2/37專題04球題型一：球的表面積和體積題型二：球的截面題型三：獨立截面法求內(nèi)切球問題題型四：等體積法求內(nèi)切球問題題型五：公式法求外接球題型六：補型法求外接球題型七：單面定球心法求外接球題型一：球的表面積和體積1．已知是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為6，則球的表面積為.【答案】【分析】當平面，三棱錐的體積最大，據(jù)此計算即可.【詳解】當平面時，三棱錐的體積最大，即，解得，所以球的表面積為..故答案為：.2．若平面截球所得截面圓的半徑為1，且球心到截面的距離為，則球的表面積為.【答案】【分析】求出球的半徑后可求其表面積.【詳解】因為平面截球所得截面圓的半徑為1，且球心到截面的距離為，故球的半徑，故球的表面積為，故答案為：.3．已知一個正方體的所有頂點均在一個球面上，若這個球的體積為，則這個正方體的表面積為.【答案】18【分析】根據(jù)正方體的對角線是外接球的直徑求得棱長，然后可得表面積．【詳解】設正方體的棱長為，則其對角線為其外接球的直徑，所以外接球的半徑為，由已知，，所以正方體表面積為，故答案為：18.4．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，且四個頂點，，，在同一個平面內(nèi)，四邊形為正方形，如果八面體的表面積為，那么這個八面體的外接球的體積為.【答案】【分析】確定八面體的外接球球心，根據(jù)表面積可得外接球半徑，即可得解.【詳解】由已知八面體表面積，即，又為等邊三角形，所以，則，即八面體各棱長均為，又四邊形為正方形，即，所以，所以中點為八面體的外接球球心，且外接球半徑為，即外接球體積，故答案為：.5．在直三棱柱中，，，，，則直三棱柱的外接球體積為.【答案】【分析】利用該直三棱柱的外接球的體積等于將該直棱柱補充為長方體后長方體外接球的體積，其體對角線為外接球直徑，再由球的體積公式可得.【詳解】由題意可得，該直三棱柱的外接球的體積等于將該直棱柱補充為長方體后長方體外接球的體積，其體對角線為外接球直徑，設外接球半徑為，則，所以外接球的體積為.故答案為：.題型二：球的截面6．已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是．【答案】【分析】當截面與垂直時，截面圓的半徑最小，此時截面圓的面積最小，據(jù)此在球中計算即可.【詳解】設正三角形的中心為,如圖所示,連接,是正三角形的中心,平面球的半徑,球心到平面的距離為1,即在

中,,,.過點作球的截面，當截面與垂直時，截面圓的半徑最小,即截面圓的面積最小,此時截面圓的半徑為,截面面積.故答案為：.7．球半徑為25cm，球心到截面距離為24cm，則截面面積為【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可以求出截面的半徑，進而求出截面的面積.【詳解】假設截面半徑為，球半徑為，球心到截面的距離為所以所以截面面積為故答案為：.8．已知球的半徑為10cm，若它的一個截面圓的面積為36πcm2，則球心與截面圓圓心的距離是cm.【答案】8【分析】根據(jù)球的截面圓的性質即可求解.【詳解】如圖，設截面圓的半徑為r，球心與截面圓圓心之間的距離為d，球半徑為R.由題意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm，所以故答案為：89．用一個平面截半徑為25cm的球，若球心到截面的距離恰為半徑的一半，則截面面積為．【答案】【分析】利用勾股定理和圓的面積公式計算可得答案.【詳解】如圖，球的半徑，，所以，所以截面面積為.故答案為：.5．一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為cm2.【答案】9π【分析】根據(jù)球的半徑，截面圓的半徑，球心到截面圓的距離滿足勾股定理，求出截面圓的半徑，最后利用圓的面積公式求面積即可.【詳解】由題球的半徑，截面圓的半徑，球心到截面圓的距離滿足勾股定理，∴截面圓半徑，則截面圓面積為，故答案為：.題型三：獨立截面法求內(nèi)切球問題11．已知圓臺的上下底面半徑之比為，它的內(nèi)切球（與圓臺的上下底面以及每條母線都相切的球）體積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓臺的幾何性質確定內(nèi)切球半徑從而得圓臺的高度，結合圓臺的幾何性質求解上下底面半徑，從而可得圓臺體積.【詳解】由于圓臺的內(nèi)切球體積為，設其內(nèi)切球半徑為，所以，則半徑，所以圓臺的高度，設圓臺上底面半徑為，則下底面半徑為，圓臺軸截面如下圖：為球心，為上下底面圓圓心根據(jù)切線長定理，圓臺的母線長，由母線長與圓臺上下底面半徑，、高度關系可得：，所以，可得，則該圓臺的體積為.故選：A.12．已知一圓臺上底半徑為1（下底半徑大于上底半徑），母線與底面所成角的余弦值為，若此圓臺存在內(nèi)切球（球與棱臺各面均相切），則此圓臺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺的內(nèi)切球的性質以及線面夾角可得，且，再結合圓臺的表面積公式運算求解.【詳解】設上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，

設內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點，可知，，由題意可知：，可得，即，可得此圓臺的表面積是.故選：C.13．已知圓臺存在內(nèi)切球（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側面積之比為，設圓臺與球的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結合圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺兩底半徑與母線的關系，再利用圓臺側面積公式及圓臺、球的體積公式求解即得.【詳解】設圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，顯然圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，則，，由，整理得，而，解得，，因此圓臺的高，，則圓臺的體積，內(nèi)切球的體積，所以.故選：D14．正四面體邊長為，其內(nèi)切球，則在正四面體內(nèi)與球和均相切的球的表面積為(用表示)【答案】【分析】先根據(jù)正四面體的結構特征求出內(nèi)切球半徑，然后根據(jù)相似關系求出球的半徑，最后利用球的表面積公式即可求解.【詳解】設在正四面體內(nèi)與球和均相切的球為，半徑為，設球的半徑為，取的中點為，連接，設為正四面體的高，球，球與側面分別相切于點，顯然點在上，是底面的中心，又正四面體邊長為，所以，所以，如圖，在中，，連接，由，解得，連接，又由，所以球的表面積為，故答案為：.

15．已知一個圓臺有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺的表面積為.【答案】【分析】借助于軸截面，根據(jù)內(nèi)切圓的性質分析可知圓臺的母線長為，進而可求表面積.【詳解】如圖所示，等腰梯形為圓臺軸截面，內(nèi)接圓與梯形切于點，其中分別為上、下底面圓心，則梯形的腰長，即圓臺的母線長為，所以該圓臺的表面積為.故答案為：.題型四：等體積法求內(nèi)切球問題16．已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等體積可求得內(nèi)切球半徑，再取截面并根據(jù)比例求得球的半徑，則可求得球的表面積．【詳解】取三棱錐過內(nèi)切球球心的截面，如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，解得；點到平面的距離為，所以，所以，設球的半徑為，所以，則，得，設球的半徑為，則，又，得，所以球的表面積為．故選：A．17．已知棱長為3的正四面體的內(nèi)切球球心為，現(xiàn)從該正四面體內(nèi)隨機取一點，則點落在球內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四面體的結構特征及性質求其內(nèi)切球的半徑，求出內(nèi)切球體積和四面體體積，利用幾何概型—體積比求概率即可.【詳解】由正四面體各側面為等邊三角形，若為△的中心，連接，則內(nèi)切球球心在線段上，如下圖示：，所以內(nèi)切圓半徑，而面，面，面，面，故，注意在面上，又，所以為等腰三角形的垂心，故，又，令，則，所以，可得，故，而正四面體的體積，其內(nèi)切球體積為，落在球內(nèi)的概率為.故選：C18．正方體的棱長為2，平面截正方體內(nèi)切球所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體和球的結構特征，判斷出是正三角形，求出利用等體積法求得到平面的距離，進而求得O到平面的距離，求得截面半徑，求得面積即可．【詳解】由題意得正方體的中心是內(nèi)切球球心，設為O，O到平面的距離為d，設A到平面的距離為，因為正方體的棱長為2，所以由勾股定理得，同理可得，則，故是等邊三角形，得到，則，如圖，連接，易得，，由勾股定理得，則，因為，所以，所以，則，而由題意得正方體內(nèi)切球半徑，正方體內(nèi)切球被平面所截，得到的截面是一個圓半徑為r的圓，由勾股定理得，由圓的面積公式得面積為，故C正確.故選：C19．正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．【答案】【分析】作出正四面體的圖形，結合正四面體的性質分別求得其內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑，從而得解.【詳解】設正四面體的棱長為1，外接球和內(nèi)切球半徑分別為，如圖所示，為的中點，，

由正四面體的性質可知線段為正四面體的高，在正中，，同理，在正中，，則，，所以，則，由正四面體的性質知，三個球的球心重合，且球心在線段上，則，，所以，故，而棱切球與棱相切，故其半徑為，則正四面體的內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑之比為.故答案為：.20．已知三棱錐的棱長均為，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球與三棱錐的三個側面都相切，則球的半徑為，球的體積為．【答案】【分析】由等體積法求得內(nèi)切球半徑，再根據(jù)對應線段成比例求得球的半徑，再求球的體積．【詳解】如圖所示：已知三棱錐的棱長均為，所以三棱錐為正四面體，設底面三角形中心為，底面，則，在上，取的中點，作截面，球，球與切于，連結.題意得，底面的外接圓半徑為，點到平面的距離為，所以，所以設球的半徑為，所以則，得.設球的半徑為，則，，又,,得，所以球的體積為為故答案為：；.題型五：公式法求外接球21．在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將該三棱錐放入正方體中，借助正方體的外接球求解，即可根據(jù)體積公式計算.【詳解】由于兩兩垂直,將該三棱錐放入正方體中，如圖：故該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，故該三棱錐外接球的半徑.所以外接球的體積.故選：B22．若長方體的長、寬、高分別為1，1，2，則該長方體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)長方體外接球的直徑為對角線，可得半徑，從而求球的體積.【詳解】由已知長方體的對角線長為.所以外接球半徑為，體積為.故選：A.23．在三棱錐中，兩兩垂直，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將三棱錐補全為長方體，長方體的外接球就是所求的外接球，長方體的體對角線就是外接球直徑，計算出半徑后可得表面積．【詳解】將三棱錐補全為長方體，則長方體的外接球就是所求的外接球，設球半徑為，則，所以，所以球的表面積為.故選：B．24．已知某長方體的長、寬、高分別為、、，且該長方體的所有頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設球的半徑為，由題意可知，長方體的體對角線長等于球的直徑，可求出的值，再利用球體表面積公式可求得球的表面積.【詳解】設球的半徑為，由題意可知，長方體的體對角線長等于球的直徑，所以，，因此，球的表面積為.故選：C.25．已知正方體的內(nèi)切球體積為1，則該正方體的外接球體積為．【答案】【分析】根據(jù)正方體的內(nèi)切球體積計算出正方體邊長，再利用正方體的外接球體積計算得到結果；【詳解】設正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的內(nèi)切球體積為，解得，正方體外接球的半徑為，故正方體的外接球體積為．故答案為：．題型六：補型法求外接球26．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，且，，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補成一個長方體，設三棱錐的外接球的半徑為，利用長方體的對角線長等于外接球的直徑，求得，結合球的體積公式，即可求解.【詳解】在三棱錐中，因為平面，且，，，則三棱錐可補成如圖所示的一個長方體，其中三棱錐的外接球與該長方體的外接球為同一個球，在直角中，可得，設三棱錐的外接球的半徑為，可得，所以，則球的體積為.故選：B.27．在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將三棱錐補形為長方體，得長方體的體對角線即為其外接球的直徑，由此求得外接球半徑即得體積.【詳解】，，且平面，可將三棱錐補形為長方體，如圖，則長方體的體對角線即三棱錐的外接球的直徑，因則三棱錐的外接球半徑為.故外接球體積為：.故選：A28．三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球體積等于.【答案】【分析】將三棱錐補成長方體，求長方體外接球的體積即可.【詳解】如圖：

將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.設長方體外接球半徑為，則：，所以所以三棱錐的外接球體積為：.故答案為：29．在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的體積為．【答案】/【分析】由對棱相等將三棱錐補形成一個長方體,求其外接球半徑即可求解.【詳解】依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體，

設該長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且其外接球的半徑為R，則，得，即,易知，∴該三棱錐的外接球的體積為．故答案為：.30．蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個點(不共面),，則該鞠（球）的體積為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，三棱錐的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，且三棱錐的三組對棱均相等，可將三棱錐嵌入到長方體中求解，即可得出三棱錐外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題可知，三棱錐的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，又，故三棱錐的三組對棱均相等，如圖，將三棱錐嵌入到在長方體中，則三棱錐的外接球即為在長方體的外接球，設，則，故，解得，又長方體外接球的直徑即為長方體的體對角線，故三棱錐的外接球的半徑為，則三棱錐的外接球的體積為：.故答案為：.31．一個四面體共一個頂點的三條棱兩兩互相垂直，其長分別為1，，3，其四面體的四個頂點在一個球面上，則這個球的體積為．【答案】/【分析】將四面體補形為一個長、寬、高分別為的長方體，根據(jù)四面體與長方體共一個外接球，可求出球的半徑，再根據(jù)球的體積公式可求出結果.【詳解】依題意將該四面體補形為一個長、寬、高分別為的長方體，則四面體與長方體共一個外接球，且球的直徑為，所以外接球的半徑為，體積為.故答案為：題型七：單面定球心法求外接球32．已知某圓錐的側面展開圖是一個半徑為的半圓，則這個圓錐的外接球體積為.【答案】【分析】由圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，由此作出圓錐的外接球的草圖，根據(jù)勾股定理即可求出外接球半徑，然后再根據(jù)球的體積公式，即可求出結果．【詳解】由于圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面圓周長為，母線長為2，所以圓錐底面圓的半徑，圓錐的高為，所以圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，作出圓錐的外接球的草圖，如下：則，設外接球的半徑為，則，在中，，所以，解得，所以圓錐的外接球的體積為．故答案為：.33．已知四點都在體積為的球的表面上，若AD是球的直徑，且，，則三棱錐體積的最大值為．【答案】【分析】設的外接圓半徑為，圓心為，根據(jù)正弦定理可求，根據(jù)幾何關系可求到平面ABC的距離為定值，當面積最大時，三棱錐體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面積公式可求面積的最大值，即可得解.【詳解】設球的半徑為，因為球的體積為，故，解得，，設的外接圓半徑為，圓心為，根據(jù)正弦定理知，，