15.4等腰三角形（等腰三角形）題型一利用等邊對(duì)等角求解1．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，則A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到∠A=∠ACD，再根據(jù)角平分線的定義，即可得出∠【詳解】解：∵DE垂直平分AC∴AD∴∠A∵CD平分∠ACB∴∠ACB∴∠B故選：B．2．（24-25八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)，連接MN分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．A．若∠C=80°，且AC=CEB．若∠C=80°，且AC=CEC．若AB=5，△ACE的周長(zhǎng)為8，則△D．若AD=5，△ACE的周長(zhǎng)為8，則△【答案】C【分析】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題關(guān)鍵．由作法可知，MN垂直平分AB，從而得出AE=BE，AD=AB，∠A=∠B，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可判斷A【詳解】解：由作法可知，MN垂直平分AB，∴AE=BE∴∠A∵∠C=80°，且∴∠CAE∵∠AEC∴∠B=25°，A、∵△ACE的周長(zhǎng)為8∴AE∵AB∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+∵AD∴AB∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+故選：C．3．（2025·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD為AB邊上的中線，DEA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】該題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=70°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=AD=BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°∴∠B∵CD為AB邊上的中線，∴CD=∴∠DCA∵DE⊥∴∠CDE∴圖中與∠A互余的角是∠B,∠故選：C．4．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，已知∠BAC=80°,A1、B1分別是射線AC、線段A1B上的點(diǎn)，且A1B=AB；A2、B2分別是射線A1【答案】10【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：∵∠BAC=80°，∴∠B∵A∴∠A∵A∴∠A∵A3A故答案為10．5．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AC=(1)若∠ACD=32°，求(2)若AB=BC，求【答案】(1)∠(2)∠【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由AC=CD得到∠A=∠ADC，結(jié)合∠ACD=32°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠（2）設(shè)∠B=α，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)表示出∠【詳解】（1）解：∵AC∴∠A∵∠A∴∠ADC∵CD∴∠B∵∠B∴2∠B∴∠B（2）解：設(shè)∠B∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC∴∠A∵AB∴∠A∵∠A∴2α解得：α=36°∴∠B題型二利用等邊對(duì)等角進(jìn)行證明6．（24-25八年級(jí)上·安徽池州·期末）如圖，已知，在△ABC中，∠ABC=45°，D是BC上一點(diǎn)，且AD=BD，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD(1)求證：△ADC(2)求證：BE⊥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．（1）首先證明∠ADC=∠ADB（2）由全等三角形性質(zhì)可得∠EBC=∠DAC，進(jìn)而證明【詳解】（1）證明：∵AD=BD∴∠BAD∴∠ADB又∵D是BC∴∠ADC在Rt△ADC與∵AC∴△ADC（2）證明：∵△ADC∴∠EBC又∵Rt△ADC∴∠EBC∴∠BEC∴BE7．（24-25八年級(jí)上·湖北孝感·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，作CD⊥CA交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．作CE∥AD，BE⊥CB，且CE(1)若∠A=65°，求(2)求證：CD=【答案】(1)25°(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠A=∠CBA（2）根據(jù)等角的余角證明∠D=∠E，再根據(jù)垂直的意義得到∠CBE=∠【詳解】（1）解：∵AC=∴∠A∵BE⊥∴∠DBE∵CE∴∠E（2）證明：∵CD⊥∴∠D∵由（1）∠DBE=90°-∠CBA∴∠D∵由（1）得∠∴∠D∵BE⊥CB，∴∠CBE∵AC=∴△EBC∴CD=【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．8．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，AB=AE，AC=(1)求證：△BAC(2)若AE平分∠BAC,∠EAC【答案】(1)見解析(2)42°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)SAS即可證明△BAC（2）由角平分線的定義得∠BAE=∠CAE=42°，由全等三角形的性質(zhì)得AC=AD，【詳解】（1）證明：∵∠∴∠∴∠∵∴△（2）解：∵AE平分∴∠∵∠∴∠CAD∵△∴∴∠ACB∵∠ACD+∠∴∠9．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）在△ABC中，AD(1)如圖1，若AB=8，AC=5，求(2)如圖2，AE是△ACD的中線，若CA=CD【答案】(1)3(2)見詳解【分析】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)F，使FD=AD，連接FB，則AF=2AD，而∠FDB=∠ADC，BD=CD，即可根據(jù)“SAS”（2）延長(zhǎng)AE到點(diǎn)H，使HE=AE，連接HD，則AH=2AE，而CA=CD，所以DB=CD=CA，【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)F，使FD=AD，連接FB，則∵AD是△ABC的中線，AB=8，∴BD=在△FDB和△BD=∴△FDB∴FB=∵AB-FB<∴3<2AD∴32（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)H，使HE=AE，連接HD，則∵AD是△ABC的中線，AE是△ACD的中線，∴DB=∵∠AEC∴△HED∴DH=CA=∴∠ADH∵∠ADB∴∠ADH∵AD=∴△ADH∴AH=∴AB=2【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型三利用三線合一求解10．（24-25八年級(jí)下·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形三線合一．直接根據(jù)等腰三角形三線合一得到AD垂直平分BC，作答即可．【詳解】解：∵AB=AC，∴由等腰三角形三線合一可知AD垂直平分BC，∴BD=故選：A．11．（24-25七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點(diǎn)D為垂足，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，若AB=6，△ABC的面積為A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路線問題，垂線段最短．解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接BM、EM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC于點(diǎn)N，從而可確定BE+EF≥BM，即BM最小時(shí)，【詳解】解：∵AB=AC，∴直線AD是圖形的對(duì)稱軸，如圖，作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接BM、EM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥∴EF=∴BE+∴BM最小時(shí)，BE+當(dāng)BM⊥AC時(shí)BM最小，即為∵S△ABC=∴BN=2×12÷6=4∴BE+EF的最小值是故選C．12．（24-25七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC

A．∠B=∠C B．C．AD⊥BC D【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，從而判斷B與C正確；由等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)可判斷A【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC，D∴AD⊥BC，∠B故A、B、C三項(xiàng)正確，D不正確．故選：D．13．（24-25八年級(jí)上·吉林白城·期末）如圖，△ABC中，AB=AC,?AD⊥BC于點(diǎn)D，【答案】△BCE【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先由等腰三角形的“三線合一”得到BD=CD，得到AD為BC的垂直平分線，從而BE=【詳解】解：△BCE∵AB=∴BD=∴AD為BC的垂直平分線，∴BE=∵BC=∴BC=∴△BCE14．（24-25八年級(jí)上·河北石家莊·期末）【課本再現(xiàn)】在冀教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第十七章《特殊三角形》中，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）．(1)以上是三位同學(xué)對(duì)性質(zhì)定理的證明思路，請(qǐng)你用小麗的思路完成以下證明．如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．求證：【定理應(yīng)用】請(qǐng)利用上面等腰三角形的性質(zhì)定理，解決下面問題：(2)如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF若DE=DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是_____．①∠ADC=90°，②∠【答案】(1)見解析(2)③【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）證明△ABD≌△ACDSAS，得出BD=CD，（2）根據(jù)角平分線的判定得出AD平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形“三線合一”得出∠ADC=【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD∵AB=AC，∴△ABD∴BD=CD，∵∠ADB∴∠ADB∴AD⊥（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥∴AD平分∠BAC∴∠BAD∵AB=∴AD是底邊BC上的中線，底邊BC上的高線，∴∠ADC=90無(wú)法證明AD=BC，故①②④正確，故答案為：③．題型四利用三線合一證明15．（24-25八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）如圖，已知點(diǎn)D、E為△ABC的邊BC上兩點(diǎn)．AD=AE，BD=CE解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為∵在△ADE中，AD=AE∴DH=EH（又∵BD=∴BD+DH=CE即：BH=又∵AH⊥BC，垂足為∴AH為線段的垂直平分線．∴AB=AC（∴∠B=∠C（【答案】等腰三角形三線合一性質(zhì)；等式的性質(zhì)；CH；BC；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，理解等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得DH=EH，進(jìn)而根據(jù)等式性質(zhì)得BH=CH，由此得AH為線段【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為∵在△ADE中，AD=AE∴DH又∵BD∴BD即：BH=又∵AH⊥BC∴AH為線段BC∴AB∴∠B故答案為：等腰三角形三線合一性質(zhì)；等式的性質(zhì)；CH；BC；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊對(duì)等角．16．（24-25八年級(jí)上·福建南平·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE相交于點(diǎn)(1)求證：AB=(2)若AE=12【答案】(1)詳見解析；(2)22.5°．【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等得出∠BAD=∠FCD（2）由（1）得：AB=CF，∠BAD=∠FCD，則AE=12AB本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠∴∠FCD+∠DFC又∵∠AFE∴∠BAD在△ABD和△∠BAD∴△ABD∴AB=（2）解：由（1）得：AB=CF，∵AE=∴AE=∵CE⊥∴CE垂直平分AB，∴CA=∴∠BCE∵AD=CD，∴∠ACD∴∠BAD17．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC上的中線，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，連接EF(1)求證：EF=(2)已知∠BAC=50°，求【答案】(1)見解析(2)65°【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)推出△ABD是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)得到FD=12AB=AF（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=65°，由（1）知FD=AF=BF，得到∠ADF=∠BAD，進(jìn)而推出∠ADF=∠CAD，得到AC∥DF，結(jié)合BE⊥【詳解】（1）證明：∵AB=AC，AD為∴∠BAD∴△ABD∵點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，∴FD=∵BE⊥∴∠AEB∴△ABE∵點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，∴EF=∴EF=（2）解：∵∠BAC=50°，∴∠∵∠ADB∴∠ABC由（1）知FD=∴∠ADF∴∠ADF∴AC∥∵BE⊥∴BE⊥∵EF=∴DF垂直平分BE，∴BD=DE，即∴∠FED題型五找出圖中的等腰三角形18．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角相等是本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∠B∵DE∴∠DEB∴BD=DE，∵CD平分∠ACB∴∠ACD∴AD=CD，∠BDC∴BC=CD，∵∠ACD=∠DCB∴∠∴DE=EC，綜上所述：共有5個(gè)等腰三角形．故選C．19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使△ABPn（n為1~4的整數(shù)）不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是

A．P1 B．P2 C．P3【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，等腰三角形的定義，勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得△ABP1【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得△AB△AB故選：B．20．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，已知△ABC中，AB=6，AC=10，BC=14，若過(guò)△ABC的頂點(diǎn)的一條直線將△A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【分析】此題主要考查了等腰三角形的定義，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB為底以及AB為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)BA=BE=

綜上，這樣的直線最多可畫4條．故選：C．21．（2023七年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2,-3)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，將點(diǎn)B沿x軸向右平移3個(gè)單位后落在點(diǎn)C(1)△ABC的面積等于(2)設(shè)M(1,2)，點(diǎn)N是第一象限內(nèi)的虛線格點(diǎn)，如果△OMN是以O(shè)M為腰的等腰三角形，那么點(diǎn)【答案】9；(2,1)或(3,1)或(3,3)．【分析】（1）由平移得BC=3（2）分OM=ON和【詳解】（1）如圖：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，A(2,-3)，∴點(diǎn)B(-2,3)∴將點(diǎn)B沿x軸向右平移3個(gè)單位后落在點(diǎn)C處．∴點(diǎn)C(1,3)∴BC∴△ABC的面積=12故答案為：9；（2）如圖：當(dāng)OM=ON時(shí)，以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓，可得點(diǎn)當(dāng)OM=MN時(shí)，以M為圓心，OM為半徑作圓，可得點(diǎn)N(3,1)故答案為：(2,1)或(3,1)或(3,3)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，平移變換以及三角形面積求法，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．題型六利用等角對(duì)等邊證明等腰三角形22．（24-25八年級(jí)下·廣東深圳·期中）某市一座老式橋梁需進(jìn)行加固改造，工程師對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，如圖，△ABC為主梁框架，∠ABC是橋墩支撐角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程師計(jì)劃在∠BAC的角平分線處安裝鋼架AD，交底梁BC于點(diǎn)D，為確保穩(wěn)定性，必須過(guò)點(diǎn)B焊接加固鋼索BE，使得BE⊥AD，分別交(1)求證：加固后的△ABE(2)經(jīng)測(cè)量，主梁全長(zhǎng)AC為13米，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)間距BD為5米，求原始支撐段AB的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)原始支撐段AB的長(zhǎng)度是8米【分析】（1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF【詳解】（1）證明：∵BE∴∠AFE又∵AD平分∠∴∠EAF又∵在△AEF和△∠AFE+∠∴∠AEF∴AE∴△ABE（2）解：連接DE，

∵AE=AB，AD平分∴AD垂直平分BE∴BD∴∠DEF∵∠AEF∴∠AED又∵∠ABC∴∠AED又∵△CED中，∠∴∠C∴EC∴CE∴AB【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（24-25八年級(jí)上·廣西賀州·期末）如圖，已知點(diǎn)A，C分別是△FBE的邊BF和BE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作∠AFE的平分線FD，若(1)求證：△FBE(2)作∠FEC的平分線交FD于點(diǎn)H，若∠B=50°【答案】(1)見解析(2)65°【分析】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)：（1）根據(jù)角平分線的定義得∠AFD=∠DFE，由平行線的性質(zhì)得∠AFD=∠B，（2）由（1）知∠FEB=∠B=50°，得出【詳解】（1）證明：∵FD平分∠∴∠AFD∵FD∴∠AFD=∠B∴∠B∴FB=（2）解：∵∠B=∠FEB∴∠FEB∴∠FEC∵EH平分∠FEC∴∠HEC∵FD∥∴∠FHE24．（24-25八年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與AB,AC相交于點(diǎn)E(1)求證：△BED(2)若AC=6cm,AB=8【答案】(1)見解析(2)14【分析】本題考查了角平分線的定義，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，等角對(duì)等邊，證明∠EBD（1）由角平分線的定義可得∠EBD=∠DBC，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠（2）同理（1）可得DF=CF，根據(jù)△AEF【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC∴∠EBD∵EF∥∴∠EDB∴∠EBD∴BE∴△BED（2）解：同（1）可證DF=又∵BE=ED，∴△AEF的周長(zhǎng)====8+6=14cm∴△AEF的周長(zhǎng)為14題型七利用等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)或證明邊相等25．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，在△ABC中，角平分線BO和CO相交于點(diǎn)O，OE∥AB，OF∥AC，BC【答案】2【分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，由角平分線定義得到∠OBE=∠OBA，由平行線的性質(zhì)推出∠EOB=∠OBA，得到∠OBE=∠EOB【詳解】解：∵OB平分∠ABC∴∠OBE∵OE∥∴∠EOB∴∠OBE∴BE=同理：OF=∴△OEF的周長(zhǎng)=故答案為：2a26．（24-25八年級(jí)上·重慶永川·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，AD=3，點(diǎn)E在AD上，連接BE，CE，∠A=∠D=∠BEC【答案】2【分析】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DEC【詳解】解：∵∠A=∠D∴∠CED∵∠EBC∴CE=在△ABE和△∠A∴△ABE∴AB故答案為：2．27．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【答案】8【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的意義等知識(shí)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵；在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB=3，連接DE，則由角平分線的性質(zhì)可證明△ABD≌△AED，從而有∠B【詳解】解：如圖，在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB=3∵AD平分∠BAC∴∠BAD在△ABD與△AB=∴△ABD∴∠B∵∠B∴∠BDE∴∠BDE∴180°-∠BDE∴∠CDE∴CE=∴AC=故答案為：8．28．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且∠ABC=∠ADB，E為AC上方一點(diǎn)，且(1)求證：BC=(2)猜想∠EDC與∠【答案】(1)見解析(2)∠EDC【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)（1）根據(jù)∠EAC=∠BAD，證明∠EAD=∠BAC，再由∠ABC=∠ADB（2）∠EDC=∠BAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠【詳解】（1）證明：∵∠EAC∴∠EAC∴∠EAD∵∠ABC∴AB=∵AC=∴△ABC∴BC=（2）解：∠EDC∵∠ADC由（1）知△ABC∴∠ABD∴∠EDC29．（24-25七年級(jí)下·上海長(zhǎng)寧·期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AC分別交AC、AD于點(diǎn)E、F，連接(1)如果∠BAC=70°，求(2)過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交邊AC于點(diǎn)G，如果AC=10【答案】(1)55°(2)16【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義以及線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠CAD（2）根據(jù)FG∥AB以及角平分線的定義，可得∠AFG=∠FAG【詳解】（1）解：∵AD是△∴∠∵∠∴∠∵EF垂直平分∴∴∠CAD∵∠FEC∴∠EFC（2）解：如圖，∵FG∴∠∵AD是△∴∠∴∠AFG∴AG=∵FA∴∵∴∴∴C題型一格點(diǎn)中畫等腰三角形30．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A和B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為【答案】5【分析】本題考查了等腰三角形的判定,線段的垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．由題意知，分當(dāng)AB為底時(shí)，當(dāng)AB為腰時(shí)，兩種情況求解作答即可．【詳解】解：如圖，由題意知，當(dāng)AB為底時(shí)，滿足要求的點(diǎn)C如C1、C2、C4∴共有5個(gè)，故答案為：5．31．（24-25八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1),C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)（在所給網(wǎng)格中），若不共線的A,B,C【答案】(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7（答案不唯一）【分析】由不共線的A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，則△ABC【詳解】解：依題意，由不共線的A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，∴△ABC則以A為圓心，AB為半徑畫弧，與網(wǎng)格頂點(diǎn)相交，即為滿足條件的C點(diǎn)；或以B為圓心，AB為半徑畫弧，與網(wǎng)格頂點(diǎn)相交，即為滿足條件的C點(diǎn)；或AB為底邊，作其的垂直平分線，與網(wǎng)格頂點(diǎn)相交，即為滿足條件的C點(diǎn)；如圖，共有符合要求的點(diǎn)C有7個(gè)．其中點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7故答案為：(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7（答案不唯一）32．（23-24八年級(jí)上·山西晉城·期末）如圖，在4×5的點(diǎn)陣圖中，每?jī)蓚€(gè)橫向和縱向相鄰陣點(diǎn)的距離均為1，該點(diǎn)陣圖中已有兩個(gè)陣點(diǎn)分別標(biāo)為A，B，請(qǐng)?jiān)诖它c(diǎn)陣中找一個(gè)陣點(diǎn)C，使得以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有個(gè)．【答案】5【分析】此題考查等腰三角形的判定．由已知條件，分別AB為腰找等腰三角形和AB為底找等腰三角形，即可．【詳解】解：如圖，分別AB為腰畫出等腰三角形和AB為底畫出等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C有5個(gè)，故答案為：5．題型二直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)33．（23-24八年級(jí)上·北京昌平·期末）如圖，點(diǎn)O在直線l上，點(diǎn)A在直線l外.若直線l上有一點(diǎn)P使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P位置有個(gè)【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的定義，垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，分三種情況求解，即可得到答案，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，①以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線l交于點(diǎn)P1、P此時(shí)OA=OP1=②以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線l交于點(diǎn)P3此時(shí)OA=OP③作OA的垂直平分線，與與直線l交于點(diǎn)P4此時(shí)OP4=即滿足條件的點(diǎn)P位置有4個(gè)，故答案為：4．34．（23-24八年級(jí)上·河南開封·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A3,0，B0,3，若坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)C，使得△ABC【答案】7【分析】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分三種情況：當(dāng)AB=AC時(shí)；當(dāng)BA=【詳解】解：如圖所示：

分三種情況：當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線,交坐標(biāo)原點(diǎn)綜上所述：若坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，則滿足條件的情況有7故答案為：7．35．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）已知點(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P在x軸上，使△AOP是等腰三角形則P【答案】4,0或2,0或22,0【分析】本題考查了等腰三角形的定義，兩點(diǎn)間距離公式，和正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先求出A2,2，設(shè)Px,0【詳解】解：由題意得，把xA=2代入y=∴A2,2設(shè)Px∴AO當(dāng)AO=AP，則AO2解得：x=4或x∴P4,0當(dāng)OP=AP，則OP2解得：x=2∴P2,0當(dāng)AO=OP，即AO2解得：x=±2∴P22,0綜上所述：△AOP是等腰三角形，P的坐標(biāo)為P4,0或P2,0或P故答案為：4,0或2,0或22,0或36．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1x1,y1，P2(1)已知A-2,3，B4,-5，試求A(2)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A-1,3、B0,1(3)已知A2,1，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△OAP為等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【答案】(1)10(2)等腰直角三角形，理由見解析(3)存在，P0,5或0,-5或【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．（1）利用公式代入即可；（2）利用公式求出AB，AC，BC的長(zhǎng)，再由勾股定理逆定理即可判斷；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵A(-2,3)，∴AB（2）解：等腰直角三角形，理由如下：∵A-1,3、B∴ABAC=BC=∴AB2∴△ABC（3）解：存在，∵A∴O設(shè)P0,∴OP2=當(dāng)AO=OP時(shí)，AO2=OP2，則當(dāng)AO=AP時(shí)，AO2=AP2，則5=4+y當(dāng)AP=OP時(shí)，AP2=OP綜上，P0,5或0,-5或0,2題型三求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)37．（24-25八年級(jí)上·新疆伊犁·期中）在直角坐標(biāo)系中，△ABC

(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的(2)直接寫出A1，B1，(3)在x軸上找出點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短（保留作圖痕跡）(4)點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，符合條件的Q點(diǎn)有【答案】(1)見解析(2)A1(4,1)，B1(2,3)，(3)見解析(4)10【分析】（1）由點(diǎn)的對(duì)稱性，作出圖形即可；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解；（3）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交x軸于點(diǎn)P（4）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．【詳解】（1）如圖1：△A

（2）由圖可知A(-4,1)，B(-2,3)∴A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為(4,1)，B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為(2,3)，C點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為(-1,-2)∴A1(4,1)，B1(2,3)（3）如圖2：作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交x軸于點(diǎn)P

∴AP+此時(shí)PA+（4）如圖：以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，

作線段BC的垂直平分線，此線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴△BCQ是等腰三角形時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)有10故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱作圖，圖形與坐標(biāo)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．38．（22-23八年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC，△ABC所在的平面上有一點(diǎn)P（如圖中所畫的點(diǎn)P1），使△PAB，△【答案】圖見解析，10【分析】根據(jù)等腰三角形的兩邊相等，可通過(guò)作線段的垂直平分線得出滿足條件的點(diǎn)；【詳解】解：如圖，在△ABC的邊BC的中垂線上有P1，P3，P6和，所以滿足條件的點(diǎn)P共有4×3-2=10個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定（有兩條邊相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三線和一性質(zhì)是解答關(guān)鍵．39．（20-21八年級(jí)上·江西吉安·期末）直線y=-34x+6與x軸相交于點(diǎn)B(1)求直線AB與坐標(biāo)軸圍成的面積；(2)在x軸上一動(dòng)點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出如圖所示AP=PB(3)直線y=x+3與直線AB相交于點(diǎn)C，與x軸相交于點(diǎn)D；點(diǎn)Q是直線CD上一點(diǎn)，若△BQD的面積是【答案】(1)24(2)（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或（74，0(3)（457，66【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）如圖，由（1）知A（0，6），B（8，0）．當(dāng)AB=PB=10時(shí)，OP=18或2；當(dāng)AB=AP時(shí)OP=OB=8；當(dāng)AP=PB時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論；（3）解方程組得到C（227，337），根據(jù)已知條件得到【詳解】（1）解：在y=-當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，x=8；∴S△（2）如圖，由（1）知A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∴AB=10，∵△ABP∴當(dāng)AB=PB=10，OP=18或2，∴P（18，0）或（－2，0）；當(dāng)AB=AP時(shí)，OP=OB=8，∴P（－8，0）；當(dāng)AP=PB時(shí)，設(shè)OP=x，則AP=BP=8－x，由AO得：62解得：x=此時(shí)P（74綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或P（74（3）聯(lián)立y解得：x∴C（127∵△BQD的面積是△BCD的面積的兩倍，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為667把y=667代入y=x+3得x=457把y=－667代入y=x+3得x=-87∴Q（457，66【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，三角形的面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．題型四等腰三角形性質(zhì)與判定綜合40．（24-25八年級(jí)上·重慶榮昌·期末）在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上，以CD為邊，在AC上方作任意△

(1)如圖1，若G為BE中點(diǎn)，DE∥BC，DA=2(2)如圖2，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，連接EF，若EF=BC,∠F=∠ABC，【答案】(1)6(2)CG=【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，（1）先證明∠DEG=∠CBG（2）在CD上截取CN=CF，連接BN，先證明△EFC≌△BCN【詳解】（1）解：∵DA=2∴AG=2∴DG=∵G為BE中點(diǎn)，∴BG=∵DE∥∴∠DEG在△DEG和△∠DEG∴△DEG∴CG=（2）線段DG、CF和CG之間存在的數(shù)量關(guān)系為在CD上截取CN=CF，連接BN，如圖

在△ABC中，AB∴∠ACB在△EFC和△CN=∴△EFC∴BN=∴∠ECD∵∠DEF∴∠BCE∴∠D∴ED=在△DEG和△∠D∴△DEG∴DG=∴CG=41．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求證：△OCD(2)∠BOC=150°時(shí)，試判斷(3)探究：當(dāng)∠BOC為多少度時(shí)，△【答案】(1)見解析(2)△ADO(3)150°或105°或255°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC，再由∠OCD（2）先求出∠ODC=60°，根據(jù)全等的性質(zhì)得到∠ADC=150°，即可求出∠ADO（3）分別表示出∠AOD=195°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=180°-∠【詳解】（1）證明：∵△BOC∴OC∵∠OCD∴△OCD（2）解：∵△BOC∴∠BOC∵△∴∠DOC∴∠ADO∴△ADO∵∠AOD∴∠AOD∴∠AOD∵∠OAD∴∠OAD∴△ADO（3）解：若∠BOC=α則∠AOD=360°-∠AOB∴∠DAO①當(dāng)DA=DO時(shí)，則∴195°-α∴∠BOC②當(dāng)OA=OD時(shí)，則∴α-∴∠BOC③當(dāng)AO=AD時(shí)，則∴195°-α∠BOC綜上：當(dāng)∠BOC為150°或105°或255°2，42．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期末）【問題探究】（1）如圖1，已知△AOB和△COD均為等腰三角形且①連接AC,BD，求證：②如圖2，線段AC交線段BD于點(diǎn)E，交線段BO于點(diǎn)F，且CD=AF．若AC=3，【學(xué)以致用】（2）如圖3，已知點(diǎn)C在△ABD的右側(cè)，連接CB,CD．若∠A=∠ADC=60°,∠【答案】（1）①證明見解析；②BE=3-1【分析】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）①由SAS可證△AOC≌△BOD②由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BD=3，∠CAO=∠DBO（2）先證△ADH是等邊三角形，可得AD=DH=AH，∠H=60°【詳解】（1）①證明：∵AB∴∠ABO∵OA∴∠AOB∴∠AOC在△AOC和△OA∴△∴②∵CD∴∠AFO由①得，∠OAC∴∠OAF∵CD∴△AOF∴AO∵AC∴BE（2）解：延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD于∵∠A=∠∴△ADH∴AD=DH∵AB∴AB∴CD=BH∵∠ABC∴∠BCH∴CH∴AB∴AH∵BN⊥AD∴∠ABN∴AN=1∴DN∴BD43．（22-23八年級(jí)上·廣西南寧·期中）綜合探究：探索等腰三角形中相等的線段．問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？問題初探：(1)希望小組的同學(xué)們根據(jù)題意畫出了相應(yīng)的圖形，如圖1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC證明：如圖1，∵DE⊥AB，∴∠DEB∵AB=∴∠B=∠C∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△∴DE=①請(qǐng)寫出依據(jù)1和依據(jù)2的內(nèi)容：依據(jù)1：_______________________；依據(jù)2：_______________________．②請(qǐng)你應(yīng)用圖2寫出一種不同于希望小組的證法．類比探究：(2)奮斗小組的同學(xué)認(rèn)真研究過(guò)后，發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)正確結(jié)論：①在圖3中，若DE,DF分別為△ABD和△ACD的中線，那么DE=DF仍然成立．②在圖4中，若DE,(3)未來(lái)小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)探究又有新的發(fā)現(xiàn)，如果在等腰△ABC中，作腰AB上的高CG，如圖5，則CG與DE有確定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系為_________________【答案】(1)①等邊對(duì)等角；AAS；②見解析(2)見解析，(3)CG【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角及全等三角形的判定定理解答即可；②連接AD，由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得到AD平分∠BAC（2）圖3：根據(jù)AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得到∠DAE=∠DAF，由DE,DF分別為△ABD和△ACD的中線，得到AE=AF，由此推出△ADE≌△ADFSAS，得到DE=DF；圖4：由AB=AC（3）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)得到DE=DF【詳解】（1）解：①依據(jù)1：等邊對(duì)等角；依據(jù)2：AAS，故答案為：等邊對(duì)等角；AAS；②連接AD，∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC又∵DE⊥AB，∴DE=（2）圖3：∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC，即∠∵DE,DF分別為△ABD∴AE=∴AE=又∵AD=∴△ADE∴DE=圖4：∵AB=AC，D是∴AD⊥BC，BD=∴∠ADB∵DE,DF分別為△ABD∴∠BDE∴∠BDE∴△BDE∴DE=（3）連接AD，∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，∴DE=∵S△∴12∴CG=2故答案為：CG=2【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．44．（24-25八年級(jí)上·四川瀘州·期末）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D