1/37專題03空間向量及其應(yīng)用考點01空間向量及其基本定理考點02空間向量的坐標表示考點03利用空間向量判斷位置關(guān)系考點04利用空間向量求距離考點05利用空間向量求夾角考點01空間向量及其基本定理1．如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且OM=23A．12a+C．23a+【答案】B【分析】由空間向量的線性運算進行求解即可．【詳解】MN=?2故選：B2．在空間四邊形PABC中，PB?A．AP B．PC C．AB D．AC【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加法與減法運算法則可得結(jié)果.【詳解】由題意得，PB?故選：B.3．如圖，已知平行六面體ABCD?A'B'CA．A'C B．BD C．AC【答案】C【分析】由空間向量的加法法則可得答案.【詳解】由AB?故選：C4．若a,b,c構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量A．a(chǎn),b+C．3a?2b【答案】C【分析】根據(jù)基底定義以及空間向量共面定理對選項逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】依題意a,對于A，假設(shè)存在實數(shù)λ,μ滿足a+b+由共面定理可知a,同理對于B，易知存在λ=?1,μ=1，使得c?a=λ對于C，假設(shè)存在實數(shù)λ,μ滿足3a此時需滿足μ=?3λ=?2即不存在滿足題意的λ,μ，因此3a對于D，易知存在λ=?2,μ=1，使得2c因此a?故選：C5．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，若CA=A．a(chǎn)→?b→+c→ B．【答案】B【分析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征及向量的加減法則，應(yīng)用空間向量的基本定理，用基底表示向量即可.【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及向量的加減法則知AB1=故選：B6．四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OP=2A．?23aC．23a+【答案】B【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運算法則計算即得.【詳解】因為OP→=2PA所以O(shè)P→所以PQ→故選：B.7．設(shè)A,B,C為不共線的三點，在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標原點）（

）A．OM=OA?C．OM+OA+【答案】B【分析】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論.【詳解】空間向量共面定理：OM=x若A，B，C不共線，且對A，因為1?1?1≠1，所以A,B,C,M四點不共面；對B，因為15+7對C，由OM+OA+因為?1?1?1=?3≠1，所以A,B,C,M四點不共面；對D，由MA+MB+即OM=14OA+故選：B8．如圖，已知三棱錐P?ABC，G為△ABC的重心，點M，F(xiàn)為PG，PC的中點，點D,E分別在PA,PB上，PD=2mPA，PE=3nPB(m>0,n>0)．若

【答案】24【分析】根據(jù)題意，設(shè)BC的中點為H，連接AH，由空間向量的運算結(jié)合四點共面定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)BC的中點為H，連接AH．

因為點G為△ABC的重心，所以點G在線段AH上．因為PG=PA所以PG=2所以PM=若M,D,E,F四點共面，則112m+1故答案為：249．如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA

（1）EF的共線向量（平行向量）為；（2）模為5的向量是；（3）向量A1D1，A1【答案】A1B，BA1，CD1，D1CAD1，D1A，【分析】利用共線向量的定義直接判斷第一空；求出長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長度，直接判斷第二空；利用共面向量的定義判斷第三空即可.【詳解】（1）EF的共線向量（平行向量）為A1B，BA1，（2）由于長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長均為5，故模為5的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，（3）因為AA1=CC1，向量A1而點A1，B1，D1都在平面A1B所以向量A1D1，A故答案為：A1B，BA1，CD1，D1C；AD1，D1A，10．如圖，在正四面體A1A2A3A4中，點A5、A6、A7、A8、A9、A10分別是所在棱的中點，空間中的點P滿足A4P=xA4A【答案】5【分析】由已知可得點P在平面A1A2A3上，且A【詳解】因為點P滿足A4P=xA4A1因為A4P?min=A4P0由數(shù)量積的幾何意義可知AiAj在A4P所以數(shù)量積A4故答案為：511．如圖，在棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1

【答案】2【分析】結(jié)合圖象根據(jù)向量加減法得出A1C的表達式，根據(jù)向量模長公式得出A1【詳解】如下圖所示：

∵A1∴∵平行六面體棱長均為1，∴AD=又∵∠∴AB?AD=AB∴A故答案為：2．12．如圖所示，在棱長均為2的平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，∠A'AB=∠【答案】11【分析】可以通過向量的加法將AM表示為其他向量的和，再利用向量的模長公式a=【詳解】根據(jù)向量加法三角形法則得到，AM=即AM=AB+AM2運用數(shù)量積公式計算得到AM2因為AM=AM2故答案為：11.13．如圖，已知正方體ABCD?A'B'C'D'的棱長為1，

(1)求CA(2)求證：MN⊥【答案】(1)?1(2)證明見解析【分析】（1）由向量的線性運算及數(shù)量積的運算律計算即得；（2）計算得到MN?【詳解】（1）正方體ABCD?A'B'C有AB?BC=0所以CA（2）證明：正方體ABCD?A'B'C有BB'⊥因為M和N分別是BB'和CA'的中點，則所以MN//BD且MN=1則有BB所以MN⊥14．如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D

(1)用a,b,c表示(2)求cosA【答案】(1)AC1=(2)0.【分析】（1）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算法則，得到AC1=（2）根據(jù)題意，求得BD=b?a,【詳解】（1）解：因為AB=a,所以AC又因為底面ABCD是邊長為1的正方形且AA所以A=1+1+4+0+2×1×2×（2）解：因為底面ABCD是邊長為1的正方形，且AA1=2又由BD=所以AA所以cosA

15．如圖，棱長為2斜三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求四邊形BCB(2)求異面直線A1C1【答案】(1)4(2)3【分析】（1）方法一：過點A1作A1O⊥平面ABC，垂足為O，連接AO，再過點O作OE⊥AB于點E，作OF⊥AC于點F，證明AO是∠BAC的平分線，證明BC⊥平面A1AO方法二：令A(yù)B=a，AC=b，（2）在（1）方法二基礎(chǔ)上由空間向量法計算異面直線所成的角．【詳解】（1）法一：過A1作A1O⊥平面ABC過O作OE⊥AB于E，連A1E，則作OF⊥AC于F，連A1F，則又∠A∴Rt△A1∴Rt△AOE?Rt△AOF，從而O∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，由BC⊥A1O，A知BC⊥平面AAAA1?∴BC⊥A1∴四邊形BCB∴四邊形BCB1C法二：令A(yù)B=a，AC=b，AABC=b?BC?∴BC⊥∴四邊形BCB∴四邊形BCB1C

（2）如圖，連接AG,AH，由（1）方法二得A1GH=

所以GH=A1所以A1設(shè)直線A1C1與GH則cosθ=所以異面直線A1C1與GH考點02空間向量的坐標表示16．已知向量a=1,0,1，b=2,0,?2，若A．1 B．3C．25 D．【答案】D【分析】利用空間向量數(shù)量積運算律與空間向量數(shù)量積的坐標運算公式計算即可求出k的值.【詳解】由已知得a=12且a?由ka+b即2k+8k=2，解得k=故選：D17．已知空間中點A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，D1,1,λ，若A，B，C，D四點共面，則實數(shù)A．?23 B．?32 C．【答案】B【分析】由A,B,C,D四點共面，得AB→與AC【詳解】因為A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3所以AB→=?1,2,0，AC因為A,B,C,D四點共面，所以AB→與AC→,AD→所以?1,2,0=所以?1=?x2=y0=3x+λy，解得故選：B18．已知向量a=9,9,6，b=1,1,0，則a在A．92b B．?9b C．9【答案】C【分析】由投影向量的定義直接求解即可.【詳解】已知向量a=9,9,6，則向量a在向量b上的投影向量為a?故選：C19．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．如圖，已知在塹堵ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，AC=AA1=6A．?4 B．4 C．?3 D．1【答案】B【分析】法一：可建立適當(dāng)空間直角坐標系后表示出各點坐標，從而得到AE,BF，再借助空間向量數(shù)量積公式計算即可得；法二：借助向量線性運算可用AA1、AB、【詳解】方法一：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AA1所在直線為∵AB=4,AC=AA1=6，BE=E∴AE∴AE方法二：由題意得，AE=BF=∵塹堵ABC?A1B∴=1故選：B.20．在空間直角坐標系中，已知點A1,0,1,B?1,0,3,C3,2,1，則直線ABA．13 B．12 C．23【答案】B【分析】根據(jù)向量夾角的坐標公式，求直線夾角的余弦值.【詳解】AB=?2,0,2，設(shè)直線AB,AC所成角為θ，cosθ=故選：B21．已知空間向量a=6,2,1，b=【答案】16【分析】首先求向量a?【詳解】a?b=4,2?x,4，因為所以x=16.故答案為：1622．已知向量a→=1,1,0,b→=1,0,2【答案】?2或5【分析】利用向量垂直滿足數(shù)量積為0，代入坐標，建立方程，計算即可求解.【詳解】因為a→故ka→+若ka+b則ka+b?ka?2故答案為：?2或5223．已知空間向量a=1,?1,2，b=1,?2,1，則向量b在向量【答案】5【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.【詳解】空間向量a=1,?1,2，b=1,?2,1，則向量bcos故答案為：524．已知a→=(1)求實數(shù)x的值；(2)若a?b⊥【答案】(1)2；(2)λ=9【分析】（1）根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)、空間向量線性運算公式進行求解即可；（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標表示公式、空間向量線性運算公式即可.【詳解】（1）2a∵c∴設(shè)c=m∴1,0,1∴x的值為2．（2）由（1）a→=2,?1,3λa∵∴2λ+1?3?λ+2∴λ=925．已知a=2,?2,2，(1)求a?(2)設(shè)向量c=4,m,n，c//(3)若ka+b【答案】(1)10；(2)214(3)?3.【分析】（1）根據(jù)已知得b=(4,?1,0)（2）首先求得b?（3）應(yīng)用向量加減的坐標運算求ka【詳解】（1）由題設(shè)b=6,?3,2?（2）由（1）b?a=(4,?1,0)?所以42=m1=所以c?a=（3）由（1）kaa?2由ka+b所以8k+24=0，則k=?3.考點03利用空間向量判斷位置關(guān)系26．已知A2,4,1，B1,2,0，平面α的一個法向量為n=a,b,c，若AB∥平面A．a(chǎn)=c=2b B．a(chǎn)+2b=c C．a(chǎn)+c=2b D．a(chǎn)+2b+c=0【答案】D【分析】根據(jù)AB//平面α，且平面α的一個法向量為n=a,b,c，由【詳解】因為A2,4,1，B1,2,0，所以又因為平面α的一個法向量為n=a,b,c，且AB//平面所以AB⊥n，則AB?故選：D27．已知v1，v2分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），n1，n2分別為平面α，A．v1∥vC．v1∥n【答案】A【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】對于A，因為l1，l2不重合，所以由直線方向向量與直線的位置關(guān)系可得，對于B，由法向量與方向向量的定義得，v1⊥n對于C，因為v1∥n1，n1對于D，由平面法向量與平面的位置關(guān)系可得，n1故選：A．28．已知正方體ABCD?A1B1C1D1，點A．直線B1C與CC1所成的角為C．P,Q,A1,C1四點共面【答案】C【分析】由題意∠B1CC1【詳解】對于A：由正方體性質(zhì)可知：∠B1CC1∠B1CC1=45對于B：如圖，設(shè)正方體ABCD?A以D為原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為則D(0,0設(shè)A1P=t因A1P=B1Q,所以PQ=?t,1?t,0，而因為PQ·DD1=對于C：當(dāng)t=1時，點P1,1,0即點B，點Q0,1,0即點C，此時滿足A1P=B1Q，顯然BC與A對于D：由正方體的性質(zhì)知DD1⊥平面ABCD，所以D由選項B的證明可知：DD1⊥PQ，又PQ?平面ABCD，所以PQ//故選：C29．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在陽馬P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，PD=455，E是PA的中點，F(xiàn)B=2PF．若點M在矩形ABCD內(nèi)，且PM⊥平面【答案】455【分析】建立空間直角坐標系，求得平面DEF的一個法向量，設(shè)點Mm,n,0，求得PM，通過PM⊥平面DEF，建立關(guān)于m,n的方程，確定m,n的值，結(jié)合兩點間的距離公式即可求解DM【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA,DC,DP則D(0,0,0)，P0,0,455，E1,0,25設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，則n令z=5，得n設(shè)Mm,n,0，則PM因為PM⊥平面DEF，所以PM//n，則m?2=n所以M85,45故答案為：430．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，正方形A1B1C1D1內(nèi)部有一片區(qū)域I，E是BB1的中點，F(xiàn)是C

【答案】34/【分析】首先建立空間直角坐標系并確立關(guān)鍵點坐標，然后根據(jù)線面平行推導(dǎo)代數(shù)條件，最后根據(jù)條件分析邊界直線并計算區(qū)域I的面積最大值.【詳解】以D為頂點，DA、DC、DD1分別為x、y、

A(1,0,0),D1線段EF滿足y=1,z=0.5,x∈[0,1]，

設(shè)Px0,y0設(shè)平面AD1CAD1=AD1?n=0AC?因為PQ//平面AD所以PQ⊥n，因為點Q在線段EF上，所以0≤x0+y0?0.5≤1，0.5≤x

所以區(qū)域I的面積最大值是34故答案為：331．如圖，已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5①四棱錐B1②存在唯一的點E，使截面四邊形BED1F③當(dāng)點E不與C，C1重合時，在棱AD上均存在點G，使得CG//平面BE④存在唯一的點E，使得B1D⊥平面BED其中正確的是（填寫所有正確的序號）.【答案】①②④【分析】由給定條件可得BED1F是平行四邊形，求出三棱錐B1?B【詳解】平面BED1與棱AA1交于點在長方體ABCD?A1B1C1D1中，平面ADD1A則有BE//D1F，同理BF//而D1C1⊥平面BCC1B因截面四邊形BED1F是平行四邊形，則?BE把矩形BCC1B連接BD1交CC1于E，從而得BE+D所以存在唯一的點E，使截面四邊形BED1F在長方體ABCD?A則D(0,0,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D1(0,0,5),B1(4,3,5)，設(shè)點令n=(x,y,z)是平面BED1的一個法向量，則n→?設(shè)AD上點G(λ,0,0)(0≤λ≤4)，而0<t<5，CG=(λ,?3,0)當(dāng)CG//平面BED1時，有CG⊥n，即由0≤20t?4≤4得5即當(dāng)點E在棱CC1中點到靠近點C1的線段（不含點C1）上移動時，在棱AD上均存在點G，使得當(dāng)0<t<52時，λ>4，此時點G在線段即當(dāng)點E在棱CC1中點到靠近點C的線段（不含兩個端點）上移動時，在棱AD上不存在點G，使得CG//平面由③中信息知，要有B1D⊥平面BED而DB1=(4,3,5)，因此，t所以存在唯一的點E，使得B1D⊥平面BED故答案為：①②④32．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M為PC的中點.(1)求證：PB⊥DM(2)求DM的長；【答案】(1)證明見解析(2)17【分析】（1）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得PB=(2,0,?2),DM=(1,?32（2）由（1）知DM=(1,?【詳解】（1）證明：因為四棱錐P?ABCD的底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，且PA⊥底面ABCD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點，以AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為PA=AD=AB=2BC=2，且M為PC的中點，可得P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0)，則M(1,1所以PB=(2,0,?2),又因為PB?DM=2×1+0×(?32（2）由（1）知：DM=(1,?32所以DM的長為17233．已知正方體ABCD?EFGH的棱長為2，且P，Q分別為線段AE與線段BC的中點，現(xiàn)以A為坐標原點，AB為x軸的正方向，AD為y軸的正方向，AE為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)?xyz．

(1)證明：PG⊥QH；(2)判斷直線PQ與直線DF是否相交？若相交，求出交點坐標；若不相交，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)不相交，理由見解析【分析】（1）先求出向量PG，QH的坐標，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的坐標表示求證即可；（2）求出直線PQ與直線DF上的點的坐標，建立方程求解判斷即可.【詳解】（1）證明：由題意可得A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，DF2,0,2，G2,2,2，由于P，Q分別為線段AE與線段BC的中點，故P0,0,1，Q則PG=2,2,1，則PG?QH=2×故PG⊥QH．（2）不相交，理由如下：由（1）知PQ=2,1,?1，DF=2,?2,2，假設(shè)PQ與DF相交，設(shè)實數(shù)t，s，則直線PQ上的點的坐標為AP?直線DF上的點的坐標為AD?若直線PQ與直線DF相交，則存在t，s，使2t,t,1?t=即2t=2st=2?2s1?t=2s，該方程組無解，故PQ與

34．如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，(1)MN∥平面C(2)平面MNP∥平面C【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）方法一：建立空間直角坐標系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知DA為平面CC1D方法二：建立空間直角坐標系，利用平行向量的性質(zhì)，證明MN與平面CC（2）方法一：證明DA也是平面MNP的一個法向量即可；方法二：由（1）知MN∥平面CC1D1【詳解】（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD1的方向分別為x軸，y軸，方法一：設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).由正方體的性質(zhì)知AD⊥平面CC所以DA=(2,0,0)為平面C由于MN=(0,1,?1)，則MN·DA又MN?平面CC1D1D方法二：設(shè)正方體的棱長為2，C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),M(1,0,1)由于MN=(0,1,?1)，DD1=(0,0,2)，又MN?平面D1DCC1，故（2）方法一：由于MP=(0,2,0)，MN則MP·所以DA=(2,0,0)也是平面MNP又M?平面CC1D1D所以平面MNP∥平面C方法二：由于MP=(0,2,0)，DC=(0,2,0)，則MP=又MP?平面CC1D1D，DC?平面C由（1）知MN∥平面CC1D1D，又所以平面MNP∥平面C35．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是正方形，AB=BC=2，D，E分別為棱【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題干條件及線面垂直的判定定理可證明A1B1⊥平面BCC1B1，利用線面垂直的性質(zhì)可得B1A1，B1B，B1C【詳解】證明：在直三棱柱ABC?A1B又BE⊥A1B1，BB1∩BE=B，B∵AA1?平面BCC1B1，B1C1?平面BC以點B1為坐標原點，以B1A1，B1C1，B1B則由題可得B1(0,0,0)，A1(2,0,0)，A(2,0,2)，B(0,0,2)，∴BE=(0,2,?1)，AE=(?2,2,?1)，A1設(shè)平面BEA的法向量為n=則BE?n=0AE?令y1=1，則z1=2，∴平面設(shè)平面A1B1則A1B1?m令z2=1，則y2=?2，∴平面∴m?n=0×0+1×?2+2×1=0考點04利用空間向量求距離36．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．33 C．12 【答案】B【分析】設(shè)M為直線AC上任意一點，過M作MN⊥BC1，垂足為N，利用向量AB,AD,AA【詳解】設(shè)M為直線AC上任意一點，過M作MN⊥BC1，垂足為設(shè)AM=λAC=λ則MN=B因為MN⊥BC1即1?λ所以μ?λAD2+μ所以λ=2μ，MNMN=∴當(dāng)μ=13時，MN取得最小值故直線AC與BC1故選：B.37．如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2A．33 B．55 C．666【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用點到直線的距離公式求解.【詳解】在正四棱柱ABCD?A由AB=1,AA1=2，得D(0,0,0),B(1,1,0)，線段A則DE=(1,所以點B到直線DE的距離h=|故選：D38．如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，BD⊥DC,BD=DC=1，點E在棱AA

A．515 B．2515 C．5【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算以及點到面的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】以D為坐標原點，以DB,DC,

則D(0,0,0)，A(1,?1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，∴DC1=(0,1,2)，DE設(shè)平面EDC1的法向量為n=(x,y,z)令z=1，則x=?52，y=?2，∴∴點C到平面EDC1的距離故選：D39．已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，點B到平面GEF的距離為．

【答案】211【分析】根據(jù)題意，以C為原點，CD，CB，CG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，寫出B，E，F(xiàn)，G的坐標，求出平面EFG的法向量和BE，利用點到平面的距離求解即可.【詳解】以C為原點，CD，CB，CG所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B0,4,0，E2,4,0，F(xiàn)4,2,0所以有EF=(2,?2,0),設(shè)平面EFG的法向量是n=(x,y,z)，則n取x=1，則y=1，z=3，所以n=(1,1,3)所以點B到平面GEF的距離為|BE故答案為：211

40．如圖，已知ABC-A1B1C1是側(cè)棱長和底面邊長均等于a的直三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點，則點C到平面AB1D的距離為.【答案】24a【分析】可用等體積法求點到平面的距離，或直接建立空間直角坐標系，用向量法求點到平面的距離.【詳解】由題可知：BB1⊥平面ABC,CC所以AB1=BB所以cos∠ADB1所以S△A直三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長均等于a，所以△ABC是正三角形，取BC的中點E，連接因為CC1∩BC=C,CC1,BC?平面S△因為VC?AB1所以dC?A故答案為：24方法二：如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長均等于a，所以△ABC是正三角形，取BC的中點E，連接因為側(cè)面BCC1B1是矩形，取B1C1因為側(cè)棱CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC,所以EF,EA,EC兩兩垂直，所以分別以EC,EA,EF據(jù)題意可知，E則A設(shè)平面AB1D的一個法向量是n所以n→·A令x=1,則y=3,z=2,所以因為CD→=0,0,a2,所以點C到平面AB故答案為：241．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，BC=1.點P在線段AC【答案】255【分析】建立空間直角坐標系，利用空間距離的向量求法即可求解.【詳解】由已知，以B為坐標原點，以BC,BA,BB1所在直線為設(shè)直三棱柱ABC?A1B則B0,0,0AC由于點P在線段AC1上，設(shè)AP=t故BP=設(shè)點P到直線BB1的距離為d=5當(dāng)t=45時，5t?452+故答案為：242．如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°,BC=2,CC1=4，點E在線段BB1

(1)求證：平面EGF//平面ABD；(2)求平面EGF與平面ABD的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)32【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置的向量證明推理即得.（2）由（1）中信息，利用點到平面的距離公式計算即得.【詳解】（1）在直三棱柱ABC?A1B1C以點B為原點，直線BA,BC,BB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設(shè)則B(0,0,0),A(2a,0,0),BB1D=(0,2,?2),即B1D⊥而BA∩BD=B,BA,BD?平面ABD，則B1D⊥平面又EF=(0,1,1),EG=(a,1,1)，則B而EF∩EG=E,EF,EG?平面EGF，則B1D⊥平面EGF，又點E?平面所以平面EGF//平面ABD.

（2）由（1）得，平面ABD的一個法向量為B1D=(0,2,?2)則點E到平面ABD的距離d=|由平面EGF//平面ABD，得平面EGF與平面ABD的距離等于點E到平面ABD的距離，所以平面EGF與平面ABD的距離為3243．在空間直角坐標系中，點M1,0,?2，已知直線l經(jīng)過點P2,?1,?2，且l的方向向量(1)求PM；(2)求點M到直線l的距離．【答案】(1)2(2)66【分析】（1）利用空間中兩點間的距離公式求解即可.（2）根據(jù)向量PM和直線l的方向向量n的關(guān)系可求出點M到直線l的距離．【詳解】（1）因為點M1,0,?2，點P所以PM=（2）因為點M1,0,?2，點P2,?1,?2，所以PM過點M作直線l的垂線，垂足為Q，PQ=PM點M到直線l的距離MQ=

44．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP(1)求點P到直線EF的距離(2)求點P到平面DEF的距離.【答案】(1)3(2)5【分析】(1)依題意建立空間直角坐標系，求出直線PF的方向向量和PF在EF上的投影長，利用點到直線公式，即可求出點P到直線EF的距離；(2)先求出平面DEF的法向量，再利用向量法可求出點P到平面DEF的距離．【詳解】（1）由題可知AB,AC,AP兩兩相互垂直，如圖，以A為原點，直線AB,AC,AP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，又D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點，AB=AC=1,PA=2，得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D(因為PF所以PF在EF上的投影長為|所以點P到直線EF的距離為|（2）由1知，PF=(0,12,?1)設(shè)平面DEF的一個法向量為n=(x,y,z)則{n取z=1，則n=(2,0,1)所以點P到平面DEF的距離為d=|45．已知正方體ABCD?A(1)求平面AB1C(2)若E為A1B1的中點，F(xiàn)為AB的中點，H為DD1（?。┣笾本€A1H到直線（ⅱ）求直線FC到平面AEC【答案】(1)3(2)（?。?05；（ⅱ）【分析】（1）以D1為原點，分別以D1A1,D1C1,D1D的方向為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系，因為平面A（2）（?。┩?）建立空間直角坐標系，先利用向量法判斷A1（ⅱ）求出平面AEC1的法向量，先利用向量法證明FC//平面【詳解】（1）在正方體ABCD?A1B1C所以四邊形A1B1又因為A1D?平面AB1C，B1C?同理，A1C1//平面AB1C所以平面AB1C//所以平面AB1C與平面A1D以D1為原點，分別以D1A則A11,0,0，C10,1,0，所以DA1=1,0,?1，設(shè)平面A1DC1令z=1，得x=1,y=1,故m=1,1,1所以點A到平面A1DC即平面AB1C與平面A（2）（?。┩?）建立空間直角坐標系，如圖所示．則C0,1,1，H0,0,12，K1,1,所以A1H=?1,0,12，KC=所以直線A1H到直線KC的距離可轉(zhuǎn)化成點A1連接KA1，因為所以點A1到直線KC的距離d=所以直線A1H到直線KC的距離為（ⅱ）易得FC=?1,12,0設(shè)平面AEC1的法向量為n令y=2，則x=1，z=1，得n=1,2,1是平面因為FC?n=0，所以FC⊥n，又FC?平面AE所以直線FC到平面AEC1的距離可轉(zhuǎn)化成點C到平面因為CC1=0,0,?1，所以直線FC到平面考點05利用空間向量求夾角46．如圖所示，已知直四棱柱ABCD?A'B'C'D'中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，AA'=1，E，F(xiàn)，G分別是A．?37 B．?214 C．【答案】D【分析】用異面直線所成角的向量解法求解.【詳解】連接AC，BD，B'D'，并且AC∩BD=O，B因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因為四棱柱ABCD?A所以B'B⊥底面又因為OO'//B'所以O(shè)'O⊥AC，以點O為坐標原點，分別以O(shè)A、OB、OO'所在直線為x軸，y軸，則A'(3,0,1)，B(0,1,0)，C(?3于是E?32,?1所以A'F→設(shè)異面直線GE，A'F所成角為則cosθ=故選：D.47．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1滿足棱長都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中點，E是棱AAA．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大【答案】D【分析】先建系，分別求出平面BDE與平面ABC的法向量，再根據(jù)二面角余弦公式結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可.【詳解】以AC中點O為坐標原點，OB，OC分別為x，y軸，建立空間直角坐標系．設(shè)所有棱長均為2，則x∈0,2，B3,0,0,D0,1,1DE→=0,?2,x?1，設(shè)平面BDE則n?令c=23，則a=x+1故n=又平面ABC的法向量m→故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角θ的余弦值cosθ=又x∈0,2，故cosθ在x∈0,即隨著x增大先增大后減小，且y=cosθ在θ∈0,π2故選：D．48．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC中點，點P在線段A1C1

A．23,3C．34,3【答案】A【分析】先設(shè)棱長為1，A1PA1C1=λ0≤λ≤1，建立如圖坐標系，根據(jù)A1P=λ【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長為1，A1PA以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，則A1,0,0,C0,1,0,O12,12,0，故在正方體ABCD?A1B1C所以DB1=所以sinθ=所以當(dāng)λ=12時，sinθ取得最大值33，當(dāng)λ=0或1時，所以sinθ∈故選：A．

49．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M為棱AA1的中點，若N為底面A1B1C1D1

【答案】2【分析】根據(jù)MN//平面BDC1，過M點構(gòu)造平行平面，找到動點【詳解】分別取線段A1D1,A1B1的中點Q，

連接AB1，易知AB因為MP?平面BDC1,DC1?平面同理可得MQ//平面BDC又MP∩MQ=M,MP,MQ?平面MPQ，故平面MPQ//平面BDC故點N在線段PQ上，且不與P，Q重合．以點B為坐標原點，BA,BC,BB1的方向分別為令正方體棱長為2，設(shè)PN=λPQ，則M(2,0,1),P(1,0,2)，Q(2,1,2),C(0,2,0),C1所以cosα=cosMN當(dāng)λ=12時，cosα取得最大值，為63，此時tan2α=1故答案為：2250．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E,F,G分別在棱AA1，A1D1，D1C1上，E為AA【答案】35858【分析】先作出平面EFG截正方體的截面為六邊形EFGQMH，并得到平面EFG與平面A1B1CD的交線m為WU，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD?A【詳解】設(shè)直線EF與直線DD1,DA連接RG并延長，交CC1于點Q，交DC的延長線與點連接PN，交AB于點H，交BC于點M，連接EH,QM，其中QM與B1C相交于點故六邊形EFGQMH即為平面EFG截正方體的截面，設(shè)EF與A1D相交于點W，連接WU，則平面EFG與平面A1B1以D為坐標原點，DA,DC,DD1所在直線分別為設(shè)正方體ABCD?A因為E為AA1的中點，D1所以EA=EA1=3因為A1ERD1故A1ERD=3故W307,0,故UW=顯然平面ABCD的一個法向量為n=設(shè)直線m與平面ABCD所成角大小為α，則sinα=故cosα=1?3故答案為：351．如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D①D1E與平面BC②D1E與B③點E到直線BC1④BC1和平面A【答案】②③④【分析】通過建系，求出相關(guān)點的坐標，相關(guān)直線的方向向量、相關(guān)平面的法向量坐標，利用空間向量夾角的坐標公式以及點到直線、點到平面的距離公式分別計算即可逐一判斷.【詳解】以D為原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為則D對于①，平面BCC1B1的法向量可取為設(shè)D1E與平面BCC1B對于②，BC1=設(shè)D1E與BC1所成角為對于③，因EB=2,1,0，與BCEB?u0=2×(?22)=?對于④，設(shè)平面AD1E的法向量為m則m?AD由BC1?m=?2,0,2?1,2,1=0可得由AB=(0,2,0)，則點B到平面AD1故答案為：②③④52．如圖，在三棱錐P?ABC中，平面APC⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AP=CP=2，E，M分別為棱BC，BP的中點．(1)證明：ME//平面ACP(2)求平面AME與平面ACP夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)及線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用夾角公式及正余弦函數(shù)的平方關(guān)系得解.【詳解】（1）因為E，M分別為棱BC，BP的中點，所以EM//又PC?平面ACP，EM?平面ACP，所以ME//平面ACP.（2）取AC中點為N，連接PN，由AC=AP=CP=2可知PN⊥AC，PN=3因為平面APC⊥平面ABC，AC是交線，PN?平面APC，所以PN⊥平面ABC，以A為原點，分別以AB,AC所在直線為x,y軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A0,0,0所以AE=設(shè)平面AME的一個法向量為n=則n?AM=x+12所以n=因為平面APC⊥平面ABC，AC是交線，AB⊥AC，AB?平面ABC,所以AB⊥平面ACP，故平面ACP的一個法向量為m=所以cosm所以平面AME與平面ACP夾角的正弦值為1?2153．如圖，AB是⊙O的直徑.PA與⊙O所在的平面垂直，PA=AB=2，C是⊙O上的一動點（不同于A，B），M為線段PB的中點，點N在線段PC上，且AN⊥PC.(1)求證：AN⊥MN；(2)當(dāng)AC=BC時，求直線PC與直線AM所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化即可得出；（2）可以直接作出線線角，然后再用余弦定理計算得出，也可以直接用空間向量來求線線角.【詳解】（1）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因為AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC，又PA∩AC=A，且PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又因為AN?平面PAC，所以AN⊥BC.因為AN⊥PC，且PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，所以AN⊥平面PBC，因為MN?平面PBC，所以AN⊥MN.故AN⊥MN.（2）解法一：因為AC=BC，所以在等腰直角三角形ABC中，AB=2，得AC=2又在直角三角形PAC中，PA=2，得PC=6因為△PAB為等腰直角三