第十六章整式的乘法

16.3.2完全平方公式（第1課時）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．經(jīng)歷完全平方公式的探究過程，理解完全平方公式的意義，能準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式進(jìn)行計算，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力．2．了解完全平方公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀．教學(xué)重點完全平方公式的推導(dǎo)、結(jié)構(gòu)特征的理解及熟練運(yùn)用．教學(xué)難點完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點及公式的圖形驗證方法．問題1

計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝

；

(m＋2)2＝(

)(

)＝

；

(p－1)2＝(

)(

)＝

；

(m－2)2＝(

)(

)＝

．p2＋2p＋1m2＋4m＋4m2－4m＋4p2－2p＋1m＋2m＋2m－2m－2p－1p－1新課導(dǎo)入想一想（1）這四小題分別是什么運(yùn)算？原式有什么特點？（2）計算的結(jié)果有什么特征？都是兩個數(shù)的和或差的平方，是一種特殊形式的多項式乘法.都是三項多項式，由多項式中兩數(shù)的平方和，加上或減去兩數(shù)的積的2倍組成.

(a－b)2

＝[a＋(－b)]2

＝

a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2．新知探究

問題2你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用符號表示出來嗎？(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．追問1

你能驗證上述規(guī)律的正確性嗎？

(a＋b)2

＝(a＋b)(a＋b)

＝a2＋ab＋ab＋b2

＝a2＋2ab＋b2．

(a－b)2

＝(a－b)(a－b)

＝a2－ab－ab＋b2

＝a2－2ab＋b2．嘗試自主驗證.新知探究追問2

上述公式稱為（乘法的）完全平方公式．你能用文字語言表述完全平方公式嗎？

兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq+bp＋bq(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2(a－b)(p－q)＝ap－aq－bp＋bq對于具有與此相同形式的多項式相乘，都可以直接寫出運(yùn)算結(jié)果．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．新知探究追問3

乘法的完全平方公式中的a和b可以表示什么？

公式中的a

和b，既可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或者多項式．只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用公式．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．問題3類比平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎？新知探究圖1圖2(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2新知探究問題3類比平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎？大正方形的面積是(a＋b)2，4部分的面積之和（a2＋2ab＋b2）．即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2圖1(a＋b)2a2ababb2想一想問題3類比平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎？新知探究a2(a－b)2（1）(a－b)2表示哪部分面積？（2）用大正方形的面積a2減去2個長為a、寬為b的長方形面積2ab后，表示的是哪部分的面積？ab圖2(a－b)2＝a2－2ab＋b2a2－ab－ab(a－b)2＝多減了一個b2．＝a2－2ab＋b2．＋b2abb2(a－b)2分析：（1）(4m＋n)2

(a＋b)2

例題精講

例1

運(yùn)用完全平方公式計算：（1）(4m＋n)2；（2）

想一想公式中的a，b在此題中分別表示什么？＝a2＋2ab＋b2＝(4m)2＋2?(4m)?n＋n2（2）＝y(tǒng)2－2?

y?＋＝a2－2ab＋b2

公式中的a，b可以表示數(shù)，也可以表示一個式子．例題精講例1運(yùn)用完全平方公式計算：（1）(4m＋n)2；（2）解：（1）(4m＋n)2＝(4m)2＋2?(4m)?n＋n2

＝16m2＋8mn＋n2；（2）＝y(tǒng)2－2?

y?＋＝y(tǒng)2－y＋．歸納做題過程第一步：選擇公式．第二步：準(zhǔn)確代入公式．第三步：化簡．例題精講例2運(yùn)用完全平方公式計算：（1）1022；（2）992.

（2）992

＝(100－1)2

分析：（1）1022

＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝1002－2×100×1＋12(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2問題4

(a＋b)2與(－a－b)2相等嗎？(a－b)2與(b－a)2相等嗎？(a－b)2與

a2－b2相等嗎？為什么？(a－b)2與

a2－b2不一定相等．新知探究(a＋b)2＝(－a－b)2(a－b)2＝(b－a)2(－a－b)2

＝[－(a＋b)]2

＝(－1)2?(a＋b)2＝(a＋b)2(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2

(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab只有當(dāng)a=b

或b=0時，兩者才相等．課堂練習(xí)1．下面的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(a＋b)2＝a2＋b2；

（2）(a－b)2＝a2－ab＋b2．

解：（1）不正確，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

；（2）不正確，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．課堂練習(xí)

2.運(yùn)用完全平方公式計算：（1）(x＋6)2；（2）(y－5)2；（3）(－2x＋5)2；（4）．課堂練習(xí)

（2）70.52

＝(70＋0.5)2

＝702＋2×70×0.5＋0.52

＝4970.25．解：（1）982

＝(100－2)2