3.3勾股定理的簡單應(yīng)用

題型一、梯子滑落問題

題型二、旗阡高度問題

題型三、小鳥飛行問題

題型四、大徒折斷問題

基礎(chǔ)達標(biāo)題型五、航海問題

題型六、河流寬度問題

題型七、臺階長度問題

題型八、是否超速問題

題型九、受告風(fēng)影晌問題

勾股定理的題型十、壞中筷子問題

簡單應(yīng)用題型一、選址問題

能力提升題型二、最短路徑問題

題型三、最值問題

拓展培優(yōu)

A基礎(chǔ)達標(biāo)題」

題型一、梯子滑落問題

1.(24-25七年級上?山東泰安?期中)某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻時，

梯子底端A到左墻的距離4E為0.7m,梯子頂端D到地面的距離為2.4m,若梯子底端A保持不動，將

梯子斜靠在右墻8。上，梯子頂端C到地面的距離。為2m,則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為

()

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A.2.2mB.2mC.1.5mD.2.5m

2.（24-25八年級上?四川成都?期末）每年的11月9日是我國的消防日，為了增強全民的消防安全意識，某

校師生舉行了消防演練，如圖，云梯4c長為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻0C上（墻與地面垂直），

云櫛底端A與墻角0的距離為7米.

⑴求云梯頂端C與墻角。的距離CO的長；

⑵現(xiàn)云梯頂端C下方4米。處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點。處，則云梯底端水平方向向右滑

動的距離48為多少米.

3.（16-17八年級上?廣東佛山?期末）如圖，一架長25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端3離墻

⑴此時梯子頂端離地面多少米？

⑵若梯子頂端/下滑4米到C,那么梯子底端將向左滑動多少米？

4.（24-25八年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另

一端向右走，繩端從。移動到￡同時小船從力移動到8,且繩長始終保持不變.

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（填〃>“、"V"、

⑵若。尸=5米，力6=12米，/4=9米，求小男孩需向右移動的距離.（結(jié)果保留根號）

題型二、旗桿高度問題

5.（24-25八年級上?福建泉州?期末）學(xué)過《勾股定理》后，某班數(shù)學(xué)興趣小組到操場上測量旗桿48高度,

信息如下:

①測得從旗桿頂端垂直掛卜.來的升旗用的繩子長度等于旗桿高度（如圖甲）:

②?個同學(xué)將繩子向?邊拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離為2米，到旗桿的距離CE為7米（如

圖乙）.）.

設(shè)旗桿彳8的高度為x米，根據(jù)以上信息，則所列方程為（）

B.X2+72=(X-2)2

C.(X-2)2+72=(X+2)2D.(x-2)2+72=r

6.（24-25八年級上?全國?期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿44的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端

力的繩子垂到地面多出一段的長度為3米，小強同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在地面點C處，點C到旅桿

底部點〃的距離為9米.

⑴求旗桿48的高度;

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（2）小強在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落在點￡處,

點E到地面的距離EO為2米,求小強后退的距離。（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：拉=1.41，6。1.73,

75*2.24）

7.（23-24八年級上?廣東深圳?階段練習(xí)）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿44的高

度，得到如下信息：

①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；

②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離為3米，到旗桿的距離CE為10米（如

圖2）.

圖1圖2

題型三、小鳥飛行問題

8.（24-25八年級上?河南鄭州?期末）軒軒同學(xué)在校園里散步時看到鳥兒飛來飛去的場景，提出了一個有趣

的數(shù)學(xué)問題：有兩棵樹，一棵高6m,另一棵高2m,兩樹相距6m,一只小因要從一棵樹的樹頂?shù)搅硪豢脴?/p>

的樹頂，至少需要飛多遠？卜列結(jié)果最接近的是（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

9.（24-25八年級上?浙江?期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6

米，兩樹的距離8。為12米.若一只小鳥從一棵樹的樹梢A飛到另一棵樹的樹梢C,則小鳥至少要飛行—

米.

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10.（24-25七年級上?山東東營?期中）如圖，小明操縱無人機從樹尖A飛向旗桿頂端C,已知樹高5m,旗

桿高21m,樹與旗桿之間的水平跑離為12m,則無人機匕行的最短距離為多少？

C

A

亍

BD

題型四、大樹折斷問題

11.（21-22八年級下?福建福州?期中）如圖，一棵樹在一次強臺風(fēng)中，從離地面5m的點C處折斷，倒下后

樹頂端著地點〃與樹底端/相距12m,則這棵樹在折斷前的高度是（）.

12.（24-25八年級上?河南南陽?期末）如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點。處折斷，頂部8著

地且離旗桿底部A的距高為4m.

⑴求旗桿在距地面多高處折斷;

（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點。的下方1.25m的點尸處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點尸

處吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風(fēng)險？

13.（24-25八年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍

內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，臺風(fēng)過后，某山坡上的一棵甲樹從點A處被攔腰折斷，其樹頂

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恰好落在另?棵乙樹的根部。處，已知點A距離甲樹的根部8處48為4米，甲、乙兩樹根部的距離8C為13

米，兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）。為12米，且點A,B,。在一條直線上，AD1CD,求甲樹

原來的高度.

題型五、航海問題

14.（24-25九年級上,廣西玉林?期末）如圖，某港口戶位于東西方向的海岸線上."遠航"號、"海天"號輪船

同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號沿東北方向航行，每小時航行16海里，"海天"號沿西北方

向航行，每小時航行12海里.它門離開港口1.5小時后分別位于點。，及處，此時兩船的距離是（）

A.32海里B.42海里C.40海里D.30海里

15.（24-25八年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，輪船甲從港口。出發(fā)沿北偏西25。的方向航行6海里，同

時輪船乙從港口。出發(fā)沿南偏西65。的方向航行8海里，這時兩輪船相距海里.

16.（17-18八年級上?浙江金華?期末）如圖，某港口Q位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、"海天”號輪船

同時離開港口，各自沿一固定方向航行，"遠航”號每小時航行16nmile,“海天”號每小時航行12nmile.它

們離開港口一個半小時后分別位于點。，R處，且相距30nmile.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知

道“海天"號沿哪個方向航行嗎？

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17.（24-25八年級上?四川宜賓?期末）在海平面上有4,B,。三個標(biāo)記點，。為燈塔，港口4在燈塔C的

北偏西55。方向上，港口力與燈塔。的距離是40海里；港口B在燈塔C的南偏西35。方向上，港口8與燈

塔。的距離是30海里，一艘貨船將從力港LI沿直線向港口“運輸貨物，貨船的航行速度為10海里/小時.

（1）貨船從港口A航行到港口B需要多少時間；

⑵為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發(fā)送安全信號，信號有效覆蓋半徑為25海里，這艘貨船在由港

口,4向港口8運輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信號時間不低于1小時才符合航行

安全標(biāo)準(zhǔn).請問這艘貨船在本次運輸中是否符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由？

題型六、河流寬度問題

18.（24-25八年級下?遼寧葫蘆島?期中）在一次研學(xué)活動中，小宣同學(xué)欲控制遙控輪船勻速垂直橫渡一條河,

但由于水流的影響，實際上岸地點C與欲到達地點B相距8米，結(jié)果輪船在水中實際航行的路程AC比河

的寬度力8多2米，則河的寬度48是（）

A.6米B.9米C.12米D.15米

19.（22-23八年級下?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，某渡船從點8處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受

水流的影響，實際沿著8c航行，上岸地點C與欲到達地點/相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)8c比河寬力夕多10米.

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A

B

⑴求該河的寬度川九（兩岸可近似看作平行）

⑵設(shè)實際航行時，速度為每秒5米，從C回到力時，速度為每秒4米，求航行總時間.

20.（18-19八年級下?遼寧撫順?階段練習(xí)）在:海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)

造處該島的一個數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形/8CQ）,4C是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中N8=90。，AB

=BC=5千米，CQ=30千米，"）=4近千米.

⑴求小溪流力C的長.

⑵求四邊形48CO的面積.（結(jié)果保留根號）

題型七、臺階長度問題

21.（23-24八年級下?江西宜春?期末）如圖是臺階的示意圖，若每個臺階的寬度都是30cm,每個臺階的高

度都是15c,〃.連接AB,則AB的長度是（）

A.185。〃？B.C.205cmD.215cm

22.（24-25八年級上?江西吉安?期末）某賓館裝修，需在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓楞臺階完全蓋

住.樓梯臺階剖面圖如圖，已知NC=90。，JC=3m,AB=5n）.

⑴求8c的長;

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（2）若已知樓梯寬2.8m,需要購買n?的地毯才能鋪滿所有臺階.

23.（23-24八年級上?山東棗莊?階段練習(xí)）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上

地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個嘍道至少需要多少元？

題型八、是否超速問題

24.（23-24八年級下?湖南湘西?期中）學(xué)生安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超

速.如圖，某校門前一條直線公路建成通車，在該路段限速5m/s,為了檢測車輛是否超速，在公路

旁設(shè)立了觀測點C,從觀點。測得一小車從點4到達點3行駛了10s.若測得NC4V-45。，/CBN-60°,

8c=100m.此車超速了嗎？請說明理由.（6=1.73，72=1,41）

25.（23-24八年級下.河北廊坊?階段練習(xí)）“為了安全，請勿超速".如圖，一?條公路建成通車，在某路段

上限速60千米小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點C,從觀測點。測得一小車從點

力到達點8行駛了5秒，已知NC8N=60。，8C=200米，/。=100面米?

⑴請求出觀測點C到公路MN的距離；

⑵此車超速了嗎？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：及7.41，73^1.73）

26.（24-25八年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖所示，A點裝有一車速檢測儀，它到公路邊的距離AN=90米,

小汽車行駛過檢測儀監(jiān)控區(qū)域，到達N點時開始計時，離開“點時停止計時，已知力收=150米.

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知識窗

1m/s=3.6km/h

車速超過

120km/h即為

超速

⑴若一輛汽車以108km/h的速度勻速通過監(jiān)控區(qū)域，共用時幾秒？

⑵若另一輛車通過監(jiān)控區(qū)域共用時3秒，該車是否超速？請說明理由.

題型九、受臺風(fēng)影響問題

27.（24-25八年級上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，兩條公路4、4交于點。，在公路（旁有一學(xué)校A,與。點

的距離為250m,點A（學(xué)校）到公路4的距離4"為150m.一大貨車從。點出發(fā)，行駛在公路右上，汽車

周圍200m范圍內(nèi)有噪音影響.

⑴貨車開過學(xué)校是否受噪音影響？為什么？

（2）若汽車速度為50m/s,則學(xué)校受噪音影響多少秒鐘？（夜。1.41，百。1.73，舊=224,"。2.65）

28.（24-25八年級.卜.?福建三明?期末）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍上千米的范圍內(nèi)

形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，有一臺風(fēng)中心沿力3方向由點A向點4移動，已知點C為一海港，

且點C與直線力4上兩點4,8的距離分別為60km和80km,4B=100km,以臺風(fēng)中心為圓心周圍50km以

內(nèi)為受影響區(qū)域.

⑴海港。受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

（2）若臺風(fēng)的速度為14km/h,則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？

29.（24-25八年級上?陜西西安?期末）慶慶家附近有一條東西走向的公路（川?），一天一輛宣傳車從這條路

上經(jīng)過.如圖，從監(jiān)測中心4處測得這輛宣傳車從8點開始沿/出所在直線由東向西運動，已知點。為慶

慶家的位置，點。與監(jiān)測中心力的距離（4。）為400m,與這輛宣傳車的起始位置8的距離（AC）為300m,

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且4C8=90。，過點C作。1/8于點。，以這輛宣傳車為圓心，半徑為260m的圓形區(qū)域內(nèi)會聽到宣傳

車的聲音.

C

⑴求監(jiān)測點A與宣傳車的起始位置B之間的距離；

⑵若這輛宣傳車的行駛速度為25m/min,則慶慶家能聽到多長時間的宣傳車聲音？

題型十、杯中筷子問題

30.（24-25八年級上?陜西咸陽?階段練習(xí)）一支鉛筆斜放在圓柱年的筆筒中，如圖所示，筆筒的內(nèi)部底面直

徑是6cm,內(nèi)壁高8cm.若這支鉛筆在筆筒外面部分長度是5cm,求這支鉛筆的長度是多少cm?

31.（23-24八年級下?天津河西?期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題.有一個水池，水面

是一個邊長為10尺（48=10尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦（點尸是力方的中點），它高出水面

1尺（MP=1尺）.如果把這根蘆茸拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面（MN=BN）,求

水的深度PN.

N

32.（2023八年級卜.?全國?專題練習(xí)）如圖，湖面上有一朵盛開的紅蓮，它高出水面30cm.大風(fēng)吹過，紅蓮

被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為60cm,則水深是多少？

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30cm

33.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）如圖，一個直徑為10cm（即4c=10cm）的圓柱形杯子，在杯子底面

的正中間點E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm（即/G=lcm），當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底端

不動），筷子頂端正好觸到杯壁。，求筷子GE的長度.

G

能力提升題

題型一、選址問題

34.（24-25八年級」?貴州貴陽?階段練習(xí)）如圖所示，鐵路上有48兩點（看作直線上兩點）相距40km,

C,。為兩村莊（看作兩個點），AD1AB,BC上AB,垂足分別為力，B,AD=24km,8C=16km,現(xiàn)

在要在鐵路旁修建一個檢修點￡使得C,。兩村到檢修點￡的距離相等（點兒B,C,。，￡在同一?平面）.

D

C

--------------

⑴諳用尺規(guī)作圖，在圖中作出檢修點石的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵求檢修點后應(yīng)建在距A點多少千米處？

35.（24-25八年級.匕江蘇宿遷?期中）如圖所示，鐵路上有A8兩點（看作直線上兩點）相距40千米，C、

。為兩村莊（看作兩個點），AD1AB,BCtAB,垂足分別為小B,力0=24千米，8C=16千米，現(xiàn)在

要在鐵路旁修建一個煤棧，使得C、。兩村到煤棧的距離相等，問煤棧應(yīng)建在距4點多少千米處？

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D

36.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在一條筆直的馬路斯同側(cè)有A,8兩個小區(qū)，A小區(qū)到

馬路的垂直距離/C為10千米，8小區(qū)到馬路的垂直距離8。為2千米，的長度為15千米.

A

B

F——L---------------------L——F

匕CDr

⑴求A,4小區(qū)之間的距離：

（2）現(xiàn)要在線段。。上修建一個車站使得車站E?到A,"兩小區(qū)的距離相等，此時車站E應(yīng)修建在離點C

多遠處？

題型二、最短路徑問題

2

37.（24-25八年級上?甘肅蘭州?期中）如圖,已知圓柱體底面圓的半徑為一,高為2,38,CD分別是兩底

71

面的直徑.若一只小蟲從力點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點，求小蟲爬行的最短路線的長度：結(jié)果保留根

38.（22-23八年級上?河南駐馬店?期中）如圖，長方體的長8E=15cm,寬48=10cm,高彳。=20cm,點

M在C〃上.且CW=5cm.一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點4爬到點需要爬行的最短距離是多

少？

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39.（24-25八年級上?貴州畢節(jié)?期中）如圖,一個密封的圓柱形油罐底面的周長是10m,高是15m,一只壁

虎在距底面3m的點A處，油罐上底面與點A相對的點C處有食物，壁虎沿油罐的外側(cè)面爬行到點。處捕食,

它爬行的最短路程為多少米？

題型三、最值問題

40.（19-20八年級上?江蘇無錫?期中）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線i同旁有兩個

定點力、B,在直線/上存在點P,使得P4+P8的值最小.解法：如圖1,作點力關(guān)于直線/的對稱點W,

連接則44與直線/的交點即為P,且尸力+尸4的最小值為43.

圖1圖2圖3

請利用上述模型解決下列問題：

⑴;I何應(yīng)用：如圖2,V48C中，“=90。，AC=BC=2,￡是的中點，。是8c邊上的一動點，則尸/+PE

的最小值為二

⑵代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式5?+43-力+9（0<x<3）的最小值；

⑶凡何拓展：如圖3,VABC,AC=2,/力=30。，若在4B、4C上各取一點M、N使CH+MN的值最

小，最小值是一.

4L（24-25八年級上?甘?肅蘭州?期中）綜合與實踐

背景介紹：勾股定理是兒何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名

的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

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圖1圖2備用圖

⑴把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為〃、〃、c.顯然，ND4B=NB=90",力。用

含。、〃、。的式子分別表示出梯形44CQ、四邊形4EC。、8c的面積，再探究這三個圖形面積之間的

關(guān)系，可得到勾股定理.上述圖形的面積滿足的關(guān)系式為,經(jīng)化簡，可得到勾股定理

（2）如圖2,鐵路上A、8兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、。為兩個村莊（看作兩個點），AD1AB.

BCLAB,垂足分別為A、B,4。=24千米，8c=16千米，則兩個村莊的距離為千米（直接填

空）；

⑶在（2）的條件下，要在44上建造一個供應(yīng)站P,使得PC=PO,求出/尸的距離.

⑷借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式7779+7（16-X）2+81的最小值（0<x<16）.

42.（24-25八年級上?四川達州?期末）如圖，桌上有一個圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計），高為10cm,底

面周長為12cm,在盒子外壁離上沿2cm的點A處有一只螞蟻，此時，盒子內(nèi)壁離底部4cm的點8處有一滴

蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點8處吃蜂蜜，求螞蚊爬行的最短EF.離（）

A.12cmB.2\/3cmC.6>/2cmD.10cm

43.（24-25八年級上?陜西西安?期末）如圖，長方體的長為20cm，寬為15cm,高為10cm,點8離點。為6cm,

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點力爬到點8去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）

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c.27194cmD.4歷cm

44.（2024?四川德陽?二模）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為18cm,底面周長為12cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部7cm的4處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿icm的點8處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是—cm.

45.（23-24八年級上?浙江溫州?期中）人字梯的原理是三角形的穩(wěn)定性，梯子頂端力與腳底兩瑞點8,。構(gòu)

成等腰三角形（48=力。）.圖甲是梯子兩腳架夾角力為90。時的示意圖，圖乙是由圖甲當(dāng)點8與點C的距離

縮小120cm,而點4與地面的距離增大40cm時的示意圖，若點/與地面的距離為170cm時，則此時點8與

點C的距離是cm.

46.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）2023年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影

響，據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺風(fēng)中心為圓心，250km

為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響），如圖，線段8C是臺風(fēng)中心從C市向西北方向移動到8市的大致路線,

力是某個大型農(nóng)場，且48J.42.若。之間相距300km,A,8之間相距400km.

C

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⑴判斷農(nóng)場力是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由.

(2)若臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間為5.6h,則臺風(fēng)中心的移動速度是多少？

47.(22-23八年級上?江蘇無錫?期中)勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證

明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.證

法如下：把兩個全等的直角三角形如圖1放置(Rt&lBCgRtADdE),ND4E=NB=90。，點E在落在邊

48上，此時力CJ_OE,設(shè)RtZXXBC中，BC=a,AC=hfAB=c,用。、b、c分別表示出梯形NBC'。、

四邊形4ECO、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可證明勾股定理.

⑴請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系，證明勾股定理；

(2)如圖2,某平原上有一條鐵路人在鐵路的同側(cè)有兩個小鎮(zhèn)。且相距3而千米，它們到鐵路的距離分

別是2千米和5千米，現(xiàn)要在鐵路上修建一個站點P和站點到兩鎮(zhèn)的公路，為使總造價最低，請在圖上確

定P的位置，并求出兩條公路的總長；

(3)借助上面的思考過程，求代數(shù)式J(x+4『+25-二的最大值.

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3.3勾股定理的簡單應(yīng)用

題型一、梯子滑落問題

題型二、旗阡高度問題

題型三、小鳥飛行問題

題型四、大徒折斷問題

基礎(chǔ)達標(biāo)題型五、航海問題

題型六、河流寬度問題

題型七、臺階長度問題

題型八、是否超速問題

題型九、受告風(fēng)影晌問題

勾股定理的題型十、壞中筷子問題

簡單應(yīng)用題型一、選址問題

能力提升題型二、最短路徑問題

題型三、最值問題

拓展培優(yōu)

A基礎(chǔ)達標(biāo)題」

題型一、梯子滑落問題

1.（24-25七年級上?山東泰安?期中）某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左增DE時，

梯子底端力到左墻的距離40為0.7m,梯子頂端。到地面的距離。E為2.4m,若梯子底端力保持不動，將梯

子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為2m,則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為（）

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A.2.2mB.2mC.1.5mD.2.5m

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出力8的長，進而可得出結(jié)論.

【詳解】解：在中，Z-AED=90°,4E=0.7m,DE=2.4m,

/.AD=>/AE2+DE2=2.5,

在中，N4BC=90。，BC=2m,AC=AD=2.5,

：,AB=8Ad-8c2=<6.25-4=1.5,

：.BE=AE+AB=0.7+1.5=2.2m,

故選:A.

2.（24-25八年級上?四川成都?期末）每年的11月9日是我國的消防日，為了增強全民的消防安全意識，某

校師生舉行了消防演練，如圖，云梯AC長為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻OC上（墻與地面垂直），云

梯底端A與墻角O的距離為7米.

⑴求云梯頂端C與墻角O的距離C。的長；

（2）現(xiàn)云梯頂端C下方4米。處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點。處，則云梯底端水平方向向右滑

動的距離A8為多少米.

【答案】（1）云梯頂端C與墻角。的距離CO的長為24m

⑵云梯底端在水平方向上滑動的距離48為8m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1）在RtAOB。中，根據(jù)勾股定理即可得到求解；

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(2)在RtAOB。中，根據(jù)勾股定理求出OB,即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：???在RtZiOAC中，AC=25m,AO=7m,

???由勾股定理得人。2+CO2=AC2,

BP72+CO2=252,

解得：CO=24；

答：云梯頂端C與墻角。的距離CO的長為24m；

(2)解:vCD=4m,CO=24m,

???OD=CO-CD=24-4=20(m),

在Rt/kOBD中，8。=25m,0D=20m,

由勾股定理得。。2+OB2=BD2,

BP202+OB2=252,

解得：OR=15,

OA=7m,

???AB=OB-OA=15—7=8m.

答：云梯底端在水平方向上滑動的距離AB為8m.

3.（16-17八年級上?廣東佛山?期末）如圖，一架長25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端〃離墻

7米.

⑴此時梯子頂端離地面多少米？

（2）若梯子頂端力下滑4米到C,那么梯子底端將向左滑動多少米？

【答案】⑴此時梯子頂端離地面24米；

⑵梯子底端將向左滑動了8米.

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.

（1）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，根據(jù)勾股定理可求解出梯子頂端離地面的距離；

（2）構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

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【詳解】（1）解：如圖，??NB=25米，BE=7米,

梯子距離地面的高度4E=V252-72=24米.

答：此時梯子頂端離地面24米；

（2）解：???梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度CE=（24-4）=20米，

：,BD+BE=DE=>JCD2-CE2=V252-202=15,

???DE=15—7=8（米），即下端滑行了8米.

答：梯子底端將向左滑動了8米.

4.（24-25八年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另

一端向右走，繩端從。移動到R同時小船從力移動到當(dāng)且繩長始終保持不變.

⑴根據(jù)題意可知：ACBC+CE（填“>"、意可

⑵若CF=5米，力尸=12米，AB=9米,求小男孩需向右移動的距離.（結(jié)果保留根號）

【答案】⑴二

⑵小男孩需向右移動的距離為（13-件）米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1）由繩長始終保持不變即可求解；

（2）由勾股定理求出4C、8C的長，然后根據(jù)=-即可求解.

【詳解】（1）解：???AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，（8C+CE）的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始

終保持不變，

???AC=BC+CE,

故答案為：=

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(2)連接AB,

???點8在直線4尸上，

???點4、B、尸三點共線，

vCF1AF,CT=5米，4F=12米，48=9米，

在Rt△C4尸中，AC=>JAF2+CF2=V122+52=13米，

-：BF=AF-AB=12-9=3（米），

在Rt△CBF中,BC=>JCF2+BF2=V52+32=/米，

vAC=BC+CE,

CE=AC-BC=（13-?。┟?，

???小男孩需向右移動的距離為（13-南）米.

題型二、旗桿高度問題

5.（24-25八年級上?福建泉州?期末）學(xué)過《勾股定理》后,某班數(shù)學(xué)興趣小組到操場上測量旗桿48高度，

信息如下：

①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子長度等于旗桿4B高度（如圖甲）；

②一個同學(xué)將繩子向一邊拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離為2米，到旗桿的距離CE為7米（如

圖乙）.）.

設(shè)旗桿4B的高度為x米，根據(jù)以上信息，則所列方程為（）

A.x2+72=（x+2）2B.X2+72=（x-Z）2

C.（%-2）2+72=（%+2）2D.（x-2）2+72=x2

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，在RtZiAEC中，由勾股定理可得Q-2）2+62=/,數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)旗桿4B的高度為z米，

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;BE=CD=2米，CE=7米，

???根據(jù)以上信息，在RtzMEC中，由勾股定理可得?！?）2+72=，，

故選：D.

6.（24-25八年級上?全國?期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端

彳的繩子垂到地面多出一段的長度為3米，小強同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在地面點C處，點C到旅桿

底部點〃的距離為9米.

⑴求旗桿力B的高度；

（2）小強在。處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落在點E處,

點E到地面的距離E0為2米，求小強后退的距離（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73,

V5?2.24）

【答案】（1）12米

（2）2.2米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，物練掌握勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直

角三角形是解此題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)旗桿力B的高度為X米，貝"C為（％+3）米，在中，運用勾股定理建立方程求解；

（2）如圖，過E作EG14B于點G：則四邊形BDEG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出相關(guān)邊長，在Rt△4GE中,

根據(jù)勾股定理求得得EG=56（米），再由CO=80即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)旗桿的高度為％米，則4C為（％+3）米，

在48=90°,

222

???AB+BC=ACf

???BC=9米，

...%2+92=（%+3）2,

解得：x=12,

答：旗桿AB的高度為12米;

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（2）解：如圖，過E作EGJ.于點G,

:?乙BGE=Z.AGE=90°,

Z.BGE=Z.B=Z.D=90°,

四邊形BDEG是矩形，

.?.8G=DE=2米，EG=BD,

:.AG=AB-BG=12-2=10（米），

由（1）可知，AE=AC=12+3=15（米），

在RtUGE中，乙4GE=90。，

根據(jù)勾股定理，得EG=\/AE2-AG2=V152-102=5通（米），

:.BD=5通米，

???C。=8。-8c=56-9右5x2.24-9=11.20-9=2.20、2.2米，

答：小強后退的距離約為2.2米.

7.（23-24八年級上.廣東深圳?階段練習(xí)）學(xué)過《勾股定理》后.某班興趣小組來到操場上測量旗桿力8的高

度，得到如下信息：

①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；

②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離CD為3米，到旗桿的距離CE為10米（如圖

2）.

根據(jù)以上信息，求旗桿的高度.

【答案】

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【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識并在直角三角形中正確運用是解題的

關(guān)鍵.設(shè)48=%米，在RtaACE中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)48=無米，根據(jù)題意得：

在RtUCE中，AC2=AE2+CE2,

即：（%+3）2=0-3）2+102,

解得：%=冬

答：旗桿力8的高度為胃米.

題型三、小鳥飛行問題

8.（24-25八年級上?河南鄭州?期末）軒軒同學(xué)在校園里散步時看到鳥兒飛來飛去的場景，提出了一個有趣

的數(shù)學(xué)問題：有兩棵樹，一棵高6m,另一棵高2m,兩樹相距6m,一只小鳥要從一棵樹的樹頂?shù)搅硪豢脴?/p>

的樹頂，至少需要飛多遠？下列結(jié)果最接近的是（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股定理及無理數(shù)的估算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；如圖，AD=6m,CE=

BD=2m,BC=DE=6m,乙4BC=90。，然后根據(jù)勾股定理及無理數(shù)的估算可進行求解.

【詳解】解：如圖，

DE

由題意得：AD=6m,CE=BD=2m,BC=DE=6m,Z.ABC=90°,

=AD-BD=4m,

???在Rt△力BC中，由勾股定理得：AC=>/AB2+BC2=2V13m,

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V3.6VVT5V3.7,

.\7.2<2VT3<7.4,

故選C.

9.（24-25八年級上?浙江?期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高48為11米，另一棵樹高CD為6

米，兩樹的距離8C為12米.若一只小鳥從一棵樹的樹梢力飛到另一棵樹的樹梢C,則小鳥至少要飛行米.

【答案】13

【分析】本題考查了勾股定理，過C作CE平行地面，連接4C,由題意得CE=12米，4E=ll-6米，由

勾股定理可得4C的長，即小鳥至少要飛行的距離.

【詳解】解：過C作CE平行地面，連接4C,

由題意得，48=11米，4￡=11-6=5米，CE=BD=12米，

由勾股定理得，AC=yjAE2+CE7=A/52+122=13米，

故答案為：13.

10.（24-25七年級上?山東東營?期中）如圖，小明操縱無人機從網(wǎng)尖A飛向旗桿頂端C,已知樹高5m,旗桿

高21m,樹與旗桿之間的水平距離為12m,則無人機飛行的最短距離為多少？

C

A

RD

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【答案】20m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，作4E1CD于E,連接4C,由題意得：DE=AB=5m,AE=BD=12m,

△4EC=90。，求出CE=16m,最后由勾股定理計算即可，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：如圖，作4E1C0于E,連接4C,

Z4c

BD9

由題意得：DE=AB=5m,AE=BD=12m,/.AEC=90°,

CE=CD-DE=21-5=16m,

AC=y/AE2+CE2=V122+162=20m.

即：無人機飛行的最短距離為20m.

題型四、大樹折斷問題

11.（21-22八年級下?福建福州?期中）如圖，一棵樹在一次強臺風(fēng)中，從離地面5m的點C處折斷，倒下后

樹頂端著地點4與樹底端力相距12m,則這棵樹在折斷前的高度是（）.

【答案