【提升版】北師大版數(shù)學(xué)九上1.3正方形的性質(zhì)與判定同步練習(xí)

一、選擇題

1.如圖，E,F分別是正方形的邊BC,CO上的點，連接AE,AF,EF,乙氏4尸=45。，則下列結(jié)論中

一定成立的是（）.

A.BE+DF=EFB.BE+。尸=C.BE+DF=&ABD.AE+DF=V2AB

2.如圖所示，小明用七巧板拼成一個對角線長為4的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形，則

3.如圖，在正方形4BCD中，點E,F分別在邊BC,0C上，AE.4尸分別交BD于點M,N,連接

CN、EN,且CN=EN.下列結(jié)論：?AN=EN,AN1EN；（2）BE+OF=EF；③4DFE=

2乙4MN；@EF2=2BM2+2DN2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

4.如圖，在正方形48CD中，點M、N是對角線8。上的兩點，且NM4N=45。.若BM=3,DN=

A.5B.6C.7D.8

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，40=248=2,乙ABC=60。，E,F是對角線BD上

的幼點，且BE=DF,M,N分別是邊4。，邊BC上的動點.下列四種說法：

①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；

②存在無數(shù)個矩形MENF；

③存在無數(shù)個菱形MENF；

④存在無數(shù)個正方形MENF.其中正確的個數(shù)是()

C.3D.4

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4在y軸上，點B在工軸上，以力B為邊作正方形4BCD,點C的坐

標(biāo)(7,3)在一次函數(shù)y=kx+6上，一次函數(shù)與第軸交于點E,與y軸交于點F,將正方形4BCD沿工軸向

左平移Q個單位長度后，點。剛好落在直線EF上，貝b的值是()

7.如圖，正方形中，點E為邊延長線上一點，點?在邊8c上，且AE=CF,連接DF,

EF.若=則/4E/7=()

A.90°-2aB.450-aC.45°+aD.a

8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,E是AB邊延長線上一點，BE=2,F是AB邊上一點，將

△CEF沿CF翻折，使點E的疝應(yīng)點G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點H,則FH的長是

()

A.B.巫C.1D.在

333

二、填空題

9.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,在不添加任何輔助線的情況下，請你添

加一個條件,使矩形ABCD是一正方形.

10.如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點，Z1=Z2,則/BPC的度數(shù)

為1

11.如圖，E是邊長為6的正方形A8CD的邊48上一點，且4E=2,P為對角線8。上的一個動

點,則△APE周長的最小值是.

12.如圖，正方形A8CD功長為6,點E為CO邊的中點，連接8E,將△8CE沿8E翻折得到△BFE,延

KB/交4。于點G,則4G改為.

13.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分別為邊AB,BC的中點，連接AF,DE,點G,H

分別為DE,AF的中點，連接GH,則GH的長為

三、解答題

14.如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是OC上一點，OE=2,連垢EB.過點

A作AM_LBE,垂足為M,AM與BD相交于點F.求OF的長.

15.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZCAB,ZCBA的平分線相交于點D,作DE_LBC于點

E,DF1AC于點F.

A

I)

CEB

(I)求證：四邊形CEDF為正方形.

(2)若AC=6,BC=8,求CE的長.

16.如圖，有一張邊長為6的正方形紙片ABCD,P是AD邊上一點(不與點A,D重合)，將正方

形紙片沿EF折疊使點B落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于點H,連結(jié)BP.

(2)若P為AD中點，求四邊形EFGP的面積

(3)當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明.

17.如圖，在.正方形ARCD中,點M是AR邊卜的中點，將正方形ARCD沿DM折疊，使點A落

在點E處，延長ME交BC于點N,連結(jié)DN.

(2)求NMDN的度數(shù)；

(3)若AB:12,求BN的長.

18.如圖①，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，ZAEF=90°,且EF交正方形ABCD

的外角ZDCG的平分線CF于點F.

F

①②③

(I)如圖②，取AB的中點H,連結(jié)HE,求證：AE=EF.

(2)如圖③，若點E是BC的延長線上(除點C外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF"

仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：延長CO到G,使。G=8E,連接AG,

：,AD=AB,Z-ADG==90。，

9：DG=BE,

/.△ADGABEKAS),

：.LDAG=々BAE,AG=AE,

'：c￥AG=4DAG+^DAF=/LBAE+^DAF=45°=LEAF

???ZEAF=45°

JZBAE+ZDAF=90°-ZEAF=45°,

AZDAG+ZDAF=45°,

E|JZGAF=ZEAF=45°

在乙GAF^Ah.E4/7中，

AG=AE

￡.GAF=^EAF,

AF=AF

：.△GAF=△EAF(SAS)

:,EF=GF=GD+DF

：.EF=BE+DF,

因此，A一定成立，B、C、D不一定成立，

故答案為：A.

【分析】延長到G,使DG=BE,連接4G,先根據(jù)正方形的性質(zhì)和DG=BE得出△4DG三4

ABEKAS),得出/ZMG=/84E,AG=AE,進而求得NGAF二NEAF,即可證得△G4/三△

EAF(SAS),得到E9=G/=OG+0凡則E尸=8E+09，即可得出結(jié)論.

2.【答案】B

【解析】【解答】?.?正方形的對角線長為4,

二由圖可.得①和②兩個直角三角形的直角邊邊長為2VL

二長方形的對角線長為：k+(2a)2=2巡，

故答案為：B.

【分析】由正方形的對角線長為4可求得①和②兩個直角三角形的直角邊邊長，從而求得長方形的

長和寬，最后由勾股定理即可求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，將△/WE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至IJ△4則41=△4,AE=AH,

BE=DH,

H

BE

???四邊形/BCO是正方形，

AB=BC=AD,Z.BAD=乙ABC=90°,乙ABD=乙CBD=45°,

在A8M4和△BNC中，

BN=BN

乙NBA=乙NBC,

BA=BC

A△BNABNC(SAS),

:.AN=CN,乙NCE=LBAN,

，：CN=EN,

:?乙NEC=乙NCE=乙BAN,

?:乙NEC+乙BEN=180°,

:.乙BAN+乙BEN=180°,

：.LABCZ-ANE=180°,

:,乙ANE=90°,

:?AN=NE,AN1NE,故①正確；

H

VZ.1=",

，乙2十乙4=乙2十乙1=45°,

，乙3=4FAH=45°,

???AF=AF,AE=AH,

J.LAFE三△力rH,

；?EF=FH=DF+DH=DF+BE,(AFH=LAFE,故②正確;

*：LMAN=乙NDF=45°,乙ANM=乙DNF,

???乙力MN=Z-AFD=Z-AFE,

XVz/lFE=乙AFD,乙DFE=LAFE+Z.AFD,

???乙OFE=24AMN,故③正確：

???乙M4N=乙￡力尸，^AMN=LAFE,

；?&AMN?AAFE,

.\MM_AN

',~EF~=AEy

?:AN=NE,AN1NE,

???A4EN是等腰直角三角形，

A.4E=五AN,

,MH_AM_1

,,喬二酢=淳

：-EF=V2M?

如圖，將△A8M繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至必AOG,

則乙OAG=LBAM,AM=AG,^ADG=^ABM=45°,

???乙NOG=90。，即仆GDN是直角二角形,

丁乙MAN=45°,

：.LBAM+乙DAN=LDAG+LDAN=乙GAN=45°=乙MAN,

V.4/V=AN,

A△ANG"ANM(SAS),

:,MN=GN,

：.MN2=DN2+DG2=DN2+BM2,

2

??EF2=(V2MN)=2DN2+2BM2,

故④正確；

故答案為：A.

【分析將△A8E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ADH,則乙1二乙4,AE=AH,BE=OH,可證得△

BNAWXBNC,從而得至lb4N=CN,乙NCE=LBAN,進而得到/NEC=/NCE=々BAN,再由四邊

形內(nèi)角和定理可得力N=NE.ANINE.故①fl：確：再證明A4Q?三人力/H.可得EF=FH=DF+

DH=DF+BE,乙AFH=44FE故②正確；再ftUMAN=乙NDF=45°,乙ANM=乙DNF,可得

UMN=Z.AFD=^AFE,從而得到乙DFE=2乙AMN,故③正確；再證明△AMNAFE,△AEN

是等腰直角三角形，可得AE=&AN，從而得到E/=或M,將AABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到

△4OG,證明AANG三Zi/INM,可得MN=GN,再由勾股定理，可得￡7^=28M2+2ON2故④正

確，即可求解.

4.【答案】A

5.【答案】C

【蚱析】【解答】解：連接AC交BD于點O,連接MN,MF,NF,ME,NE,

四邊形ABCD是平行四邊形,

AOA=OC,AD〃BC,OB=OD

AZMAO=ZNCO,

在△MAO和^NCO中

/.MAO=乙NCO

AO=CO

（乙40M=乙CON

/.△MAO^ANCO(ASA)

AOM=ON：

VBE=DF,

???OE=OF,

，四邊形MENF是平行四邊形，

VM,N是邊AD,BC上的動點，點E,F是BD上的動點，

當(dāng)OM=ON時四邊形MENF一定是平行四邊形，

???存在無數(shù)個平行四邊形MENF,故①正確；

四邊形MENF是平行四邊形，

.,.當(dāng)MN二EF時，四邊形MENF是矩形，

VM,N是邊AD,BC上的動點，點E,F是BD上的動點，

???存在無數(shù)個矩形MENF,故②正確；

???點E,F是BD上的動點，

，只需MN_LEF,OM=ON,

就存在無數(shù)個菱形MENF,故③正確；

只要MN=EF,MN_LEF,OM=ON,則四邊形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一個，故④不符合題意；

???正確結(jié)論的個數(shù)有3個.

故答案為：C.

【分析】連接AC交BD于點0,連接MN,MF,NF,ME,NE,利用平行四邊形的性質(zhì)可證得

OA=OC,AD〃BC,OB=OD,利用平行線的性質(zhì)可得到NMAONNCO,利用ASA證明

△MAO^ANCO,利用全等三角形的性質(zhì)去證明OE=OF,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四

邊形，可證得四邊形MENF是平行四邊形，利用M,N是邊AD,BC上的動點，點E,F是BD上

的動點，可對①作出判斷；易證四邊形MENF是平行四邊形，利用對角線相等的四邊形是矩形，可

對②作出判斷；利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，利用點E,F是動點，可對③作出判

斷；只要MN=EF,MN_LEF,OM=ON,則四邊形MENF是正方形，這樣的正方形只有一個，可對

④作出判斷；綜上所述可得到正確結(jié)論的個數(shù).

6.【答案】B

【釋析】【解答】解：???點C的坐標(biāo)(7,3)在一次函數(shù)y=kx+6上，

A3=7k+6,貝心=_5,

二一次函數(shù)表達式為：y=-1x+6,

過點D作DGJ_y軸，過點C作CH_Lx軸,

VZABC=90°,AB=BC,

AZABO+ZCBH=90°,ZABO+ZOAB=90°,

AZCBH=ZOAB,

AOB^ABHC(AAS)

AOB=CH=3,BH=AO=OH-OB=7-3=4,

同理司得：AG=OB=3,GD=A0=4,

???0G=7,

???點D的坐標(biāo)為(4,7),

則點D向左平移a個單位長度后的坐標(biāo)為(4-a,7),

由己知可得：7二一方(4-a)+6,

解得：a點.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)點C的坐標(biāo)可得出直線EC的函數(shù)解析式y(tǒng)=-/+6,過點D作DG_Ly軸，過點C作

CHJLx軸，用AAS可證△AOB咨ZXBHC,得OB=CH,BH=AO,同理可得AG=OB,GD=AO,結(jié)

合線段的構(gòu)成可得點D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點的坐標(biāo)平移規(guī)律可得平移后的點的坐標(biāo)，代入EC的解

析式;可得關(guān)于a的方程，解方程即可求解.

7.【答案】B

【蟀析】【解答】解：連接E。，作尸GIIC。與4。交于G,如圖所示：

四邊形48co是正方形，

AD=DC,Z.EAD=乙DCF,AB||CD||FG,

???AE=CF,

EAD=△FCD{SAS}

?%LEDA=乙FDC,DF=DE,

:.LEDF=￡.EDA+^.FDA=Z.FDA+乙FDC=90°,

???乙DFE=45°

???AB||CD||FG,乙FDC=a

???LAEF=乙EFG,Z-CDF=乙DFG,

Z.DFE=乙EFG+Z.DFG

???乙DFE=/-AEF+Z-FDC=45°

LAEF=ZLDFE-AFDC=4S°-a.

故答案為：B

【分析】連接ED,作FGIICD與AD交于G,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到40=DC,LEAD=乙DCF，AB||

CD||FG,進而根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明△EAD=△FC0(S4S)即可得至此EDA=乙FDC,

DF=DE，從而結(jié)合題意運用平行線的性質(zhì)得到乙4E"=4E"G,乙CDF=￡DFG,再進行角的運算

即可求解。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是邊長為4的正方形，

AAB=AD=CD=CB=4,ZD=ZA=ZABC,

AZD=ZCBE=90°,

???由翻折可得：CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,

ARIACDG^RlACBE(HL),

???DG=BE=2,

AAG=AD-DG=4-2=2,

VAE=AB+BE=4+2=6,

22同，

???EG=〃G2+值=72+6=2

VAG2+AF2=FG2,且AF二6-EF,

/.22+(6-Eh)2=EH,

?.,聶G?FH另EFTG,

A|x2x^lOFH=ix^x2,

解得：FH=孚，

故答案為：B.

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式計算求解即可。

9.【答案】AB二AD（答案不唯一j

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，AB=AD,

.?.矩形ABCD是正方形.

故答案為：AB=AD.

【分析】鄰邊相等的矩形是正方形.

10.【答案】135

【蟀析】【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

AZACB=ZBAC=45°,

/.Z2+ZBCP=45°,

VZ1=Z2,

，N1+NBCP=45。，

VZBPC=180°-Z1-ZBCP,

AZBPC=135°,

故答案為：135.

【分析】先求出N2+NBCP=45。，再求出N1+NBCP=45。，最后計算求解即可。

11.【答案】2g+2

【解析】【解答】解：:四邊形ABCD為正方形，

???點A和點C關(guān)于BD對稱，

連接CE與BD交于P,

則P\4+P'E=P￡+P'E=CE,則當(dāng)點P和點P'重合時，PA+PE最小,

???正方形ABCD邊長為6,

：-AB=BC=6,ZABC=90°,

V.4F=2,

:?EB=4,

AEC=y/BC2+EB2=2底,

???△AP'E周長=4P'+P'E+AE=EC+AE=2m+2,

???△4PE周長的最小值是2g+2,

故答案為：2m+2.

【分析】連接CE與BD交于P,則PS+P￡=P'C+P'E=CE,則當(dāng)點P和點P'重合時，PA+PE

最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出EC的長度，進而即可求解.

12.【答案】2

【解析】【解答】解：連接GE,如圖：

???點E是CD的中點，正方形A8C0邊長為6,

ACE=DE=1CD=3,

乙

???將△8CE沿8E翻折得到^BFE,

/.BF=BC=6,EF=CE=DE,ZBFE=ZC=ZD=90°,

在RsEFG和RtAEDG中，

(EF=ED

LEG=EG'

ARtAEFG^RtAEDG(HL),

/.DG=FG,

設(shè)AG=x,則DG=FG=(6-x),

???BG=BF+FG=6+(6-x)=12-x,

在RsABG中，由勾股定理可得：BG2=AG2+AB2,

:.(12-x)2=x2+62,

解得：x=2,

故答案為:J

【分析】先證出RtAEFGRRSEDG(HL),可得DG=FG,再設(shè)AG=x,則DG=FG=(6-x),利用

勾股定理可得(12-x)2=x2+62,再求出x的值即可.

13.【答案】V2

【解析】【解答】解：連接AG,延長AG交CD于P,連接PF。

易證明△DGP咨AEGA,APG=AG,PD=AE

又TH是AF的中點，

???GH是ZkAPF的中位線，???GH§PF

VAE=1AB=2,CF=1BC=2

乙乙

/.DP=AE=2,ACP=2

APF=VCP2+CF2=2V2

AGH=V2

故答案為：V2.

【分析】連接AG,延長AG交CD于P,連接PF,證明△DGPgZ\EGA,得AG二PG,PD-AE,再

證明GH是△APF的中位線，用勾股定理計算出PF,可得出GH的長。

14.【答案】解：在正方形ABCD中，OA=OB,ZBOE=ZAOF=90°,

AM±BE,

AZBMF=ZAOF=90°,

VZAFO=ZBFM,

AZOAF=ZFBM,

.*.△AOF^ABOE（ASA）

AOF=OE=2.

【解析】【分析】根據(jù)ASA證明△AOF妾/XBOE,可得OF=OE=2.

15.【答案】（1）證明：過點D作DNJ_AB于點N,

VZC=90°,DE_LBC于點E,DF_LAC于點F,

.??ZDFC=ZC=ZDEC=90°,

???四邊形FCED是矩形，

又???NA,NB的平分線交于D點，

ADF=DE=DN,

???矩形FCED是正方形；

(2)解：VAC=6,BC=8,ZC=90°,

.,.AB=V/1C2+5C2=V62+82=10,

???四邊形CEDF為正方形,

???DF=DE=DN,

.\1DFXAC+1DEXBC+1DNXAB=1ACXBC,

C乙乙乙

則EC(AC+BC+AB)=ACxBC,

?FC_6x8

?3-6+8+10一，

【解析】【分析】（1）過點D作DN_LAB于點N,先根據(jù)“三個角是直角的四邊形是矩形”可得出四邊

形FCED是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得出DF=DE,即可得出四邊形CEO尸為正方形;

（2）先求出AB的長，然后利用“面積法”可求出CE的長.

16.【答案】（1）證明：由折疊得PE二BE,

/.ZEBP=ZEPB.

,/四邊形ABCD是正方形，

AZA=ZABC=ZEPG=90°,

AZAPB+ZEBP=90°,ZBPH+ZEPB=90°,

AZAPB=ZBPH.

(2)解：如圖①，作FMJ_AB于點M.

?IZABC=ZC=90°,

???四邊形MBCF是矩形，

AMF=BC=AB,ZBEF+ZABP=90°,ZBEF+ZEFM=90°,

AZABP=ZEFM.

在^ABP和^MFE中，

Z.A="ME,

AB=MF,

4ABP=乙MFE,

:ABP^AMFE(ASA),

AME=AP=1AD=3.

在RtZiAEP中，設(shè)AE=x,則EP=BE=6-x,

(6-x)2=x2+32,解得x=^,即AE=W，

.\CF=BM=AB-AE-EM=^,

4

品停+一作=當(dāng)

AS四邊形EFCP二S四邊形EFCB(CF+BE)-BC=66

（3）解：APDFI的周長不變，為定值12.證明如下:

如圖②，作BQ_LPG于點Q,連結(jié)BH.

API)

由(1)可知NAPB=/BPQ,

在4BPA和^BPQ中,

乙4=乙BQP,

￡.APB=乙QPB,

BP=BP,

.*.△BPA^ABPQ(AAS),

AAP=PQ.AB=BQ..

VAB=BC,

ABC=BQ.

VZBQH=ZC=90°,BH=BH,

ARtABHQ^RtABHC(HL),

ACH=QH,

???△PDH的周長DP+PH+DH=(DP+AP)+(CH+DH)-AD+CD^12.

【解析】【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得到PE=BE,進而證得NEBP=NEPB,再利用正方形的性質(zhì)得到

ZA=ZABC=ZEPG=90°,然后通過余角的性質(zhì)證得NAPB二NBPH.

(2)作FM_LAB于點M,易證四邊形MBCF是矩形，故可得MF=BC=AB,再通過余角的性質(zhì)證得

NABP二NEFM,由ASA判定△ABPgZ\MFE證得ME=AP=3,設(shè)AE=x,貝ljEP=BE=6-x,通過勾股

定理解出方程解得x的值，得到AE、CF的長度，然后通過梯形的面積公式計算出四邊形EFGP的

面積.

(3)作BQLPG于點Q,由(1)可知/APB=/BPQ,故可通過AAS判定△BPAg^BPQ得到

AP=PQ,AB=BQ,再利用HL判定RtABHQ^RtABHC得至ljCH=QH,進而計算的△PDH的周長

為12,是定值.

17.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

，AD二DC,NA=NO90。.

由折疊的性質(zhì)，得DE二AD,Zl)EM=ZA=90u,

AZC=ZDEN=90°,DC=DE.

I在RtACDN和RtAEDN中,

(DC=DEf

(DN=DN,

：.RtACDNgRsEDN(HL).

(2)解：由折疊的性質(zhì)，得NADM=NEDM.

VRIACDN^RIAEDN,

AZCDN=ZEDN.

:ZADM+ZEDM+ZCDN+ZEDN=90°,

/.ZMDN=ZEDM+CEDN=45°.

(3)解：???點