???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題05圖形的變化

考點01三視圖

1.（2025?浙江?中考真題）底面是正六邊形的直棱柱如圖所示，其俯視圖是（）

主視方向

A.

【答案】A

【分析】本題考查三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形，法行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，俯視圖為:

故選A.

2.（2024?浙江?中考真題）5個相同正方體搭成的幾何體主視圖為（）

D.

【答案】B

【分析】本題考行了簡單組合體的三視圖，主:視圖是從物體的正面看得到的視圖.找到從正面看所得到的

圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】解：從正面看，第一層是三個正方形，第二層靠左是兩個正方形.

故選:B.

3.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)衢州瑩白瓷的直口杯，它的主視圖是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)視圖的意義，從正面看所得到的圖形即可.

【詳解】

解：該電口杯的主視圖為\/

故選：D.

【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提.

4.（2023?浙江湖州?中考真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【答案】D

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案.

【詳解】解：???主視圖和左視圖是長方形，

???幾何體是柱體，

???俯視圖是圓，

???該幾何體是圓柱，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力.

5.（2023?浙江嘉興?中考真題）如圖的幾何體由3個同樣大小的正方體搭成，它的俯視圖是（）

【答案】C

【分析】找到從上面所看到的圖形即可.

【詳解】解：從上面看從下往上數(shù)，左邊有1個正方形，右邊有1個正方形,

工俯視圖是:

故選：C.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握三視圖.

6.（2023?浙江紹興?中考真題）由8個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（）

主觀方向

【答案】D

【詳解】

解：由圖可知該幾何體的主視圖是

故選：A.

【點睛】本題主要考查三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?浙江宇波?中考真題）如圖所示的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它的主視圖是（）

/主視方向

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何體的主視圖的含義可直接進行判斷.

【詳解】解：由題意可得：該幾何體的主視圖為

故選A.

【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?浙江金華?中考真題）某物體如圖所示，其俯視圖是（）

主視方向

D.V___

【分析】根據(jù)俯視圖的意義判斷即可.

故選B.

【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，正確理解俯視圖是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?浙江?中考真題)如圖，箭頭所指的是某陶藝工作室用于墊放陶器的5塊相同的耐火磚搭成的幾

)

主視方向

A.B.D.

【答案】D

【分析】主視圖為從正面看到的圖形，即可判斷.

【詳解】解：從正面觀察圖形可知，其主視圖分為兩層，上層中間1個小長方形，下層有3個小長方形，D

選

項符合;

故選：D

【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握主視圖是從正面看到的圖形.

考點02位似圖形

1.(2()23?浙江嘉興?中考真題)美術(shù)老師寫的下列四個字中，為軸對稱圖形的是()

JJJJ

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可.

【詳解】A、B、C選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

D選項的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是

軸對稱圖形；

故選：D.

【點睛】本題考查軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

考點03位似圖形

1.(2025.浙江?中考真題)如圖，五邊形A8C0&A夕UOE'是以坐標(biāo)原點。為位似中心的位似圖形，己知

點4A的坐標(biāo)分別為(2,0),(3,0).若DE的長為3,則"&的長為()

【答案】C

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到照=*=照=：,證明4D0E?△D'OE',即可求解.

OAOEOD3

【詳解】解：???五邊形ABCDE,AB'C'D'E'是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，點A,A'的坐標(biāo)分別為

(2,0),(3,0)

.OAOEOD2

??_—'-,-—--,—'-—--，

OAOEOD3

V[DOE=CDOE,

/.△DOEDOE,，

.DEOE2

?T-：=----：=一,

DEOE3

VDE=3,

??9

ADE=p

故選：C.

2.(2024?浙江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△48。與4片夕。'是位似圖形，位似中心為點0.若

點/(一3,1)的對應(yīng)點為4(一6,2),則點8(-2,4)的對應(yīng)點夕的坐標(biāo)為()

A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點A、A，的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?:△ABC與△A,B'C'是位似圖形，點人(一3,1)的對應(yīng)點為人’(一6,2),

???么A’B'C'VAABC的位彳以比為2,

???點B(-2,4)的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)為(-2x2,4X2),即(一4,8),

故選：A.

3.(2023?浙江嘉興?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△48。的三個頂點分別為/1(1,2),8(2,1),。(3,2),

現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△/WC的位似比為2的位似圖形△則頂點C'的坐標(biāo)是

A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)

【答案】C

【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：:△ABC的位似比為2的位似圖形是AAgC',且C(3,2),

C(2x3,2x2),即C'(6,4),

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

考點04三角函數(shù)與解三角形

1.(2023?浙江杭州?中考真題)如圖，矩形4BCD的對角線相交于點0.若乙力。8=60。，則普二()

BC

A,：B.號C.當(dāng)D禧

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出OA=OC=：AC,OB=OD=；BD,AC=BD,推出OA=OB則有等邊三角

形AOB,即BAO=60°,然后運用余切函數(shù)即可解答.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形,

?，OA=OC=1AC,OB=OD=1BD,AC=BD,

/.OA=OB,

VDAOB=60°,

△AOB是等邊二角形,

/.□BAO=60°,

???DACB=90°-60°=30°,

VtanEACB==:tan300=y,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出口BAOnGO。是解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江杭州?中考真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國占代數(shù)學(xué)家

趙爽的“弦圖如圖，在由四個全等的直角三角形（△。力￡>ABF,^BCGA和中間一個小正方形EFG”

拼戌的大正方形4BCD中，乙4BF>乙BAF,連接BE.設(shè)乙BAF=a.^BEF=夕，若正方形E”，與正方形4BCD

的面積之比為1：九,tana=taM/?,則〃=（）

【答案】C

【分析】設(shè)BF=AE=a,EF=b,首先根據(jù)tana=tan?。得到2a?+2ab=2b°,然后表示出正方形ABCD的

面積為AB?=3b2,正方形EFGH的面積為EF?=b2,最后利用正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:n

求解即可.

【詳解】設(shè)BF=AE=a,EF=b,

Vtana=tan2p,[iAFB=90°,

?譚=皆艮喙=(步

''—T=，整理得a?+ab=b2,

a+bb-

2a24-2ab=2b2,

VCAFB=90。，

/.AB2=AF2+BF2=(a+b)2+a2=2a2+2ab+b2=3b2>

???正方形ABCD的面積為AB?=3b2,

???正方形EFGH的面積為EF?=b2.

:正方形EFGH與正方形ABCD的司積之比為l:n,

??.解得n=3.

故選：C.

【點睛】此題考查/勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

3.（2023?浙江湖州?中考真題）如圖，標(biāo)號為①，?,③，④的四個直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形恰好

拼成對角互補的四邊形A8C。，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰Rt△月8￡和等腰Rt△

BCF,③和④分別是RtZkCDG和《△/MH,⑤是正方形EFGH,直角頂點￡F,G,〃分別在邊

BF,CG,DH,4E上.

fG

④

(I)若Er=3cm,AE+FC=11cm,則BE的長是cm.

(2)若需=：，則tanNDA”的值是.

【答案】43

【分析】(1)將AE和FC用BE表示出來，再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的長；

(2)由已知條件可以證明(Z1DAH=DCDG,從而得到tanDAH=tanLCDG,設(shè)AH=x,DG=5k,GH=4k,

用x和k的式子表示出CG,再利用tanDAH=tanCDG列方程，解出x,從而求出tanDAH的值.

【詳解】解：(1)???笈△ABE和RtaBCF都是等腰直角三角形，

AAE=BE,BF=CF,

VAE4-FC=llcm,

ABE+BF=11cm,

即BE+BE+EF=11cm,

即2BE+EF=11cm,

VEF=3cm,

BE=4cm>

故答案為：4：

(2)設(shè)AH=x,

??DG5

?―,

CH4

???可設(shè)DG=5k,GH=4k,

???四邊形EFGH是正方形，

AHE=EF=FG=GH=4k,

VRt△ABE和Rl△BCF都是等腰直角三角形，

AAE=BE,BF=CF,EABE=DCBF=45°,

ACG=CF+GF=BF4-4k=BE4-8k=AH4-12k=x+12k,

CABC=匚ABE+DCBF=45°+45。=90°,

???西邊形ABCD對角互補，

???[ADC=90°,

ADH+E]CDG=90。，

???四邊形EFGH是正方形，

AOAHD=CCGD=90°,

.*.[ADH+DDAH=90°,

/.DDAH=CCDG,

tanDAH=tanDCDG,

.DHCG5k+4kx+12k

??=，艮nn----=9

AHDGx5k

整理得：x2+I2kx—45k2=0,

解得X]=3k,x2=-15k（舍去），

.?.ta?nEfl-DA\HII=——Dll=—9k=3.

AH3k

故答案為：3.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，元二次方程的解法等，弄清

圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?浙江嘉興?中考真題）一副三角板4BC和DE/7中，zC=ZD=90°,zfi=30°,zF=45°,BC=

12.將它們疊合在一起，邊BC與EF重合,CO與48相交于點G（如圖1）,此時線段CG的長是，

現(xiàn)將△￡）￡＞尸繞點C（尸）按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,邊EF與力B相交于點“，連結(jié)在旋轉(zhuǎn)0。到60。的過

程中，線段?！睊哌^的面積是.

【答案】6V6-6V212兀-18百+18

【分析】如圖1，過點G作GH1BC于H,根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出BH=

V3GH,GH=CH,然后由BC=12可求出GH的長，進而可得線段CG的長；如圖2,將△DEF繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)60。得到AD|E|F,FE|與AB交于G1,連接D|D,AD”△D2E2F是△DEF旋轉(zhuǎn)0。到60。的過程中任意位

置,作DN1CD|于N,過點B作BM1D|D交DR的延長線于M,首先證明ZkCDD|是等邊三角形，點D|在

直線AB匕然后可得線段DH掃R的面積是弓形DRQ的面積加卜ADiDB的面積，求出DN和BM,然后根

據(jù)線段DH掃過的面積=S弓形DRC+S*DB=S扇形CD[D—SACD]D+SgDB列式計算即可?

【詳解】解：如圖1,過點G作GH_LBC于H,

圖1

VCABC=30°,DDEF=DDFE=45°,EGHB=DGHC=90°,

/.BH=V3GH,GH=CH,

??,BC=BH+CH=V3GH4-GH=12,

/.GH=6>/3—6,

.*.CG=V2GH=x/2x（6>/3—6）=6A/6—6x/2；

如圖2,將^DEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ADiEiF,FE1與AB交于G1，連接D】D,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CE|CB=DDCD）=60°,CD=CD］，

???么CDD|是等邊三角形，

VCABC=30°,

.,.□CGiB=90°,

???CGi=^BC,

VCE!=BC,

???CG]=；CE],即AB垂直平分CE|,

??NCD]E1是等腰直角三角形，

???點D]在直線AB上，

連接AD|,△D2E2F是△DEF旋轉(zhuǎn)0。到60。的過程中任意位置，

則線段DH掃過的面積是弓形DQD的面積加上aDiDB的面積,

VBC=EF=12,

???DC=DB=BC=6vL

/.D|C=DID=6A/2,

作DN1CDl于N,則ND〕=NC=g,

:.DN=JD[D2_ND]2=J(6Vf|2-(3V2)2=3限,

過點B作BM1D[D交D]D的延長線于M,則匚M=90°,

VCDiDC=60°,DCDB=90°,

???[BDM=180°-LDiDC-DCDB=30°,

???BM=(BD=3vL

???線段DH掃過的面積=S弓形DRC+Sg|DB，

SS

二S扇形CD]D-ACDtD+AD(DB*

二絲業(yè)二X6丘x3氓+』X6CX3S

3(HIz2,

=12兀-18V34-18,

故答案為：6V6-6\/2,12兀-18VJ+18.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運算，解直角三角形，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面枳計算等知識，作出圖形，證明點D1在直線AB上是本題的突破點，

靈活運用各知識點是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?浙江臺州?中考直題)如圖，點C,O在線段4R上(點C在點4,。之間)，分別以4/),RC為邊向

同側(cè)作等邊三角形力DE與等邊三角形C8凡邊長分別為a,b.C尸與DE交于點”，延長4E,BF交于點G,AG

長為c.

(I)若四邊形的周長與△CD4的周長相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為.

(2)若四邊形EHFG的面積與△COH的面積相等，則a,b,。之間的等量關(guān)系為.

【答案】5a+5b=7ca24-b2=c2

【分析】由題意可得：AABG為等邊三角形，四邊形EHFG為平行四邊形，AB=AG=c,(1)分別求得

四邊形EHFG的周長與ACDH的周長，根據(jù)題意，求解即可；(2)分別求得四邊形EHFG的面積與ACDH的

面積，根據(jù)題意，求解即可.

【詳解】解：等邊三角形ADE與等邊三角形CBF中，DA=DB=DEDA=OHCD=60°,

???ZiCDH和△ABG為等邊三角形，CFCAG,EDJBG

AAB=AG=BG=c,四邊形EHFG為平行四邊形，

乂二?等邊三角形ADE與等邊三角形CBF

GF=c—b,EG=c—a,AC=c—b?

/.CD=AD-AC=a+b—c,

(1)平行四邊形EHFG的周長為：2(FG4-EG)=2(c-b4-c-a)=4c-2a-2b,

△CDH的周長為：3CD=3a+3b-3c

由題意可得：3a+3b-3c=4c-2a-2b

即：5a+5b=7c；

(2)過點F作FM1EG,過點H作HN1CD,如下圖:

在Rt△FMG中，GF=c-b,CGMF=90°,G=60°,

Z.MF=GFxsin60°=

則平行四邊形EHFG的面積為EGxMF=叱乂山

在RtaCNH中，CH=a+b-c,[：CNH=90°,CHCN=60°,

v^3(a+b—c)

/.HN=CHxsin60y=

2

則ACDH的面積為：；xCDxHN=^(a+b-c)2

24

由題意可得：—(a+b-c)2=6(c-a)(c-b)

42

化簡可得：a2+b2=c2

故答案為：5a+5b=7c；a24-b2=c2

【點睛】此題考直了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段的長度.

6.(2023?浙江金華?中考真題)計算：(-2023)°+V4-2sin30°+|-5|.

【答案】7

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義，計算即可.

【詳解】解：原式=1+2-2x；+5,

=1+2-14-5,

=/.

【點睛】本題考查了零指數(shù)索、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義.本題的關(guān)鍵是

注意各部分的運算法則，細(xì)心計算.

7.(2024?浙江?中考真題)如圖，在中,4。1BC"E是BC邊上的中線,48=10,40=6,tan〃CB=1.

(1)求BC的長；

⑵求sin/DAE的值.

【答案】(1)14

<

【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解Rt^ADC與RtAADB,

得出DC=6,DB=8是解題的關(guān)犍.

(1)先由三角形的高的定義得出二ADB=□ADC=90。，再利用tanZ]ACB=1得出DC=6；在RtZkADB,

根據(jù)勾股定理求出DB=8,然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中線的定義求出BE的值，則DE=BD-BE,然后在Rl△ADE中根據(jù)正弦函數(shù)的定義即

可求解.

【詳解】(1)解：在RtZkABD中，AB=10,AD=6,

BD=VAB2-AD2=V102-62=8,

在Rt^ADC中，tan3ACB=^=1,

/.DC=6,

???BC=BD+DC=8+6=14；

(2):AE是BC邊上的中線，

???BE=；BC=7,

ADE=BD-BE=8-7=1,

AAE=VAD2+DE2=V62+I2=V37,

..CAUDEIV37

..sinDAE=-=-^==—.

AEV3737

8.(2023?浙江金華?中考真題)問題：如何設(shè)計“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？

圖I是搭成的“倍力橋”,縱

梁G,C夾住橫梁小使得橫梁

不能移動，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固.

圖2是長為/(cm),寬為3cm

的橫梁側(cè)面示意圖，三個凹

槽都是半徑為1cm的半

圓.圓心分別為

O1N,O2Q=03P=2cm,縱

梁是底面半徑為1cm的圓

柱體.用相同規(guī)格的橫梁、

縱梁搭“橋”，間隙忽略不

計.

探究1：圖3是“橋”側(cè)面示意圖，48為橫梁與地面的交點，為圓心，D,Hi，42是橫梁側(cè)面兩邊的交點.測

得48=32cm,點C到48的距離為12cm.試判斷四邊形COE/的形狀，并求,的值.

探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個多邊形.

①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二辿形乩/也…，12,求，的值；

②若有n根橫梁繞成的環(huán)(n為偶數(shù)，月刀之6),試用關(guān)于n的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形，I，2H3…%的

周長.

【答案】探究1：四邊形CDEIh是菱形，l=22cm；探究2：①1=(16+6VJ)cm；②(aJem

【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出CDEHi形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出AM長度，利用勾股定理即

可求出CA長度，從而求出1值.

探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知DCHiN=30。，利用特殊角正切值求出CH1長度，最后利用菱形的性質(zhì)

求出EH|的長度，從而求得1值.②根據(jù)正多邊形的特性可知ZICHN的度數(shù)，利用特殊角正切值求出CH1和

MN長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出EH|的長度，從而求得1值.

【詳解】解：探究I：四邊形CDEH1是菱形，理由如下：

由圖1可知，CDDEHpEDJCHp

.?.CDEH］為平行四邊形.

???橋梁的規(guī)格是相同的，

???橋梁的寬度相同，即四邊形CDEH|每條邊上的高相等，

???匚CDEH1的面積等于邊長乘這條邊上的高，

:.CDEH|每條功相等，

???CDEH］為菱形.

②如圖1,過點C作CM1AB于點M.

圖1

由題意，得CA=CB,CM=12,AB=32cm.

/.AM=:AB=16.

在RtaCAM中，CA2=AM2+CM2,

ACA=V162+122=A/400=20.

I=CA+2=22cm.

故答案為：1=22cm.

探究2：①如圖2,過點C作CN1H1%于點N.

圖2

由題意，WaH!CH2=120°,CH!=CH2,CN=3,

EiCHiN=30°.

.?.CH1=2CN=6,HIN=^=1=3V3.

又?必邊形CDEH|是菱形,

EH|=CH?=6.

.??1=2（2十6十3VJ）=（16+6V3）cm.

故答案為：1=（16+6\/5）cm.

②如圖3,過點C作CN_LH]H,F點N

N

圖3

由題意，形成的多邊形為正n邊形,

???外角"日見=?.

又??CH|=CH2,CN1H|H2,

???Hilb=2HIN=3.

tan——

故答案為：（備，cm.

【點睛】本題是一道生活實際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)

鍵在于將生活實際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì).

考點05三角形相似與相似性質(zhì)

1.（2023?浙江?中考真題）如圖，點。是△ABC的重心，點。是邊AC的中點，PEIIAC交BC于點E,。尸118c

交EP于點F,若四邊形CDFE的面積為6,則△A8C的面積為（）

A

A.15B.18C.24D.36

【答案】B

【分析】連接BD,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上，由三角形中線平分三角形的面積可知：SAABC=

2s4BDC，證明△DFPBEP和△BEPBCD,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答.

【詳解】解：如圖，連接BD,

?.?點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，P在BD上,

S"BC=2sABDC，

BP:PD=2:I,

???DFDBC,

???△DFPBEP

...^DFP=L

SABEP4

VEFDAC,

:.△BEP?△BCD,

?^BEP=/BP\2=⑶2=1

SABCDIBDJ\3/9,

設(shè)ZkDFP的面積為m，則△BEP的面積為4ni,△BCD的面積為9ni,

???匹邊形CDFE的面積為6,

二m+9m-4m=6,

m=I,

??.△BCD的面積為9,

.?.△ABC的面積是18.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江金華?中考真題）如圖，在Rt△力BC中，^ACB=90°,以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個正方

形，點尸在GH上，CG與EF交于點P,CM與BE交于點Q.若=FG,則^一竺”的值是（）

S正方形ABEF

（T

【答案】B

（分析】設(shè)HF=FG=a,正方形ACGH的邊長為2a,證明tanHAF=tanGFP,先后求得GP=；a,PC=；a,

BC=a,利用三角形面積公式求得S.BCQ=次，證明Rt△BQC-Rt△BPE,求得S^EP=；a2,S四邊形CQEP=

a2,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：:四邊形ACGH是正方形，且HF=FG,

設(shè)HF=FG=a,則AC=CG=GH=AH=2a,

???四邊形ABEF是正方形，

"AFP=90°,

.*.CHAF=90°-DHFA=UGFP,

AtanEHAF=tandGFP,即黑=*=：，

HAFG2

r.GP=；a,

2

/-PC=2a-!a=

同理tan[HAF=tanCAB,即手=77=；,

HAAC2

BC=a,

同理CQ=；a,

???PB=：a,

2

222

BQ=a4-Qa）=滑，SABCQ=|xax^a=^a,

VRtABQC-RtABPE,

?SABCQ_/BQ\2_ja2_I

（加）一濘一不

??SABEP=5SAB（：Q=ja'

.,S四邊形CQEP=SqBEP-S^BCQ=a",

???S正方形ABEF=AB?=AC2+BC2=（2a）2+a2=5a2,

?加邊形PCQE_a2_1

SiE方形ABEF5a25

故選:B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問撅.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在△/1BC中，。是邊上的點（不與點8,。重合）.過點。作OE||

交4c于點E；過點D作。*AC交4B于點凡N是線段B尸上的點，BN=2NF；M是線段DE上的點，OM=

2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

A.△4/E的面積B.尸的面積

C.ABCN的面積D.aOCE的面積

【答案】D

【分析】如圖所示，連接ND,證明AFBD八EDC,得出察=常由已知得出黑=骼則胃=*，又匚NFD=

EDECMEDEECMt

MEC,則aNFD?aMEC,進而得出匚MCD=IZ1NDB,可得MC||ND,結(jié)合題意得出S^MC=1S&DMC=

；S&MNC，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接ND,

A

VDEIIAB,DF匚AC,

???ECD=CJFDB,nFBD=DEDC,DBFD=DA,匚A=DEC.

AAFBD-AEDC,DNFD=OMEC.

.FB_FD

**ED-EC*

VDM=2ME,BN=2NF,

.\NF=jBF,ME=jDE

?NFBF

?.=—?

MEDE

,FD_NF

**rc-ME*

又：NFD=MEC,

△NFD?AMEC.

???匚ECM=DFDN.

FDB=IZECD

:.MCD=NDB.

AMCIIND.

SAMNC=SWDC-

VDM=2ME,

.?SAEMC=2^ADMC=2^AMNC-

,?*SADCE=SAEMC+SADMC?

SADCE=；SAMNC+SAMNC=IS^MNC?

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定和性

質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換.

4(2023?浙江衢州?中考真題)下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中,乙4cB=90°(AC<BC),

四邊形4CDE,CBFG是正方形.過點C,B將紙片CB”分別沿與力8平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并

與正方形4C0E,Zi/WC拼成圖2.

(1)若cos〃WC=j△力的面積為16,則紙片III的面枳為

4

⑵若新9則愛=——?

【答案】9字2：

【分析】(1)在圖1中，過C作CM1AB于M,由COS[3ABC=2,可得CT=：BC,CM=-AC,故CT?CM=

444

；BC-7AC=^BCAC,而△ABC的面積為16,即可得紙片HI的面積為:CT?BT=：CT?CM=9；

441622

(2)標(biāo)識字母如圖，設(shè)NT=I9t,證明△BFN三4CBW(ASA),可得BN=CW=34t,由^BCT-△WBT,

有CT-WT=BT2,即CT?(34t-CT)=(15t)2,可得CT=9t或CT=25t,而BK=CT,AK=WT,即可得

到答案.

【詳解】(1)在圖1中，過C作CM1AB于M,如圖：

vCTOAB,

ABC=DBCT,

VcosDABC=7，

4

???cosCBCT=p即*=

*TI5L*T

??.CT=：BC,

???DACM=900-DBCM=匚ABC,

cosDACM=cos匚ABC=即*=:,

CM=；AC,

4

339

.-.CTCM=；BC-AC=-BC-AC,

4416

???△ABC的面積為16,

^BC-AC=16,

???BC?AC=32,

CT-CM=18,

???紙片in的面積為;CT?BT=1CTCM=9；

故答案為：9；

(2)如圖：

C

..12=12

BQ15’

?_N_T—_19

"BT-15，

設(shè)NT=19t,則BT=15t,BN=34t,

???FBN=90°-CBN=CBCW,BF=BC,匚BFN=CBW=90°,

???△BFN三△CBW(ASA),

，BN=CW=34t,

???EBCT=CWBT,匚BTC=OWTB=90°,

BCTWBT,

BT_CT

AWT=BT*

/.CT-WT=BT2,

2

ACT-(34t-CT)=(15t),

解得CT=9t或CT=25t,

當(dāng)CT=9t時，WT=25t,這情況不符合題意，舍去；

當(dāng)CT=25t時，WT=9t,

而BK=CT,AK=WT,

BK25

AK--T,

故答案為:青

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，涉及正方形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形性質(zhì)與判定，銳角三角

函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定定理.

5.(2023?浙江杭州?中考真題)如圖,在△ABC中,58=47,乙4V90。，點D,E,尸分別在邊EB,5c上,

連接EF,尸O,已知點8和點尸關(guān)于直線OE對稱.設(shè)器=k,若AD=DF,則9=_______(結(jié)果用含k的

ABFA

代數(shù)式表示).

【答案】3

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明DEOAC,再證△BDEs^BAC,推出EC=；k?AB,通過證

明AABC-ZkECF,推出CF=：k2?AB,即可求出；的值.

2FA

【詳解】解：?.?點B和點F關(guān)于直線DE對稱，

???DB=DF?

vAD=DF,

，AD=DB.

vAD=DF,

:.DA=DDFA,

???點B和點F關(guān)于直線DE對稱，

:.UBDE=DFDE,

又OBDE+匚FDE=EJBDF=DA4-DDFA,

:.DFDE=DDFA,

:.DEIAC,

:.HC=HDEB.HDEF=FEFC.

???點,B和點F關(guān)于直線DE對稱，

???UDEB=UDEF,

:.DC=DEFC,

???AB=AC,

:.DC=OB,

在公ABCfUAECF中，

(QB=DC

lOACB=DEFC'

:.△ABCECF.

???在4ABC中，DE匚AC,

???[BDE=UA,OBED=DC,

???△BDEBAC,

:.—BE=—BD=一I,

BCBA2

???EC=；BC,

2

BC,

—AB=k,

???BC=k-AB,EC=1k-AB,

v△ABCECF.

AB_BC

EC-CF*

.AB_kAB

解得CF=；k2.AB,

.CF_CF_CF_*_k2

"FA-AC-CF-AB-CF-AB-^k2AB-

故答案為：

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

三角形外角的定義和性質(zhì)等，有?定難度，解題的關(guān)鍵是證明AABC?ZXECF.

考點06解三角形的應(yīng)用

1.（2023?浙江衢州?中考真題）如四，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿BC=V7a,

AB=b,力B的最大仰角為a.當(dāng)NC=45。時，則點4到桌面的最大高度是（）

D

A.a+-^―B.a4--r—C.a+bcosaD.a+bsina

cosasma

【答案】D

【分析】過點A作AFIBE于F,過點B作BG1CD于G,利用解直角三角形可得AF=bsina,BG=a,根據(jù)

點A到桌面的最大高度=BG+AF,即可求得答案.

【詳解】如圖，過點A作AF1BE于F,過點B作BGJLCD于G,

A

B

45°F匕

45、c

DG

在RtAABF中，AF=AB-sina=bsina,

在Rt△BCG中,BG=BC-sin450=V2aXy=a,

.,.點A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsina,

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形

解決問題.

2.（2023?浙江湖州?中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EQ

放在離樹（48）適當(dāng)距離的水平地面上的點尸處，再把鏡子水平放在支架（E尸）上的點E處，然后沿著直線8F

后退至點。處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A,再用皮尺分別測量8凡DF,EF,觀測者目高（CD）的

長,利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度.已知CD1BD于點、D,EF1BD于點、F,AB1BD于點B,BF=6

米，OF=2米，"=0.5米，CO=1.7米，則這棵樹的高度（力8的長）是米.

【答案】4.1

【分析】

過點E作水平線交AB于點G,交CD于點H,根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出ACHE?△AGE,再根據(jù)對應(yīng)邊成比例

解答即可.

【詳解】

過點E作水平線交AB于點G,交CD于點H,如圖,

A

???DH=EF=GB=0.5米，EH=DF=2米，EG=FB=6米,

/.CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2（米），

又根據(jù)題意，得匚CHE=DAGE=90°,CCEH=EAEG,

AACHEAGE,

..一EH=-CH即”總

EGAG

解得：AG=3.6米，

AAB=AG+GB=3.6+0.5=4.1（米）.

故答案為：4.1.

【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的對應(yīng)邊成

比例是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2025?浙江?中考真題）無人機警戒在高速公路場景中的應(yīng)用，是我國低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展的重要實踐

方向.如圖，在高速公路上，交警在A處操控?zé)o人機巡查，無人機從點A處飛行到點P處懸停，探測到它

的正下方公路上點8處有汽車發(fā)生故障.測得A處到P處的距離為500m,從點A觀測點。的仰角為a,cosa=

0.98,則A處到B處的距離為m.

【答案】490

【分析】利用仰角的余弦解答即可.

本題考查了仰角的計算，熟練掌握角的余弦是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得AB=APcosa=500x0.98=490m,

故答案為：490.

考點07解三角形的應(yīng)用綜合題

I.(2023?浙江嘉興?中考真題)圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)(整個頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能

被識別)，其示意圖如圖2,攝像頭力的仰角、俯角均為15。,攝像頭高度。力=160cm,識別的最遠(yuǎn)水平距

(1)身高208cm的小杜，頭部高度為26cm,他站在離攝像頭水平距離130cm的點。處，請問小杜最少需要下

蹲多少厘米才能被識別.

(2)身高120cm的小若，頭部高度為15cm,踮起腳尖可以增高3cm,但仍無法被以別.社區(qū)及時將攝像頭的

仰角、俯角都調(diào)整為20。(如圖3),此時小若能被識別嗎？請計算說明.(精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)sinl5。。

0.26,cosl5°a0.97,tan150*0.27,sin20°?0.34,cos20°*0,94,tan20°?0.36)

【答案】(l)12.9cm

(2)能，見解析

【分析】(1)根據(jù)正切值求出EF長度,再利用三角形全等可求出EF=DF=35.1(cm),最后利用矩形的性

質(zhì)求出CE的長度，從而求出蹲下的高度.

(2)根據(jù)正切值求出MP長度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm),最后利用矩形的性質(zhì)求出BP

的長度，即可求出BN長度，與踮起腳尖后的高度進行比較，即可求出答案.

【詳解】(1)解:過點C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E,D,交水平線于點F,如圖所示，

圖2

在Rt△AEF中，tanQEAF=—.

AF

:.EF=AF-tan15°=130x0.27=35.1(cm).

???AF=AF,DEAF=DDAF,LAFE=DAFD=90°,

???△ADF=△AEF.

:.EF=DF=35.1(cm).

???CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),ED=2EF=35.1x2=70.2(cm)>26(cm),

???小杜下蹲的最小距離=208-195.1=12.9(cm).

(2)解：能，理由如下：

過點B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點M,N,交水平線于點P,如圖所示，

在Rt^APM中，tanMAP=—.

AP

MP=AP-tan20°=150x0.36=54.0(cm),

vAP=AP,匚MAP=DNAP,EAPM=LAPN=90°,

???△AMP=△ANP.

PN=MP=54.0(cm),

BN=BP-PN=160-54.0=106.0(cm).

小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3=123(cm).

???小若頭頂超出點N的高度123-106.0=17.0(cm)>15(cm).

???小若墊起腳尖后能被識別.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及到的知識點有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性

質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識.解題的重點在于熟練掌握

相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法.

2.(2023?浙江紹興?中考真題)圖I是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱04垂直地面。氏支架CD與。4交

于點4支架CG1CD交。力于點G,支架DE平行地面。8,籃筐EF與支架0E在同一直線上，。力=2.5米，4。=

0.8米，LAGC=32°.

⑴求ZG4C的度數(shù).

(2)某運動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在黨子匕最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃

網(wǎng)嗎?請通過計算說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin32°?0.53,cos32°?0.85,tan32°?0.62)

【答案】(1)58°

(2)該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；

(2)延長OA,ED交于點M,根據(jù)題意得出HADM=32。，解RtAADM,求得AM,根據(jù)OM=OA+AM與

3比較即可求解.

【詳解】(1)解：TCGICD,

/.□ACG=90。，

AGC=32°,

/.DGAC=90°-32°=58°.

(2)該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下.

如圖，延長OA,ED交于點M,

VOA1OB,DE||OB,

?'?口DMA=90°,

XVUDAM=GAC=58%

/.□ADM=32°,

在Rt△ADM中，AM=ADsin32°?0.8x0.53=0.424,

AOM=OA4-AM=2.5+0.424=2.924<3,

???該運動員能掛上籃網(wǎng).

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

3.(2023?浙江?中考真題)如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備

上增加一條管道力一。一C,已知DC18C,AB1BC,LA=60°,AB=11m,CD=4m,求管道A—。一C的

總長.

【答案】18m

【分析】如圖：過點D作DE_LAB于點E,由題意易得BE=CD=4,進而求得AE=7,再通過解直角三角

形可得AD=AE+cos60°=14,然后求出AD+CD即可解答.

【詳解】解：如圖：過點D作DE1AB于點E,

由題意，得BE=CD=4,

VAB=II,

AAE=7.

〈口A=60。，

AAD=AE-?cos60°=14.

AAD+CD=I8(m).即管道A-D-C的總長為18m.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意求得AD=AE+cos6()。=14是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2023?浙江臺州?中考真題）教室里的投影儀投影時，可以把投影光線C4CB及在黑板上的投影圖像高

度抽象成如圖所示的△力8C,LBAC=90°.黑板上投影圖像的高度A8=120cm,CB與AB狗夾角=

33.7°,求AC的長.（結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin33.70?0.55,cos33.7°?0.83,tan33.7°?0.67）

【答案】AC的長約為80cm

【分析】在Rt^ABC中，由AC=AB,tan33.7。，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

【詳解】解：在RtA