2025年線性代數(shù)迭代法求解線性方程組試題一、填空題（每小題5分，共20分）設(shè)線性方程組為：[\begin{cases}4x_1+x_2+x_3=1\x_1+5x_2+2x_3=2\x_1+2x_2+6x_3=3\end{cases}]則其Jacobi迭代矩陣的譜半徑為______，Gauss-Seidel迭代矩陣的∞-范數(shù)為______。對于線性方程組(Ax=b)，若系數(shù)矩陣(A)滿足______條件，則Jacobi迭代法一定收斂；若(A)是______矩陣，則Gauss-Seidel迭代法收斂。給定迭代格式(x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f)，其中(B=\begin{pmatrix}0&a\b&0\end{pmatrix})，則該迭代格式收斂的充要條件是______；當(a=0.5)，(b=0.4)時，迭代矩陣的譜半徑為______。用迭代法求解線性方程組時，若要求近似解的誤差不超過(10^{-6})，已知迭代矩陣的譜半徑(\rho(B)=0.8)，則至少需要迭代______次（已知(\ln10\approx2.3026)）。二、計算題（共60分）1.Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法求解（20分）考慮線性方程組：[\begin{cases}10x_1-x_2-2x_3=7.2\-x_1+10x_2-2x_3=8.3\-x_1-x_2+5x_3=4.2\end{cases}]（1）分別寫出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代格式；（2）取初始向量(x^{(0)}=(0,0,0)^T)，用Gauss-Seidel迭代法計算(x^{(1)})、(x^{(2)})、(x^{(3)})；（3）證明該方程組的Gauss-Seidel迭代法收斂；（4）若用SOR迭代法求解，最佳松弛因子(\omega)的取值范圍是什么？解答：（1）Jacobi迭代格式：[\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1}{10}(7.2+x_2^{(k)}+2x_3^{(k)})\x_2^{(k+1)}=\frac{1}{10}(8.3+x_1^{(k)}+2x_3^{(k)})\x_3^{(k+1)}=\frac{1}{5}(4.2+x_1^{(k)}+x_2^{(k)})\end{cases}]Gauss-Seidel迭代格式：[\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1}{10}(7.2+x_2^{(k)}+2x_3^{(k)})\x_2^{(k+1)}=\frac{1}{10}(8.3+x_1^{(k+1)}+2x_3^{(k)})\x_3^{(k+1)}=\frac{1}{5}(4.2+x_1^{(k+1)}+x_2^{(k+1)})\end{cases}]（2）初始向量(x^{(0)}=(0,0,0)^T)，計算得：(x_1^{(1)}=\frac{7.2}{10}=0.72)(x_2^{(1)}=\frac{1}{10}(8.3+0.72)=0.902)(x_3^{(1)}=\frac{1}{5}(4.2+0.72+0.902)=1.1644)(x^{(1)}=(0.72,0.902,1.1644)^T)同理計算可得：(x^{(2)}=(1.04308,1.0205,1.0008)^T)(x^{(3)}=(1.0065,1.0025,1.0003)^T)（3）收斂性證明：系數(shù)矩陣(A=\begin{pmatrix}10&-1&-2\-1&10&-2\-1&-1&5\end{pmatrix})，由于(A)是嚴格對角占優(yōu)矩陣（每行主對角線元素絕對值大于該行其他元素絕對值之和），因此Gauss-Seidel迭代法收斂。（4）對于嚴格對角占優(yōu)矩陣或?qū)ΨQ正定矩陣，SOR迭代法的最佳松弛因子(\omega)取值范圍為(0<\omega<2)。2.迭代法收斂性分析（15分）給定線性方程組(Ax=b)，其中(A=\begin{pmatrix}1&a&0\a&1&a\0&a&1\end{pmatrix})，(a)為實數(shù)。（1）求(a)的取值范圍，使得(A)為正定矩陣；（2）當(a=0.5)時，判斷Jacobi迭代法是否收斂；（3）當(a=-0.5)時，求Gauss-Seidel迭代矩陣的譜半徑。解答：（1）正定矩陣的充要條件是各階順序主子式大于0：一階主子式：1>0二階主子式：(1-a^2>0\Rightarrow|a|<1)三階主子式：(1-3a^2>0\Rightarrow|a|<\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577)綜上，(a)的取值范圍是((-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}))。（2）當(a=0.5)時，Jacobi迭代矩陣：[B_J=D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}0&-0.5&0\-0.5&0&-0.5\0&-0.5&0\end{pmatrix}]特征方程(\det(\lambdaI-B_J)=\lambda(\lambda^2-0.5)=0)，特征值為(\lambda_1=0)，(\lambda_2=\sqrt{0.5}\approx0.707)，(\lambda_3=-\sqrt{0.5}\approx-0.707)，譜半徑(\rho(B_J)\approx0.707<1)，故Jacobi迭代法收斂。（3）當(a=-0.5)時，Gauss-Seidel迭代矩陣(B_{GS}=(D-L)^{-1}U)，計算得：[B_{GS}=\begin{pmatrix}0&-0.5&0\0&0.25&-0.5\0&0.125&0.25\end{pmatrix}]特征值為(\lambda_1=0)，(\lambda_2=0.25+0.25i)，(\lambda_3=0.25-0.25i)，譜半徑(\rho(B_{GS})=\sqrt{0.25^2+0.25^2}\approx0.3535)。3.迭代格式構(gòu)造與收斂速度比較（25分）設(shè)線性方程組為：[\begin{cases}3x_1+x_2=5\x_1+2x_2=5\end{cases}]（1）構(gòu)造兩種不同的迭代格式，使其均收斂到方程組的精確解；（2）分別計算兩種迭代格式的譜半徑，并比較收斂速度；（3）取初始向量(x^{(0)}=(0,0)^T)，用收斂較快的迭代格式計算(x^{(1)})、(x^{(2)})，并與精確解比較。解答：精確解(x^*=(1,2)^T)。（1）迭代格式構(gòu)造：格式一（Jacobi迭代）：[\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1}{3}(5-x_2^{(k)})\x_2^{(k+1)}=\frac{1}{2}(5-x_1^{(k)})\end{cases}]迭代矩陣(B_1=\begin{pmatrix}0&-1/3\-1/2&0\end{pmatrix})格式二（Gauss-Seidel迭代）：[\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1}{3}(5-x_2^{(k)})\x_2^{(k+1)}=\frac{1}{2}(5-x_1^{(k+1)})\end{cases}]迭代矩陣(B_2=\begin{pmatrix}0&-1/3\0&1/6\end{pmatrix})（2）譜半徑計算與收斂速度比較：格式一：特征方程(\lambda^2-1/6=0)，(\lambda=\pm\sqrt{1/6}\approx\pm0.408)，(\rho(B_1)\approx0.408)格式二：特征值為(\lambda_1=0)，(\lambda_2=1/6\approx0.1667)，(\rho(B_2)\approx0.1667)由于(\rho(B_2)<\rho(B_1))，故格式二收斂速度更快。（3）用格式二計算：(x_1^{(1)}=5/3\approx1.6667)，(x_2^{(1)}=\frac{1}{2}(5-1.6667)\approx1.6667)(x_1^{(2)}=\frac{1}{3}(5-1.6667)\approx1.1111)，(x_2^{(2)}=\frac{1}{2}(5-1.1111)\approx1.9444)與精確解((1,2)^T)的誤差逐漸減小。三、證明題（20分）設(shè)(A)為(n)階實對稱正定矩陣，證明：對于迭代格式(x^{(k+1)}=x^{(k)}+\omega(b-Ax^{(k)}))（其中(\omega)為松弛因子），當(0<\omega<\frac{2}{\lambda_{\text{max}}(A)})時，迭代格式收斂（(\lambda_{\text{max}}(A))為(A)的最大特征值）；Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣(B_{GS})的譜半徑(\rho(B_{GS})<1)。證明：迭代格式可改寫為(x^{(k+1)}=(I-\omegaA)x^{(k)}+\omegab)，迭代矩陣(B=I-\omegaA)。(A)正定，特征值(\lambda_i>0)，則(B)的特征值為(1-\omega\lambda_i)。要使(|1-\omega\lambda_i|<1)，即(0<\omega<\frac{2}{\lambda_i})對所有(i)成立，取(\omega<\frac{2}{\lambda_{\text{max}}(A)})即滿足條件，故迭代收斂。反證法：假設(shè)存在(\lambda)，(|\lambda|\geq1)，使得(\det(\lambdaI-B_{GS})=0)。由于(B_{GS}=(D-L)^{-1}U)，則(\det(\lambda(D-L)-U)=0)。因(A=D-L-U)正定，可構(gòu)造二次型證明(|\lambda|<1)，矛盾，故(\rho(B_{GS})<1)。四、應用題（20分）某彈簧系統(tǒng)由三個質(zhì)點和四個彈簧組成，質(zhì)點質(zhì)量均為(m=1)，彈簧彈性系數(shù)(k=1)，系統(tǒng)平衡方程為：[\begin{cases}2x_1-x_2=F_1\-x_1+2x_2-x_3=F_2\-x_2+2x_3=F_3\end{cases}]其中(x_i)為質(zhì)點位移，(F_i)為外力。當(F_1=F_2=F_3=1)時：（1）用迭代法求解位移(x_1,x_2,x_3)（要求誤差(|x^{(k)}-x^{(k-1)}|_\infty<10^{-4})）；（2）分析當外力(F_i)增大時，迭代法收斂速度是否變化，并說明原因。解答：（1）方程組為：[\begin{cases}2x_1-x_2=1\-x_1+2x_2-x_3=1\-x_2+2x_3=1\end{cases}]采用Gauss-Seidel迭代法，迭代格式：[\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1+x_2^{(k)}}{2}\x_2^{(k+1)}=\frac{1+x_1^{(k+1)}+x_3^{(k)}}{2}\x_3^{(k+1)}=\frac{1+x_2^{(k+1)}}{2}\end{cases}]取(x^{(0)}=(0,0,0)^T)，迭代計算至滿足精度要求，最終得(x\approx(1.0,1.0,1.0)^T)。（2）收斂速度分析：系統(tǒng)系數(shù)矩陣為對稱正定矩陣，其特征值與外力無關(guān)，迭代矩陣譜半徑(\rho(B))不變，故收斂速度與外力大小無關(guān)。五、綜合題（40分）針對大型稀疏線性方程組(Ax=b)（(A)為(n)階方陣，非零元素占比小于5%）：比較Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的計算復雜度和存儲需求；當(A)為對稱正定矩陣時，推導共軛梯度法（CG方法）的迭代公式；用CG方法求解方程組(Ax=b)，其中(A=\begin{pmatrix}4&1&0\1&4&1\0&1&4\end{pmatrix})，(b=(5,6,5)^T)，取初始向量(x^{(0)}=(0,0,0)^T)，計算(x^{(1)})；分析迭代法在并行計算中的應用優(yōu)勢，并舉例說明預處理技術(shù)對迭代法收斂速度的影響。解答：方法比較：計算復雜度：三種方法每步迭代均需(O(n))次運算（稀疏矩陣），SOR因松弛因子選擇可能減少迭代次數(shù)。存儲需求：均只需存儲非零元素，Jacobi需額外存儲前一步迭代向量，Gauss-Seidel和SOR可原地更新。CG方法迭代公式：初始向量(x^{(0)})，殘量(r^{(0)}=b-Ax^{(0)})，搜索方向(p^{(0)}=r^{(0)})迭代公式：[\alpha_k=\frac{(r^{(k)},r^{(k)})}{(Ap^{(k)},p^{(k)})}\x^{(k+1)}=x^{(k)}+\alpha_kp^{(k)}\r^{(k+1)}=r^{(k)}-\alpha_kAp^{(k)}\\beta_k=\frac{(r^{(k+1)},r^{(k+1)})}{(r^{(k)},r^{(k)})}\p^{(k+1)}=r^{(k+1)}+\beta_kp^{(k)}]CG方法計算：(r^{(0)}=(5,6,5)^T)，(p^{(0)}=(5,6,5)^T)(Ap^{(0)}=(4×5+1×6,1×5