.2直線的方程【考點梳理】【知識梳理】知識點1：直線的點斜式方程和斜截式方程類別點斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距知識點2：直線的兩點式方程和截距式方程名稱兩點式截距式條件兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過原點知識點3直線的一般式方程關于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．知識點4直線的五種形式的方程形式方程局限點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標軸平行及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0無知識點5直線各種形式方程的互化知識點6一般式下直線的平行與垂直設直線l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.【例題詳解】題型一：直線方程的點斜式【例1】．（24-25高二上）寫出滿足下列條件的直線的點斜式方程：(1)經過點，斜率為；(2)經過點，傾斜角是；(3)經過點且與軸垂直．【跟蹤訓練1】．（23-24高二下·全國·課堂例題）求分別滿足下列條件的直線方程，如果能用點斜式表示的，請用點斜式表示.(1)過點，斜率；(2)經過點，傾斜角是直線的傾斜角的2倍；(3)經過點，且平行于y軸．【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知平面內兩點．(1)求過點且與直線平行的直線的點斜式方程；(2)求過點且與直線垂直的直線的點斜式方程．題型二：直線的兩點式方程【例2】．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知的三個頂點分別為，，．(1)求的三邊所在直線的方程；(2)求的三條中線所在直線的方程．【跟蹤訓練1】．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求過下列兩點的直線的兩點式方程：(1)，；(2)，．【跟蹤訓練2】．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）求經過下列兩點的直線的兩點式方程.（1），；

（2），．題型三：直線的截距式方程【例3】．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.(1)當時，求直線的方程；(2)當的面積為時，求直線的方程.【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·廣東·期中）（1）已知點，，求線段垂直平分線的斜截式方程；（2）已知傾斜角為的直線經過點，求的截距式方程.【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·遼寧大連·階段練習）在平面直角坐標系中，過的直線與坐標軸交于兩點，的面積記為．(1)當直線在軸上截距為4時，求的值；(2)當時，求直線在軸上的截距．題型四、直線的一般式方程【例4】．（25-26高二上·河南·階段練習）已知三角形三頂點，求：(1)直線關于軸對稱的直線的一般式方程；(2)邊上的高所在直線的一般式方程．【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·廣西河池·期末）已知三角形三頂點，，，求：(1)直線AB的一般式方程;(2)邊上的高所在直線的一般式方程.【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）根據下列條件，寫出直線方程的一般式：(1)經過點，且傾斜角為；(2)經過點和點(3)經過點，在x，y軸上有相等的截距．題型五：用合適的方法求直線方程【例5】．（25-26高二上·甘肅武威·階段練習）（1）的三個頂點是，求邊上的中線所在直線的方程；（2）的三個頂點是，，，求邊上的高所在直線的方程；（3）求經過點，且平行于過和兩點的直線的直線方程．【跟蹤訓練1】．（25-26高二上·陜西西安·階段練習）已知的三個頂點是，，.(1)求邊BC上的中線所在直線的截距式方程；(2)求邊BC上的高所在直線的斜截式方程；(3)求邊BC的垂直平分線的一般式方程【跟蹤訓練2】．（25-26高二上·福建廈門·階段練習）根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率是3，且經過點；(2)經過兩點，；(3)在軸、軸上的截距分別是，；(4)求過點且與直線：平行的直線的方程．題型六：一般式下直線的平行的問題【例6】．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知直線與直線相互平行，則實數的值是（

）A． B．1或 C． D．6【跟蹤訓練1】．（23-24高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【跟蹤訓練2】．（23-24高二下·河南）已知直線，?，，則（

）A．或 B． C．或 D．題型六：一般式下直線的垂直的問題【例6】．（24-25高二上·北京東城·期末）已知直線，，若，則實數a的值為（

）A．3 B． C． D．【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【跟蹤訓練2】．（23-24高二上·福建福州·期末）若直線與直線垂直，則實數a的取值是（

）A．或 B．C． D．題型七：由兩條直線平行或垂直求直線方程【例7】．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）據下列條件分別寫出直線的方程．并化為一般式方程．(1)求經過點，且與直線平行的直線方程；(2)已知點，．求線段的垂直平分線的方程；(3)求經過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．【跟蹤訓練1】．（25-26高二上·青海西寧·階段練習）求滿足下列條件的直線方程；(1)過點，且與直線平行的直線方程；(2)過點，且與直線垂直的直線方程；(3)過點，且在兩坐標軸上截距相反的直線方程.【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求滿足下列條件的直線方程；(1)過點，且與直線平行的直線方程；(2)過點，且與直線垂直的直線方程；(3)過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程．題型八：直線過定點問題【例8】．（24-25高二上·重慶·階段練習）過直線的定點，且與直線垂直的直線的一般式方程為.【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·北京·期中）動直線與一點．當點到直線的距離最大時，直線的方程為．【跟蹤訓練2】．（24-25高二上·浙江寧波·階段練習）已知直線：，則直線過定點；若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有條．題型九：直線和坐標軸圍成的面積問題【例9】．（24-25高二下·湖南·階段練習）已知直線經過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練1】．（24-25高二上·吉林長春·期末）已知直線的斜率小于，且經過點，并與坐標軸交于兩點，，當的面積取得最小值時，直線的斜率為.【跟蹤訓練2】．（23-24高二上·四川眉山·階段練習）已知直線l過點，且分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，則面積最小值為．題型十：直線方程的綜合問題【例10】．（25-26高二上·上?！て谥校┮阎本€l過點，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，分別根據下列條件，求直線l的方程；(1)當的面積最小時；(2)當取得最小值時；(3)當兩截距之和最小時；【跟蹤訓練1】．（25-26高二上·重慶·階段練習）已知的三個頂點是，，．(1)若直線過點，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程．(2)若為直線上動點，為坐標原點，求的最小值及取最小值時直線的方程．【跟蹤訓練2】．（25-26高二上·福建福州·階段練習）設直線的方程為.(1)求出直線過的定點；(2)若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(3)若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為，求的最小值.【專項訓練】一、單選題1．（25-26高二上·安徽合肥·階段練習）若直線：與：平行，則實數的值為（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·北京房山·階段練習）過點且斜率為的直線，其點斜式方程為（

）A． B．C． D．3．（25-26高二上·安徽·階段練習）若直線過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為8，則直線的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（25-26高二上·重慶·階段練習）已知點，，若直線與線段AB相交，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（25-26高二上·廣東清遠·階段練習）已知直線，則下列結論正確的是（）A．直線的傾斜角是鈍角 B．的一個方向向量為C．直線在軸上截距為1 D．與直線垂直6．（25-26高二上·天津·階段練習）“”是“直線與直線互相垂直的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（25-26高二上·天津濱海新·階段練習）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時過點P且垂直于直線l的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；8．（25-26高二上·河南·階段練習）設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，點不與重合，則的最小值是（

）A．9 B． C． D．二、多選題9．（25-26高二上·甘肅武威·階段練習）以下四個命題表述正確的是（）A．直線恒過定點B．已知直線過點，且在軸上截距相等，則直線的方程為C．“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D．過兩點的直線方程為10．（25-26高二上·江蘇南京·階段練習）下列說法正確的有（

）A．直線傾斜角越大，斜率越大B．經過不同兩點的直線方程是C．經過點且在軸和軸上截距相等的直線為D．經過點作直線分別交軸，軸的正半軸于兩點，為坐標原點，當取最小值時，直線的方程為11．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）下列說法正確的有（

）A．過點并且傾斜角為的直線方程為B．直線經過第一、二、三象限C．過點且斜率為的直線的點斜式方程為D．斜率為－2，在y軸上的截距為3的直線方程為12．（25-26高二上·廣東深圳·階段練習）已知直線過定點，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．若直線在軸上的截距為，則C．若直線不經過第四象限，則的取值范圍為D．若直線分別交x，y軸正半軸于A，B，則當取得最小值時，直線的方程為13．（25-26高二上·湖南永州·階段練習）已知直線l的傾斜角等于，且l經過點，則下列結論中正確的有（

）A．直線l在y軸上的截距為 B．l的一個方向向量為C．l與直線垂直 D．l與直線平行14．（25-26高二上·廣東中山·階段練習）已知直線，動直線:，則下列結論正確的是（

）A．存在k、使得的傾斜角為90°B．對任意的k，與都有公共點C．對任意的k，與都不重合D．對任意的k，與都不垂直三、填空題15．（25-26高二上·安徽·階段練習）已知中，，線段的中點分別在軸上，則邊上的中線所在的直線的方程為.（結果用一般式表示）16．（25-26高二上·安徽·階段練習）若，，且，則經過，的直線的一般方程為.17．（25-26高二上·福建福州·階段練習）已知直線l過點，若l與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S，則S的一個可能的值是．18．（25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）在平面直角坐標系中，過點作直線，分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于點．當直線的斜率為時，的面積最?。ㄊ亲鴺嗽c），最小面積是．19．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知平行四邊形的頂點，邊所在直線方程是，對角線的交點為，則邊所在直線方程為．四、解答題20．（25-26高二上·河南周口·階段練習）已知△ABC的三個頂點為．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．21．（25-26高二上·浙江嘉興·階段練習）已知直線，其中．(1)求直線所過定點．(2)當直線在軸上的截距是它在軸上的截距倍時，求實數的值．(3)若直線不經過第四象限，求實數的取值范圍．22．（25-26高二上·遼寧·階段練習）三角形中，，，.(1)求邊上的高所在直線的方程；(