則______14．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.15．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.16．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請(qǐng)選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直.這三個(gè)頂點(diǎn)可以是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足（1）當(dāng)時(shí)，若與均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知拋物線E：y2＝8x（1）求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程；（2）過點(diǎn)P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l1的方程；（3）過點(diǎn)M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點(diǎn)A，B．若弦AB的中點(diǎn)為M，求直線l2的方程19．（12分）設(shè)或，（1）若時(shí)，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍20．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.22．（10分）在中，，，為邊上一點(diǎn)，且（1）求；（2）若，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A2、A【解析】根據(jù)三視圖即可還原幾何體.【詳解】根據(jù)三視圖，特別注意到三視圖中對(duì)角線的位置關(guān)系，容易判斷A正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，屬于中檔題.3、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A4、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為故選：D.5、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B6、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.7、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.8、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C9、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A10、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.11、C【解析】把直線化簡(jiǎn)后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C12、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡(jiǎn)整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，作垂直于準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，∴.∵，∴，由拋物線的定義得，∴.故答案為：.14、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因?yàn)椤皒2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：16、①.②.點(diǎn)或點(diǎn)（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達(dá)出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點(diǎn)或點(diǎn)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，：，：或.因?yàn)?，中都是真命題.所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，：，：或，所以：，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點(diǎn)差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程【小問1詳解】由題意，p＝4，則焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝-2【小問2詳解】當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，y＝1；當(dāng)直線l1的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因?yàn)橹本€l1與拋物線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直線l1為y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小問3詳解】由題意，直線l2的斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則8x1，8x2，兩式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直線l2為y-3(x-2)，即4x-3y+1＝019、（1）充要條件；（2）.【解析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得或，顯然p是q的充要條件；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集，顯然由，但不成立，因此p是q的充分不必要條件，不符合題意；當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為：，顯然當(dāng)時(shí)，不一定成立，因此p不是q的必要不充分條件，當(dāng)時(shí)，該不等式解集為：，要想p是q的必要不充分條件，只需，而，所以，因此a的取值范圍為：.20、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系∵，，點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上且∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補(bǔ)角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.21、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個(gè)根為﹣1和3，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，（2）由（1）可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值.【詳