期中真題必刷壓軸60題（17個(gè)考點(diǎn)專練）

一.三角形的角平分線、中線和高（共1小題）

1.（2023秋?永興縣期中）已知：NMON=40°,平分NA/OV,點(diǎn)力、B、C分別是射線?！?、OE、

ON上的動(dòng)點(diǎn)（力、B、C不與點(diǎn)。重合），連接交射線OE于點(diǎn)。.設(shè)/CMC=x。.

（I）如圖1,若AB"ON,則

①N.48O的度數(shù)是_20。_；

②當(dāng)/8力。=//8。時(shí)，x=：當(dāng)4時(shí)，x=.

（2）如圖2,若481Q”，則是否存在這樣的x的值，使得△/。8中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出；的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出乙物。的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想.

【解答】解：（1）①???/A/ON=40。，OE平分NMON,

...Z.AOB=Z.BON=20°,

SON,

/.Z.ABO=20°,

②?.?/8力。=/48。，

/.ZBAD=20°,

???/AOB+ZABO+ZOAB=180。，

Z(?JC=120°,

???/B4D=NBDA,Z.ABO=20°,

/8力。=80。，

???ZAOB+Z.ABO+NO4B=180。，

/.ZOAC-60°?

故答案為：①20。；②120,60：

（2）①當(dāng)點(diǎn)。在線段08上時(shí),

???OE是2MoN的角平分線,

/.ZAOB=-ZMON=20°,

2

-AB1OM,

ZAOB+Z.AHO=90°,

Z.ABO=70°,

若/B4D=/4BD=700,則x=20

若/BAD=/BDA=-（180°-70°）=55°,則x=35

2

若N4DB=NABD=70。,則=180°—2x700=40。，:.x=50

②當(dāng)點(diǎn)。在射線上時(shí)，因?yàn)橐?8E=110。，且三角形的內(nèi)角和為180。，

所以只有/B4D=NBD4,此時(shí)x=125.

綜上可知，存在這樣的x的值，使得中有兩個(gè)相等的角，

且x=20、35、50、125.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查/三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180。，

三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

二.三角形內(nèi)角和定理（共8小題）

2.（2023秋?東港區(qū)校級(jí)期中）如圖，在AABC,BD、8E分別是高和角平分線，點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上,

FH1.BE交BD于G,交,BC于H,下列結(jié)論：（D^DBE=ZF；②24BEF=4BAF+4C；③

ZF=i（Z^JC-ZC）：④/BGH=/ABE+/C,正確的是（）

【分析】①根據(jù)BDLFD,FHLBE和ZFJD-ZRJH,證明結(jié)論正確］

②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；

③證明=4C'-/C',根據(jù)①的結(jié)論，證明結(jié)論正確；

④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.

【解答】解：①???8O_LEQ,

NFGD+"=90°

???FH1BE,

：.ZBGH+NDBE=90°，

???ZFGD=NBGH,

/DBE=ZF,

①正確：

②;BE平分乙4BC,

NABE=ZCBE,

NBEF=/CBE+ZC，

:.2ZBEF=ZABC+2ZC，

/BAF=/ABC+NC，

2ZBEF=Z.BAF+ZC,

②正確：

?ZABD=90°-ZBAC,

NDBE=ZABE-Z.ABD=N/tBE-90°+NB4c=Z.CBD-Z.DBE-900+4BAC,

?rZCTO=90°-ZC,

/.NDBE=ZBAC-ZC-NDBE,

由①^馬，ZDBE=4F,

...ZF=ZBAC-ZC-Z.DBE,

z.//=g(N8/C-NC)：

③正確：

④NAEB=NEBC+NC,

/ABE=/CBE,

/AEB=ZABE+ZC,

?/BD1FC,FH工BE,

Z.FGD=/FEB,

NBGH=Z.ABE+ZC,

④正確，

故選：D.

④線段AB、CM相交于點(diǎn)O,形成“8字形”;

⑤線段AP、CQ相交于點(diǎn)M,形成“8字形”;

⑥線段4M、C。相交于點(diǎn)O,形成"8字形”：

故“8字形”共有6個(gè);

故答案為：6：

(3)ND,4P+ND=NP+NDCP,①

NPCB+NB=NP4B+NP,②

和/品力的平分線AP和CP相交于點(diǎn)尸，

二ND”=/.PAR,NDCP=NPCB，

①+②得：

ZDAP+ZD+ZPCB+NB=NP+ZDCP+/PAR+ZP,

即2NP=/Q+/8,

乂???/。=40度，N8=36度，

.-.2zP=400+36°,

ZP=38°；

故答案為38。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識(shí)的遷移能力.（I）中根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)

出“8字形”：（3）直接運(yùn)用“8字形”中的角的規(guī)律解題.

4.（2023秋?來(lái)賓期中）如圖所示，已知8。為A48C的角平分線，CD為AJ8c外角乙4CE的平分線，且

與8。交于點(diǎn)。；

（1）若N.4RC-60°,NDCE-70。，則ND-40°,

⑵若48C=70。，4=80。，則°；

（3）當(dāng)//AC和乙4C8在變化，而乙4始終保持不變，則/。是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

結(jié)論？（用含N力的式子表示NQ）

D

BCE

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出/力的等式，推出/。=工//1,即可求得結(jié)

2

詒.

【解答】解：（1）???4。為A/iBC的角平分線，43c=60。,

/DBC=30。，

vNDCE=70°,

Z￡>=ZDCE-4DBC=700-30°=49°；

（2）vAABC=70°,4=80。，

ZJCE=150°

???BD為NBC的角平分線，CD為AWC外角NACE的平分線，

:.NDBC=L/4BC=35。，ZDCE=-ZACE=75°,

22

ZD=Z.DCE-Z.DBC=75°-35°=49°；

（3）不變化，

理由：?;NDCE=NDBC+ND,

/.ZD=-ZACE--/ABC=1（N/1+/ABC）--ZABC=-ZA.

22222

故答案為40：40.

【點(diǎn)評(píng)】此題考行三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是求出/。=上/4.

2

5.（2023秋?夏邑縣期中）如圖，在A48C中，點(diǎn)。是3c邊上的一點(diǎn)，Z5=50°,NBAD=30°,將

沿/D折疊得?到A/1E。，AE與BC交于?點(diǎn)、F.

（1）求N/1FC的度數(shù)：

（2）求NEZ）廠的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)折疊求出/歷1。=/"”,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/力D8,求出/XOE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出/力。/，即可求出答案.

【解答】解：（1）???AJA。沿力。折疊得到&4EO.

二/BAD=/DAF,

vZ2?=50°,ZBAD=30°,

JNAFC=NB+/BAD+Z.DAF=110°；

（2）vZ5=50°,^BAD=30°,

:"ADB=180°-50°-30°=l00°,

ZJZ）C=50°+30°=80°,

???MBD沿AD折疊得到MED,

ZJD￡=Z^D5=100°,

NEDF=MADE-ZADC

=100°-80。=20°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查r三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)和折段的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)定理求出各個(gè)角

的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?花山區(qū)校級(jí)期中）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形

叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/3OC與乙1、NB、/C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺放置在&44C上，使三角尺的兩條直角邊AT、A7恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)3、C,若

Z/1=50°,直接寫出N/8X+//CY的結(jié)果：

②如圖3,DC平分4DB,EC平分4EB,若NDAE=50。,ZD5E=130°,求/OCE的度數(shù)；

③如圖4,/ABD,N/CO的10等分線相交于點(diǎn)G、G2....G”,若/8QC=140。，NBG、C=77。,求乙4

的度數(shù).

Xc

D

B

*D'C

ZB-

圖1圖2圖3圖4

【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接/。并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，則容易得到=ZBDF+NCDF；

（2）①由（1）的結(jié)論可得4AX+N/+4=,然后把N4=50。.NAXC=90。代入上式即可得

到//1BX+N/1CX的值.

②結(jié)合圖形可得NO4E=/OXE+N/1O8+/XE4，代入/ZME=50°,NO8E=130。即可得到/408+

的值，再利用上面得出的結(jié)論可知/OCE=；（乙">8+乙4￡8）+乙4,易得答案.

③由（2）的方法，進(jìn)而可得答案

【解答】解：（1）連接力。并延長(zhǎng)至點(diǎn)廠，

由外角定理可得N8。尸=/8月O+N8,ZCDF=ZC+ZCJZ）；

且NBDC=NBDF+NCDF,/BAC=/B,4D+NCAD；

相加可得NBDC=//+N8+NC：

（2）①由（1）的結(jié)論易得：AABX-AACX+=ZBXC,

又=50。，N8XC=90°,

/.Z.ABX+ZACX=90°-50°=40°：

②由（1）的結(jié)論易得/。8￡=//+4。8+/4￡'8,易得/力。8+//￡8=80。：

而ZDCE=-UADB+/AEB）+/A,

2

代入NO/1E=50。，ZDBE=\30°,易得/OCE=90。；

@ZBG.C=—<^BD+ZACD)+ZA,

???/BG\C=77。，

.?.設(shè)4為x。，

?/48。+N/CQ=140。-x°

/.\(I407)+X=77,

14一一x+x=17,

1()

x=70

/.Z.A為70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出/8。。=/4+/8+/。是解答

的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°,三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

7.(2023秋?津南區(qū)期中)在A48c中，

(1)如圖①所示，如果乙1=60。，N/8c和么力C8的平分線相交于點(diǎn)尸，那么/80。=_120。_：

(2)如圖②所示，/X8C和乙4。。的平分線相交于點(diǎn)P,試說(shuō)明/8PC=■!?//；

2

(3)如圖③所示，NC4O和N3CE的平分線相交丁點(diǎn)P,猜想與乙4的關(guān)系并證明你的猜想.

①②③

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得N48C=2NP8C,4ACB=24PCB,再利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)

算可求解：

(2)根據(jù)角平分線的定義可得/PBC=L//8C,ZPCD=-ZACD,再利用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行證明；

22

(3)根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明.

【解答】解：(1)?.?8尸、CP分別為//8C,ZACB的平分線，

:"ABC=2/PBC,/ACB=2/PCB.

???Z.A=180°-(ZABC+Z.ACB),

二Z.A=180°-2(ZPBC+NPC8),

/.4=180°-2(180。-4BPC),

二4=-180°+2N8PC,

，2N8PC=1800+/。,

/BPC=90°+-ZJ=90°+-x60°=120°,

22

故答案為：120。：

(2)???58是48c的角平分線,

/.ZPBC=-ZABC.

2

又CP是Z.ACD的平分線，

ZPCD=-ZACD,

2

???ZACD=ZJ+Z.ABC,Z.PCD=ZBPC+Z.PBC,

/BPC=L/A；

2

(3)90°--ZJ.

2

證明：???8尸、”分別是N/18C與乙1C8的外角平分線，

2cBp=-Z.CBD，Z.BCP=-NBCE，

22

ZCBP+ZBCP

=-^CBD+-ZBCE

22

=L(NCBD+NBCE)

2

=+ZACB+ZA+Z.ABC)

=i(180°+ZJ),

NBPC=180。-(NC8P+ZBCP)

=180°-^(1800+ZJ)

=90＞一1/4.

2

【點(diǎn)評(píng)】木題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是

8.(2023秋?啟東市期中)引入概念1：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱

這兩個(gè)一:角形互為”等角三角形”.

引入概念2：從不等邊三角形?個(gè)頂點(diǎn)引出?條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割

成兩個(gè)小三角形.若分成的兩個(gè)小三角形中一個(gè)是滿足有兩個(gè)角相等的三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等

角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線

【理解概念】:

(1)如圖1,在RtAABC中,4c8=90。,CD1AB,請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”.

①一力8c與AC'8￡>_；②.

⑵如圖2,在中，C。為角平分線，4=40。，/8=60。.請(qǐng)你說(shuō)明CD是A/I8C'的等角分割線.

【應(yīng)用概念】:

(3)在&48。中，若N4=40。，CQ為A/i8c的等角分割線，請(qǐng)你直接寫出所有可能的N8度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)“等角三角形”的定義解答；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/彳。8,根據(jù)角平分線的定義得到/.4CO=NQC8=l4C8=40。，根據(jù)

2

”等角三角形”的定義證明：

(3)分A4c。是等腰三角形，DA=DC.。4=4C利A8C。是等腰三角形，DB=BC、四種情

況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算.

【解答】(1)解："1BC與MCD,M8c與ACBO是''等角三角形”；

故答案為：MBCgXCBD,MCD與MJBD；

(2)證明：?.?在8c中，N4=40。，N8=60。，

/ACB=I8O0-ZJ-Z5=80。，

???CO為角平分線，

ZACD=Z.DCB=-NACB=40°,

2

二.ZJCD=ZA,4DCB=ZJ,

CD=DA,

在AD8c中，ZDCB=40°,N8=60。，

...ZBDC=180°-ZDCB-4B=80°,

ZBDC=/ACB,

CD=DA，ZBDC=ZACB，NDCB=4,

/B=/B,

:.CD為MBC的等角分割線:

（3）解：當(dāng)AJC'。是等腰三角形，如圖2,D4=QC時(shí)，Z/fCD=ZJ=40°,

二NACB=NBDC=40°+40°=80°,

...NB=180°-ZA-ZACB=60°：

當(dāng)&4C'。是等腰三角形，如圖3,。力=/C時(shí)，ZJCD=Z/IDC=70o,

ZBCD=ZA=40°，

...4。8=70。+40。=110°,

二ZB=I8O°-ZJ-NHCB=30°；

當(dāng)AJCO是等腰三角形，CO=AC的,青況不存在,

當(dāng)A8CO是等腰三角形，如圖4,DC=ED時(shí),NACD=/BCD=NB,

???4+/8+//C'8=180°,

當(dāng)MCO是等腰三角形，如圖5,O8=8C時(shí)，ZBDC=4BCD,

設(shè)ZBDC=Z.BCD=x,

則NB=18（P-2x,

則N.4CD=N8=180°-2x,

由題意得，180。-2、+40。=》，

解得％=（竽）。,

/./8=180°—21=（竿）。,

當(dāng)MCO是等腰三角形，CD=C8的恃況不存在,

綜上，N4的度數(shù)為60。；30。；（與）。：（華）。.

圖5

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了“等角三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，

靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

9.(2023秋?岳陽(yáng)樓區(qū)校級(jí)期中)如圖1至圖2,在A48C中，/BAC=a，點(diǎn)。在邊/C上，作?！甏怪庇?/p>

直線6C,垂足為點(diǎn)￡,8W為A/i8c的角平分線，N4OE的平分線交直線8c于點(diǎn)G.

特例感悟:

(1)如圖1,延長(zhǎng)力8交OG于點(diǎn)F,若6A///OG,ZF=30°.

解決問(wèn)題:

①/.48。=60

②求證：ABLAC.

深入探究:

(2)如圖2,當(dāng)0。＜夕＜90。，QG與反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃，用含a的代數(shù)式表示N8/7O,并說(shuō)明理由:

拓展延伸:

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊4c上移動(dòng)時(shí)，若射線QG與線段8M相交，設(shè)交點(diǎn)為N,則N8NQ與a的關(guān)系式是

FH

圖1圖2

【分析】(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得答案;

②根據(jù)平行線的性質(zhì)得NOGC=NC8"=30。，再根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義可得結(jié)論;

(2)由八字模型可得，和ADEG中，NBHD=NEDG+90。-NHBG,再整理可得答案：

(3)畫出對(duì)應(yīng)圖形，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理計(jì)算可求解.

【解答】解：(1)①?.,8A///OG,

7.=/斤=30。,

???為AJ8c的角平分線，

ZABC=22ABM=60°,

故答案為：60°：

②證明：由①得，NC8M=48M=30。，

???BM//DG,

NDGC=NCEM=30。，

DEIBC,

NEDG=60°，

DG平分ZADE,

Z.ADF=60°,

/.4=180。-30。一60°=90°,

(2)45。/〃.

2

理由：由八字模型可得，MHG和MEG中,

^BHD=Z.EDG+9(F-Z.HBG=^ADE+903-(180°-^ZABC)=+//6c)-9b=4'一X-a-

故答案為：45°--a：

2

(3)如圖，

當(dāng)。是銳角時(shí)，

由四邊形的內(nèi)角和得，

ZBND=360°-90°--NABC--AADE=270°--(270°-a)=135°+-tz.

2222

當(dāng)。是鈍角時(shí),

???BM平分/ABC,DG平分ZADE,

乙4BN=L/ABC,4ADN=-ZADE,

22

/BND=360°（/ABC+ZADE）

=36。。-a--（ZABC+900+ZC）

2

=363o-a-1（180o-a+90°）

=225?！?.

2

綜上，N4NO的度數(shù)為135。+,。或225。一工。，

22

故答案為：135。+,々或225。-

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題

關(guān)鍵.

三.三角形的外角性質(zhì)（共2小題）

10.（2023秋?武安市校級(jí)期中）在AJ8C中，4E平分NB力C,ZC>4B.

圖1圖2

（1）課本原題再現(xiàn)：如圖1,若ADLBC于點(diǎn)D,ZABC=40°,4c3=60。，求/￡4。的度數(shù).：寫

出解答過(guò)程）

（2）如圖1,根據(jù)（1）的解答過(guò)程，猜想并寫出N8、NC、NE4。之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）小明繼續(xù)探究，如圖2在線段上任取一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作18c于點(diǎn)。，請(qǐng)嘗試寫出N8、NC、

4EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理中.

【分析】解：⑴?.Z8C=40°,24cB=60°,

；"CAB=180°-(ZS+ZC)=80°,

?.?力￡平分N8/C,

ZEAC=-ZBAC=-x80°=40°,

22

vADIBC,

ZADC=90°,

ZC=60°,

Z.DAC=180°-90°-60°=30°,

/EAD=Z.CAE-/CAD=40°-30°=10°：

(2)Z.EAD=-UACB-Z.ABC).

2

理由：vZABC+ZACB+ABAC=180°,

ZBAC=180°-(ZJ5C+ZACB),

?../IE平分N8/C,

NC4E=g/BAC=^[180°-(/ABC+ZACB)]=90°一;(//8C+ZACB),

vADIBC,

ZADC=90°,

二.NC4Q=90。一/4C8,

ZEAD=ZCAE-ZCAD=90°--(Z.4Z;C+N/CB)—(90°-N4C8)=-iZACB-/ABC),

22,

即/LEAD=-ZJ5C)；

(3)Z.EPD=-ZACB--ZJBC,

22

理由是：如圖2,過(guò)/H乍力G18C于G,

???PD1BC,

:.AGMPD,

ZGAE=ZDPE,

?；4CAB=180。-(44C+NACB),

?.?4E平分N84C,

AZEAC=|NBAC=^[1800-(/ABC+ZJC5)]=90°-1ZABC-；NACB,

\AG18C,

/.4GC=90。，

/G4C=90°—/力。8,

...Z.GAE=/CAE-/CAG=90°-iZABC--ZJC5-(90°-NACB)=-ZACB--/ABC,

2222

；"EPD=-^ACB--NABC.

22

【解答】(1)先求出/歷IC,根據(jù)角平分線定義求出/C4E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/。/，代入

ZDAE=ZCAE-ZCAD求出即可：

(2)先利用三角形的內(nèi)角和及角平分線的定義求得/C'/E=90。-；(48C+4C8),再根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)可得ZCAD=90°-NACB,然后由Z.EAD=NCAE-ZCAD代入計(jì)算可求解；

(3)過(guò)/作NG_L8C于G,由三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義可求得

ZEAC=-900--ZABC--ZACB,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得/G4C=90。-N/1C8,進(jìn)而可求解.

222

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)

用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，證明過(guò)程類似.

11.(2023秋?海曙區(qū)期中)【概念認(rèn)識(shí)】

如圖①，在△力8。中，若ZABD=NDBE=NEBC,則8。，■叫做48C的“三分線”.其中，8。是“鄰

AB三分線”，8E是“鄰BC三分線

【問(wèn)題解決】

(1)如圖②，在△/18C中，ZJ=80°,Z5=45°,若N8的三分線8。交力。于點(diǎn)O,求/8OC的度數(shù)；

(2)如圖③，在△力8。中，BP、CP分別是乙45。鄰8C三分線和乙1C8鄰8c三分線，F(xiàn)l.ZBPC=149°,

求N4的度數(shù)：

【延伸推廣】

(3)在△43。中，//CO是△/18C的外角，N8的三分線所在的直線與/4CZ)的三分線所在的直線交于

點(diǎn)P.若4=〃?。(〃?>54),4=54。,直接寫出N8PC的度數(shù).(用含切的代數(shù)式表示)

【分析】(I)根據(jù)題意可得當(dāng)4。是“鄰月3三分線”時(shí)，，N4ZTC=80。+15。=95。；當(dāng)BD是“鄰8c三分

線”時(shí),Z5D,,C=80°+30o=110°：

（2）結(jié)合（1）根據(jù)8A。尸分別是48c鄰8c三分線和4c8鄰2c三分線，且N8PC=140。，即可求

//的度數(shù)：

（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)8P和CP分別是“鄰三分線”、“鄰/C三分線”

時(shí)，可得NBPC=2/4=3n。：情況二：如圖②，當(dāng)8尸和CP分別是“鄰8。三分線”、“鄰CZ）三分線"時(shí)，

可得/分&=；乙4=；〃?。；情況三：如圖③，當(dāng)HP和CP分別是“鄰8C三分線"、“鄰4C三分線”時(shí)，可

710

ZBPC--ZJ+-ZJZ?C--///°+180;情況四：如圖④，當(dāng)4〃和CT分別是“鄰33二分線”、“鄰CO二

333

分線”時(shí)，可得N8PC=；N/一;//50=；〃?。一18°,進(jìn)而解答.

【解答】解：（1）如圖，

②

當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，4BDC=80°+15°=95°；

當(dāng)BD是“鄰BC三分線”時(shí)，NBD”C=800+30。=110。；

(2)在△8PC中，

vZ.BPC=140°,

...乙FBC十/尸C6=40c,

又BP、CP分別是NABC鄰BC三分線和NACB鄰BC三分線,

/.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

33

/.-^ABC+-ZACB=40°,

33

/.ZABC+ZACB=\20°,

在。中，AA+ZABC+ZACB=180°

...Nd=180°-(Z/15C+NACB)=60°：

(3)分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：

A

D

①

情況一：如圖①，當(dāng)8尸和”分別是“鄰力8三分線”、“鄰4c三分線”時(shí),

22

.?.NBPC=：4=；〃?。；

情況二：如圖②，當(dāng)8尸和。尸分別是“鄰8C三分線”、“鄰三分線”時(shí),

二NBPC=L/A=L”。；

33

情況三：如圖③，當(dāng)8P和CP分別是“鄰AC三分線”、“鄰片C三分線”時(shí),

2I2

...ZBPC=-Z4+-ZX5C=-m0+18°：

情況四：如圖④，當(dāng)〃尸和C尸分別是“鄰力8三分線”、“鄰CZ）三分線”時(shí),

ZBPC=-ZA--ZABC=-mo-\^0:

333

綜上所述：/8PC的度數(shù)為：2〃??；颉ā；?卅。+18?；?，〃。一18。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，列代數(shù)式，利用分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵.

四.全等三角形的性質(zhì)（共1小題）

12.（2023秋?寧津縣校級(jí)期中）如圖，UBC三，4DE,D在BC上，連接CE,則以下結(jié)論:①力。平分N8QE；

?ZCDE=ZBAD；?ZDAC=^DEC：?AD=DC.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

【分析】由△J8CW&4OE,推出力4=4。，AC=AE,N4DE=NB.NBAC=NDAE,再由等腰三角形

的性質(zhì)，可以求解.

【解答】解：/C和OE交于O,

:.AB=AD,AC=AE,ZADE=Zfi,Z.BAC=Z.DAE,

:./B=4ADB,NB4D=NCAE,ZACE=ZAEC,

ZADB=Z.ADE,NACE=ZADB=4ADE,

:"D平分NBDE,

Z.AOD=Z.EOC,

ZDAC-/DEC,

Z.CDE+/ADE=Z/?+/BAD,

二ZCDE=ZBAD,

由條件不能推出力。=。。，

???①②③正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì).等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握并靈活應(yīng)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相

等，對(duì)應(yīng)角相等；等腰三角形的底角相等.

五.全等三角形的判定（共1小題）

13.12023秋?石家莊期中）如圖（1）,AB=4cm,ACLAB,BDA.AB,/C=8。=3cm.點(diǎn)。在線段48

上以k〃〃s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為心）.

（1）若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)，=1時(shí)，A4CP與MP。是否全等，并判斷此時(shí)線段PC

和線段P0的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說(shuō)明理由；

（2）如圖（2）,將圖（1）中的“/C_L/8,RD1AB”改為“ZCAB=/DBA=60?！?其他條件不變.設(shè)

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為xc〃〃一是否存在實(shí)數(shù)x,使得A4CP與MP。全等？若存在，求出相應(yīng)的x、1的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用弘S證得沙CPMBPQ,得出&CP=/BPQ,進(jìn)一步得出

ZAPC+NBPQ=ZAPC+ZACP=9（f得出結(jié)論即可：

（2）由A4CP三A8PQ,分兩種情況：①/C=8P,”=8。，②4C=BQ,AP=BP,建立方程組求得

答案即可.

【解答】解：(1)當(dāng)1=1時(shí)，AP=BQ=\,BP=AC=3,

又Z.4=NB=90°,

在AJC尸和

AP=BQ

4=/B,

AC=BP

:.MCP"BPQ(SAS).

;ZCP=/BPQ,

Z.APC+NBPQ=ZJPC+NACP=9伊.

.?.NC產(chǎn)0=90。，

即線段PC與線段P0垂直.

（2）存在,

理由：①若A/1CP=A8P0,

則4C=8P,AP=BQ,

3=4-1

解得：

x=1

②若A/1CP三A80P,

貝|J/1C=8。，AP=BP,

則「1=：A7，

t=4-t

t=2

解得：3:

刀=5

_./=2

綜上所述，存在或《3，使得&4C尸與她尸。全等.

A=1X=~

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.右解

題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用.

六.全等三角形的判定與性質(zhì)（共26小題）

14.12023秋?西山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△9（；,AB=AC,D為BC上的一點(diǎn),Z.BAD=28°,在力。的

右側(cè)作△ADE，使得AE=AD,ZDAE=ZBAC,連接CE、DE,DE交AC于點(diǎn)、O,若CE"AB，則/DOC

的度數(shù)為（）

A.124°B.102°C.92°D.88°

［分析］根據(jù)已知條件證明△DAB邕△EAC，可得NB=ZACE,再根據(jù)CEMAB,可得

N8-4C8+4CE=180。，然后證明△"C是等邊三角形，是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角

和定理即可解決問(wèn)題.

【解答】解：???/￡)/￡=

/.ADAE-ZDAC=Z.BAC-Z.DAC，

：.Z.DAB=Z.EAC,

在和△￡4。中，

AB=AC

<NDAB=Z.EAC,

AD=AE

:.△DABwAEAC(SAS),

：.NB=NACE,

-CE//AB,

Z^+Z5CF=180°,

NB+ZACB+NACE=180°,

■:AB-AC,

NB=/ACB,

/B=NACB=NACE=600,

△IBC是等邊三角形，

ZDAE=ZBAC=6Q0,

.?.△/1OE是等邊三角形，

4OE=60°,

/BAD=28°,

.?./。/1。=60°-28°=32°,

/.DOC=ZOAD+NADE=320+60°=92°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)健是得到△?出三△E/C.

15.(2023秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中)如圖，在A48。和&4DE中，/CAB=NDAE=36°,AB=AC,力。=/￡?.連

接CD,連接8E并延長(zhǎng)交4C,4D于點(diǎn)、F,G.若8E恰好平分乙48C,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(i

A./ADC=NAEBB.CDI/ABC.DE=GED.CD=BE

【分析】利用44S證明可得=CD=BE,可判斷力，。選項(xiàng)正確；由全等三

角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解N/C7?的度數(shù)，利用角平分線的定義求得

/ACD=/ABE=36。,即可得,進(jìn)而可證明CD///8,即可判斷8選項(xiàng)正確，進(jìn)而可求解.

【解答】解：A.?.?NC/18=ND4E=36。，

AZCAB-NC/iE=ZDAE-ZCAE,即ZD/1C=NEAB,

在。和AE48中，

AD=AE

?ZDAC=ZEAB,

AC=AB

ADAC=^EAB(SAS),

ZADC=ZAEB,故4選項(xiàng)不符合題意：

CD=BE,故。選項(xiàng)不符合題意：

B.'：AC=AB,

ZACB=々ABC,

/CAB=/DAE=36。,

/.Z.ACB=ZABC=(180°-36°)4-2=72°,

BE平分乙4BC,

NABE=/CBE=36°,

:"ACD=/ABE=36,

ZDCA=ZCAB=36°,

CDIIAB(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)，

故8選項(xiàng)不符合題意：

C.根據(jù)已知條件無(wú)法證明。E=GE,故C選項(xiàng)符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理,

證明AO/CYAE48是解題的關(guān)鍵.

16.12023秋?臨湘市期中）如圖，在M灰:中，力8=/。，點(diǎn)。為線段8C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合）,

連接力力，作//?！?/8=40。，OE交線段/C于點(diǎn)￡,下列結(jié)論：

①ZDEC=/BDA：

②若/8=OC,則40=。石：

③當(dāng)。E_L/fC時(shí)，則。為8c中點(diǎn)；

④當(dāng)A/1OE為等腰三角形時(shí)，/.BAD=40°：

止確的有個(gè).（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（分析】①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到NA4O=NCDE：

②當(dāng)AJ8QMAQCE時(shí)，BD=CE；

③根據(jù)O￡_L4C,得NCO￡=50。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到。為3c中點(diǎn)：

④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到40。，求得N4DEw/4ED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角

和得到/84。=60。或30。.

【解答】解：?vZADC=ZB+ZBAD,ZB=ZADE=40°,

ZBAD=Z.CDE,

?:AB=AC,

：.NB=NC,

由三角形內(nèi)角和定理知：/DEC=￡BDA,故①正確：

?'：AB=AC,

Z2?=ZC=40°,

由①/DEC=NBDA,

vAB=DC,

MBD=ADCE（AAS）,

;.AD=DE,故②正確:

③；DE1AC,

/.ZDEC=90°,

???ZC=40°,

NCDE=50°,

/.ZJDC=90°,

ADIBC,

?rAB=AC,

：.BD=CD,

:.D為BC中點(diǎn),故③正確；

@vZC=40°,

二Z.AED>40°,

二ZADE^ZAED,

'：MDE為等腰三角形，

:.4E=DE或AD=DE,

當(dāng)4E=DE時(shí)，Z.DAE=/ADE=40°,

?/Z5/1C=180°-40°-40°=100°,

二N8/O=60。，

當(dāng)AD=DE時(shí)，Z.DAE=Z.DEA=70°,

/./8月。=30。，

故④不正確.

???正確的有①②③，共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，計(jì)算各角的度數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

17.12023秋?石家莊期中）已知48=10,AC=6,BD=8,其中NC48=NO84=a,點(diǎn)P以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度，沿著Cf/f8路徑運(yùn)動(dòng).同時(shí)，點(diǎn)0以每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿著。->8->4聘徑

運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng).它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

①若x=1.則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)路程的2倍：

②當(dāng)P、。兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)4點(diǎn)時(shí)，x=6；

③若a=90°,f=5,x=l時(shí)，AACP三ABPQ；

4

④若A4CP與MP0全等，則x=0.8或1.

以上說(shuō)法正確的選項(xiàng)為（）

A.①③B.①②C.①②@D.①②③?

【分析】①若x=l，即點(diǎn)尸的速度時(shí)點(diǎn)。的2倍，即可求解；

②求出。、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可求解：

③證明/。工8。，即可求解：

④若AJC'P與A8P0全等，則4C=P8且或彳。=80且，即可求解.

【解答】解：①若x=l，即點(diǎn)。的速度時(shí)點(diǎn)0的2倍，故點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)路程的2倍，正確,

符合題意；

②點(diǎn)尸到達(dá)力的時(shí)間為：6+2=3,當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)力的時(shí)間為：（8+10）+6=3,故②正確，符合

題意：

假設(shè)/IC"尸=04:4。，

,/Z.A=Z.B-a，

二MPCskBQP,

/.CPA=ZPQB，

而NPQB=NQPB=90°,

/CPA+NQPB=9G,

即CP1P。，

而此時(shí)，AC=6,則力尸=5x2-6=4,則〃8=48-力2=6,

而00=1x5=5,貝Ij80=8-5=3,

則"工30,

故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④由題意得，AP=2t-6,則P8=10—(2-6)=16-2,，QD=xt,則80=8-xf,

若MCP與MPQ全等，

則力。=q8且//P=4Q或4C=40且/!尸=4尸,

即6=16-2，且2-6=8-V或6=87且2-6=16-21,

解得：x=0.8或(，

故④正確，符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題為三角形綜合題，涉及到三角形全等和相似、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，分類求解是解題的關(guān)鍵.

18.(2023秋?興賓IX期中)如圖，在A4BC中，力。為8c邊的中線，E為力。上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交.4(7

于點(diǎn)F,若4EF=NFAE,BE=4,EF=1.6,則B的長(zhǎng)為2.4.

【分析】延長(zhǎng)力。至G,使。G=4O,連接8G,可證明A8OGMACO/(S/1S),則8G=4C,NCAD=NG,

根據(jù)"=M,ZC/iD=ZAEF,可證出NG=N8EG,即得出＜C=B￡=4,然后利用線段的和差即可

解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)力。至G,使OG=/。，連接8G,

A

，G

在MQG和ACD力中,

BD=CD

4BDG=Z.CDA,

DG=DA

/\BDGACDA(SAS),

BG=AC,Z.CAD=ZG,

Z.AEF=Z.FAE,

NCAD=Z.AEF,

???ZBEG=Z.AEF,

二Z.CAD=NBEG，

Z.G=ZBEG，

BG=BE=4,

:"C=BE=4,

?;NAEF=NFAE,

；.AF=EF=L6,

:.CF=AC-AF=4-l.6=2.4.

故答案為：2.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵.

19.12023秋?岳陽(yáng)樓區(qū)校媛期中)如圖，在A4AC中，N.4c“-90。，AC-3cm,RC-3cm,CO為.4月邊

上的高.

(1)若NECf=a,則NC48=_a_(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)，在直線8c上以每秒2c〃?的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)石作8c的垂線交直線C