2/22第10章空間直線與平面（高效培優(yōu)單元測試·強(qiáng)化卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知直線和平面，若，，則與的位置關(guān)系是.【答案】或【分析】由線面的位置關(guān)系判斷求解即可.【詳解】若，，如圖：

，

，則或.故答案為：或2．如圖所示，正方形為一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖，且，則原平面圖形的面積為.【答案】【分析】利用斜二測畫法，可得原圖形是平行四邊形，求得一邊長及這邊上的高即可求面積.【詳解】因?yàn)檎叫螢橐粋€(gè)平面圖形的水平直觀圖，所以可得原圖形是一平行四邊形，且，，，所以平行四邊形的面積為.故答案為：.3．如圖，已知平面，則圖中互相垂直的平面有對.【答案】3【分析】結(jié)合線面垂直的判定定理，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷即可.【詳解】平面平面平面，平面平面，平面平面，又平面，.又平面,平面.又平面平面平面.故互相垂直的平面有3對.故答案為：34．已知平面平面，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)（如圖所示），且直線分別與相交于點(diǎn)，若，則．

【答案】9【分析】先由題意，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，得到，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得：，所以，，又，所以，因此，又，所以.故答案為：95．將一個(gè)蘋果切3刀，最多可以切成x塊，最少可切成y塊，則的值為．【答案】12【分析】分類討論得到三個(gè)平面可以把空間分成4，6，7，8部分，從而得到，，所以．【詳解】當(dāng)三個(gè)平面無交線，即三個(gè)平面平行時(shí)，可以把空間分為4個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面經(jīng)過同一條直線或三個(gè)平面有兩條交線（一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交）時(shí)，可以把空間分為6個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線平行時(shí)，可以把空間分為7個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線共點(diǎn)時(shí)，可以把空間分為8個(gè)部分，所以三個(gè)平面可以把空間分成4，6，7，8部分．將一個(gè)蘋果切3刀可得塊數(shù)最多與最少問題，相當(dāng)于三個(gè)平面把空間分成的部分?jǐn)?shù)最多與最少問題，故，，所以．故答案為：126．已知正四面體，則二面角的余弦值為．【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，則，，由二面角的概念可知即為二面角的平面角，在中利用余弦定理求解即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)檎拿骟w，所以，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以結(jié)合圖象可知即為二面角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為，則，，在中由余弦定理可得，所以二面角的余弦值為，故答案為：7．如圖，在四面體中，底面為邊長為2的正三角形，平面，是的中點(diǎn)，若，則異面直線和所成角的余弦值為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，利用三角形中位線得出，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角；再借助線面垂直的性質(zhì)及解三角形的知識即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以由三角形中位線可得：，則或其補(bǔ)角為異面直線和所成角.因?yàn)槠矫?，，平面，所以?又因?yàn)槿切螢檫呴L為2的正三角形，所以，，，顯然，所以為直角三角形，則即異面直線和所成角的余弦值為.故答案為：.8．在三棱柱，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，，若平面，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)線面平行可得線線平行，結(jié)合三角形相似可得參數(shù)值.【詳解】如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，則平面平面，又平面，且平面，，又，是棱的中點(diǎn)，所以，則，所以，故，故答案為：.9．如圖，正方體的棱長為分別是的中點(diǎn)，設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)的長為.

【答案】/【分析】設(shè)三點(diǎn)確定的平面為，直線與直線交于點(diǎn)，連接，如圖所示，由題意知，與的交點(diǎn)為，連接，可得直線是平面與平面的交線，在中求解即可.【詳解】設(shè)三點(diǎn)確定的平面為，則與平面的交線為直線.設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，連接，如圖所示，則直線是與平面的交線.由題意知，與的交點(diǎn)為，連接，則直線是平面與平面的交線.由題意知.因?yàn)椋?，所?在中，，所以.故答案為：

10．已知矩形的邊平面，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①；②；③；④；④，當(dāng)在邊上存在點(diǎn)，使時(shí)，則可以取.（填序號）【答案】①②【分析】根據(jù)平面，結(jié)合已知可證平面，進(jìn)而可得，得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，進(jìn)而由與以為直徑的圓有公共點(diǎn)，可求解.【詳解】連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在平面?nèi)，直徑所對的圓周角為直角，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故當(dāng)與以為直徑的圓有公共點(diǎn)時(shí)，在邊上存在點(diǎn)，使，因此，即.故答案為：①②.11．如圖，在四棱臺中，平面，四邊形為正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為.

【答案】【分析】根據(jù)線面垂直判定定理得出平面，則即為所求的線面角，再計(jì)算求解.【詳解】連接與交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危云矫?，又，則平面，故即為在平面上的射影，即為所求的線面角，又，，故.

故答案為：.12．如圖所示，在三棱錐中，平面平面，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】利用勾股定理得，記的中點(diǎn)為，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出、為等邊三角形，把繞翻折，使得平面與平面在同一平面上，則的最小值為平面內(nèi)的長度，再利用余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，由，得，所以為等邊三角形，把繞翻折，使得平面與平面在同一平面上，連接交于點(diǎn)，則，如圖所示，則的最小值為平面內(nèi)的長度，所以，所以，即的最小值為．故答案為：二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，且，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：若，可能平行，也可能異面，所以A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：若，則可能平行，也可能相交，所以B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，則可能平行，可能垂直，可能異面，所以C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若，那么經(jīng)過的平面與垂直，所以，所以D正確.故選：D.14．經(jīng)過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)的平面（

）A．有且僅有一個(gè) B．有且僅有三個(gè) C．有無數(shù)個(gè) D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)即可求解.【詳解】由公理：經(jīng)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故A項(xiàng)正確.故選：A.15．在正方體中，，為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段即可求解．【詳解】在正方體中，，連接，設(shè)，連接，如下圖：為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，要使得，∵為的中點(diǎn)，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵平面，平面，∴，又∵平面，∴平面，又∵平面，∴，反之，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段.當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的長取得最大值為：，故選：C．16．在棱長為3的正方體中，點(diǎn)D到平面的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】明確點(diǎn)到平面的距離，利用正方體的線面關(guān)系求距離.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以；又底面為正方體，所以.因?yàn)椋矫?所以平面.故點(diǎn)到平面的距離為．故選：A．三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).求證：(1)(2)平面【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得到，，利用線面垂直的判定定理得平面，從而得到；（2）由題知四邊形為平行四邊形，故，由線面平行的判定定理即可證明.【詳解】（1）在正方體中，平面，而平面，所以，又正方形中，，平面，所以平面，而平面，所以.（2）在正方體中,，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.18．已知如圖甲，在梯形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，，，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如圖乙）．(1)證明：平面ABE；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由題意得到，，從而得到線面垂直；（2）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，從而，進(jìn)而證明出故，所以為二面角的平面角，求出各邊長，求出，進(jìn)而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因?yàn)?，故，，因?yàn)?，故．所以在折疊后的幾何體中，有，，而，平面，故平面ABE．（2）如圖，在平面AEFD中，過D作且交EF于G．在平面DBF中，過D作且交BF于H，連接GH．因?yàn)槠矫嫫矫鍱BCF，平面平面，平面AEFD，故平面EBCF，因?yàn)槠矫鍱BCF，故，而，故平面DGH，又平面DGH，故，所以為二面角的平面角，在平面AEFD中，因?yàn)?，，故，又在直角梯形ABCD中，且，故，故四邊形AEGD為平行四邊形，故，，在直角中，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以為銳角，，，解得，故，故，因?yàn)槿切蝺?nèi)角，故為銳角，，，解得，所以二面角的平面角的余弦值為．19．如圖，四棱錐中，底面為矩形，，且該四棱錐的體積為.

(1)證明：平面底面；(2)求異面直線和所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由四棱錐的體積為得到高，取的中點(diǎn)為，計(jì)算出，從而底面即可得證.（2）因?yàn)?，所以即為異面直線和所成的角或其補(bǔ)角，最后在中利用余弦定理即可求出夾角.【詳解】（1）證明：設(shè)該四棱錐的高為，則體積，從而，等腰中，設(shè)邊的中點(diǎn)為，易知，在中，，所以，

所以該四棱錐的高為即為，

即底面，又平面，所以面底面.

（2）因?yàn)?，所以即為異面直線和所成的角或其補(bǔ)角；

由（1）知平面底面，且平面底面，在矩形中，，所以平面，因?yàn)槠矫?，從而?/p>

中，，所以，

同理可得，

中，，由余弦定理可得，所以異面直線和所成角的余弦值為.20．圖1是由正方形和等邊組成的平面圖形，將沿折起．(1)折起時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且平面平面，如圖2，、分別是、的中點(diǎn)．①證明：四點(diǎn)共面；②證明：平面平面；(2)折起時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，如圖3，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)．【分析】（1）①判斷，即可得到結(jié)果；②通過說明，，然后利用面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）利用等體積法計(jì)算即可.【詳解】（1）證明①：、分別是、的中點(diǎn)，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面．②因?yàn)槠矫嫫矫?，而，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．為等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，故．．所以，所以．且AD、AE是平面平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，而，即，所以，解得．所以點(diǎn)到平面的距離為．21．如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，M為棱BC的中點(diǎn)，且，，直線PM與平面所成的角為.(1)證明：.(2)在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得直線平面？若存在，寫出的值；若不存在，請說明理由.(3)求直線PB與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)【分析】（1）由平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理得，再由線面垂直的判定定理得平面，又由線面垂直的性質(zhì)定理得證；（2）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面，取的中點(diǎn)為，連接，即證，利用線面平行的判定定理即可求解；（3）連接，可得，根據(jù)已知條件求出，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用求出，進(jìn)而