2023-2025全國高考真題數(shù)學(xué)匯編

雙曲線

一、單選題

1.（2025全國高考真題）已知雙曲線C的虛軸長是實(shí)軸長的近倍,則C的離心率為（)

A.41B.2c.V7D.272

2.（2025北京高考真題）雙曲線x?_4必=4的離心率為（）

V5「5

A.—B.TcID.V5

2

3.（2024全國高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0,4）,（0,-4）,點(diǎn)（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線

的離心率為（）

A.4B.3C.2D.V2

4.（2025上海高考真題）已知/（0,1）,8（1,2）,C在「：--「=^l,yN0）上，貝W/BC的面積（）

A.有最大值，但沒有最小值B.沒有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既沒有最大值，也沒有最小值

22

5.（2023天津高考真題）已知雙曲線=-彳=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為4外過耳向一條漸近

ab

線作垂線，垂足為P.若|尸月|=2,直線尸片的斜率為變，則雙曲線的方程為（）

6.（2023全國高考真題）設(shè)48為雙曲線--1=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（）

A.（1,1）B,（-1,2）C.（1,3）D,（-1,-4）

22

7.（2023全國高考真題）已知雙曲線C:三-4=1（"0,6>0）的離心率為逐，C的一條漸近線與圓

ab

（x-2『+（y-3）2=l交于48兩點(diǎn)，貝UM/=（）

22

8.（2024天津高考真題）雙曲線與一七=1（°>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用斗點(diǎn)尸在雙曲線右支上,

直線尸耳的斜率為2.若APGB是直角三角形，且面積為8,則雙曲線的方程為（）

9.（2023上海高考真題）在平面上，若曲線「具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)使得對(duì)于任意點(diǎn)尸e「，都有。e「

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使得忸=則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”.判斷下列兩個(gè)命題的真假()

①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”.②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線.

A.①假命題；②真命題B.①真命題；②假命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

二、多選題

22

10.(2025全國高考真題)雙曲線C:5-2=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是￡、外，左、右頂點(diǎn)分別為

ab

4,4,以片耳為直徑的圓與C的一條漸近線交于林N兩點(diǎn)，且學(xué)，貝()

6

A.乙4m巴B.|M4j=2|M42|

6

C.C的離心率為布D.當(dāng).=夜時(shí)，四邊形乂41M42的面積為8出

三、填空題

11.(2023北京高考真題)已知雙曲線。的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為血，則。的方程為.

2

12.(2024北京高考真題)若直線y“(x-3)與雙曲線3-r=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝的一個(gè)取值

為.

22

13.(2024全國高考真題)設(shè)雙曲線C:\-4=1(“>0,6>0)的左右焦點(diǎn)分別為與Fi，過用作平行于了軸

ab

的直線交C于a2兩點(diǎn)，若|片/|=13,|4為=10,則C的離心率為.

22

14.(2023全國高考真題)已知雙曲線C:三-4=1(“>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為百，耳.點(diǎn)A在C上，

ab

點(diǎn)3在y軸上，百1陌，項(xiàng)=-”,則c的離心率為.

四、解答題_

15.(2023全國高考真題)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2百,0),離心率為近.

(1)求。的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,過點(diǎn)(-4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線

M4與N4交于點(diǎn)、P.證明:點(diǎn)尸在定直線上.

16.(2024上海高考真題)已知雙曲線「：/-；=1伍>0),左、右頂點(diǎn)分別為44,過點(diǎn)初(-2,0)的直

線交雙曲線「于尸，。兩點(diǎn).

(1)若T的離心率為2,求氏

⑵若6=個(gè),尸為等腰三角形，且點(diǎn)尸在第一象限，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)連接。。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交：T于點(diǎn)火，若乖?衣=1,求。的最大值.

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參考答案

1.D

【分析】由題可知雙曲線中。1的關(guān)系，結(jié)合/+/=，和離心率公式求解

【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為2%26,2c,

由題知，b=yfla,

于是/+從=c2=a2+la1=&z2,貝【Jc=2叵a,

即e=9=2板.

a

故選：D

2.B

【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出。力,0,即可求出離心率.

丫2

【詳解】由一一4V2=4得，—~y2=l,所以/=4萬=112=/+/=5,

4

即。=2,c=指，所以e=￡=4^,

a2

故選：B.

3.C

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得2〃，即可得離心率.

【詳解】由題意,設(shè)￡（0,-4）、鳥（0,4）、P（-6?4）,

則上刃=2c=8,戶片|二J62+（4+41=io,|%=游+任—葉=6,

貝1]2〃=|阿卜|%|=10—6=4,貝ije=||_=2=2.

故選：C.

4.A

【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為（。，6）,得出將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于6的函數(shù)，分析其單調(diào)性，從

而求解.

【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為（。涉），貝I」/一/=i,貝1〃=房公，

七B=N=1，48方程為：y-l=x,即x-y+l=0,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，（。/）到AB的距離為：”-+=妞壬"1,

V2V2C

設(shè)/'（6）=J/+1-6=—J--

"r2+1+6

由于630,顯然關(guān)于b單調(diào)遞減，/（/））_=/（0）,無最小值，

即V/8C中，邊上的高有最大值，無最小值，

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又45一定，故面積有最大值，無最小值.

故選：A

5.D

ebb.,1I

【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出6,設(shè)/尸。鳥=8,由tan8=^=［得到|0尸|=°,口閭陞.再由

三角形的面積公式得到力，從而得到巧＞,則可得到，—=我，解出。，代入雙曲線的方程即可得到答案.

a2+24

【詳解】如圖，

W

7TV

因?yàn)楣?c,0),不妨設(shè)漸近線方程為y=2》，即云-即=0,

a

所以|叫=嚴(yán)2="=b,

所以6=2.

ppbb

設(shè)則tan8=^=畫=/,所以|OP|=a,所以工|=c.

因?yàn)?1尤1=］。?力，所以孫=竺h，所以tane="=￡—=d所以馬=土2，

c

一一xpxpac

所以尸件夕

因?yàn)镋(-c,o),

ab

ab2aa

所以上缶=p-c=/^=力+°2+4=77^-彳V2，

——+c

c

所以收S+2)=4°,解得°=也，

所以雙曲線的方程為巨-反=1

24

故選：D

6.D

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得七s%=9,對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)

于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

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x+x

【詳解】設(shè)，（而，必）,8（.,%）,則43的中點(diǎn)Ml2

22

%+)’2

可得34人二?

項(xiàng)一12占+%2X1+X2

2

/_療-1

22

Q,2,2一,

因?yàn)?8在雙曲線上，則2,兩式相減得Xj-x2

4得=1

2_2

所以的B4=上學(xué)=9.

對(duì)于選項(xiàng)A：可得上=1,3=9,則/8:y=9x-8,

y=9x-8

2

聯(lián)立方程2y,消去y得72/-2x72x+73=0,

X--=1

9

止匕時(shí)△=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,

所以直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

9Q5

對(duì)于選項(xiàng)B：可得后=—2,左”二—'，則

95

y=——x----

聯(lián)立方程〈22，消去>得45—+2x45x+61=0,

X----1

I9

止匕時(shí)△=（2X45）2-4X45X61=-4X45X16<0,

所以直線45與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,左相=3,貝（J/5:>=3x

由雙曲線方程可得。=1/=3,貝IJ45:歹=3x為雙曲線的漸近線,

所以直線45與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

9Q7

又寸于選項(xiàng)D：k=4,kAB=—,貝

97

y—x—

44

聯(lián)立方程2,消去y得63x2+126x-193=0,

x2-J

9

此時(shí)A=1262+4X63X193>0,故直線45與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確;

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

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【詳解】由0=右，則＜=￡4^=1+1=5,

aaa

解得2=2,

a

所以雙曲線的漸近線為y=±2x,

當(dāng)漸近線為＞=-2x時(shí)，圓心(2,3)到該漸近線的距離d42二^1=攣＞1,不合題意;

V22+l5

當(dāng)漸近線為y=2x時(shí)，貝IJ圓心(2,3)到漸近線的距離d=口：2-3|=正，

V22+l5

所以弦長|AB\=2\jr2-d2=2jl一?=~~~?

故選：D

8.A

【分析】可利用AP耳心三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)|尸耳上小，由面積公式求出〃%由

勾股定理得出，，結(jié)合第一定義再求出”.

【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)P必落在第四象限，/片尸月=90。，設(shè)歸巴|=機(jī)，

2

4&耳=4/尸￡K=4,由即「tanq=2,求得sin。產(chǎn)主，

因?yàn)?4尸石=90。，所以心亡原乃=一1,求得％=:，即tanq=；,

22

0山82=白，由正弦定理可得：|尸片|：|尸閶：閨閶=singisin%：sin90。=2:1

則由|尸閶=冽得歸耳|=2端耳引=2c=45m,

由SgA=/力訃盧聞=加=8得加=2行，

則\PF2\=26閘=4倉舊工|=2c=2限=而,

22

由雙曲線第一定義可得：忸刷-忸用=2a=2&,a=41,b=^c-a=

22

所以雙曲線的方程為二-匕=1.

28

故選：A

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9.B

【分析】由新定義求解曲線上任一點(diǎn)尸到定點(diǎn)/距離的取值范圍A,當(dāng)任意xe",都有時(shí)，曲線滿

足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷，

22

【詳解】對(duì)于①，不妨設(shè)橢圓方程為二+占=1（°>6>0）,

ab

則橢圓上一點(diǎn)P到W距離為

|PM\=J（x―加尸+y2-/一吟2+/_^x2=jl-2-2mx+m2-^-b2,-a<x<a,

X---m----zj

當(dāng)機(jī)〉。時(shí)，對(duì)稱軸b2,可得|尸A/|e[zM-a,zw+a],

1-F

a

總存在加使得（加-。）（加+。）=1,此時(shí)滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，

對(duì)于②，對(duì)于給定的雙曲線和點(diǎn)P,顯然1PMi存在最小值，而M橫坐標(biāo)趨近于無窮大時(shí)，I尸河I趨近于無

窮大，1PMie的,+咐，故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”故②錯(cuò)誤，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)M距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙

曲線的性質(zhì)判斷即可.

10.ACD

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由片MLB"且|加。|=。結(jié)合”在漸近線上可求M的坐標(biāo)，從而可

判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得02=13/,計(jì)

算后可判斷C的正誤，或者利用韶=?=百并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出面

積后可判斷D的正誤.

【詳解】不妨設(shè)漸近線為y=2x,M在第一象限，N在第三象限，

a

對(duì)于A,由雙曲線的對(duì)稱性可得4M為平行四邊形，故N4M兀-?=?,

故A正確；

對(duì)于B,方法一：因?yàn)镸在以丹區(qū)為直徑的圓上，故且|MO|=c,

222

%+%=c

x=a

設(shè)M（Xo，%）,則，,,故0故也。出，

b

21=2,y0=

x0a

由A得幺"=弓,故四|=必,等即四人乎網(wǎng)|,故B錯(cuò)誤;

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a

則cosZMO4=q,又因?yàn)橐耘c與為直徑的圓與。的一條漸近線交于M、N,則(W=c,

C

則若過點(diǎn)初往X軸作垂線，垂足為H,則|OH|=c/=a=pL|，則點(diǎn)H與4(8)重合，則血/匕軸，則

方法三：在^OMA2禾IJ用余弦定理知,|四2『=|<W『+3J-2\)M\pA2\COSZMOA2,

2222

BP|A￡42|=c+a-2ac--=b,貝,

則為直角三角形，且乙4M則21Ml=&孫I，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,方法一：因?yàn)檩?3(可+限)，故4折=麗甲+2西?成+祝r,

由B可知|跖勾=①|(zhì)向1|=￥6，

故花=2/+2*八巫除蟲=-b2=-(c2-^BPC2=13?2,

33233、,

故離心率e=&L故C正確；

方法二因?yàn)榻??=百，貝lj2=2G,則e，「用J1+(2V5?=g故C正確;

|44|2?aa\a2

對(duì)于D,當(dāng)°=近時(shí)，由C可知e=J13,故°=而，

故6=2",故四邊形乂41設(shè)42為2sAM4出=2x1x2V6x272=873,

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故D正確，

故選：ACD.

22

11.匕-匕=1

22

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.

【詳解】令雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長分別為。力，顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦

距c=2,

由雙曲線C的離心率為VL得￡=血，解得則6=7717=收，

a

所以雙曲線C的方程為片-X=l.

22

故答案為：--^=1

22

12.；(或-5，答案不唯一)

22

【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.

叵21

【詳解】聯(lián)立4〉，化簡并整理得：(1-"2)/+24左2工-36左2一4=0,

y=k(x-3)

2

由題意得1一4"2=0或A=(24^2)+4(36/+4)(1—4左2)=0,

解得左=±；或無解，即左=士;，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故答案為：y(或-!，答案不唯一).

22

13.3

2

卜分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|工月|,結(jié)合雙曲線第一定義求出H周，即可得到4也。的值，

從而求出離心率.

22

【詳解】由題可知4民工三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將X=c代入寫一看=1

ab

得y=±d,即__5故|，同=^-=1。，|/8|=匕=5,

又|/耳卜|48卜勿，得|/耳卜閶+2“=2〃+5=13,解得”4,代入貴=5得/=20,

a

r63

^Cc2=a2+b2=36,,即c=6,所以e=—=—=—.

a42

故答案為：!3

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y/

TPf

14.竽/|石

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到H閶,忸閶，忸用國關(guān)于。，加的表達(dá)式，

從而利用勾股定理求得。=m,進(jìn)而利用余弦定理得到出。的齊次方程，從而得解.

52

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得t2=4c2,將點(diǎn)A代入雙曲線C

得到關(guān)于4c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)舊居|=2加,則忸可=3加明|=20+2機(jī)，

在RM/B/中，9m2+(2a+2m)2-25m2,則(a+3m)(。-加)=0,故。=加或°=-3%(舍去),

所以耳|=4，W&=2a,忸國=忸周=3°,貝J|48|=5a,

AF_4a_4

故cosN耳/匕X

AB5a5

所以在△/『，CM"」6m丁「整理得…獷

依題意，得G(-c,0),&(c,0),令/(%%)/(0,0,

__??__?o52

因?yàn)槊?=-§與8,所以--CJ),則Xo=y=-丁，

又瓦^其瓦所以即?旗=(|c廠彳)?(cj)=|c2-寧2=0,則r=402,

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又點(diǎn)A在C上，則3c2§廣整理得當(dāng)-冬=1,則與-與=1,

丁一『1財(cái)9bz9/9bz

所以25cV-16cV=9a*BP25c2（c2-a2）-l6a2c2=9/（c?一叫，

422422222222

整理得25c-50ac+9a=0,^（5c-9a）（5c-a）=0,解得5c=9a或5c=a,

又e>l,所以e=述或e=在（舍去），故e=±5.

555

故答案為：走.

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定

理得到關(guān)于Ac的齊次方程，從而得解.

⑵證明見解析.

【分析】（D由題意求得出，的值即可確定雙曲線方程；

（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線M4與^42的方程，聯(lián)立直線方程,

消去兒結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得吃=-：，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)P在定直線》=-1上.

x-23

【詳解】⑴設(shè)雙曲線方程為==1（“>0,6>0）,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2右，

ab

貝11由。=￡=后可得〃=2,b=Vc2-a2=4,

a

雙曲線方程為E-口=1.

416

（2）由⑴可得4（-2,0）/（2,0）,設(shè)

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線"N的方程為》=叼-4,且一;<加<；,

與二-匕=1聯(lián)立可得（4療-1）/_32加y+48=0,且△=64（4加2+3）>0,

416

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直線的方程為了=三(工+2),直線附2的方程為y=f(x-2),

再+2%—2

聯(lián)立直線MA,與直線NA2的方程可得：

x+2=%(X]+2)=%(町-2)=叩曲一2瓦+%升2%

x-2yt(X2-2)yt(my2-6)myxy2-6yi

48_32m_-16m.

m-------2---5——+2y.—5+2y,1

=4療一14"一1-[4〃展].[_J.

4848m3'

由x弋+2=一:1可得》=-1,即號(hào)=T,

x-23

據(jù)此可得點(diǎn)p在定直線X=-1上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,

其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

16.(1)Z)=V3;

(2)當(dāng)6=濁時(shí)，*2,2拒)；

(3)6的最大值為深.