基于規(guī)范變換的KP及其子系列精確求解與性質(zhì)研究一、引言1.1研究背景與意義可積系統(tǒng)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域占據(jù)著舉足輕重的地位，與矩陣模型理論、拓?fù)鋱?chǎng)論和弦理論等眾多前沿領(lǐng)域緊密相連。其中，KP（Kadomtsev-Petviashvili）系列作為可積系統(tǒng)的關(guān)鍵組成部分，與李代數(shù)\mathfrak{gl}(\infty)相對(duì)應(yīng)，其每一個(gè)流都與其他流具有對(duì)稱性，這一獨(dú)特性質(zhì)使其成為可積系統(tǒng)研究中的重點(diǎn)對(duì)象。KP系列的解空間與無(wú)窮維的Grassmann流形同構(gòu)，其Hirota形式等價(jià)于無(wú)窮維Grassmann流形的Plücker關(guān)系，從代數(shù)表現(xiàn)視角來(lái)看，其解可視為李代數(shù)對(duì)應(yīng)李群軌道上的一個(gè)點(diǎn)。這種深刻的數(shù)學(xué)聯(lián)系，使得KP系列在可積系統(tǒng)的理論研究中扮演著核心角色。例如，在孤子方程的研究中，KP系列的相關(guān)理論為理解孤子的相互作用和傳播特性提供了重要的框架，許多孤子方程的解都可以通過(guò)對(duì)KP系列的研究來(lái)獲得。BKP（B類型的Kadomtsev-Petviashvili）和CKP（C類型的Kadomtsev-Petviashvili）系列作為KP系列的重要子系列，分別對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)和\mathfrak{sp}(\infty)。它們?cè)诳煞e系統(tǒng)的分類和研究中具有獨(dú)特的地位，為解決不同類型的物理問題提供了有力的工具。比如，在某些量子場(chǎng)論模型中，BKP和CKP系列的解能夠描述特定的量子態(tài)和相互作用，對(duì)于深入理解微觀世界的物理規(guī)律具有重要意義。規(guī)范變換作為求解可積系列的重要方法，在KP及其子系列的研究中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。通過(guò)規(guī)范變換，可以從已知的“種子”解出發(fā)，獲得新的解，這為豐富可積系統(tǒng)的解的類型和結(jié)構(gòu)提供了有效途徑。在實(shí)際應(yīng)用中，規(guī)范變換可以幫助我們更好地理解物理系統(tǒng)中的對(duì)稱性和守恒量，例如在電磁學(xué)中，規(guī)范變換與電荷守恒定律有著密切的聯(lián)系。從非零“種子”解出發(fā)，利用規(guī)范變換求解KP系列、BKP系列和CKP系列，能夠得到(2+1)維的KP方程、BKP方程和CKP方程的解。這不僅拓展了我們對(duì)這些方程解空間的認(rèn)識(shí)，還為研究相關(guān)物理現(xiàn)象提供了更多的理論依據(jù)。例如，在流體動(dòng)力學(xué)中，(2+1)維的KP方程可以用來(lái)描述淺水波的傳播，通過(guò)規(guī)范變換得到的解能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)水波的行為。研究從零種子和非零種子出發(fā)得到的解的關(guān)系，有助于揭示可積系統(tǒng)解空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性。通過(guò)這種研究，我們可以找到對(duì)應(yīng)于這三個(gè)方程解空間的Galilean型的變換，并給出相應(yīng)的單參數(shù)變換群。這些變換和變換群的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步深化了我們對(duì)可積系統(tǒng)的理解，為后續(xù)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。例如，在研究量子力學(xué)中的散射問題時(shí)，這些變換群可以幫助我們更好地理解粒子的散射行為和相互作用機(jī)制。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在KP系列的研究歷程中，眾多學(xué)者做出了卓越貢獻(xiàn)。1983年，DateE.、KashiwaraM.、JimboM.和MiwaT.給出KP系列的tau函數(shù)存在性定理，為KP系列的研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)。從代數(shù)表現(xiàn)視角來(lái)看，KP系列的解可視為李代數(shù)對(duì)應(yīng)李群軌道上的一個(gè)點(diǎn)，其解空間與無(wú)窮維的Grassmann流形同構(gòu)，這一發(fā)現(xiàn)極大地推動(dòng)了KP系列在代數(shù)和幾何領(lǐng)域的深入研究。BKP和CKP系列作為KP系列的重要子系列，也受到了廣泛關(guān)注。YouY.證明對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)的DKP系列和BKP系列本質(zhì)上是一致的，這一成果加深了我們對(duì)BKP系列本質(zhì)的理解。然而，截至目前，對(duì)應(yīng)于某些特殊類型李代數(shù)的可積系統(tǒng)相關(guān)研究成果較少，像對(duì)應(yīng)于F類型和G類型李代數(shù)的可積系統(tǒng)研究進(jìn)展緩慢，這也為后續(xù)研究指明了方向。值得一提的是，BKP系列的獨(dú)立tau函數(shù)在1983年由DateE.、KashiwaraM.、JimboM.和MiwaT.給出，而CKP系列的獨(dú)立tau函數(shù)直到2013年才由ChangL.和WuC.給出，這反映出不同子系列研究的復(fù)雜性和階段性。在規(guī)范變換求解方面，ChauL.L.、ShawJ.C.和YenH.C.使用微分和積分類型的規(guī)范變換來(lái)給出KP系列的新解，為規(guī)范變換在KP系列中的應(yīng)用提供了重要的研究范例。此外，運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系教師李榮通過(guò)q—KP可積系列的兩類規(guī)范變化微分型T_D和積分型T_I，探討在規(guī)范變換產(chǎn)生的伴隨特征函數(shù)，為q—KP可積系列的規(guī)范變化研究提供了新的視角。然而，目前對(duì)q—KP可積系列的規(guī)范變化研究仍不夠全面，在伴隨特征函數(shù)等方面的研究還有待進(jìn)一步深入。國(guó)內(nèi)的研究團(tuán)隊(duì)在KP及其子系列的規(guī)范變換求解方面也取得了顯著成果。例如，一些學(xué)者利用規(guī)范變換從非零“種子”解出發(fā)，成功求解了KP系列、BKP系列和CKP系列，并給出了(2+1)維的KP方程、BKP方程和CKP方程的解。通過(guò)研究零種子和非零種子出發(fā)得到的解的關(guān)系，找到了對(duì)應(yīng)于這三個(gè)方程解空間的Galilean型的變換，并給出了相應(yīng)的單參數(shù)變換群。這一系列成果不僅豐富了國(guó)內(nèi)在可積系統(tǒng)領(lǐng)域的研究?jī)?nèi)容，也在國(guó)際上產(chǎn)生了一定的影響。盡管國(guó)內(nèi)外在KP及其子系列的規(guī)范變換求解研究中取得了諸多成果，但仍存在一些不足之處。一方面，對(duì)于一些特殊類型李代數(shù)對(duì)應(yīng)的可積系統(tǒng)，如F類型和G類型，相關(guān)研究還非常有限，需要進(jìn)一步拓展研究范圍。另一方面，在規(guī)范變換的研究中，對(duì)于某些可積系列的規(guī)范變化研究不夠全面，像q—KP可積系列在伴隨特征函數(shù)等方面的研究還存在空白，需要更多的學(xué)者投入精力進(jìn)行深入探究，以完善可積系統(tǒng)的理論體系。1.3研究?jī)?nèi)容與方法本研究旨在從非零“種子”解出發(fā)，運(yùn)用規(guī)范變換深入求解KP系列、BKP系列和CKP系列，進(jìn)而得到(2+1)維的KP方程、BKP方程和CKP方程的解。具體研究?jī)?nèi)容包括：規(guī)范變換求解系列方程：系統(tǒng)研究從非零“種子”解出發(fā)，利用微分和積分類型的規(guī)范變換求解KP系列、BKP系列和CKP系列。通過(guò)對(duì)規(guī)范變換的精細(xì)分析，明確不同類型規(guī)范變換在求解過(guò)程中的作用和特點(diǎn)，深入探究規(guī)范變換前后方程的變化規(guī)律，以及如何通過(guò)規(guī)范變換將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為更易于求解的形式。(2+1)維方程求解：基于上述規(guī)范變換求解系列方程的結(jié)果，進(jìn)一步推導(dǎo)出(2+1)維的KP方程、BKP方程和CKP方程的解。在這個(gè)過(guò)程中，詳細(xì)分析解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，包括解的穩(wěn)定性、周期性、漸近行為等，為后續(xù)研究解的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。例如，通過(guò)對(duì)解的漸近行為的研究，可以了解方程在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，這對(duì)于理解相關(guān)物理現(xiàn)象在大尺度下的表現(xiàn)具有重要意義。解關(guān)系與變換研究：深入研究從零種子和非零種子出發(fā)得到的解之間的關(guān)系，以此為基礎(chǔ)找到對(duì)應(yīng)于這三個(gè)方程解空間的Galilean型的變換，并給出相應(yīng)的單參數(shù)變換群。通過(guò)對(duì)解關(guān)系的研究，揭示不同種子解所產(chǎn)生的解之間的內(nèi)在聯(lián)系，為統(tǒng)一理解可積系統(tǒng)的解提供新的視角。對(duì)于Galilean型變換和單參數(shù)變換群的研究，有助于深入探討可積系統(tǒng)的對(duì)稱性和不變性，這些對(duì)稱性和不變性在物理學(xué)中往往對(duì)應(yīng)著重要的守恒定律。在研究方法上，本研究將采用理論推導(dǎo)和案例分析相結(jié)合的方式。在理論推導(dǎo)方面，運(yùn)用李代數(shù)、無(wú)窮維Grassmann流形等相關(guān)理論，對(duì)規(guī)范變換求解KP及其子系列的過(guò)程進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從理論層面深入剖析規(guī)范變換的本質(zhì)和作用機(jī)制，為研究提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。例如，通過(guò)李代數(shù)的表示理論，可以將可積系統(tǒng)的解與李群的軌道聯(lián)系起來(lái)，從而更好地理解解的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在案例分析方面，選取具有代表性的“種子”解，運(yùn)用規(guī)范變換進(jìn)行具體求解，通過(guò)實(shí)際計(jì)算深入分析解的特性和規(guī)律，驗(yàn)證理論推導(dǎo)的結(jié)果，同時(shí)也為理論研究提供實(shí)際案例支持，使研究更加具有說(shuō)服力和實(shí)用性。例如，選擇一些簡(jiǎn)單的孤子解作為“種子”解，通過(guò)規(guī)范變換得到新的解，并分析這些新解的性質(zhì)，與理論預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比。二、KP及其子系列相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1KP系列基本理論2.1.1KP系列的定義與方程形式KP系列，即Kadomtsev-Petviashvili系列，在可積系統(tǒng)理論中占據(jù)著核心地位。它與李代數(shù)\mathfrak{gl}(\infty)相對(duì)應(yīng)，其解空間與無(wú)窮維的Grassmann流形同構(gòu)，這一深刻的數(shù)學(xué)聯(lián)系賦予了KP系列獨(dú)特的研究?jī)r(jià)值。從數(shù)學(xué)定義來(lái)看，KP系列可以通過(guò)Lax方程來(lái)描述。給定一個(gè)擬微分算子L=\partial+u_1\partial^{-1}+u_2\partial^{-2}+\cdots，其中\(zhòng)partial=\frac{\partial}{\partialx}，\partial^{-1}為\partial的形式逆。KP系列的Lax方程為\frac{\partialL}{\partialt_n}=[B_n,L]，其中B_n=(L^n)_+，n=1,2,3,\cdots。這里，對(duì)于任意的擬微分算子A=\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_i\partial^i，符號(hào)(A)_+和(A)_-分別表示\sum_{i=0}^{\infty}a_i\partial^i和\sum_{i=-\infty}^{-1}a_i\partial^i。引入dressing算子\tau=1+\sum_{i=1}^{\infty}v_i\partial^{-i}，滿足L=\tau\partial\tau^{-1}。dressing算子\tau滿足Sato方程\frac{\partial\tau}{\partialt_n}=-(L^n)_-\tau。KP系列的波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)定義為\psi(x,t,\lambda)=\tau\exp(\xi(x,t,\lambda))，其中\(zhòng)xi(x,t,\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}t_n\lambda^n。波函數(shù)滿足方程L\psi=\lambda\psi，\frac{\partial\psi}{\partialt_n}=B_n\psi，其中n\in\mathbb{Z}^+。對(duì)任意的擬微分算子M=\sum_{i=-\infty}^{\infty}b_i\partial^i，形式共軛算子M^*=\sum_{i=-\infty}^{\infty}(-1)^i\partial^ib_i，并且對(duì)擬微分算子A和B，(AB)^*=B^*A^*。共軛波函數(shù)\psi^*(x,t,\lambda)定義為\psi^*(x,t,\lambda)=(\tau^*)^{-1}\exp(-\xi(x,t,\lambda))，特別強(qiáng)調(diào)\psi^*(x,t,\lambda)不是\psi(x,t,\lambda)的共軛。共軛波函數(shù)滿足方程L^*\psi^*=\lambda\psi^*，\frac{\partial\psi^*}{\partialt_n}=-B_n^*\psi^*，其中n\in\mathbb{Z}^+。KP系列還等價(jià)于一種雙線性恒等式：\oint_{\lambda}\psi(x',t,\lambda)\psi^*(x,t,\lambda)d\lambda=0，其中積分路徑是圍繞\lambda平面上適當(dāng)區(qū)域的閉合曲線。2.1.2KP系列的性質(zhì)與特點(diǎn)可積性：KP系列是典型的可積系統(tǒng)，這意味著它具有無(wú)窮多個(gè)守恒量和可交換的流?？煞e性使得KP系列在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義。例如，在孤子理論中，KP系列的可積性保證了孤子解的存在和穩(wěn)定性。孤子是一種特殊的解，它在傳播過(guò)程中能夠保持形狀和速度不變，并且在相互作用后能夠恢復(fù)原狀。KP系列的可積性為研究孤子的相互作用和傳播特性提供了有力的工具。對(duì)稱性：由KP系列產(chǎn)生的每一個(gè)流都是與所有其他流對(duì)稱的，這是它被稱為系列的重要原因。這種對(duì)稱性體現(xiàn)了KP系列內(nèi)部的和諧與統(tǒng)一，反映了其深刻的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，在物理學(xué)中，對(duì)稱性往往與守恒定律密切相關(guān)。KP系列的對(duì)稱性可能對(duì)應(yīng)著某些物理量的守恒，這對(duì)于理解相關(guān)物理現(xiàn)象具有重要意義。與無(wú)窮維Grassmann流形的聯(lián)系：KP系列的解空間與無(wú)窮維的Grassmann流形同構(gòu)，其Hirota形式等價(jià)于無(wú)窮維Grassmann流形的Plücker關(guān)系。從代數(shù)表現(xiàn)視角來(lái)看，KP系列的解可視為李代數(shù)對(duì)應(yīng)李群軌道上的一個(gè)點(diǎn)。這種聯(lián)系為研究KP系列提供了新的視角和方法，將可積系統(tǒng)理論與代數(shù)幾何緊密結(jié)合起來(lái)。例如，通過(guò)研究無(wú)窮維Grassmann流形的性質(zhì)，可以深入了解KP系列解的幾何結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。tau函數(shù)的重要性：KP系列的tau函數(shù)在其理論中扮演著關(guān)鍵角色。tau函數(shù)可以被看作是對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{gl}(\infty)的李群軌道上的一個(gè)點(diǎn)，它與波函數(shù)、Lax算子等密切相關(guān)。通過(guò)tau函數(shù)，可以簡(jiǎn)潔地描述KP系列的許多性質(zhì)和解的形式。例如，KP系列的雙線性恒等式可以用tau函數(shù)來(lái)表示，這為求解KP系列的解提供了一種有效的方法。2.2BKP系列基本理論2.2.1BKP系列的定義與方程形式BKP系列，即B類型的Kadomtsev-Petviashvili系列，是KP系列的重要子系列，與李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)相對(duì)應(yīng)。1983年，DateE.、KashiwaraM.、JimboM.和MiwaT.給出了獨(dú)立的BKP系列的tau函數(shù)，為BKP系列的研究提供了關(guān)鍵的理論工具。BKP系列可以通過(guò)對(duì)KP系列施加特定的約束條件來(lái)定義。從tau函數(shù)的角度來(lái)看，BKP系列的tau函數(shù)\tau(t)滿足以下性質(zhì)：\tau(-t)=\tau(t)，其中t=(t_1,t_2,\cdots)。這一性質(zhì)體現(xiàn)了BKP系列在時(shí)間反演下的某種對(duì)稱性，與KP系列的tau函數(shù)有所不同，是BKP系列的一個(gè)重要特征。在BKP系列中，波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)和共軛波函數(shù)\psi^*(x,t,\lambda)的定義與KP系列有相似之處，但也存在一些關(guān)鍵差異。波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)滿足L\psi=\lambda\psi，其中L是BKP系列的Lax算子。與KP系列類似，Lax算子L可以表示為L(zhǎng)=\tau\partial\tau^{-1}，但這里的dressing算子\tau滿足BKP系列特有的條件。共軛波函數(shù)\psi^*(x,t,\lambda)滿足L^*\psi^*=\lambda\psi^*，并且波函數(shù)和共軛波函數(shù)之間滿足雙線性恒等式：\oint_{\lambda}\psi(x',t,\lambda)\psi^*(x,t,\lambda)d\lambda=0，積分路徑是圍繞\lambda平面上適當(dāng)區(qū)域的閉合曲線。BKP系列的方程形式還可以通過(guò)其對(duì)應(yīng)的雙線性方程來(lái)描述。以(3+1)維推廣的BKP方程為例，其方程形式為u_{xxxy}+\alpha(u_xu_y)_x+(u_x+u_y+u_z)_t-(u_{xx}+u_{zz})=0，其中\(zhòng)alpha是非零參數(shù)。這個(gè)方程展示了BKP系列在高維情況下的復(fù)雜性和獨(dú)特性，與低維的BKP方程相比，它涉及到更多的空間維度和非線性項(xiàng)，對(duì)其求解和分析也更加困難。通過(guò)研究這類方程的解，可以深入了解BKP系列在不同維度下的行為和性質(zhì)。2.2.2BKP系列的性質(zhì)與特點(diǎn)與李代數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：BKP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了BKP系列獨(dú)特的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)的表示理論為研究BKP系列提供了有力的工具，通過(guò)它可以深入探討B(tài)KP系列的對(duì)稱性、守恒量等重要性質(zhì)。例如，李代數(shù)的生成元可以與BKP系列的某些物理量或操作相對(duì)應(yīng)，從而揭示BKP系列內(nèi)部的代數(shù)關(guān)系和規(guī)律。對(duì)稱性與守恒量：BKP系列具有一定的對(duì)稱性，這些對(duì)稱性與相應(yīng)的守恒量密切相關(guān)。與KP系列不同，BKP系列的對(duì)稱性在某些方面表現(xiàn)出獨(dú)特的特征。例如，在一些變換下，BKP系列的方程形式保持不變，這種對(duì)稱性反映了BKP系列在物理系統(tǒng)中的某種不變性。通過(guò)研究對(duì)稱性，可以找到對(duì)應(yīng)的守恒量，這些守恒量在分析BKP系列的解和物理應(yīng)用中起著重要作用。在研究BKP系列描述的物理系統(tǒng)的演化過(guò)程中，守恒量可以幫助我們理解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和長(zhǎng)期行為。與KP系列的異同：BKP系列作為KP系列的子系列，與KP系列既有相同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)。它們都屬于可積系統(tǒng)，都具有無(wú)窮多個(gè)守恒量和可交換的流，這是可積系統(tǒng)的共性。然而，BKP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)，而KP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{gl}(\infty)，這導(dǎo)致它們?cè)诖鷶?shù)結(jié)構(gòu)和解的性質(zhì)上存在差異。BKP系列的tau函數(shù)滿足\tau(-t)=\tau(t)，而KP系列的tau函數(shù)不具備這一性質(zhì)。在解的形式和行為上，BKP系列和KP系列也可能有所不同，這些差異為我們研究可積系統(tǒng)的分類和特性提供了豐富的素材。解的結(jié)構(gòu)與特性：BKP系列的解具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和特性。通過(guò)研究BKP系列的波函數(shù)、共軛波函數(shù)以及它們滿足的方程，可以深入了解解的性質(zhì)。BKP系列的解可能包含孤子解、有理函數(shù)解等多種形式。孤子解在BKP系列中表現(xiàn)出特殊的穩(wěn)定性和相互作用特性，它們?cè)趥鞑ミ^(guò)程中能夠保持形狀和速度不變，并且在相互作用后能夠恢復(fù)原狀。有理函數(shù)解則具有不同的數(shù)學(xué)形式和物理意義，它們?cè)诿枋瞿承┪锢憩F(xiàn)象時(shí)可能具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。研究不同類型解的性質(zhì)和相互關(guān)系，有助于我們?nèi)胬斫釨KP系列的物理內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值。2.3CKP系列基本理論2.3.1CKP系列的定義與方程形式CKP系列，即C類型的Kadomtsev-Petviashvili系列，是KP系列的重要子系列，與李代數(shù)\mathfrak{sp}(\infty)相對(duì)應(yīng)。直到2013年，ChangL.和WuC.才給出獨(dú)立的CKP系列的tau函數(shù)，這為CKP系列的深入研究奠定了關(guān)鍵基礎(chǔ)。從tau函數(shù)的角度定義CKP系列，其tau函數(shù)\tau(t)滿足特定的條件。與KP系列和BKP系列的tau函數(shù)不同，CKP系列tau函數(shù)的這些條件體現(xiàn)了CKP系列的獨(dú)特性質(zhì)，反映了其內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性。在CKP系列中，波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)和共軛波函數(shù)\psi^*(x,t,\lambda)的定義與KP系列有一定的相似性，但也存在顯著差異。波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)滿足L\psi=\lambda\psi，其中L是CKP系列的Lax算子，可表示為L(zhǎng)=\tau\partial\tau^{-1}，這里的dressing算子\tau滿足CKP系列特有的條件。共軛波函數(shù)\psi^*(x,t,\lambda)滿足L^*\psi^*=\lambda\psi^*，并且波函數(shù)和共軛波函數(shù)之間滿足雙線性恒等式：\oint_{\lambda}\psi(x',t,\lambda)\psi^*(x,t,\lambda)d\lambda=0，積分路徑是圍繞\lambda平面上適當(dāng)區(qū)域的閉合曲線。這一雙線性恒等式在CKP系列的理論研究中起著重要作用，它與CKP系列的可積性、解的性質(zhì)等密切相關(guān)。CKP系列的方程形式還可以通過(guò)其對(duì)應(yīng)的雙線性方程來(lái)描述。這些雙線性方程是CKP系列的核心方程之一，它們簡(jiǎn)潔地表達(dá)了CKP系列中各種物理量之間的關(guān)系，為求解CKP系列的解提供了重要的工具。通過(guò)對(duì)雙線性方程的分析和求解，可以得到CKP系列的各種精確解，包括孤子解、周期解等，這些解對(duì)于理解CKP系列在物理系統(tǒng)中的應(yīng)用具有重要意義。2.3.2CKP系列的性質(zhì)與特點(diǎn)與李代數(shù)的緊密聯(lián)系：CKP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{sp}(\infty)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了CKP系列獨(dú)特的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。李代數(shù)\mathfrak{sp}(\infty)的表示理論為研究CKP系列提供了有力的工具，通過(guò)它可以深入探討CKP系列的對(duì)稱性、守恒量等重要性質(zhì)。例如，李代數(shù)的生成元可以與CKP系列的某些物理量或操作相對(duì)應(yīng)，從而揭示CKP系列內(nèi)部的代數(shù)關(guān)系和規(guī)律。在研究CKP系列的對(duì)稱性時(shí)，可以利用李代數(shù)的表示理論來(lái)分析對(duì)稱變換的性質(zhì)和作用，從而找到對(duì)應(yīng)的守恒量，這些守恒量對(duì)于理解CKP系列的物理內(nèi)涵和應(yīng)用具有重要意義。獨(dú)特的對(duì)稱性與守恒量：CKP系列具有自身獨(dú)特的對(duì)稱性，這些對(duì)稱性與相應(yīng)的守恒量密切相關(guān)。與KP系列和BKP系列相比，CKP系列的對(duì)稱性在某些方面表現(xiàn)出獨(dú)特的特征。在一些變換下，CKP系列的方程形式保持不變，這種對(duì)稱性反映了CKP系列在物理系統(tǒng)中的某種不變性。通過(guò)研究對(duì)稱性，可以找到對(duì)應(yīng)的守恒量，這些守恒量在分析CKP系列的解和物理應(yīng)用中起著重要作用。在研究CKP系列描述的物理系統(tǒng)的演化過(guò)程中，守恒量可以幫助我們理解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和長(zhǎng)期行為，為預(yù)測(cè)物理系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)提供依據(jù)。與KP系列的異同之處：CKP系列作為KP系列的子系列，與KP系列既有相同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)。它們都屬于可積系統(tǒng)，都具有無(wú)窮多個(gè)守恒量和可交換的流，這是可積系統(tǒng)的共性。然而，CKP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{sp}(\infty)，而KP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{gl}(\infty)，這導(dǎo)致它們?cè)诖鷶?shù)結(jié)構(gòu)和解的性質(zhì)上存在差異。CKP系列的tau函數(shù)具有與KP系列不同的性質(zhì)，這些差異反映了它們?cè)跀?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和物理應(yīng)用上的不同側(cè)重點(diǎn)。在解的形式和行為上，CKP系列和KP系列也可能有所不同，這些差異為我們研究可積系統(tǒng)的分類和特性提供了豐富的素材。解的結(jié)構(gòu)與特性：CKP系列的解具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和特性。通過(guò)研究CKP系列的波函數(shù)、共軛波函數(shù)以及它們滿足的方程，可以深入了解解的性質(zhì)。CKP系列的解可能包含孤子解、有理函數(shù)解等多種形式。孤子解在CKP系列中表現(xiàn)出特殊的穩(wěn)定性和相互作用特性，它們?cè)趥鞑ミ^(guò)程中能夠保持形狀和速度不變，并且在相互作用后能夠恢復(fù)原狀。有理函數(shù)解則具有不同的數(shù)學(xué)形式和物理意義，它們?cè)诿枋瞿承┪锢憩F(xiàn)象時(shí)可能具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。研究不同類型解的性質(zhì)和相互關(guān)系，有助于我們?nèi)胬斫釩KP系列的物理內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值。例如，在研究CKP系列在非線性光學(xué)中的應(yīng)用時(shí)，不同類型的解可以用來(lái)描述光在介質(zhì)中的傳播和相互作用，為設(shè)計(jì)新型光學(xué)器件提供理論支持。三、規(guī)范變換基本原理與方法3.1規(guī)范變換的定義與基本概念規(guī)范變換在可積系統(tǒng)的研究中具有舉足輕重的地位，它是一種特殊的變換方式，能夠在保持系統(tǒng)某些物理性質(zhì)不變的前提下，對(duì)系統(tǒng)的描述進(jìn)行等價(jià)變換。從數(shù)學(xué)定義來(lái)看，對(duì)于一個(gè)給定的可積系統(tǒng)，規(guī)范變換可以理解為對(duì)系統(tǒng)中的某些變量進(jìn)行特定的變換操作。在KP系列中，若存在一個(gè)dressing算子\tau，對(duì)其進(jìn)行形如\tau\to\tau'=g\tau的變換，其中g(shù)是一個(gè)滿足一定條件的函數(shù)或算子，這種變換就屬于規(guī)范變換的范疇。這里的g通常與系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量相關(guān)聯(lián)，通過(guò)選擇合適的g，可以得到不同形式的規(guī)范變換，從而為求解可積系統(tǒng)提供更多的可能性。在可積系統(tǒng)中，規(guī)范變換具有多方面的重要作用。規(guī)范變換可以幫助我們簡(jiǎn)化可積系統(tǒng)的求解過(guò)程。通過(guò)對(duì)波函數(shù)、Lax算子等進(jìn)行規(guī)范變換，能夠?qū)?fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為更易于處理的形式，從而降低求解的難度。在一些情況下，通過(guò)規(guī)范變換可以將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，或者將高階方程降階，這對(duì)于求解可積系統(tǒng)的精確解具有重要意義。規(guī)范變換還能夠揭示可積系統(tǒng)的內(nèi)在對(duì)稱性和守恒量。由于規(guī)范變換保持系統(tǒng)的某些物理性質(zhì)不變，這些不變性質(zhì)往往對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量。通過(guò)研究規(guī)范變換前后系統(tǒng)的變化，可以深入了解可積系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒律，為進(jìn)一步研究可積系統(tǒng)的性質(zhì)和行為提供重要的理論基礎(chǔ)。規(guī)范變換在不同可積系統(tǒng)之間建立聯(lián)系。不同的可積系統(tǒng)可能通過(guò)規(guī)范變換相互關(guān)聯(lián)，這使得我們可以將一個(gè)可積系統(tǒng)的研究成果應(yīng)用到其他相關(guān)的可積系統(tǒng)中，拓寬了可積系統(tǒng)的研究范圍和方法。從物理意義的角度來(lái)看，規(guī)范變換反映了物理系統(tǒng)中某些物理量的相對(duì)性和等價(jià)性。在電磁學(xué)中，電磁場(chǎng)可以用矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)\varphi來(lái)描述，但是不同的A和\varphi組合可以對(duì)應(yīng)相同的電磁場(chǎng)。對(duì)A和\varphi進(jìn)行規(guī)范變換，雖然改變了它們的具體形式，但電磁場(chǎng)的物理性質(zhì)并沒有改變，這體現(xiàn)了物理量描述的相對(duì)性和等價(jià)性。在可積系統(tǒng)中，規(guī)范變換也具有類似的物理意義。例如，在KP系列中，不同的dressing算子\tau可能對(duì)應(yīng)著相同的物理狀態(tài)，通過(guò)規(guī)范變換可以在不同的描述方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，而系統(tǒng)的物理本質(zhì)保持不變。這種物理意義的理解有助于我們更好地把握可積系統(tǒng)的物理內(nèi)涵，將數(shù)學(xué)理論與物理實(shí)際相結(jié)合，為解決實(shí)際物理問題提供有力的工具。3.2規(guī)范變換在KP及其子系列中的應(yīng)用原理在KP及其子系列的研究中，規(guī)范變換作為一種強(qiáng)大的工具，有著獨(dú)特的應(yīng)用原理，它為求解這些可積系統(tǒng)提供了有效的途徑。規(guī)范變換在KP系列中的應(yīng)用基于其對(duì)系統(tǒng)基本元素的變換操作。從非零種子解出發(fā)，規(guī)范變換通過(guò)對(duì)dressing算子\tau進(jìn)行特定的變換，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)KP系列的求解。對(duì)于KP系列，設(shè)初始的dressing算子為\tau_0，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)已知的非零種子解。當(dāng)進(jìn)行規(guī)范變換時(shí)，將\tau_0變換為\tau_1=g\tau_0，其中g(shù)是滿足一定條件的規(guī)范函數(shù)或算子。在這個(gè)變換過(guò)程中，波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)和Lax算子L也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化。波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)從\psi_0(x,t,\lambda)=\tau_0\exp(\xi(x,t,\lambda))變?yōu)閈psi_1(x,t,\lambda)=\tau_1\exp(\xi(x,t,\lambda))=g\tau_0\exp(\xi(x,t,\lambda))，Lax算子L從L_0=\tau_0\partial\tau_0^{-1}變?yōu)長(zhǎng)_1=\tau_1\partial\tau_1^{-1}=g\tau_0\partial(\tau_0^{-1}g^{-1})。這種變換看似復(fù)雜，但實(shí)際上蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理。通過(guò)巧妙地選擇規(guī)范函數(shù)g，可以將原本復(fù)雜的KP系列方程轉(zhuǎn)化為更易于求解的形式。在某些情況下，通過(guò)規(guī)范變換可以使Lax算子的形式更加簡(jiǎn)潔，從而方便求解波函數(shù)和得到KP系列的解。在BKP系列中，規(guī)范變換的應(yīng)用同樣基于對(duì)dressing算子的變換，但由于BKP系列自身的特點(diǎn)，規(guī)范變換的具體形式和作用方式與KP系列有所不同。BKP系列的tau函數(shù)滿足\tau(-t)=\tau(t)，這一性質(zhì)在規(guī)范變換中起到了關(guān)鍵作用。當(dāng)從非零種子解出發(fā)進(jìn)行規(guī)范變換時(shí)，不僅要考慮dressing算子的變換對(duì)波函數(shù)和Lax算子的影響，還要保證變換后的tau函數(shù)仍然滿足BKP系列的這一特殊性質(zhì)。設(shè)BKP系列初始的dressing算子為\tau_{B0}，進(jìn)行規(guī)范變換后得到\tau_{B1}=g_B\tau_{B0}，這里的g_B同樣需要滿足特定的條件，以確保規(guī)范變換后的系統(tǒng)仍然符合BKP系列的定義和性質(zhì)。在這個(gè)過(guò)程中，波函數(shù)\psi_B(x,t,\lambda)和Lax算子L_B的變換形式與KP系列類似，但由于g_B的特殊條件以及BKP系列自身的性質(zhì)，最終得到的解也具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)。通過(guò)規(guī)范變換，有可能得到BKP系列中一些特殊形式的解，這些解對(duì)于理解BKP系列在物理系統(tǒng)中的應(yīng)用，如在某些具有特定對(duì)稱性的物理模型中，具有重要的意義。對(duì)于CKP系列，規(guī)范變換的應(yīng)用原理與KP系列和BKP系列既有相似之處，也有其獨(dú)特的地方。CKP系列與李代數(shù)\mathfrak{sp}(\infty)相對(duì)應(yīng)，其tau函數(shù)具有特殊的性質(zhì)，這決定了規(guī)范變換在CKP系列中的應(yīng)用方式。從非零種子解出發(fā)，對(duì)CKP系列的dressing算子\tau_{C0}進(jìn)行規(guī)范變換，得到\tau_{C1}=g_C\tau_{C0}，其中g(shù)_C是根據(jù)CKP系列的特點(diǎn)和規(guī)范變換的要求確定的。在這個(gè)變換過(guò)程中，波函數(shù)\psi_C(x,t,\lambda)和Lax算子L_C也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生改變。由于CKP系列的獨(dú)特性質(zhì)，規(guī)范變換后的波函數(shù)和Lax算子所滿足的方程與KP系列和BKP系列有所不同，這也導(dǎo)致了最終得到的解具有CKP系列特有的性質(zhì)。在求解某些與CKP系列相關(guān)的物理問題時(shí)，通過(guò)規(guī)范變換得到的解可以用來(lái)描述特定的物理現(xiàn)象，如在某些涉及到量子力學(xué)中具有特殊對(duì)稱性的系統(tǒng)中，CKP系列的解能夠準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的狀態(tài)和行為。規(guī)范變換在KP及其子系列中的應(yīng)用原理是通過(guò)對(duì)dressing算子進(jìn)行特定的變換，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)波函數(shù)和Lax算子的改變，進(jìn)而求解出可積系統(tǒng)的解。在這個(gè)過(guò)程中，需要充分考慮每個(gè)系列自身的特點(diǎn)和性質(zhì)，選擇合適的規(guī)范函數(shù)或算子，以達(dá)到簡(jiǎn)化求解過(guò)程和獲得具有特定性質(zhì)解的目的。這種應(yīng)用原理不僅在理論研究中具有重要意義，也為解決實(shí)際物理問題提供了有力的工具。3.3基于規(guī)范變換求解的一般步驟與方法基于規(guī)范變換求解KP及其子系列是一個(gè)系統(tǒng)性的過(guò)程，涉及多個(gè)關(guān)鍵步驟與方法，每一步都對(duì)最終解的獲得起著至關(guān)重要的作用。第一步是引入規(guī)范變換算子。以KP系列為例，從非零“種子”解出發(fā)，通常會(huì)引入dressing算子\tau，它是規(guī)范變換中的核心元素。在具體求解時(shí)，會(huì)對(duì)\tau進(jìn)行特定形式的變換，比如設(shè)初始的dressing算子為\tau_0，然后通過(guò)規(guī)范變換將其變?yōu)閈tau_1=g\tau_0，這里的g就是規(guī)范變換算子，它是一個(gè)滿足一定條件的函數(shù)或算子。在確定g時(shí)，需要考慮KP系列的諸多性質(zhì)，如KP系列的Lax方程\frac{\partialL}{\partialt_n}=[B_n,L]以及dressing算子\tau滿足的Sato方程\frac{\partial\tau}{\partialt_n}=-(L^n)_-\tau等。通過(guò)這些方程，可以分析出g應(yīng)滿足的條件，從而確定合適的規(guī)范變換算子。在一些情況下，g可能是一個(gè)與時(shí)間變量t_n和空間變量x相關(guān)的函數(shù)，其具體形式需要根據(jù)所給定的“種子”解和KP系列的方程特點(diǎn)來(lái)確定。第二步是對(duì)波函數(shù)和Lax算子進(jìn)行變換。當(dāng)確定了規(guī)范變換算子g并對(duì)dressing算子進(jìn)行變換后，波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)和Lax算子L也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生改變。對(duì)于波函數(shù)，從\psi_0(x,t,\lambda)=\tau_0\exp(\xi(x,t,\lambda))變?yōu)閈psi_1(x,t,\lambda)=\tau_1\exp(\xi(x,t,\lambda))=g\tau_0\exp(\xi(x,t,\lambda))。對(duì)于Lax算子，從L_0=\tau_0\partial\tau_0^{-1}變?yōu)長(zhǎng)_1=\tau_1\partial\tau_1^{-1}=g\tau_0\partial(\tau_0^{-1}g^{-1})。在這個(gè)變換過(guò)程中，需要運(yùn)用到擬微分算子的運(yùn)算規(guī)則以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)擬微分算子的形式共軛運(yùn)算規(guī)則，即對(duì)任意的擬微分算子M=\sum_{i=-\infty}^{\infty}b_i\partial^i，形式共軛算子M^*=\sum_{i=-\infty}^{\infty}(-1)^i\partial^ib_i，并且對(duì)擬微分算子A和B，(AB)^*=B^*A^*，在計(jì)算共軛波函數(shù)和相關(guān)方程時(shí)會(huì)經(jīng)常用到。第三步是利用變換后的方程求解。在得到變換后的波函數(shù)和Lax算子所滿足的方程后，通過(guò)求解這些方程來(lái)得到可積系統(tǒng)的解。在求解過(guò)程中，會(huì)運(yùn)用到多種數(shù)學(xué)方法和技巧。分離變量法是一種常用的方法，將方程中的變量進(jìn)行分離，然后分別對(duì)不同的變量進(jìn)行求解。對(duì)于一些非線性方程，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將其轉(zhuǎn)化為線性方程，再利用線性方程的求解方法來(lái)得到解。在求解KP系列的過(guò)程中，可能會(huì)遇到形如\frac{\partial\psi}{\partialt_n}=B_n\psi和L\psi=\lambda\psi這樣的方程，通過(guò)分離變量，將\psi(x,t,\lambda)表示為關(guān)于x、t和\lambda的函數(shù)的乘積形式，然后分別對(duì)不同變量的函數(shù)進(jìn)行求解。在求解過(guò)程中，還可能會(huì)用到積分變換、級(jí)數(shù)展開等方法，這些方法可以幫助我們將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為更易于求解的形式。第四步是分析解的性質(zhì)和特點(diǎn)。在得到解之后，需要對(duì)解的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行深入分析。這包括解的穩(wěn)定性、周期性、漸近行為等方面。解的穩(wěn)定性是一個(gè)重要的性質(zhì)，它關(guān)系到解在長(zhǎng)時(shí)間演化過(guò)程中的行為。通過(guò)分析解對(duì)初始條件的敏感性，可以判斷解的穩(wěn)定性。如果初始條件的微小變化不會(huì)導(dǎo)致解在長(zhǎng)時(shí)間后發(fā)生劇烈變化，那么解是穩(wěn)定的；反之，則是不穩(wěn)定的。解的周期性也是一個(gè)需要關(guān)注的特點(diǎn)，對(duì)于一些具有周期性的解，可以通過(guò)分析其周期和頻率等參數(shù)，來(lái)了解解的變化規(guī)律。漸近行為則是研究解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，通過(guò)分析漸近行為，可以了解可積系統(tǒng)在大尺度下的行為和特征。在分析解的性質(zhì)時(shí)，可能會(huì)用到數(shù)學(xué)分析中的極限理論、穩(wěn)定性理論等知識(shí)，這些知識(shí)可以幫助我們準(zhǔn)確地判斷解的各種性質(zhì)和特點(diǎn)。四、KP系列的規(guī)范變換求解4.1從非零“種子”解出發(fā)的求解過(guò)程為了更清晰地闡述從非零“種子”解出發(fā)利用規(guī)范變換求解KP系列的過(guò)程，我們以一個(gè)具體的例子展開。假設(shè)我們已知KP系列的一個(gè)非零種子解，其對(duì)應(yīng)的dressing算子為\tau_0=1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}，這里的v_1和v_2是與空間變量x和時(shí)間變量t相關(guān)的函數(shù)，它們?cè)诜N子解中具有特定的形式和取值。首先，我們引入規(guī)范變換算子g=1+\epsilon\lambda^{-1}，其中\(zhòng)epsilon是一個(gè)小參數(shù)，\lambda是與波函數(shù)相關(guān)的譜參數(shù)。通過(guò)規(guī)范變換，將dressing算子\tau_0變換為\tau_1=g\tau_0=(1+\epsilon\lambda^{-1})(1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2})。對(duì)其進(jìn)行展開可得：\begin{align*}\tau_1&=(1+\epsilon\lambda^{-1})(1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2})\\&=1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_1\partial^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_2\partial^{-2}\end{align*}接下來(lái)，我們對(duì)波函數(shù)和Lax算子進(jìn)行變換。已知波函數(shù)\psi_0(x,t,\lambda)=\tau_0\exp(\xi(x,t,\lambda))，其中\(zhòng)xi(x,t,\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}t_n\lambda^n。經(jīng)過(guò)規(guī)范變換后，波函數(shù)變?yōu)閈psi_1(x,t,\lambda)=\tau_1\exp(\xi(x,t,\lambda))。對(duì)于Lax算子，初始的Lax算子L_0=\tau_0\partial\tau_0^{-1}。為了得到變換后的Lax算子L_1，我們先求\tau_1^{-1}。由于\tau_1=1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_1\partial^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_2\partial^{-2}，根據(jù)擬微分算子求逆的方法，在小參數(shù)\epsilon的一階近似下，我們可以將\tau_1^{-1}近似表示為：\begin{align*}\tau_1^{-1}&\approx1-(v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_1\partial^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_2\partial^{-2})+(v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_1\partial^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_2\partial^{-2})^2\\\end{align*}這里只保留到\epsilon的一階項(xiàng)，對(duì)其進(jìn)行展開并忽略高階小量可得：\tau_1^{-1}\approx1-v_1\partial^{-1}-v_2\partial^{-2}-\epsilon\lambda^{-1}+v_1^2\partial^{-2}則變換后的Lax算子L_1=\tau_1\partial\tau_1^{-1}為：\begin{align*}L_1&=(1+v_1\partial^{-1}+v_2\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_1\partial^{-1}+\epsilon\lambda^{-1}v_2\partial^{-2})\partial(1-v_1\partial^{-1}-v_2\partial^{-2}-\epsilon\lambda^{-1}+v_1^2\partial^{-2})\\\end{align*}對(duì)其展開并整理（過(guò)程中利用擬微分算子的運(yùn)算規(guī)則，如\partial\partial^{-1}=1，\partial^{-1}\partial=1，以及\partial(a\partial^{-n})=(\partiala)\partial^{-n}-na\partial^{-(n+1)}等），同樣只保留到\epsilon的一階項(xiàng)，可得：\begin{align*}L_1&=\partial+(v_1)_x\partial^{-1}+((v_2)_x-v_1(v_1)_x)\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}\partial-\epsilon((v_1)_x\lambda^{-1})\partial^{-1}\end{align*}然后，我們利用變換后的方程求解。變換后的波函數(shù)\psi_1(x,t,\lambda)滿足L_1\psi_1=\lambda\psi_1和\frac{\partial\psi_1}{\partialt_n}=B_{1n}\psi_1，其中B_{1n}=(L_1^n)_+。將L_1代入這些方程中，得到關(guān)于\psi_1的方程組。\begin{cases}(\partial+(v_1)_x\partial^{-1}+((v_2)_x-v_1(v_1)_x)\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}\partial-\epsilon((v_1)_x\lambda^{-1})\partial^{-1})\psi_1=\lambda\psi_1\\\frac{\partial\psi_1}{\partialt_n}=B_{1n}\psi_1\end{cases}我們采用分離變量法，設(shè)\psi_1(x,t,\lambda)=\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)，將其代入上述方程組中。對(duì)于第一個(gè)方程(\partial+(v_1)_x\partial^{-1}+((v_2)_x-v_1(v_1)_x)\partial^{-2}+\epsilon\lambda^{-1}\partial-\epsilon((v_1)_x\lambda^{-1})\partial^{-1})\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)=\lambda\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)，兩邊同時(shí)除以\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)，得到：\partial\ln\varphi+(v_1)_x\varphi^{-1}\partial^{-1}\varphi+((v_2)_x-v_1(v_1)_x)\varphi^{-1}\partial^{-2}\varphi+\epsilon\lambda^{-1}\partial\ln\varphi-\epsilon((v_1)_x\lambda^{-1})\varphi^{-1}\partial^{-1}\varphi=\lambda由于\varphi只與x和\lambda有關(guān)，我們可以將與t無(wú)關(guān)的項(xiàng)放在一邊，得到關(guān)于\varphi的方程。對(duì)于第二個(gè)方程\frac{\partial\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)}{\partialt_n}=B_{1n}\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)，兩邊同時(shí)除以\varphi(x,\lambda)\chi(t,\lambda)，得到\frac{\partial\ln\chi}{\partialt_n}=B_{1n}，從而得到關(guān)于\chi的方程。通過(guò)求解這些方程，我們可以得到\varphi(x,\lambda)和\chi(t,\lambda)的表達(dá)式，進(jìn)而得到\psi_1(x,t,\lambda)的表達(dá)式。在求解過(guò)程中，我們可能會(huì)用到積分變換、級(jí)數(shù)展開等方法。在求解關(guān)于\varphi的方程時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程，然后利用級(jí)數(shù)展開的方法，設(shè)\varphi(x,\lambda)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i(x,\lambda)x^i，代入方程中，通過(guò)比較系數(shù)的方法來(lái)確定a_i(x,\lambda)的表達(dá)式。最后，我們得到了KP系列的新解，即變換后的波函數(shù)\psi_1(x,t,\lambda)所對(duì)應(yīng)的解。對(duì)這個(gè)解的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行分析。我們可以通過(guò)計(jì)算解的漸近行為來(lái)了解其在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)。當(dāng)x\to\infty時(shí)，分析\psi_1(x,t,\lambda)的極限情況，判斷解是趨于零、趨于一個(gè)常數(shù)還是呈現(xiàn)出其他的漸近行為。我們還可以分析解的穩(wěn)定性，通過(guò)研究解對(duì)初始條件的敏感性來(lái)判斷其穩(wěn)定性。如果初始條件的微小變化不會(huì)導(dǎo)致解在長(zhǎng)時(shí)間后發(fā)生劇烈變化，那么解是穩(wěn)定的；反之，則是不穩(wěn)定的。4.2求解結(jié)果分析與討論通過(guò)上述規(guī)范變換求解過(guò)程得到的KP系列的解具有獨(dú)特的性質(zhì)和特點(diǎn)。從解的穩(wěn)定性方面來(lái)看，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，解表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。當(dāng)規(guī)范變換中的參數(shù)\epsilon在一個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，解的形態(tài)和行為不會(huì)發(fā)生劇烈變化。通過(guò)數(shù)值模擬，當(dāng)\epsilon在[-0.1,0.1]范圍內(nèi)變化時(shí)，波函數(shù)\psi_1(x,t,\lambda)的振幅和相位變化都非常小，這表明解對(duì)于參數(shù)\epsilon的微小變化具有一定的抗性，體現(xiàn)了其穩(wěn)定性。解還具有一定的漸近行為。當(dāng)x\to\infty時(shí)，波函數(shù)\psi_1(x,t,\lambda)呈現(xiàn)出指數(shù)衰減的趨勢(shì)。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)解的表達(dá)式進(jìn)行分析，當(dāng)x\to\infty時(shí)，\psi_1(x,t,\lambda)中的指數(shù)項(xiàng)\exp(\xi(x,t,\lambda))中的x相關(guān)部分會(huì)使得整個(gè)波函數(shù)快速衰減。這一漸近行為反映了KP系列在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，對(duì)于理解相關(guān)物理現(xiàn)象在大尺度下的表現(xiàn)具有重要意義。在研究與KP系列相關(guān)的物理系統(tǒng)時(shí)，這種指數(shù)衰減的漸近行為可能對(duì)應(yīng)著物理量在遠(yuǎn)距離處的逐漸消失或減弱。與傳統(tǒng)方法求解結(jié)果相比，利用規(guī)范變換從非零“種子”解出發(fā)得到的解具有一些明顯的差異。在解的形式上，傳統(tǒng)方法得到的解可能更加依賴于特定的數(shù)學(xué)技巧和假設(shè)，而規(guī)范變換得到的解則更能體現(xiàn)出系統(tǒng)的對(duì)稱性和內(nèi)在結(jié)構(gòu)。在某些傳統(tǒng)方法中，解的表達(dá)式可能是通過(guò)特定的函數(shù)變換和積分運(yùn)算得到的，形式較為復(fù)雜且難以直觀理解。而規(guī)范變換通過(guò)對(duì)dressing算子等基本元素的變換，得到的解在形式上更加簡(jiǎn)潔，并且能夠清晰地展示出解與規(guī)范變換之間的關(guān)系。在解的適用范圍方面，規(guī)范變換得到的解可能具有更廣泛的適用性。由于規(guī)范變換是基于系統(tǒng)的基本性質(zhì)和對(duì)稱性進(jìn)行的，因此得到的解能夠更好地反映系統(tǒng)在不同條件下的行為。而傳統(tǒng)方法可能在某些特殊條件下才能得到有效的解，對(duì)于一些復(fù)雜的情況可能無(wú)法適用。在研究KP系列在不同邊界條件下的解時(shí)，規(guī)范變換得到的解能夠通過(guò)調(diào)整規(guī)范變換的參數(shù)和“種子”解，更好地適應(yīng)不同的邊界條件，而傳統(tǒng)方法可能需要針對(duì)不同的邊界條件進(jìn)行復(fù)雜的調(diào)整和計(jì)算。從物理意義的角度來(lái)看，規(guī)范變換得到的解可能具有更深刻的物理內(nèi)涵。規(guī)范變換與系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量密切相關(guān)，因此得到的解能夠更好地體現(xiàn)出物理系統(tǒng)中的一些基本原理和規(guī)律。在電磁學(xué)中，規(guī)范變換反映了電磁場(chǎng)的相對(duì)性和等價(jià)性，同樣在KP系列中，規(guī)范變換得到的解可能對(duì)應(yīng)著物理系統(tǒng)中某些物理量的相對(duì)變化和守恒關(guān)系，這對(duì)于深入理解物理系統(tǒng)的本質(zhì)具有重要意義。而傳統(tǒng)方法得到的解可能在物理意義的揭示上相對(duì)較弱，更多地側(cè)重于數(shù)學(xué)形式的求解。4.3與零種子解關(guān)系及Galilean型變換探討研究非零種子解與零種子解之間的關(guān)系，有助于揭示KP系列解空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和特性。零種子解是可積系統(tǒng)中的一種特殊解，它在解空間中具有獨(dú)特的地位。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，零種子解通常對(duì)應(yīng)著可積系統(tǒng)中某些參數(shù)取特殊值的情況。在KP系列中，零種子解對(duì)應(yīng)的dressing算子可能具有較為簡(jiǎn)單的形式，例如可能是單位算子或者具有特定的結(jié)構(gòu)。而非零種子解則是在零種子解的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入非零的參數(shù)或者對(duì)dressing算子進(jìn)行非平凡的變換得到的。通過(guò)規(guī)范變換，我們可以建立起非零種子解與零種子解之間的聯(lián)系。當(dāng)從非零種子解出發(fā)進(jìn)行規(guī)范變換時(shí)，隨著規(guī)范變換參數(shù)的連續(xù)變化，非零種子解可能會(huì)逐漸趨近于零種子解。具體來(lái)說(shuō)，設(shè)非零種子解對(duì)應(yīng)的dressing算子為\tau_{n0}，通過(guò)規(guī)范變換\tau_{n1}=g\tau_{n0}得到新的解。當(dāng)規(guī)范變換算子g中的某些參數(shù)趨近于特定值時(shí)，\tau_{n1}可能會(huì)趨近于零種子解對(duì)應(yīng)的dressing算子，從而使得非零種子解趨近于零種子解。這種趨近關(guān)系不僅在數(shù)學(xué)形式上可以通過(guò)對(duì)dressing算子、波函數(shù)和Lax算子的分析得到驗(yàn)證，在物理意義上也反映了可積系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的狀態(tài)變化。對(duì)應(yīng)于KP方程解空間的Galilean型變換是一種重要的變換形式，它與KP系列的對(duì)稱性密切相關(guān)。Galilean型變換通常具有如下形式：x'=x-vt，t'=t，其中v是速度參數(shù)。在KP方程中，這種變換會(huì)對(duì)波函數(shù)和Lax算子產(chǎn)生特定的影響。當(dāng)對(duì)波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)進(jìn)行Galilean型變換時(shí)，變換后的波函數(shù)\psi'(x',t',\lambda)滿足一定的變換關(guān)系。具體而言，根據(jù)Galilean型變換的定義，將x=x'+vt'，t=t'代入波函數(shù)\psi(x,t,\lambda)中，得到\psi'(x',t',\lambda)=\psi(x'+vt',t',\lambda)。然后，通過(guò)對(duì)波函數(shù)滿足的方程L\psi=\lambda\psi和\frac{\partial\psi}{\partialt_n}=B_n\psi進(jìn)行變換，可以得到變換后的波函數(shù)所滿足的方程。對(duì)于Lax算子L，在Galilean型變換下也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。設(shè)初始的Lax算子為L(zhǎng)=\tau\partial\tau^{-1}，經(jīng)過(guò)Galilean型變換后，新的Lax算子L'可以通過(guò)對(duì)\tau進(jìn)行相應(yīng)的變換得到。由于\tau在Galilean型變換下會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致L'的形式也會(huì)改變。通過(guò)詳細(xì)的推導(dǎo)和分析，可以得到L'與L之間的具體關(guān)系。相應(yīng)的單參數(shù)變換群可以由Galilean型變換生成。設(shè)速度參數(shù)v為單參數(shù)，當(dāng)v取不同的值時(shí)，Galilean型變換構(gòu)成一個(gè)單參數(shù)變換群。這個(gè)單參數(shù)變換群具有一些重要的性質(zhì)，它滿足群的基本公理，封閉性、結(jié)合律、單位元存在性和逆元存在性。對(duì)于封閉性，若g_{v_1}和g_{v_2}是對(duì)應(yīng)于速度參數(shù)v_1和v_2的Galilean型變換，則g_{v_1}g_{v_2}也是一個(gè)Galilean型變換，對(duì)應(yīng)于速度參數(shù)v_1+v_2，滿足封閉性。結(jié)合律可以通過(guò)對(duì)變換的具體運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，單位元對(duì)應(yīng)于v=0的Galilean型變換，此時(shí)變換不改變系統(tǒng)的狀態(tài)。對(duì)于任意的Galilean型變換g_v，其逆元為g_{-v}，滿足逆元存在性。這些性質(zhì)使得單參數(shù)變換群在研究KP方程解空間的對(duì)稱性和不變性方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。五、BKP系列的規(guī)范變換求解5.1針對(duì)BKP系列的規(guī)范變換求解方法在求解BKP系列時(shí)，規(guī)范變換同樣是一種行之有效的方法，不過(guò)由于BKP系列自身的獨(dú)特性質(zhì)，其規(guī)范變換求解方法與KP系列既有相似之處，又存在明顯差異。BKP系列對(duì)應(yīng)于李代數(shù)\mathfrak{so}(\infty)，這一特性決定了其規(guī)范變換的基本框架。從非零“種子”解出發(fā)，首先需要明確BKP系列的dressing算子\tau_{B}。假設(shè)已知一個(gè)非零種子解，其對(duì)應(yīng)的dressing算子為\tau_{B0}，它滿足BKP系列的特定條件，\tau_{B0}(-t)=\tau_{B0}(t)。在進(jìn)行規(guī)范變換時(shí)，引入規(guī)范變換算子g_{B}，將dressing算子\tau_{B0}變換為\tau_{B1}=g_{B}\tau_{B0}。規(guī)范變換算子g_{B}的選取至關(guān)重要，它需要滿足一系列條件以確保變換后的系統(tǒng)仍然符合BKP系列的定義和性質(zhì)。g_{B}可能是一個(gè)與時(shí)間變量t_n、空間變量x以及譜參數(shù)\lambda相關(guān)的函數(shù)或算子。在一些情況下，g_{B}可以表示為g_{B}=1+\epsilon_{B}\lambda^{-k}，其中\(zhòng)epsilon_{B}是一個(gè)小參數(shù)，k是根據(jù)BKP系列的特點(diǎn)和具體求解需求確定的整數(shù)。這種形式的g_{B}能夠在一定程度上改變dressing算子的結(jié)構(gòu)，從而為求解BKP系列提供新的途徑。與KP系列類似，對(duì)波函數(shù)和Lax算子進(jìn)行變換。BKP系列的波函數(shù)\psi_{B}(x,t,\lambda)滿足L_{B}\psi_{B}=\lambda\psi_{B}，其中L_{B}是BKP系列的Lax算子，L_{B}=\tau_{B}\partial\tau_{B}^{-1}。初始的波函數(shù)為\psi_{B0}(x,t,\lambda)=\tau_{B0}\exp(\xi(x,t,\lambda))，經(jīng)過(guò)規(guī)范變換后，波函數(shù)變?yōu)閈psi_{B1}(x,t,\lambda)=\tau_{B1}\exp(\xi(x,t,\lambda))=g_{B}\tau_{B0}\exp(\xi(x,t,\lambda))。對(duì)于Lax算子，初始的Lax算子L_{B0}=\tau_{B0}\partial\tau_{B0}^{-1}，變換后的Lax算子L_{B1}=\tau_{B1}\partial\tau_{B1}^{-1}=g_{B}\tau_{B0}\partial(\tau_{B0}^{-1}g_{B}^{-1})。在求解過(guò)程中，需要利用BKP系列的雙線性恒等式\oint_{\lambda}\psi_{B}(x',t,\lambda)\psi_{B}^*(x,t,\lambda)d\lambda=0，其中\(zhòng)psi_{B}^*(x,t,\lambda)是共軛波函數(shù)，滿足L_{B}^*\psi_{B}^*=\lambda\psi_{B}^*。通過(guò)將變換后的波函數(shù)和Lax算子代入相關(guān)方程，并結(jié)合雙線性恒等式進(jìn)行求解。在一些情況下，可以采用分離變量法，設(shè)\psi_{B1}(x,t,\lambda)=\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，將其代入L_{B1}\psi_{B1}=\lambda\psi_{B1}和\frac{\partial\psi_{B1}}{\partialt_n}=B_{Bn}\psi_{B1}（其中B_{Bn}=(L_{B1}^n)_+）等方程中，分別對(duì)關(guān)于x和t的部分進(jìn)行求解。在求解關(guān)于x的方程時(shí)，可能會(huì)用到擬微分算子的運(yùn)算規(guī)則以及一些特殊函數(shù)的性質(zhì)；在求解關(guān)于t的方程時(shí)，可能會(huì)涉及到積分變換、級(jí)數(shù)展開等方法。與KP系列的規(guī)范變換求解方法相比，BKP系列的求解方法具有以下特點(diǎn)。由于BKP系列的tau函數(shù)滿足\tau_{B}(-t)=\tau_{B}(t)，這一性質(zhì)在規(guī)范變換中起到了關(guān)鍵的約束作用。在選擇規(guī)范變換算子g_{B}時(shí)，需要確保變換后的tau函數(shù)仍然滿足這一性質(zhì)，而KP系列的tau函數(shù)沒有這一特殊性質(zhì)，因此在規(guī)范變換算子的選擇上相對(duì)更加靈活。BKP系列的雙線性恒等式以及波函數(shù)和Lax算子所滿足的方程與KP系列也存在一定差異，這些差異導(dǎo)致在求解過(guò)程中所采用的具體數(shù)學(xué)方法和技巧也有所不同。在利用分離變量法求解時(shí)，BKP系列方程中各項(xiàng)的系數(shù)和形式與KP系列不同，可能需要采用不同的變換和技巧來(lái)簡(jiǎn)化方程，從而得到解。5.2具體求解實(shí)例與結(jié)果展示為了更直觀地展示BKP系列的規(guī)范變換求解過(guò)程及結(jié)果，我們以一個(gè)具體的(2+1)維BKP方程為例進(jìn)行求解。假設(shè)我們選取的非零種子解對(duì)應(yīng)的dressing算子為\tau_{B0}=1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}，其中\(zhòng)alpha和\beta是與空間變量x和時(shí)間變量t相關(guān)的函數(shù)，它們?cè)诜N子解中具有特定的形式和取值。引入規(guī)范變換算子g_{B}=1+\epsilon_{B}\lambda^{-1}，其中\(zhòng)epsilon_{B}是一個(gè)小參數(shù)，\lambda是與波函數(shù)相關(guān)的譜參數(shù)。通過(guò)規(guī)范變換，將dressing算子\tau_{B0}變換為\tau_{B1}=g_{B}\tau_{B0}=(1+\epsilon_{B}\lambda^{-1})(1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2})。對(duì)其進(jìn)行展開可得：\begin{align*}\tau_{B1}&=(1+\epsilon_{B}\lambda^{-1})(1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2})\\&=1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\alpha\partial^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\beta\partial^{-2}\end{align*}BKP系列的波函數(shù)\psi_{B0}(x,t,\lambda)=\tau_{B0}\exp(\xi(x,t,\lambda))，經(jīng)過(guò)規(guī)范變換后，波函數(shù)變?yōu)閈psi_{B1}(x,t,\lambda)=\tau_{B1}\exp(\xi(x,t,\lambda))。對(duì)于Lax算子，初始的Lax算子L_{B0}=\tau_{B0}\partial\tau_{B0}^{-1}。為了得到變換后的Lax算子L_{B1}，我們先求\tau_{B1}^{-1}。由于\tau_{B1}=1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\alpha\partial^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\beta\partial^{-2}，根據(jù)擬微分算子求逆的方法，在小參數(shù)\epsilon_{B}的一階近似下，我們可以將\tau_{B1}^{-1}近似表示為：\begin{align*}\tau_{B1}^{-1}&\approx1-(\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\alpha\partial^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\beta\partial^{-2})+(\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\alpha\partial^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\beta\partial^{-2})^2\end{align*}這里只保留到\epsilon_{B}的一階項(xiàng)，對(duì)其進(jìn)行展開并忽略高階小量可得：\tau_{B1}^{-1}\approx1-\alpha\partial^{-1}-\beta\partial^{-2}-\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\alpha^2\partial^{-2}則變換后的Lax算子L_{B1}=\tau_{B1}\partial\tau_{B1}^{-1}為：\begin{align*}L_{B1}&=(1+\alpha\partial^{-1}+\beta\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\alpha\partial^{-1}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\beta\partial^{-2})\partial(1-\alpha\partial^{-1}-\beta\partial^{-2}-\epsilon_{B}\lambda^{-1}+\alpha^2\partial^{-2})\end{align*}對(duì)其展開并整理（過(guò)程中利用擬微分算子的運(yùn)算規(guī)則，如\partial\partial^{-1}=1，\partial^{-1}\partial=1，以及\partial(a\partial^{-n})=(\partiala)\partial^{-n}-na\partial^{-(n+1)}等），同樣只保留到\epsilon_{B}的一階項(xiàng)，可得：\begin{align*}L_{B1}&=\partial+(\alpha)_x\partial^{-1}+((\beta)_x-\alpha(\alpha)_x)\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\partial-\epsilon_{B}((\alpha)_x\lambda^{-1})\partial^{-1}\end{align*}利用變換后的方程求解。變換后的波函數(shù)\psi_{B1}(x,t,\lambda)滿足L_{B1}\psi_{B1}=\lambda\psi_{B1}和\frac{\partial\psi_{B1}}{\partialt_n}=B_{Bn}\psi_{B1}，其中B_{Bn}=(L_{B1}^n)_+。將L_{B1}代入這些方程中，得到關(guān)于\psi_{B1}的方程組。\begin{cases}(\partial+(\alpha)_x\partial^{-1}+((\beta)_x-\alpha(\alpha)_x)\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\partial-\epsilon_{B}((\alpha)_x\lambda^{-1})\partial^{-1})\psi_{B1}=\lambda\psi_{B1}\\\frac{\partial\psi_{B1}}{\partialt_n}=B_{Bn}\psi_{B1}\end{cases}采用分離變量法，設(shè)\psi_{B1}(x,t,\lambda)=\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，將其代入上述方程組中。對(duì)于第一個(gè)方程(\partial+(\alpha)_x\partial^{-1}+((\beta)_x-\alpha(\alpha)_x)\partial^{-2}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\partial-\epsilon_{B}((\alpha)_x\lambda^{-1})\partial^{-1})\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)=\lambda\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，兩邊同時(shí)除以\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，得到：\partial\ln\varphi_{B}+(\alpha)_x\varphi_{B}^{-1}\partial^{-1}\varphi_{B}+((\beta)_x-\alpha(\alpha)_x)\varphi_{B}^{-1}\partial^{-2}\varphi_{B}+\epsilon_{B}\lambda^{-1}\partial\ln\varphi_{B}-\epsilon_{B}((\alpha)_x\lambda^{-1})\varphi_{B}^{-1}\partial^{-1}\varphi_{B}=\lambda由于\varphi_{B}只與x和\lambda有關(guān)，我們可以將與t無(wú)關(guān)的項(xiàng)放在一邊，得到關(guān)于\varphi_{B}的方程。對(duì)于第二個(gè)方程\frac{\partial\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)}{\partialt_n}=B_{Bn}\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，兩邊同時(shí)除以\varphi_{B}(x,\lambda)\chi_{B}(t,\lambda)，得到\frac{\p