專題02方法篇：求數(shù)列的通項公式一、考情分析二、考點梳理與題型分析考點一、公式法例1、（多選）設數(shù)列的前n項和為，，，則（）A．是等比數(shù)列 B．是單調遞增數(shù)列C． D．的最大值為12【答案】CD【分析】由題設，結合等差、等比數(shù)列的定義和性質判斷A、B；進而求出的通項公式，根據(jù)的二次函數(shù)性質求最值判斷C、D.【詳解】由題設知：，故是等差數(shù)列且遞減，又，所以，且，當或，的最大值為12.綜上，A、B錯誤，C、D正確.故選：CD【變式訓練1-1】設數(shù)列的前n項和為，若，且是等差數(shù)列．則的值為__________．【答案】52【分析】根據(jù)給定條件求出，再求出數(shù)列的通項即可計算作答.【詳解】依題意，因是等差數(shù)列，則其公差，于是得，，當時，，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：52例2、已知等差數(shù)列的前項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.(1)解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.(2)證明：，因此，.故原不等式得證.【變式訓練1-2】已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項和，，．(1)求{}的通項公式：(2)設，數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.(1)設等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項公式為：;(2)由（1）知，，所以考點二、累加法與累乘法例3、已知數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【分析】利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法可求得，即可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，，則，所以，當時，，也滿足，所以，對任意的，.令，則，可得，上述兩個等式作差得，所以，，因此，.故答案為：.【變式訓練3-1】己知數(shù)列滿足，則其通項公式________．【答案】【分析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，所以，所以，，，…，，把以上個式子相加，得，即，所以.故答案為：.例4、已知數(shù)列中，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，若對任意的，數(shù)列是單調遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法求得.（2）由分離常數(shù)，結合函數(shù)的性質求得的取值范圍.(1)依題意，故，從而，，故，，當時，上式也符合，所以.(2)由（1）知，，若對任意的，數(shù)列是單調遞減數(shù)列，則對任意的恒成立，即，又，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，所以由對勾函數(shù)的性質可知，當或時，取得最小值6，即取得最大值，故實數(shù)的取值范圍為.【變式訓練4-1】已知等差數(shù)列中，，前5項的和為，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式可得，進而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由題可得，然后利用分組求和法即得.(1)設公差為d，由題設可得，解得，所以；當時，，∴，當時，（滿足上述的），所以．(2)∵．當時，．當時，．綜上所述：．考點三、已知前n項和，求通項公式例5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an﹣3．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設，，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用來求得.（2）利用裂項求和法求得.(1)依題意①，當時，.當時，②，①-②得，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，當時，上式也符合，所以.(2)，.所以.【變式訓練5-1】已知數(shù)列的前項和，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】由，代入計算可得，由代入得到，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項公式；（2）由余弦的周期性可知，代入通項公式可得，計算可求出前項和.(1)，算得當時，；得到所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，由，得到(2)由，得到..【變式訓練5-2】數(shù)列滿足，(1)求的值；(2)求數(shù)列前項和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項和滿足．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)已知條件，分別取n＝1，2，3即可依次算出；(2)用作差法求出的通項公式，再求其前n項和；(3)求，猜想，用數(shù)學歸納法證明；用導數(shù)證明，令，得，用這個不等式對放縮即可得證.(1)依題，；(2)依題當時，，，又也適合此式，，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故；(3)，，，，，猜想：①下面用數(shù)學歸納法證明：(i)當n＝1，2時，已證明①成立；(ii)假設當時，①成立，即.從而.故①成立.先證不等式②令，則.，即②成立.在②中令，得到③當時，；當時，由①及③得：.證明完畢.考點四、構造新數(shù)列例6、已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式及前項的和.【答案】(1)證明見解析；(2)，.【分析】（1）證明出，即可證得結論成立；（2）由（1）的結論并確定數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，再利用分組求和法可求得.(1)證明：因為數(shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.(2)解：由（1）可知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.例7、已知數(shù)列中，，.(1)求、、，并證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，，證明見解析；(2).【分析】（1）利用遞推公式可求得、、的值，計算得出，可證得結論成立；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得.(1)證明：由已知可得，，，由條件可得，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.(2)解：由（1）得，則，所以，.【變式訓練6-1】已知數(shù)列滿足(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，進而求解得答案；（2）根據(jù)錯位相減法求和即可.(1)解：數(shù)列滿足，∴數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，即；∴(2)解：，，，，【變式訓練7-1】設數(shù)列的前項和為，已知，.(1)設，，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）把條件轉化為數(shù)列的遞推關系，由等差數(shù)列定義去證明即可；（2）以錯位相減法去求數(shù)列的前項和.(1)由，得，兩式相減得：兩邊同除以，得，即，當時，由，可得，則所以數(shù)列是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列.(2)由數(shù)列是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列可得，所以，則則.專題02方法篇：求數(shù)列的通項公式A組基礎鞏固1．在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.2．在等比數(shù)列中，，且，則t＝（）A．-2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】先求出，利用等比中項求出t.【詳解】在等比數(shù)列中，，且，所以所以，即，解得：.當時，，不符合等比數(shù)列的定義，應舍去，故.故選：A.3．設是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且，則（）A．6 B． C．7 D．【答案】B【分析】由已知條件求等差數(shù)列首項與公差的數(shù)量關系，再應用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式求的值.【詳解】設數(shù)列的公差為，由題意知，，解得，所以，，則．故選：B4．設等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式即可【詳解】不妨設的首項為，公比為，則有：解得：則有：故選：D5．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.6．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）．A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.7．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A．6 B．9 C．27 D．81【答案】A【分析】將所求式子利用對數(shù)運算法則和等比數(shù)列性質可化為，代入求得結果.【詳解】∵等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，故選：A.8．設數(shù)列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當時，.當時，.故選：C.9．設數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列的前項和為，則滿足的的最小值為（）A．12 B．7 C．6 D．1【答案】A【分析】先求出，得到，求出數(shù)列的前項和為，解不等式即可求解.【詳解】因為數(shù)列的前項和為滿足，所以.當n=1時，；當時，；經(jīng)檢驗，對n=1也成立，所以.所以，所以數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為.由可得：，解得：（舍去）.所以的最小值為12.故選：A.10．數(shù)列的前項和為，若，，，則的通項公式為______.【答案】【分析】由數(shù)列通項與前項和的相互關系解之即可.【詳解】由，得，兩式相減得又由，，可得，即故數(shù)列從第二項起為公比為4的等比數(shù)列，則的通項公式為故答案為：11．已知數(shù)列{}中，＝，＝＋，若對于任意，使得＜恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】由累加法得出，再由，解不等式得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為＝，，所以當時，，又＝，所以，由{}是單調遞增數(shù)列知，所以，解得或.故答案為：12．已知數(shù)列{}中，，，若對于任意的t∈[1，4]，存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】首先利用累加法求出數(shù)列的通項公式，即可判斷數(shù)列的單調性，從而得到，依題意可得，令，則對任意的恒成立，則，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，所以當時又滿足，所以，所以單調遞增，所以，因為存在，使得成立，所以，即，令，則對任意的恒成立，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為；故答案為：13．設是數(shù)列的前項和，若，則______．【答案】【分析】應用的關系及等比數(shù)列的定義判斷的性質，再應用等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】由，當時，，當時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，故．故答案為：.14．已知等差數(shù)列中，若，，，，成公比為3的等比數(shù)列，則______．【答案】41【分析】由等比數(shù)列得，這樣可得出公差，用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式表示出后可求得．【詳解】設公差為，則，又，所以，即，得，故答案為：4115．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.【答案】684【分析】利用累加法可求得的值.【詳解】當且時，，所以，.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項和______．【答案】【分析】先求出，利用裂項相消法求和.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以數(shù)列為公差d=2的等差數(shù)列，所以，所以所以.故答案為：.17．已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______．【答案】【分析】構造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.B組能力提升18．（多選）已知是數(shù)列的前n項和，若，，，則下列結論正確的是（）A． B．數(shù)列為等差數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件探求出數(shù)列的特性，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】，，當時，，兩式相減得：，而，則，當時，，則，A正確；因，，，即，數(shù)列不是等差數(shù)列，B不正確；因，，則，即有，成立，C正確；由C選項的判斷信息知，數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，，D正確.故選：ACD19．（多選）已知數(shù)列的前項和，則（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．的前20項和為320【答案】ABC【分析】利用給定的前n項和求出數(shù)列的通項，再逐項分析計算作答.【詳解】數(shù)列的前項和，則當時，，而滿足上式，即，對于A，因，則是等差數(shù)列，A正確；對于B，因，則是等比數(shù)列，B正確；對于C，，C正確；對于D，，數(shù)列的前20項和為328，D不正確.故選：ABC20．（多選）已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，．則（）A． B．C． D．取得最大值時，【答案】ABC【分析】利用基本量代換，求出通項公式，即可驗證A、B、C；由通項公式判斷出時，，，時，可以得到最大，即可判斷選項D.【詳解】因為，所以，解得：，故選項A、B正確；所以.對于C：因為，所以，故C正確；對于D：因為，所以.因為時，；時，；所以最大.故D錯誤.故選：ABC21．（多選）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)，，的值，可得，利用累加法可得即可判斷選項A、C，再計算前項的和可判斷B；利用裂項求和可判斷D，進而可得答案.【詳解】依題意因為，，，……，，以上個式子累加可得：，又滿足上式，所以，，故A錯誤；因，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；，，故D錯誤.故選：BC22．（多選）已知數(shù)列，均為公差大于零的等差數(shù)列，則下列說法正確的有（）A．數(shù)列}是遞增數(shù)列 B．數(shù)列{}是遞增數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．數(shù)列不可能是等差數(shù)列【答案】ACD【分析】由題可設，，利用等差數(shù)列的定義可判斷ACD，利用特例可判斷B.【詳解】∵數(shù)列，均為公差大于零的等差數(shù)列，∴可設，，其中為常數(shù)，∴，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，且為遞增數(shù)列，故AC正確；設，則，數(shù)列{}不是遞增數(shù)列，故B錯誤；設，，其中為常數(shù)，則，∴，由題可知，故不可能為常數(shù)，故數(shù)列不可能是等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.23．在等差數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列條件列方程，即可求通項公式；（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，解得，分組求和即可.(1)設等差數(shù)列的公差為，則，∴，由，∴，∴數(shù)列的通項公式為.(2)∵數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.24．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用等比數(shù)列的定義即可得出結論；（2）利用分組求和法和錯位相減法計算即可得出答案.(1)證明：由，得，又，所以，故，故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1）得，得，所以，設的前n項和為，則，①，②由①-②，得，則，故.25．設數(shù)列的前項和為，，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：對一切正整數(shù)，有.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）利用關系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進而寫出的通項公式；（2）由，將不等式左側放縮，即可證結論.(1)當時，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.(2)，..26．已知等比數(shù)列{an}滿足條件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若數(shù)列{cn}滿足，n∈N*，求{cn}的前n項和Tn.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設，根據(jù)題意可得的兩個方程即可解出，從而得到數(shù)列{an}的通項公式；根據(jù)累加法可求出{bn}的通項公式；（2）由得，兩式作差可求得，咋根據(jù)錯位相減法即可求出{cn}的前n項和Tn．(1)設{an}的通項公式為，n∈N*，由已知a2+a4＝3（a1+a3），，得q＝3，由已知，即，解得q＝3a1，a1＝1，所以{an}的通項公式為.因為b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*），.(2)當n＝1時，，c1＝1，當n≥2時，①，②，由①﹣②得到，，n≥2，也滿足，綜上，，n∈N*.③，④，由③﹣④得到，所以.27．已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，令，求的最小值．【答案】(1)，；(2).【分析】(1)設出等差數(shù)列的公差，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.(2)由(1)的結論求出，利用裂項相消法求出，再借助均值不等式計算作答.(1)設等差數(shù)列的公差為，依題意，a1+d+a1+7d=20于是得，，所以數(shù)列、的通項公式分別為：，.(2)由(1)知，，因此，，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為81.28．在數(shù)列中，已知，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）將式子變化為進而結合等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結合（1）求出，然后通過裂項法求得答案.(1)，又數(shù)列是首項為0，