專題15.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、三線合一等性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質(zhì)可得BD=CE，∠ACE（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE-AD)，根據(jù)（【解題過程】（1）證明：∵∠∴∠BAC-∠在△ABD和△AB=∴△∴BD=（2）BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE，位置關(guān)系是理由如下：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）解：由（1）的方法得，△ACD∴AD=BE∵△CDE∴∠CDE∵CD=CE∴DM∵∠DCE∴DM∴CM=∵∠ACB∴∠CAD∴∠CBE∴∠即四邊形ABEC的面積=S學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交千點(diǎn)P，則以下結(jié)論中①AD=BE=CFA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】證明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，進(jìn)一步可判斷①②，證明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，進(jìn)一步可判斷【解題過程】解：∵△ABC，△∴BA=BC，BD=∴∠ABD∴△ABD∴∠BAD=∠BCF同理可得△ACD∴∠CAD=∠CBE，AD∴AD=BE=∵∠BAD∴∠BAD∵∠ABC∴∠BAD∴∠BPA同理可得∠APC∴∠BPC=120°，∴∠DPE=∠EPC如圖，在PA上截取PG=PB，連接∴△BPG∴∠BGP∴∠BGA∴∠BGA又∵∠BAG=∠BCP∴△BAG∴PC=∴PA=∵AD=∴PB+PC+故選D2．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B、C、E依次在同一條直線上，連結(jié)CD．若BC=4【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABE【解題過程】解：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAE在△ABD和△AB=∴△ACD∴∠ACD∵∠B∴∠ACD∴∠BCD∵BC=4，∴BE∴CD∴S故答案為：6．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC與BE相交于點(diǎn)M，AD與CE相交于點(diǎn)，連接MN，PC，則下列四個(gè)結(jié)論：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=

【思路點(diǎn)撥】當(dāng)M是AC的中點(diǎn)或者BM平分∠ABC時(shí)，∠BMC=∠BMA，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，可得△ACD≌△BCESAS，故∠CAD=∠CBE，再判斷△ACN≌△BCMASA，所以AN=BM；可以判斷③正確，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠【解題過程】證明：∵△ABC∴當(dāng)M是AC的中點(diǎn)或者BM平分∠ABC∴∠BMC但題中M的位置不確定，∴∠BMC和∠故①錯(cuò)誤；∵△ABC和△∴CA=CB,∴∠ACE∴∠ACD在△ADC和△BCE∴△ACD∴∠CAD在△ACN和△BCM中，∴△ACN∴AN=故③正確；∵∠CAD而∠CAD∴∠CBE∴∠BPD∴∠APB故②正確；作CH⊥BE于H，CQ⊥

∵△ACD∴AC=BC又∵∠∴△∴CQ=又∵∠CHP∴CP平分∠BPD故④正確．綜上所述：正確的是②③④．故答案為：②③④．4．（23-24九年級上·河南周口·期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，直線AE，BD交于點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠AFB的度數(shù)為______，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______（2）如圖2，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤360°時(shí)，（（3）若AC=4，CD=3，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C【思路點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE（2）同（1）中方法證明△ACE≌△BCD，得出AE=BD（3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出BD的最大和最小值，即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵△ABC∴AC=BC∵△ECD∴CE=CD∴∠∴∠ACB即∠ACE在△ACE和△AC∴△ACE∴AE=BD∵∠AFB=∠∴∠（2）（1）中結(jié)論仍成立，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC∵△ECD∴CE=CD∴∠∴∠ACB即∠ACE在△ACE和△AC∴△ACE∴AE=BD∵∠AFB+∠3=∠ACB∴∠AFB（3）∵△ABC∴AC當(dāng)旋轉(zhuǎn)α=60°時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=當(dāng)旋轉(zhuǎn)α=240°時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=∴1≤BD5．（23-24七年級下·四川成都·期中）數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點(diǎn)D（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，（3）拓展應(yīng)用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，將△AEF【思路點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)AC交BD于點(diǎn)G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACF（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACF可得∠【解題過程】（1）解：如圖1，設(shè)AC交BD于點(diǎn)G，∵∠BAC∴∠BAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠ABE=∠ACF∴∠BDC故答案為：BE=CF，（2）解：BE=∵∠BAC∴∠BAC-∠EAC在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=∵∠EAF∴∠AEF∴∠BDC（3）解：如圖3所示：∵△ABC和△∴∠CAB∴∠CAB-∠CAE∴△BAE∴∠AFC∵∠EAF∴∠AEF∴∠AEB∴∠AFC6．（2024·河南·一模）如圖，

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接①∠AEC的度數(shù)為______②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點(diǎn)B、【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BDC=120°，證明△ECA（2）證明△ECA≌△DCBSAS，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CDB=135°，進(jìn)而得到∠CEA=∠CDB=135°，∠AEB=∠CEA-∠CEB，即可得到∠AEB的度數(shù)；由（3）證明△ECA≌△DCBSAS，得到∠CEA【解題過程】（1）解：①∵△ABC和△∴CE=CD，CA=∴∠BDC∴∠ECD-∠ACD在△ECA和△CE=CD∴△ECA∴∠AEC故答案為：120°；②∵△ECA∴AE=故答案為：AE=（2）解：∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠EC=DC,AC∴∠ECA=∠在△AEC與△BDC中，∴△AEC∴∠AEC∵∠CDE=45°，點(diǎn)B、D、∴∠BDC∴∠AEC∴∠AEB∵△EDC都是等腰直角三角形，CM∴CM∴ED∴BE∠AEB的度數(shù)為90°，線段CM、AE、（3）解：根據(jù)（1）（2）中結(jié)論可知：△AEC≌△BDC∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∴∠CDE∴∠AEC∴∠AEC∴∠EAB7．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）（1）問題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，（2）遷移應(yīng)用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，M是AD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P（3）拓展創(chuàng)新如圖3，P是線段BE的中點(diǎn)，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當(dāng)EF【思路點(diǎn)撥】（1）證出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS（2）在AE上取點(diǎn)K，使得AK=AM，連接KM，證明△AMN≌△KMP（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，連接QE,QB，證明△EPF≌△QPH(SAS【解題過程】（1）證明:∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD（2）證明:在AE上取點(diǎn)K，使得AK=AM，連接∵△ABC和△ADE∴∠DAE=60°，AD=∴△AMK是等邊三角形∴AM=MK=∵△MPN是等邊三角形∴MN=MP，∴∠PMN∴∠PMN-∠AMP在△AMN和△AM=∴△AMN∴AN=∴AM=∵M(jìn)為AD的中點(diǎn),點(diǎn)N為AC的中點(diǎn),∴AE=AD=2設(shè)AP=x，AN=y，則∴AE=2AK=2∴EP=∴EP=∴點(diǎn)P為BE的中點(diǎn)；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=∵△PFH是等邊三角形∴PF=PH，∴∠EPF∴△EPF∴EF∴EF當(dāng)點(diǎn)H在線段QB上時(shí)，EF+BH的值最小，此時(shí)PH⊥BQ∵PQ∴∠PBQ在Rt△PBH中，即當(dāng)EF+BH的值最小時(shí)，△PFH8．（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，BE交①試說明：BE=CF②求∠BDC【問題探究】（2）如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，【思路點(diǎn)撥】（1）①利用SAS證明△ABE≌△（2）利用SAS證明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性質(zhì)即可得出【解題過程】解：（1）①∵∠∴∠BAC+∠CAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE②如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵△ABE∴∠ABE∵∠AOE∠AOE∴∠BDC（2）BE=CF，∵∠BAC∴∠BAC即∠BAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=CF∵∠EAF=120°，∴∠AEF∴∠==∠=∠=30°+30°=60°．9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等腰直角△ADE，∠（1）如果AB=AC，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），請直接寫出線段CE與BD之間的數(shù)量關(guān)系：___________，位置關(guān)系：___________；（只寫結(jié)論，不用證明）②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，寫出結(jié)論并加以論證；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CE⊥BD（點(diǎn)C【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)．熟練掌握等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△②根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CE⊥BD．過點(diǎn)A作AF⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)F，得到△AFC是等腰直角三角形，根據(jù)∠DAE=90°，AD=【解題過程】（1）①當(dāng)AB=AC，∠BAC∵∠DAE=90°∴∠BAD∴∠BAD∴△ABD∴CE=BD，∴∠BCE∴CE⊥故答案為：CE=BD，②CE=BD，∵AB=AC，∴∠B∵∠DAE=90°∴∠BAD∴∠BAD∴△ABD∴CE=BD，∴∠BCE∴CE⊥（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，如答圖，過點(diǎn)A作AF⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)則∠FAC∵∠ACB∴∠F∴AC=∵∠DAE=90°∴∠FAD∴∠FAD∴△FAD∴∠ACE∴∠BCE∴CE⊥10．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，l2上有一點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)且OM=4，點(diǎn)N是l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP【思路點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠（3）證明∠O'MO=45°，當(dāng)OP有最小，即O'【解題過程】（1）∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△ABD和△AB=∴△ABD故答案為：△ACE；BD（2）解：BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）∵△MNP∴∠MNP將△OPM繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△O'P'連接OO∴△PMO∴MO=MO∴∠O當(dāng)OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值為411．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三點(diǎn)在一條直線上，AC①求∠BEC的大小；②CE=2，求【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,【思路點(diǎn)撥】（1）由SAS證△AEC（2）①同（1）得△AEC≌△ADB②過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，證△AGF≌△CEFASA，得AG=（3）連接CE，同（2）得△CDE≌△FDASAS，則CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，得∠ACE=90°，再證△ACE≌△BAF【解題過程】（1）證明：∵∠BAC∴∠BAC即∠CAE在△AEC和△AC=∴△AEC（2）解：①∵AD=AE∴∠ADE∴∠ADB同（1）得：△AEC∴∠AEC∴∠BEC②如圖2，過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)則∠FGA由①可知，∠FEC∴∠FGA∵點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，∴AF又∵∠AFG∴△AGF∴AG=CE∵AD=AE∴DG∴GF∴S（3）解：如圖3，連接CE，同（2）得：△CDE∴CE=AF∴∠ACE在△ACE和△AC=∴△ACE∴S△∵∠ACE∴CE∥∴S∵S∴12∴AC∴AF∴A∴AF即AF的長為8．12．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化時(shí)，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下操作：（1）觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE（2）類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC（3）解決問題：如圖③，已知點(diǎn)E在等邊△ABC的外部，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接AE、BE、CE【思路點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用SAS證明△BAD≌△CAE（2）利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得出∠（3）在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH=CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O，先利用外角的性質(zhì)證明∠ABH=∠ACE，再利用SAS證明△ABH≌△ACE，得出【解題過程】（1）解：AB∥理由如下：∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠B∴∠BAC∴AB故答案為：AB∥（2）證明：∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAC-∠DAC∵∠AED=60°，∴∠AEC在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ADB∴∠ADB∴點(diǎn)B，D，E在同一直線上；（3）解：如圖③，在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH=CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC∵∠BEC∴∠BAO∵∠AOB∴∠ABH在△ABH和△AB=∴△ABH∴∠BAH=∠CAE∴∠HAE∴△AEH∴AE∴BE=BH∵AE=3，∴BE13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），把線路AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE（即AD=AE），使得∠（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=60°，則∠

（3）如圖3，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在線段

（4）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在直線【思路點(diǎn)撥】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠（2）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠（3）由“SAS”可證△BAD≌△CAE（4）由“SAS”可證△BAD≌△CAE【解題過程】（1）解：∵∠BAC∴∠DAE∵AB=∴∠B∵∠DAE∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠BCE故答案為：90；（2）∵∠BAC∴∠DAE∵AB=∴∠B∵∠DAE∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠BCE故答案為：120；（3）α+理由如下：∵AB=AC，∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠ACE∵∠BCE∴∠B∵∠BAC=α∴α+（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，α+

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí)，α=

理由如下：∵∠DAE∴∠DAB∴∠DAB在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ABD∵∠ABD∴∠BAC∵∠BAC∴α=綜上，α+β=180°14．（24-25九年級上·廣東深圳·開學(xué)考試）【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．求證：【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，隨著動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，線段EC，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系為__________，請證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=5，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=2，若點(diǎn)D為射線BC上動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊△DPE，連接CE，【思路點(diǎn)撥】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因?yàn)椋?）證明△ABD≌△ACESAS，得出CE=（3）在射線BC上截取PC=DM，連接EM，易證△EPC≌△EDM，則EC=EM，∠CEM=∠PED=60°，得出△CEM是等邊三角形，則∠ECM=60°，即點(diǎn)E在∠ACD角平分線上運(yùn)動(dòng)，在射線CD上截取CP'=CP，連接E【解題過程】（1）證明：∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAC∴∠BAC-∠DAC在△ABD和△AB=∴△ABD（2）解：EC=∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAC∴∠BAC+∠DAC在△ABD和△AB=∴△ABD∴CE=∵AC=∴CE=（3）解：有最小值，在射線BC上截取PC=DM，連接，∵△ABC和△∴PE=ED，∴∠ACD∴∠ACD∵∠PCE+∠CEP∴∠ECD∵∠PCE∴∠EPC∴∠EPC在△EPC和△PE=∴△EPC∴EC=EM，∵∠PEC∴∠CEM∴△CEM∴∠ECM∴∠ECD=60°，即點(diǎn)E在∠ACD在射線CD上截取CP'=在△CEP和△PC=∴△CEP∴PE=∴BE+由三角形三邊關(guān)系可得，BE+P'E≥BP'，即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)∵AP=2，AC∴PC=∴BE∴BE+PE的最小值為15．（23-24七年級下·陜西西安·期末）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)三角形全等的知識時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)重合兩個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)會產(chǎn)生一對新的全等三角形．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，以AD為邊作△ADE問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點(diǎn)B，D，（1）證明：△ABD（2）探索線段BE，AE，CE三者間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由．問題拓展：經(jīng)過上面的探究，小明聯(lián)想到幾天前一道不會的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發(fā)現(xiàn)．如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，D是AC中點(diǎn)，BD=b，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，在AE右側(cè)作等邊△AEF，連接FD，求△AFD周長的最小值（用含a

【思路點(diǎn)撥】問題發(fā)現(xiàn)：由∠BAC=90°，∠DAE=90°，得到∠BAD=∠CAE，可證明△ABD≌△ACE，推出問題探究：（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=問題拓展：證明△ABE≌△ACF，得到∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，P在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，延長CF至點(diǎn)P，使得BD=CP，推出點(diǎn)F在線段CP上運(yùn)動(dòng)，以直線CP為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'，得到AC=A'C，AF=A'F，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AF+DF=A'【解題過程】解：問題發(fā)現(xiàn)：∵∠BAC=90°，∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△ABD∴∠ABD∵Rt△ABC中，∠BAC∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE問題探究：（1）∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△ABD（2）BE=∵△ABD∴BD=∵AE=∴BE=問題拓展：連接CF，∵△ABC和△∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC-∠EAD在△BAE和△AB=∴△∴∠ACF由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，如圖3，延長CF至點(diǎn)P，使得BD=∴點(diǎn)F在線段CP上運(yùn)動(dòng)，以直線CP為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'∴AC=A'∴AF+令A(yù)'D與CP交于點(diǎn)F'∵BA=BC，∴BD⊥AC，∵△ABE∴∠ACF∵∠ACF=1∴∠AC∴△AC∵CA=CB，∴CA又∵BD⊥∴DA∴C△∵AD=∴∠AD延長AF'交A'∵AD=∴A'∵△AC∴AA'=又∵A'∴∠CAD'綜上所述，△AFD周長的最小值為12a16．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC特例探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接CD，以CD為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，發(fā)現(xiàn)BE⊥求異探究：（2）如圖2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△AEF為等腰直角三角形，點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，連接ED，以ED為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形EDH，連接DF和CH，判斷DF與拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，連接BD，在線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若CD=6，AE=10，求【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，進(jìn)而證明△（2）連接AD，CF，先證明△DAE≌△HFESAS可得∠EAD（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)F，得出△ACB是等腰直角三角形，證明△ABE≌△FBDSAS，得出FD=AE【解題過程】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE∴∠ACD∴△ACD∴∠CBE∴∠ABE∴BE（2）DF=CH，如圖所示，連接AD，CF，∵以ED為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形EDH，∴ED=EH∵∠ACB=90°，∴∠CAB∵點(diǎn)E和F分別為AC和AB的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EF=∴∠AED∴△DAE∴∠EAD=∠EFH∵CF⊥AB，∠∴CF=又∵EF∴∠EFC∴∠EFC∴∠EAD-∠EAF在△ADF和△AD=∴△ADF∴DF=CH∵∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)∴AF=CF=∴∠AFD∴∠FCH∴∠FGC∴DF⊥（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)∵△ACB∴∠CAB∵FB∴△ABF∴BA∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴DB=EB∴∠FBD∴△ABE∴FD=∵∠ACB=90°，∴BC=CF=∴△ABD的面積為1當(dāng)點(diǎn)D在CA的延長線上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)同理△ABF△ABE∴FD=∵∠ACB=90°，∴BC=CF=∴△ABD的面積為1綜上，△ABD的面積為4或17617．（22-23九年級上·安徽·階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點(diǎn)F，求證：【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若①AP-②AP+【思路點(diǎn)撥】（1）證明△ACE?△BCD（2）如圖2，在AB上取一點(diǎn)G，使得BG=BD，證明△BDG是等邊三角形，然后證明△（3）如圖3，在AE上取一點(diǎn)F，使得BF=PD，證明△CEF?△CDP(SAS)，CF=CP，∠ECF=∠DCP，證明ΔPCF是等邊三角形，所以PC=PF=CF，過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為【解題過程】（1）證明：如圖1，設(shè)AC與BF交于點(diǎn)G，

∵△ABC，△∴CA=CB，CD∴∠BCD在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠CAE∵∠AGF∴∠AFB（2）解：AC=如圖2，在AB上取一點(diǎn)G，使得BG=

∵△ABC∴∠B=∠ACB∴△BDG∴∠BGD∴∠AGD=120°，∵CE是∠∴∠ACE∴∠DCE∴∠AGD∵∠ADE=60°，∴∠ADG∵∠ADG∴∠DAG∴△ADG∴DG∴AC∴AC（3）解：①AP-3PDPC如圖3，在AE上取一點(diǎn)F，使得EF=

∵△ABC和△DCE均為正三角形，B，C，∴CE=CD由（1）知：△ACE∴∠CEA∴△CEF∴CF=CP∴∠PCF∴△PCF∴PC過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為∵△ACE∴△ACE的面積=△∵AE∴CM∵BC∴BP∴AE∴AP∴①AP-②∵APBD-∴AP∴AP+綜上所述：①AP-3PDPC18．（23-24七年級下·江西吉安·期末）某數(shù)學(xué)小組在探究三角形之間的關(guān)系問題中，經(jīng)歷了如下過程：問題發(fā)現(xiàn)如圖，A，B分別是鈍角∠MON的邊ON，OM上的點(diǎn)，P為∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，分別以AP，BP為腰作等腰△APO和△BPC，且OP=AP，BP=CP，

（1）當(dāng)∠OPA=∠BPC=∠BOP=50°時(shí)，ACOB猜想論證（2）當(dāng)∠OPA=∠BPC=∠BOP=α0<α<90°拓展思考（3）當(dāng)α為鈍角，且點(diǎn)C落在直線OM上時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立，直接寫出∠MON與∠【思路點(diǎn)撥】（1）由手拉手模型，結(jié)合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS（2）由手拉手模型，結(jié)合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS（3）由手拉手模型，結(jié)合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS，再由全等性質(zhì)得到AC=OB【解題過程】解：（1）∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠PDA=180°-∠DPA故答案為：1，80°；（2）ACOB的值不會發(fā)生變化；∠∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠PDA=180°-∠DPA（3）當(dāng)α是鈍角時(shí)，如圖所示：

由（2）中ACOB=1；∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠DPA∵∠PAC是△∴∠CDO在等腰△BPC中，∠BPC=α，則設(shè)∠PBC=∠PCB∵∠BOP∴∠MON∵△BPO∴∠PCA=∠PBO=β，∠∴∠BPA∴∠MON19．（23-24七年級下·四川成都·期末）已知△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)A的射線AM在△ABC的外部，D為射線AM上的一點(diǎn)，E為平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足（1）如圖1，連接CD，若點(diǎn)E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求（2）如圖2，連接DE交BC于點(diǎn)F，若∠DBE=120°，且F恰為BC的中點(diǎn)，求證：（3）如圖3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，連接CE，當(dāng)線段CE的長度最小時(shí)，在射線CE上截取一點(diǎn)H，在邊BC上截取一點(diǎn)I，使CH=BI，連接【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)BE=BD，∠DBE=60°，可知△BDE為等邊三角形，利用公共角，證得∠1=∠3，再證△ADB≌△CEB，得到∠（2）在ED上取點(diǎn)N，使得FN=EF，連接NC、BN、AN，證明△CFN≌△（3）以BC為邊向下作等邊三角形△BCP，連接PE，證明△ABD≌△PBE，得到∠BPE=38°，即得當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在直線PE上，且滿足∠BPE=38°，由此得到當(dāng)CE⊥EP時(shí)，線段CE最短．要證明兩條線段AH+AI的最小值，通常利用兩點(diǎn)之間線段最短，因此需要將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，作∠CBN=∠【解題過程】（1）解：如圖，∵BE=BD，∴△BDE∵△ABC∴∠2+∠3=∠ACB∵∠1+∠2=∠DBE∴∠1=∠3，∵BD=∴△ADB∴∠ADB∵∠DEB∴∠BEC∴∠ADC∴∠ADC故∠ADB（2）解：在ED上取點(diǎn)N，使得FN=EF，連接NC、BN、∵F為BC邊的中點(diǎn)∴BF=∵BF∴△CFN∴CN=BE=∵∠DBE=120°，∴∠ACN∠ABD∴∠∵AC=∴△ACN∴AN=AD，∵∠CAN∴∠BAD∴△AND∴AD=∴DF=DN+（3）解：以BC為邊向下作等邊三角形△BCP，連接PE∵△ABC和△∴AB=∵∠DBE=120°，∴