人教版八（上）數(shù)學(xué)第十三章單元質(zhì)量檢測(cè)培優(yōu)卷

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)——總分

評(píng)分

第回卷客觀題

閱卷人一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

得分的。（共10題；共30分）

1.（3分）直角三角形中兩個(gè)銳角的平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為（）

A.90°B.135°

C.120°D.45°或135°

2.（3分）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180?！睍r(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖四種

輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180?！钡氖牵ǎ?/p>

①②③④

A.如圖①，過(guò)點(diǎn)。作EFIIA8

B.如圖②,延長(zhǎng)4c到F,過(guò)點(diǎn)C作CEII4B

C.如圖③，過(guò)上一點(diǎn)。作OE||BC,DF||AC

D.如圖④，過(guò)點(diǎn)。作。EIIBC

3.（3分）小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，貝IJ/1+42等于

（）

4.（3分）如圖，點(diǎn)D是△48C邊8C上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是40上一點(diǎn)且DE=3AE,F、G是

邊.46上的三等分點(diǎn)，若四邊形rGOE的面積為14,則△ABC的面積是（)

5.（3分）如圖，為直角三角形，Z.ACB=9UU,AO為NCA4的平分線，與NA8c

的平分線8E交于點(diǎn)E,8G是A/WC的外角平分線，AO與BG相交于點(diǎn)G,則乙4DC

與NG8尸的和為（）

A.120°B.135°C.150°D.160°

6.（3分）如圖，線段48、CD相交于點(diǎn)。，連接A。、CB,4048和N8CO的平分線

AP和CP相交于點(diǎn)P,則NP與ND、N8之間存在的數(shù)量關(guān)系為（）

1

A."=2（48一4）B."=拼口？+乙0）

C."=卜8+40D."=48+上。

乙乙

7.（3分）如圖，48_1。。于點(diǎn)0,點(diǎn)￡\尸分別是射線。小0C上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重

合），延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G,M0F的角平分線及其反向延長(zhǎng)線分別交“EO、“E0的角平分線

2/35

于點(diǎn)M、N.若△MEN中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則乙1。為（).

B.30°或60。

C.45?；?0。D.67.5?；?5。

8.（3分）如圖，^ABC中，ZACB=90°,D為AB上任一點(diǎn)，過(guò)D作AB的垂線，分

別交邊AC、BC的延長(zhǎng)線于EF兩點(diǎn)，NBACNBFD的平分線交于點(diǎn)I,AI交DF于點(diǎn)

M,FI交AC于點(diǎn)N,連接BI.下列結(jié)論：①NBAC二NBFD；@ZENI=ZEMI；

@AI±FI；@ZABI=ZFBI；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.（3分）在直角三角形48c中，ZC=90°,454C的平分線力。交"于點(diǎn)0,"BC的平

分線8E交AC于點(diǎn)E,AD.8E相交于點(diǎn)/，過(guò)點(diǎn)。作0GII48,過(guò)點(diǎn)8作8G1DG于點(diǎn)G,

有以下結(jié)論：@Z-AFB=135°：②乙BDG=2乙CBE；③BC平分乙A8G；@LBEC=

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（3分）如圖，已知△48C的內(nèi)角41=a,分別作內(nèi)角/ABC與外角24co的平分線,

兩條平分線交于點(diǎn)4,得乙%;乙和乙&CO的平分線交于點(diǎn)42,得〃2；……以此

類推得到乙必。22,則乙42。22的度數(shù)是（）

為.

可得

出觀測(cè)點(diǎn)的地理坐標(biāo).

在圖2所示的“六分儀原理圖”中，所觀測(cè)星體記為S,兩個(gè)反射鏡面位于A,B兩處,

B處的鏡面所在直線FBC自動(dòng)與0。刻度線4E保持平行（即8C||4E）,并與A處的鏡面所

在直線NA相交于點(diǎn)C,S4所在直線與水平線M8相交于點(diǎn)D,Z.EAC=co,觀測(cè)角4SOM二

第團(tuán)卷主觀題

本大題共8小題，共75分（共8題；共75

16.（9分）將一把直角尺放置在鈍角△ABC（NBAO90。）上，使得點(diǎn)8、C分別在該

直角尺的兩條直角邊OE、DF上,且直角頂點(diǎn)Q與點(diǎn)A在8C邊的同側(cè).

D

A

（I）（4.5分）如圖，點(diǎn)A在直角尺內(nèi)部.

①若NA=120。，NA8￡>=10。，求NACD的度數(shù)：

②若NA=a,ZABD=p,求NACO的度數(shù)（用含a、0的式子表示）.

（2）（4.5分）改變直角尺的位置，使點(diǎn)A在直角尺外部，其它條件不變，探索

NABD、ZACD.NA三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

17.（9分）如圖1,AB/7CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,求NAPC的度數(shù).

小明的思路是：過(guò)P作PE〃AB,通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求NAPC.

（1）（3分）按小明的思路，求/APC的度數(shù)；

（問(wèn)題遷移）

（2）（3分）如圖2,AB〃CD,點(diǎn)P在射線0M上運(yùn)動(dòng)，記/PAB=a,NPCD=[3,

當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)NAPC與a、（3之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（問(wèn)題應(yīng)用）

（3）（3分）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、

B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出NAPC與a、。之間的數(shù)量關(guān)系（并畫出相應(yīng)的圖形）.

18.（9分）如圖，線段AC與8D相交于F,點(diǎn)G、”分別是力。延長(zhǎng)線、BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

線段DE在4GDF內(nèi)部，線段EC在4HCF內(nèi)部.四邊形DECF始終為凸四邊形，且有

（Q+1）4GDE=/GDF,bz.HCE=Z.ECF,Q、b均為正數(shù).

6/35

圖3

(1)(3分)若Q=b=1,^DAC=30°,乙DBC=35°,Z.EDF=40°,如圖1,求

△EC尸度數(shù)；

（2）（3分）若a=4,^DAC=30°,^DBC=40°,如圖2,則當(dāng)N/WB變化時(shí)，b為

何值時(shí)，乙E為與a、b無(wú)關(guān)的定值？

（3）（3分）若44。=乙。8。=戊為定值，如圖3,貝ija和b滿足關(guān)系式時(shí)，

為與a、b無(wú)關(guān)的定值.

19.（9分）如圖，△ABC中，AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,AE_LBC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在

AE上且CF〃AD.

（1）（3分）如圖①，若△ABC是銳角三角形，NB=30。，NACB=80。，則NCFE

=度.

（2）（3分）如圖①，若△ABC是銳角三角形，ZACB>ZB,ZB=x,ZACB=

y,則NCFE=（用含x,y的代數(shù)式表示）.

（3）（3分）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，/ACB為鈍角，其余條件不變，則

（2）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由.

為ZBOD是△POD的外角，故ZBOD=/BPD十/D,得NBPD=ZB—ND.將點(diǎn)P移

到AB,CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，則

ZBPD,ZB,ND之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）（3分）在圖②中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)

Q,如圖③，貝”BPD,ZB,ZD,/BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）（3分）根據(jù)（2）的結(jié)論，求圖④中NA+/B+/C+/D+NE的度數(shù).

21.（9分）如圖①，在△48。中，/ABC與4AC4的平分線相交于點(diǎn)匕

（1）（3分）若乙4=60。，則的度數(shù)是；

（2）（3分）如圖②，作△/8C外角ZM8C,4NCB的角平分線交于點(diǎn)Q,試探索

NQ,乙4之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）（3分）如圖③，延長(zhǎng)線段BP,QC交于點(diǎn)E,在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另

一個(gè)內(nèi)角的3倍，求乙4的度數(shù).

（1）（3分）【課本再現(xiàn)】如圖1,在△ABC中，線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)力且E尸||8C.求證:

Z.BAC十+4C=180°；

（2）（3分）【變式演練】如圖2,在△A8C中，乙C=50。，點(diǎn)。在8c邊上，0E||AB

交AC于點(diǎn)F若乙1=125°,求乙B的度數(shù);

（3）（3分）【方法應(yīng)用】如圖3,直線A與直線&相交于點(diǎn)。，夾角的銳角為點(diǎn)B

在直線A上且在點(diǎn)。右側(cè)，點(diǎn)C在直線％上且在直線A上方，點(diǎn)4在直線匕上且在點(diǎn)。左側(cè)

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在射線C。上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C、。重合）.當(dāng)a=70。時(shí)，E/平分々4EC,4G平分

8/35

乙交直線EP于點(diǎn)G,求乙G的度數(shù).

23.（12分）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

有趣的“飛鏢圖”

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)

現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行

認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角''凹"進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有一：凹四邊形

中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和.

（即如圖1,ZADB=ZA+ZB+ZC）理由如下：

方法一：如圖2.連接AB,則在△ABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,即

Z1+Z2+Z3+Z4+ZC-1800,又「在aABD中，Z1+Z2+ZADB-1800,

.\ZADB=Z3+Z4-ZC,BPZADB=ZCAD+zCBD+ZC.

方法二：如圖3,連接CD并延長(zhǎng)至F,VZ1和N3分別是4ACD和ABCD的

一個(gè)外角，.....

大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？

任務(wù)：

（1）（4分）填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理

是:

（2）（4分）探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部

分；

（3）（4分）應(yīng)用：如圖4,AE是NCAD的平分線，BF是NCBD的平分線，AE

與BF交于G,若NADB=150。，ZAGB=110°,請(qǐng)你直接寫出NC的大小.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，在RIAABC中，ZC=90°,

AZCAB+ZCBA=90o,

TAE、BD分別平分NCAB、ZCBA,

.??ZEAB+ZDBA=1ZBAC+1ZABC=1(ZABC+ZBAC)=45°,

乙乙乙

AZAOB=180°-(ZEAB+ZDBA)=135°,

即直角三角形中兩個(gè)銳角的平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為135。.

故答案為:B.

【分析】利用直角三角形兩銳角互余及角平分線的定義可得/EAB+NDBAE5。，再利用

三角形內(nèi)角和定理求出NAOB的度數(shù)即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、如圖①，過(guò)點(diǎn)C作EF〃AB,則NB=NFCB,ZA=ZECA,

???ZECA4-ZACB+ZFCB=180°,

???NA+NB+NACB=180。，；.A正確，不符合題意；

B、如圖②，延長(zhǎng)AC到F,過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB,則NB=/BCE,ZA=ZECF,

VZBCE+ZECF+ZACB=180°,

???NA+NB+NACB=180。，；.B正確，不符合題意；

C、如圖③，過(guò)AB上一點(diǎn)D作DE//BC,DF〃AC,則四邊形CEDF是平行四邊形，

.*.ZC=ZEDF,

VDE77BC,

AZB=ZADE,

VDF//AC,

??.NA=NBDF,

10/35

ZEDF+ZADE+ZBDF=180°,

/.ZA+ZB+ZC=180°,，C正確，不符合題意；

D、如圖④，過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC,無(wú)法證明三角形的內(nèi)角和等于180。，???D不正確，符

合題意；

故答案為：D.

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)及角的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：???△DEFVAABC是一幅直角三角尺

.\ZD=30°,ZE=9D°,ZF=60°,ZA=ZB=45°,ZC=90°

VZ1=ZD+Z3,Z2=ZE+Z6

/.Z1+Z2=ZD+Z3+ZE+Z6

VZ3=Z4,Z5=Z6

Z3+Z6=Z4+Z5=180°-ZC=90°

AZ1+Z2=ZD+ZE+Z3+Z6=30°+90°+90°=210°

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，由N1=ND+N3,

Z2=ZE+Z6,可得出Nl+N2=ND+N3+NE+/6,由△DEF與△ABC是一幅直角三角

尺可得出ND=30。，ZE=90°,ZF=60°,ZA=ZB=45°,ZC=90°,由對(duì)頂角用等可知

Z3=Z4,Z5=Z6,所以/3+/6=/4+/5=180。-/090。代入

Z1+Z2=ZD+Z3+ZE+Z6即可得出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，連接DF,

A

G

BDC

設(shè)SAAEF=x，

VDE=3AE,

?"△DEF=3sAA”=3x,

:?S&ADF=S&DEF+S&AEF=4%,

???F、G是邊AB上的三等分點(diǎn)，

AAF=FG=GB,

1?5△/!￡）「=S4GDF=S"DG=4%，

???四邊形FGDE的面積為：SADEF+S^DF=3x+4x=7x,

???四邊形FGDE的面積為14,

/.7x=14,

/.x=2,

?',SAABD=SMDF+S4GDF+S^BDG=12%=12x2=24,

ID是BC的中點(diǎn),

:,S&ABC=2sXABD=2x24=48?

故答案為：C.

【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線將三角形的面

積分為相等的兩部分，同高三角形面積比等于底的比.連接DF,設(shè)SM.=X,則

=3x,S^ADF=4x,由F、G是AB的二等分點(diǎn)可得出SMDF=S^GDF==

4x,從而有四邊形FGDE的面積為7x=14,解方程求出x的直，最后根據(jù)三角形中線的

性質(zhì)得S“BC=2sMB。的值.

5.【答案】B

【解析】【解答】VZACB=90°,

/.ZCAB+ZCBA=90°,

TAE、BE分別平分NCAB、ZCBA,

?'ZEAB+ZEBA=izCAB+lzCBA=45°,

???BG平分NCBF,

.\ZCBG=1ZCBF,

VZCBE=|ZCBA,

AZCBE=ZCBG+ZCBE=izCBF+izCBA=90°,

12/35

???ZG=90°-45°=45°,

VZADC=ZBDG,

，ZADC+ZGBF=ZBDG+ZDBG=180°-ZG=I35°,

故答案為：B.

【分析】利用角平分線的定義及等量代換可得NEAB+NEBAJ/CAB+LCBA=45。,

再求出NCBE=NCBG+NCBE=1NCBF+/NCBA=90。，最后求出

ZADC+ZGBF=ZBDG+ZDBG=180。-NG=135。即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：在ZiAOD中：ZD=180°-ZDAO-ZAOD,

在△BOC中：ZB=180°-ZBCO-ZBOC,

:.ZB+ZD=180o-ZDAO-ZAOD+l80o-ZBCO-ZBOC=360o-ZDAO-ZBCO-ZAOD-

ZBOC,

TAP、CP分別平分NDAB和NBCD,

.?.ZDAO=2ZPAO,ZBCO=2ZPCO,

又NAOD=NBOC,

???ZB+ZD=360°-2ZPAO-2ZPCO-2ZAOD=2(180°-ZPAO-ZPCO-ZAOD).

AP、CD的交點(diǎn)標(biāo)為點(diǎn)E,

在^CPE中，

ZP=180°-ZPCO-ZCEP,

,:NCEP=NAOD+/PAO,

...ZP=1800-ZPCO-ZPAO-ZAOD,

/.ZP=i(ZB+ZD)o

乙

故答案為：Bo

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別得出NB=18()o-NBCO-NBOC,ZD=I8O°-

ZDAO-ZAOD,再根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)得出ZB+ND=2(180°-ZPAO-

ZPCO-ZAOD),然后在△CPE中，得出NP=180O-NPCO-/CEP,再根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)，得出/P=180JNPCO-NPAO-NAOD,從而得出結(jié)論(/B+/D)。

7.【答案】C

【解?析】【解答】解：???EM平分NFEO,EN平分NGEO,

/.ZMEN=90°,

???△MEN中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，

JNEMN=300或/EMN=22.5。，

0M平分/BOF,

JZBOM=45°,

JNMEO=NBOM-NEMN=15。或22.5。，

??.NFEO=30°或45。，

/.NEFO=900?NFEO=60或45°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NMEN=90。，再根據(jù)AMEN中有一個(gè)角是另一個(gè)角

的3倍可得NEMN=30?；?EMN=22.5。，根據(jù)角平分線的定義可得NBOM=45。，再根

據(jù)外角的性質(zhì)可得NMEO/BOM-NEMN,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ZEFO=90°-

ZFEO,即可求得.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：???NACB=90。，

AZDBF+ZBAC=90°,

VFD1AB,

.\ZBDF=90°,

.??/DBF+NBFD=9()。，

AZBAC=ZBFD,故①正確；

VZBAC=ZBFD,NBAC、NBFD的平分線交于點(diǎn)I,

AZEFN=ZEAM,

VZFEN=ZAEM,

...NENI=NEMI,故⑦正確:

14/35

;由①知NBAC=/BFD,NBAC、/BFD的平分線交于點(diǎn)I,

/.ZMAD=ZMFI,

VZAMD=ZFMI,

AZAIF=ZADM=90°,即AI_LFI,故③正確；

VBI不是NB的平分線，

???NAB#NFBI,故④錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)NACB=90。可知NDBF+NBAC=90。，再由FD_LAB可知NBDF=90。，所

以NDBF+/BFD=90。，通過(guò)等量代換即可得出/BAC=NBFD,故①正確：

根據(jù)NBAC=NBFD,NBAC、NBFD的平分線交于點(diǎn)I可知NEFN=NEAM,再由對(duì)頂

角相等可知/FEN=NAEM,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷出NENI=NEMI,故②正

確；

由①知/BAC=NBFD,因?yàn)镹BAC、NBFD的平分線交十點(diǎn)I,故/MAD=NMFL再

根據(jù)NAMD=NFM【可知，ZAIF=ZADM=90°,即AI_LFL故③正確；

因?yàn)锽1不是/B的平分線，所以/AB"NFBI,故④錯(cuò)誤.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：①??"C=90°,

???乙B4C+44BC=90。，

?.?4。平分4B4C,BE平分N4BC,

111

+=^BAC+^ABC=+乙/lBC)=45%

乙乙乙

：./-AFB=180-(4凡48+Z-FBA)=180°-45°=135°,故①正確；

②YOG||AB,

工乙BDG=4ABC,

「BE平分乙48C,

:?"BE=\LABC=，BDG,

:.乙BDG=2(CBE,故②正確；

③的度數(shù)不確定，

???根據(jù)已知條件無(wú)法證明BC平分44BG,故③不正確；

@,：BG1DG,

:?乙BGD=90°,

???乙50G十乙DBG=90%

'：LC=90°,

：.LCAB+Z.ABC=90°,

VDGIIAB,

，乙BDG=乙ABC,

:?乙DBG=/.CAB,

又二LBEC="AB+ABE,

:?乙BEC=乙DBG+Z.ABE,

〈BE平分乙ABC,

：.LABE=乙EBC,

:.乙DBG+乙ABE=(DBG4-Z.EBC=乙EBG,

:?乙BEC=LFBG,故④正確；

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故答案為：C.

【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得MAC+41BC=90。，由角平分線定義得乙凡48+

^FBA=45°,再利用三角形內(nèi)角和定理得乙4FB=135。；②由平行線的性質(zhì)得NBDG=

UBC,結(jié)合角平分線性質(zhì)得4BDG二2乙CBE；③根據(jù)已知條件無(wú)法判斷；④先推出

乙DBG="AB,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)以及角平分線定義得“EC=乙FBG.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：???AiB是/ABC的平分線，AC是/ACD的平分線，

AZAiBC=lZABC,ZAiCD=|ZACD,

乙乙

又「ZACD=ZA+ZABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,

Ai(ZA+ZABC)=|ZABC4-ZAi,

乙乙

AZAi=iZA,

ZA=a,

AZAi=^；

同理可得/人2=^/人1=另01=*，

同理可得NA3=〃A2T?5=衰，

16/35

NAn=+，

a

ZA2022=22022-

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)分別求出NAi=%ZA2=1ZA,=

/，ZA3=1ZA2=p-,從而得出NAn=去，繼而得解.

11.【答案】68°

【解析】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)。C交于M.

平分々DCG,GE平分4CG8

.?.設(shè)NDC尸=(GCF=x,Z.CGE=L.MGE=y.

+白隹—后IIZ/IAM.缶=2y+/GMC①

根據(jù)二角形的外角可得(.X，

.x=y+^E②

①一②x2可得：Z.GMC=2zE,

???(E=34°,

Z-GMC=68°,

*：AB||CD,

:.乙GMC=LB=68°,

故答案為68。.

【分析】延長(zhǎng)DC交BG于M,根據(jù)角平分線定義可得設(shè)/DCF=/GCF=x,Z.CGE=

乙MGE=y,根據(jù)三角形外角性質(zhì)建立方程組，解方程組可得2GMe=68。，再根據(jù)直線

平行性質(zhì)即可求出答案.

12.【答案】32

【解析】【解答】解：過(guò)C點(diǎn)作NACE=NCBD,如圖所示：

A

D

BC

??,ZBCD+ZDCA=180°,ZBCD+ZCBD+ZBDC=180°,

AZECD=ZBDC,

;對(duì)角線BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,

AZABD=ZACE,

AZBAC=ZCEB=64°,

AZBDC=izCEB=32°.

故答案為：32.

【分析】過(guò)C點(diǎn)作/ACE=/CBD,利用角平分線的定義及等量代換可得

ZBAC=ZCEB=64°,再求出NBDC§NCEB=32。即可.

13.【答案】la

【解析】【解答】解：連接4瓦。C,

,?，B為CE中點(diǎn),

"△ABC=S.BE，

設(shè)SMBC=S“BE=x,

??SAACE=2x,

???C為AF中點(diǎn),

:?S&CEF=S&ACE=2x,

???.4為B。中點(diǎn)，

18/35

?S'A/lDfc=SM8￡=X，

,?SADBE=?x,

同理可得：S4ADF=2x

:,SADEF=S^ADF+S^BDE+S&ECF+S^ABC=7x，

?c_l_1

?*^^ABC=y^chDEF=ya，

故答案為：ya.

【分析】

連接DC、AE,因?yàn)锽為CE中點(diǎn)，則Sg8C=S08E，同理SM3C=SAMC=S08E=

SMDE，SMBC=SAXDC=SNDC，貝US"。/=S^BDE=^^ECF=2s^ABC，即可求解?

14.【答案】9。、51。、129°

【解析】【解答】解：當(dāng)CE_18c時(shí)，如圖所示

在△ABC中，乙4=60。，乙4c8=42。

乙B=180°一乙4一Z.71CJ?=180°-60°-42°=78°

???8打平分心力8C

11

，乙EBC=產(chǎn)ABC=-x78°=39°

乙乙

:?乙BEC=90°-Z.EBC=90°-39°=51°

當(dāng)CEJ.A8于G時(shí)，如圖所示

1z/15(?=1x78o=39o

^ABE=

??.乙BEC=LBGC-Z,ABE=90°+39°=129°

當(dāng)CEJ.AC時(shí)，如圖所示

乙EBC=39°.Z-ACB=42°

???乙BEC=180°-{/.ACE+Z.ACB)-乙EBC=180°-(90°+42°)-39°=9°

綜上，/BEC的度數(shù)為9。或51?；?29。

故答案為:9。、51。、129°

【分析】題中沒(méi)有明確直線CE垂直于△A8C的哪一邊，故需要分三種情況分別討論，先

勾畫出三種情況的草圖，逐一分析：根據(jù)已知角和角平分線定義及垂直帶來(lái)的直角，把

可求的角度在圖上標(biāo)示出來(lái)，易由余角定義、外角定理、三的形內(nèi)角和定理計(jì)算出NBEC

的度數(shù)。

15.【答案】2a)

【解析】【解答】解：???8C||4E,

?,?乙C=乙EAC.

???乙EAC=3,

/.LC—bi.

,:LSAN=匕C4D,匕BAC=&AN=a,

，乙BAD=Z.BAC+Z.CAD=2a.

???乙FB4是△4BC的外角，

LFBA=Z.BAC+z.C?

即p=a+a>,

：.LSDM=180°-/.DAB-4ABD=180°-2a-(180°-2位=2(￡-a)=2to.

故答案為：2“

【分析】先利用平行線的性質(zhì)證得，C=3,再利用已知條件得到/BAD=2a,然后根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)得出夕=a+3,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解.

16.【答案】(1)解：①?.?NA+NABC+NACB=180°,

/.ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-120°=60°.

20/35

???ZABD+ZABC+ZACB+ZACD=90°,

.\ZACD=90°-(ZABD+ZABC+ZACB)=90°-(10°+60°)=20°.

@VZA+ZABC+ZACB=180°,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-a.

VZD=90°,

???NDBC+NDCB=90。，

:.ZABD+ZABC+ZACB+ZACD=90°,

/.ZACD=90°-(ZABD+ZABC+ZACB)=90°-(0+180。?a)=a-p-90°.

(2)解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB的左側(cè)時(shí)，

ZD+ZABD+ZDMB=ZA+ZACD+ZAMC=180°,

又/DMB=NAMC,

:.ZD+ZABD=ZA+ZACD,

:.ZA+ZACD-ZABD^90°.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB的右側(cè)時(shí),

VZD+ZABD+ZDMB=ZA+ZACD+ZAMC=180°,

又NDMB=NAMC,

.*.ZD+ZABD=ZA+ZACD,

:.ZA+ZABD-ZACD=90°.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D在AB的左側(cè)時(shí)，ZA+ZACD-ZABD=90n；

當(dāng)點(diǎn)D在AB的右側(cè)時(shí)，ZA+ZABD-ZACD=90°.

【解析】【分析】(1)①先根據(jù)進(jìn)行角的運(yùn)算即可得到NABC+NACB=18()。-NA=

180°-120°=60°,進(jìn)而即可得到NABD+NABC+NACB+NACD=90。，再結(jié)合題意即可

求解；

②先根據(jù)題意得到/ABC+NACB==18(T-a,進(jìn)而結(jié)合題意進(jìn)行角的運(yùn)算即可求解；

(2)根據(jù)題意分類討論：①蘭點(diǎn)D在AB的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在AB的右側(cè)時(shí)，進(jìn)而

結(jié)合題意進(jìn)行角的運(yùn)算即可求解。

17.【答案】(1)過(guò)點(diǎn)P作PE〃AB,

VAB/7CD,

???PE〃AB〃CD,

/.ZA+ZAPE=180°,ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=130°,ZPCD=120°,

AZAPE=50°,ZCPE=60°,

???ZAPC=ZAPE+ZCPE=110°.

(2)ZAPC=Za+Zp,

理由：如圖2,過(guò)P作PE〃AB交AC于E,

VAB/7CD,

???AB〃PE〃CD,

/.Za=ZAPE,Zp=ZCPE,

，ZAPC=ZAPE+ZCPE=Za+Zp：

(3)①如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí),

ZCPA=Za-Zp；

22/35

C

A

.V/

0BD

VAB/7CD,

.\Za=ZAFC,

??,ZAFC是^AFP的一個(gè)外角，

???ZAFC=ZCPA+Zp,

ZCPA=ZAFC-Zp=Za-Zp：

②如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí),

.\Zp=ZAFC,

ZAFC是^AFP的一個(gè)外角,

AZAFC=ZCPA+Za,

/.ZCPA=ZAFC-Za=Zp-Za：

綜上所述：NCPA=Na-N0或者NCPA=/0-Na.

【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理的證明、外角的性

質(zhì).

(1)過(guò)點(diǎn)尸作PE//A8,根據(jù)平行公理可推出：PE〃AB〃CD,利用平行線性質(zhì)：兩直

線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可求出NAPE=5()。，ZCPE=60°,利用角的運(yùn)算可求出NAPC.

(2)過(guò)P作正〃司。交AC于E,根據(jù)平行公理可推出：PE〃AB〃CD,根據(jù)平行線的

性質(zhì)可推出5/CPE,利用角的運(yùn)算可求出答案；

(3)分兩種情況：尸在8。延長(zhǎng)線上；P在。8延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線

的性質(zhì)得出/R/CPE,利用三角形外角的性質(zhì)可求出答案；

18.【答案】(1)解：???(Q+1)2G0E=/GO凡b乙HCE=LECF,a=h=l,

1

：.2^GDE=乙GDF,乙HCE=乙ECF=^HCF.

???乙GOE=乙EDF=40%

:?乙GDF=80°,

：.LADB=180°-80°=100°,

,：LDAC=30°,

工乙CFB=Z-DFA=180°-100°-30°=50°,

?:乙DBC=35°,

二乙HCF=35°+5U0=85",

:?乙ECF=，HCF=42.5°;

(2)解：V(a+l)z(；D￡,=zGDF,a=4,

：.5^GDE=乙GDF,

：.LEDF=4乙GDE,

'：CDAC=30°,

：.LDFC=/-DAC/-ADF

=30°+180°-乙GDF

=210°-5乙GDE,

???乙OBC=40。，b乙HCE=LECF,

???乙DFC=NO8C+/BCF

=40°+180°-Z-HCF

=220°-QHCE+乙ECF)

=220°-(b+l)zHCF,

???210°-52GOE=220°一(b+1”HCE,

?二乙GOE=誓4HCE-2。，

：-LE=360°-(EDF-LDFC-乙ECF

=360°-44GDE-乙DFC-乙ECF

(b+1

3600-4y-5-乙HCE-20-220°+(b+1"HCE-bcHCE

=148°—去，乙”CE,

???當(dāng)牛1=0,即時(shí)，乙E為與a、b無(wú)關(guān)的定值.

24/35

(3)ab=1

【解析】【解答】(3)解：???(Q+l)iGOE=4G。凡b乙HCE=(ECF,

：.^EDF="DE,乙HCF=(b+1)乙HCE,

V^DAC=Z-DBC=a,

工人DFC=^DAC+^ADF

=a+180°-zGDF

=a+180°-(a+1)乙G0E,

'：LDAC=Z.DBC=a,

：.^DFC=乙DRC+乙BCF

=a+180°-Z-HCF

=a+180°-(/?+l)zWCF,

.'a+180°一(Q+1)/GDE=a+180°—(b+l)zHCE,

?"GDE="〃HCE,

Q+1

AzF=360°-乙EDF-Z-DFC-乙ECF

=360°-a乙GDE-Z.DFC-乙ECF

b+1

=360°-a———rZ-HCE-a-180°+(b+1)乙HCE-b乙HCE

a+1

=180°-a-他=zJ/CE,

a+l

???當(dāng)Q匕-1=0,即ab=l時(shí)，々E為定值.

故答案為：ab=1.

【分析】(1)先利月角的運(yùn)算及等量代換求出乙CF8=4。凡4=180。一100。-30。=

50°,再結(jié)合/DBC=35。，利用角的運(yùn)算求出NHC尸=35。+50。=85。,最后求出

Z.ECF=葭HCF=42.5。即可；

(2)先利用角的運(yùn)算及等量代換求出乙DFC=Z.DAC+乙4DF=220°-(b+l)zHCE,

再求出NE=360°-LEDF-Z-DFC-Z.ECF=148°一線匚?乙HCE,即可得到當(dāng)牛i=

0,即時(shí)，乙E為與a、b無(wú)關(guān)的定值，從而得證；

4

(3)先利用角的運(yùn)算及等量代換求出/OFC=U)AC+LADF=a+180°-

(a+1)乙GDE,再求出々E=360°-乙EDF-乙DFC-乙ECF=180°-a-

即可得到當(dāng)Qb-1=0,即ab=l時(shí)，/E為走值，從而得解.

SE/9Z

l-Mv

3JH-7Q-J2〃7([+q)+o0ZZ-(0Z-a2H7[勺)力-<>09￡=

d”7-MO7-3。邙-。09￡=

dD3~7-MO7-dOK-o09￡=57V

%Z-含=.97?;

'32/77(1+q)-oOZZ=HO"S-oOlZV

口2H7(1+q)-°OZZ=

Q”7+HJH7)-o0ZZ=

dJH-7-o08l+oOiz=

4287+28。7=加。7?.?

5a7=H3I7q%0"=2?！??.

口。邙一。012=

dGD-7-o08l+o0￡=

4。歹7+"07=勿。7?.?

%0￡=jvay：.

Fam=HQH7?；

'Hag=mags?:

?=?3097=3097(1+。)???:.(c)

7

：°S9=H3H若=d”7?.?

<oS8=oOS+oS￡=^J//7v

%S￡=28。乙??

%os=o0€-oooi-o08i==8d歹,:

%0￡=jvay：.

'。001=o08-o08l=QGV7-：

'。08=HQ37,:

4oOV=HQ37=3QD7,：

5H"==H3H7FG37=西必,:

，1=q=曾7307=q3H7q1~+?).*.:搦(I)

???當(dāng)%1=0,即白另時(shí)，乙E為與a、b無(wú)關(guān)的定值.

(3)解：V(a+l)zGDF=zGDF,bZ-HCE=Z.ECF,

：.^EDF=aZ,GDE,乙HCF=(b+1”HCE,

V^DAC=乙DBC=a,

J.^DFC=AC+^ADF

=a+180°-Z,GDF

=a+180°-(a+l)z(；DF,

*：^DAC=4DBC=a,

：.Z.DFC=乙DBC+乙BCF

=a+180°-乙HCF

=a+180°-(b+l)zHCF,

???a+180°—(a+1)/GDE=a+180°—(b+1)^HCE,

???4GDE=空/”?！?

Q+1

：.^E=360°-乙EDF-乙DFC-Z-ECF

=360°-a乙GDE-乙DFC-Z-ECF

b+1

=360°-a-乙HCE-a-180°+(匕+1"HCE-b乙HCE

a+1

ab—1

=180°-a-乙HCE,

a+1

...當(dāng)Qb-l=o,即ab=l時(shí)，々E為定值.

故答案為：ab=l.

19.【答案】(1)25

1

⑵e2y21X

(3)解：(2)中的結(jié)論成立，理由：

在△ABC中，ZB-x,ZACB-y,

???ZBAC=1800-ZB-ZACB=180°-x-y,

TAD平分NBAC,

AZ.CAD=1/.BAC=1(180°-x-y),

乙乙

VZACB=y,

...NACE=1800-ZACB=180°-y,

VAE1BC,

.'.ZAEC=90%

/.ZCAE=90°-ZACE=90°-(180°-y)=y-90°,

/.ZDAE=ZCAD+ZCAE

Io°、

=專(180-x-y)+(y-90)

—90-lx—ly+y-90

【解析】【解答］解：(1)根據(jù)題意，在三角形ABC中，ZB=30°,ZACB=80°,

所以NBAC=18()o?/B-NACB=70。，因?yàn)锳D平分NBAC,

所以/CAD斗NBAC=R()O=35。，

因?yàn)锳EJ_BC,所以NAEO90。，

所以NCAE=90°-ZACB=90°-80°=10°,所以NDAE=ZCAD-ZCAE=25°,

因?yàn)镃F〃AD,所以/CFE二NDAE=25。；

(2)在三角形ABC中，ZB=x,ZACB=y,所以NBAC=18O0-NB-NACB=18O0-x-y,

因?yàn)锳D平分NBAC,所以NCAD=|NBAC=^(180°-x-y),

因?yàn)锳E_LBC,所以/AEC=90。，LUZCAE=90°-ZACB=90°-y

所以NDAE=ZCAD-ZCAE=iy-lx；

(3)(2)中的結(jié)論成立，理由：在△ABC中，ZB=x,ZACB=y,

ZBAC=1800-ZB-ZACB=180°-x-y,

因?yàn)锳D平分NBAC,

所以NCAD=4NBAC二i(180°-x-y),

因?yàn)镹ACB=y,

所以ZACE=180°-ZACB=180°-y,

因?yàn)锳EJ_BC,

所以NAEC=9()。，

所以NCAE=90°?NACE=90°?(180°-y)=y-90°,

月以fNDAE=ZCAD+ZCAE

=1(180°-x-y)+(y-90°)

=90°-lx-ly-90°=ly-lx,

28/35

因?yàn)镃卜〃AD,所以NCFE=NDAE=1y-4x；