八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01（人教版

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版新教材三角形?軸對稱。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

【分析】考查軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，符合題意；

B、是軸對稱圖形，不符合題意；

C、是軸對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不符合題意；

故選A.

2.（3分）若三角形的兩邊長分別為4和9,則該三角形第三邊的長可能是（）

A.7B.4C.13D.5

【答案】A

【分析】考查了三角形的三邊關(guān)系“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三

邊”，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可得.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)三角形第三邊的長為X,

,?,這個(gè)三角形的兩邊長分別為4和9,

?-,9-4<%<9+4,即5Vx<13,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A符合，

故選：A.

3.（3分）如圖，在人字梯的中間一般會設(shè)計(jì)一拉桿，這樣做的原理是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.三角形的穩(wěn)定性

C.兩點(diǎn)確定一條直線D.兩直線平行，同位角相等

【答案】B

【分析】考查三角形的穩(wěn)定性，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的穩(wěn)定性.由

三角形具有穩(wěn)定性，即可得到答案.

【詳解】解：在人字梯的中間一般會設(shè)計(jì)一拉桿，可以使人字梯穩(wěn)定，

這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性.

故選：B.

4.（3分）如圖，在△4BC和△CDE中，點(diǎn)B、D、C在同一直線上，已知乙4cB=NE,AC=CE,添加以

下條件后，仍不能判定△4BC三△CDE的是（）

A.Z-A=Z,DCEB.AB||DE

C.BC=DED.AB—CD

【答案】D

【分析】考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.根據(jù)全等三角形的判定方

法逐一判斷即可.

【詳解】解：A、/-A=Z.DCE,AC=CE,乙ACB=AE,由“ASA”能判定△ABC三△CDE,不符合題意；

B、AB||DE,則=再結(jié)合NACB=NE,AC=CE,由"AAS”能判定△ABC三△CDE,不符合題

忌；

C、BC=DE,乙ACB=LE,AC=CE,由“SAS”能判定△ABC三△CDE,不符合題意；

D、AB=CD,AC=CE,AACB=Z.E,由“SSA”不能判定△力BC三△CDE,符合題意；

故選：D.

5.（3分）如圖是作△ABC的作圖痕跡,則此作圖的已知條件是（）

A.已知兩邊及夾角B.已知三邊

C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及一邊對角

【答案】C

【分析】考查了常見的基本作圖，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.由圖可知已知線段48,a,0,由此即

可判斷解答.

【詳解】解：由圖可知：已知線段AB,ACAB=a,乙CBA=0,

故選：C.

6.（3分）一副三角板如圖方式擺放，BM平分DM平分乙BDC,貝此BMD的度數(shù)為（）.

107.5°C.112.5°D.115°

【答案】C

【分析】主要考查角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和為180。，掌握其性質(zhì)及兩特殊三角形角的度數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

由題可知乙4BD=75°,4BDC=60°,再結(jié)合角平分線及三角形內(nèi)角和為180。即可求解.

【詳解】根據(jù)題意乙4BC=45°/CBD=30°/BDC=60°,

???/.ABD=75°,

又BM平分NAB。，DM平分N8DC,

所以NMBD=彳=37.5ZBDM=30°,

在△BDM中,4MBD+4BDM+/.BMD=37.5°+30°+Z.BMD=180°,

解得N8MD=112.5°.

故選：C.

7.（3分）如圖，在△ABC中，DE垂直平分4B,連接BD,△BDE的周長為20,△4BC的周長比四邊形BCDE

的周長多10,則線段DE的長為（）

【答案】B

【分析】考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到

線段兩端點(diǎn)的距離相等.先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。力=。8,AE=BE,再利用△8DE的周長為

20得至IJBE+BD=20—DE,接著利用力B+4C+BC—(CD+DE+BE+BC)=10得到BE+BD—DE=10,

所以20—OE—DE=10,然后解方程即可.

【詳解】解：???OE垂直平分4B,

■■.DA=DB,AE=BE,

???△BDE的周長為20,

■■.DE+BE+BD=20,

.?.BE+BD=20—DE,

???△ABC的周長比四邊形BCDE的周長多10,

■.AB+AC+BC-(CD+DE+BE+BC)=10,

即2BE+AD+CO+BC—CD—DE—BE—BC=10,

.-.BE+BD-DE=10,

.-.20-DE-DE=10,

解得DE=5.

故選：B.

8.（3分）已知一張三角形紙片4BC（如圖甲），其中4B=4C.將紙片沿過點(diǎn)8的直線折疊，使點(diǎn)C落到4B

邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）.再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)4恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如

圖丙）.原三角形紙片力BC中，N4的大小為（）

【答案】C

【分析】主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及等腰

三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.設(shè)乙4=x,由折疊的性質(zhì)得到NEn4=N4=x,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等

腰三角形的性質(zhì)得到乙4BC=NC=2x,再利用三角形內(nèi)角和定理求出》,即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)=

由折疊得：/-EDA=Z.A=x,Z.C=乙BED=Z.A+Z.EDA=2x,

AB=AC,

?1?Z.ABC=zC=2x,

?-Z.A+/.ABC+ZC=180°,

???x+2x+2x=180°,

??-x—36°,

???/.A=x=36°.

故選：C.

9.（3分）如圖，在四邊形ABC。中，ABACAD,ABIAC,力于點(diǎn)￡.若BD=20,AE=6,則

△BCD的面積是（）

A

A.60B.40C.30D.20

【答案】B

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形.過點(diǎn)C分別作4E,交4E的延長線

于點(diǎn)R作CG1BZ）于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出DE=BE=TBD=10,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及角

的和差求出NB4E="CF,利用AAS證明△4BE三△C4F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BE=AF=10,則

EF=AF-AE=4,根據(jù)平行線間的距離處處相等求出CG=EF=4,再根據(jù)△BCD的面積=求解

即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C分別作CFSE,交4E的延長線于點(diǎn)作CG1BD于點(diǎn)G,

'：AB=AD,AE1BD,

:.DE=BE=^BD=10,

'.'AB1AC,CF1AE,

+ACAF=^CAF+AACF=90°,

：.Z-BAE=Z.ACF,

：.AABE=ACAF(AAS),

.-.BE=AF=10,

：.EF=AF-AE=4,

MCGE=Z.GEF=Z.CFE=90°,

：.CG=EF=4,

△BCD的面積=^BD-CG=|x20x4=40,

故選：B.

10.（3分）如圖，點(diǎn)C是線段4B上一點(diǎn)，△ACM、ABCN是等邊三角形.AN與CM交于點(diǎn)、E,BM與CN交

于點(diǎn)R?V與BM交于點(diǎn)D下列結(jié)論：①AN=BM；②CD1EF；③△ECF是等邊三角形；④DC平分

"DB.其中正確的有（）個(gè)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，找出全等三角形是解題的關(guān)鍵.由

SAS可證aaCN三△MC8,可得2N=8M,故①正確；由ASA可證△4CE三△MCF,可得CE=CF,可證

△ECF是等邊三角形，故③正確；由全等三角形的性質(zhì)可得=可得NCED+/MFC=180。,

則可證DE不一定等于DF,即CD不一定垂直平分EF,故②錯(cuò)誤；由全等三角形的性質(zhì)可得S^CN=S^MCB，

由面積公式可證CH=CG,由HL可證RtZkCOG三RtZkCOH,可得/CDG=Z.CDH,故④正確.

【詳解】解：ABCN是等邊三角形，

.-.AC=CM,CN=CB,^ACM=ABCN=60°,

:/ACN=乙MCB,

在△ACN和aMCB中，

(AC=CM

\AACN=乙MCB,

ICN=CB

；.△ACN三△MCB(SAS),

.-.AN=BM,乙CMB=4CAN,

故①正確；

???Z4CM=乙BCN=60°,

:/MCN=60°=/.ACM,

在△力CE和AMCF中，

(/LACE=乙MCF

]AC=MC,

{/.CAE=Z.CMF

△ACEm△MCF(ASA),

??.CE=CF,

,.2ECF=60°,

??.△ECF是等邊三角形，

故③正確，

-AACE=AMCFf

???乙4EC=乙MFC,

-A.AEC+ACED=180°,

"CED+乙MFC=180°,

.,zCE。不一定等于4CFM,

???4DEF不一定等于4DFE,

.??DE不一定等于DF,

又???

CE=CFf

???CD不一定垂直平分EF,

故②錯(cuò)誤；

如圖，過點(diǎn)。作CG,4V于G,CH上MB于H,

???S/XACN=SAMCB，

???—N?CG=：BM-CH,

；.CH=CG,

在Rt△COG和Rt△CO”中,

(CG=CH

LCD=CD'

.-.Rt△CDG^Rt△CO"(HL),

"CDG=乙CDH,

.?CD平分乙40B,

故④正確；

綜上所述：正確的有①③④，一共3個(gè);

故選：B.

二、填空題（共18分）

11.（3分）已知4（a—2,—1）與點(diǎn)B（—1力+2）關(guān)于x軸對稱，則a+b=

【答案】0

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱，橫不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，列式解答即可.

考查了x軸對稱的特點(diǎn)，求代數(shù)式的值，熟練掌握對稱是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：4（a—2,—1）與點(diǎn)B（—1力+2）關(guān)于x軸對稱，

故a—2=-l,b+2=1,

解得a=l,b=-1,

故a+b=l—1=0,

故答案為：0.

12.（3分）在△ABC中，ZC=90°,zX-zB=30°,貝！UA=.

【答案】60°

【分析】根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余得出NA+NB=90。，解方程組即可.

【詳解】解：在△4BC中，ZC=90°,

.-.zX+NB=90°,

的七鏟4f1fz■4+Z.B=90°z（/.A=60°

解方程1組t乙4一乙B=30°得B，UB=30°

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】考查了三角形內(nèi)角和和解方程組，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，列出方程組.

13.（3分）如圖，在△ABC中，AD是aABC的中線，AB=12,AD=8,則4C的取值范圍是.

【答案】4<47<28

【分析】考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，延長/。至點(diǎn)E,使=連接BE,證明

AADC=AEDB,進(jìn)而得到4：=BE,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出BE的范圍，即可.

【詳解】解：延長4。至點(diǎn)號使連接BE,貝lj：AE=2AD=16,

??弘。是的中線，

：.BD—CD,

又???乙40c=乙BDE,

???△/DC三△EDB,

：.AC—BE,

-AB=12fAE=16,

：.AE-AB<BE<AE+AB,即：4<BEV28,

.-.4<AC<28；

故答案為：4<AC<28.

14.（3分）如圖，在RtaABC中，ZC=90°,乙CAB=2乙B,AD平分NC4B,若CD=2,貝ijBD的長度為

【答案】4

【分析】考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，由直角三角形的性質(zhì)可得NB=30。,

Z.CAB=60°,進(jìn)而由角平分線的定義得NC4D=ABAD=^CAB=30°,即得4D=2CD=4,

乙BAD=LB,據(jù)此即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.NC=90。，

：./.CAB+NB=90°,

,：Z-CAB=2（B,

???3/B=90°,

"B=30°,

??/CAB=60°,

???ZD平分乙CAB,

1

r.^CAD=乙BAD=^CAB=30°,

：.AD—2CD—4,Z-BAD—乙B,

：.BD=/D=4,

故答案為：4.

15.(3分)已知△ABC是等腰三角形，若/D為腰BC邊上的高，當(dāng)=2ND時(shí)，NC/8的度數(shù)是

【答案】15?；?0?；?5。

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類思想解答即可.

考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類思想，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)=B/時(shí)，取的中點(diǎn)。，連接DQ,

-AB=2AD,ADLBCf

.-.AD=DQ=BQ=AQ=|XS,

：./-B=2BDQ,Z-DQA=Z-DAQ,Z-B+Z-DAQ=90°,

-Z.DQA=乙8+(BDQ=2乙B,

；/B+2(B=90°,

-1ono_/D

=30°,/.CAB=AACB=---=75°；

當(dāng)=時(shí)，-AB=2ADfADIBC,

根據(jù)前面證明得NB=30°,

：./.CAB=/.CBA=30°；

當(dāng)BC=員4時(shí),-AB=2AD,AD1BC,

根據(jù)前面的證明，得乙480=30。

：.Z-CAB=Z.ACB；

-Z.ABD=30°=乙CAB+乙ACB,

i^CAB=15°.

A

ti

D

故答案為：15?；?0?；?5。.

16.（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線BD平分N4BC,乙DCB=a,乙4BC=。,

/-BAD+^CAD=180°,那么ND4c的度數(shù)為（用含a、/的關(guān)系式表示）.

【答案】a+5—90。

【分析】主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)

鍵.過。點(diǎn)作DE184于E點(diǎn)，過。點(diǎn)作DF18C于F點(diǎn)，過。點(diǎn)作DG，4C于G點(diǎn)，判定力。為NE4C的平分線,

CD為乙4CF的平分線，即可得出AD4C的度數(shù).

【詳解】解：如圖，過。點(diǎn)作DE1B力于E點(diǎn)，過。點(diǎn)作DF1BC于尸點(diǎn)，過。點(diǎn)作DG，4C于G點(diǎn)，

又???BD是乙4BC的平分線

???DE=DF,

又VZ-BAD+/.CAD=180°,4BAD+^EAD=180°,

Z-CAD=Z-EAD,

.?.40為?C的平分線，

??.DE=DG,

??.DG=DF.

???CO為乙4CF的平分線，

??,Z-DCB=a,

???乙DCF=180。-a,

^ACF=2乙DCF=360°-2a,

???ABAC=^ACF-/.ABC=360°-2a-P，

ACAE=180°-(360°-2a—/?)=2a+6—180°,

???ADAC="CAE=a+90°,

故答案為：a+1/?-90°.

三、解答題（共72分）

17.（6分）如圖，在△ABC中，CD148于點(diǎn)。，BE1AC于點(diǎn)E,BE、CD相交于點(diǎn)尸，若=58。，求NBFC

的度數(shù).

【答案】122。

【分析】主要考查了垂線定義，三角形內(nèi)角和定理，連接。E,根據(jù)垂線定義得出N4DF=N4EF=90。，根

據(jù)44DE+NFDE=90。，/.AED+/.FED=90°,得出NA+NDFE=180。，根據(jù)=58。，求出

乙DFE=180°-58°=122。即可.

【詳解】解：連接OE,

?:CD14B于點(diǎn)BE1/C于點(diǎn)E,

：.Z.ADF=^AEF=90°,

.-.Z.ADE+AFDE=90°,AAED+/.FED=90°,

???△/+乙ADE+^AED=180°,乙DFE+乙FDE+"DE=180°,

：./-A+乙DFE=180°,

"DFE=180°-58°=122°,

"BFC=122°.

18.（6分）如圖，點(diǎn)。在ZB上，月在/C上，AB=AC,乙B=cC,求證：AD=AE.

【答案】見解析

【分析】考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形的公共邊和公共角.

根據(jù)兩邊及其夾角對應(yīng)相等可以判斷△ADE=△AEB,再由全等三角形對應(yīng)邊相等可說明結(jié)論.

【詳解】證明：在與△4CD中，

Z.A=Z.A

AB=AC,

Z-B=Z-C

△ACD=△XBE（ASA）,

--AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

19.（8分）如圖，的外角的平分線BP,CP相交于點(diǎn)尸，「后1/。于點(diǎn)石，PF1AC于

點(diǎn)、F.

(2)連接力P,若乙4BC=40。，求乙4PC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)20°

【分析】主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

(1)過P作PGLBC于G,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PE=PG,PF=PG,得出答案即可；

(2)根據(jù)角平分線的判定得出2P平分NB4C,根據(jù)角平分線定義得出NCaP=^NBaC,根據(jù)三角形外角性

-11

質(zhì)得出4PCH=/.CAP+/.APC,根據(jù)4BCH=/.BAC+/.ABC,得出式NBAC+N4BC)=^BAC+4APC,最

后求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)證明：過尸作PG1BC于G,如圖所示：

???PB平分NCBD,PE1BD,

：.PE=PG,

同理：PF=PG,

.-.PE=PF；

(2)解：-PELAD,PFLAC,PE=PF,

"P平分NB4C,

i

：.Z.CAP=jzBXC,

?：CP平分4BCH,

;/PCH=jzBCH,

MPCH=^CAP+^APC,

電BCH=^BAC+^APC,

MBCH=/.BAC+/LABC,

?^Z-BAC+/.ABC）="BAC+^APC,

i1

：./.APC=jzXBC=1x40°=20°.

20.（8分）如圖1,在14x7的△ABC長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,小正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)叫

(圖1)(圖2)

(1)請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

①請畫出△4BC的中線ZP和高BH.

②在線段ED右側(cè)找到點(diǎn)F,使得△ABC=△EFD.

(2)要求在圖2中僅用無刻度的直尺作圖在無軸上找點(diǎn)尸，使4E平分NBEF.

【答案】⑴①見解析；②見解析；

(2)見解析

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

(1)①取BC的中點(diǎn)尸(BC與網(wǎng)格線的一個(gè)交點(diǎn))，連接4P,取格點(diǎn)7,連接BT交2C于點(diǎn)〃，線段即為

所求；

②利用數(shù)形結(jié)合的思想，旋轉(zhuǎn)90度和平移，作出==即可；

(2)將△ABE繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△40M位置，可得N4M。=N4EB,再找到EM邊上的中線4G,延

長4G交x軸交點(diǎn)R連接EF,可得NFE4=N4MF=NBE4即是所求點(diǎn)尸.

【詳解】(1)解：①△4BC的中線4P和高如圖1.1,

圖LI

則線段2P,線段即為所求；

②如圖1.2,△EFD即為所求;

(2)解：4E平分NBEF,如圖2所示,

則點(diǎn)尸為所求.

21.(10分)如圖，4)是△ABC的角平分線，DE,DF分別是△4BD和△4CD的高，連接EF交4D于點(diǎn)0.

(1)求證：力。垂直平分EF；

(2)若匕EDF=120°,求證：AO=3DO.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)定理可證△D4Ew^D4/7(AAS),即得出=從而可證

△OZE三△OZF(SAS),即得出乙4。￡*=乙4。尸=90。，0E=OF,即可得出結(jié)論；

(2)由題意可求出4及4F=60。，再根據(jù)角平分線的定義得出乙。/尸=30。，Z-DFO=30°,最后結(jié)合含30

度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：???4。是的角平分線，DELAB,DF1AC,

???DE=DF,Z.AED=^AFD=90°,Z.DAE=Z.DAF,

???Rt△DAE=Rt△ZMF(AAS),

??.AE=AF.

'.'AO=AO,

??.△OAE=△OZF(SAS)

??.乙40E=乙40F=90°,OE=OF,

???4。垂直平分EF；

(2)證明：v/-EDF=120°,/.AED=Z.AFD=90°,

??.Z,EAF=60°.

???40平分/

???2LDAF=30°,

：.AD=2DF.

vZ.AOF=90°,

???Z.AFO=60°,(DFO=30°,

；.DF=20D,

AD=4。0,

：.A0=3D0.

22.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC,^BAC=a,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC上，以點(diǎn)力為中心,

將線段4D繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段4E,連接BE,DE.

A

E,

N

BMDC

(1)用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)過M作4B的垂線，垂足為F,MF與DE相交于點(diǎn)N,求證：NE=ND.

【答案】(1)BE+MD=8M,見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得ND4E=NB4C=a,力。=4E,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得

△aBEmZkACD(SAS),BE=CD,根據(jù)=MC=MD+DC,等量代換，即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得aFBM是等腰三角形，方法一：延長BE、MN交于點(diǎn)“，作EGIIBC

交MH于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得N1=N2=N3,EH=EG,BH=BM=CM；根據(jù)BE=CD,

可得BH—BE=CM—CD,得到EH=DM,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得到△HGN三△DMN,即可;

方法二：延長BE、MN交于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作BE的平行線交直線MN于點(diǎn)G,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，可

得N1=42=43=N4,得到DM=DG,BH=BM=CM,BH-BE=CM-CD,根據(jù)全等三角形的判定

和性質(zhì)，得到△EHN三△DGN,即可；方法三：延長BE、MN交于點(diǎn)/,過點(diǎn)。作DG1MN的延長線于點(diǎn)G,

作EH1FG于點(diǎn)H,同理，證明A/BM是等腰三角形，得到41=42=43,推出B/=BM=CM；根據(jù)全等

三角形的判定和性質(zhì)，得到△EHN三△DGN,即可.

【詳解】(1)解：證明如下：

由旋轉(zhuǎn)可得，/.DAE=/.BAC=a,AD=AE,

'-Z-DAE—Z-BAD=乙BAC—Z-BAD,

：.Z.BAE=Z.CAD,

(AB=AC

在△ABE^\△ACD中，)乙BAE=Z.CAD,

IAE=AD

AABE=AACD(SAS)f

.,.BE=CD,

???點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

??.BM=MC=MD+DC,

???BM=MD+BE.

(2)解：方法一：延長BE、MN交于點(diǎn)H,作EGIIBC交MH于點(diǎn)G,

/.z.2=z.3,

???△ABE=△4CD(SAS),BE=CD,

：.Z-ACD=Z-EBA,

-AB=AC,

：.Z.ACD=Z.ABC,

：.Z.ACD=Z-EBA=乙ABC,

??.B4是乙EBC的角平分線，

-MFA.AB,

是等腰三角形，

?,.zl=z2,

.,.zl=z.2=z3,

.-.EH=EG,BH=BM=CM,

??,BH-BE=CM—CD,

；,EH=DM,

??.EG=DM；

.?.△EGNwZkDMN,

.'.NE=ND；

方法二：延長BE、MN交于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作BE的平行線交直線MN于點(diǎn)G,

??.z.1=z2,

???△ABE=△ZCO(SAS),

：.Z.ACD=Z.EBA,BE=CD,

-AB=AC,

：.Z.ACD=Z-ABC,

.'.Z-ACD=Z-EBA—乙ABC,

4是NEBC的角平分線,

-MH1ABf

??.△HBM是等腰三角形，

.?.z2=z3,

vz.3=z4,

.,.zl=z2=z3=z4,

.'.DM=DG,BH=BM=CM,

：.BH-BE=CM-CD,

-，EH=DM,

.'.EH=DG；

,-.AEHN=ADGN9

??.NE=ND；

H

G

方法三：延長BE、MN交于點(diǎn)/,過點(diǎn)。作。G1MN的延長線于點(diǎn)G,作EHL/G于點(diǎn)H,

同理，證明△出“是等腰三角形，

/.Z1=z2=z3,

.-.BI=BM=CM；

由（1）得BE=CD,

.-.BI-BE=CM—CD,

.-.EI=DM；

??.△E/H三△OMG,

；,EH=DG；

:.△EHNwADGN,

；,NE=ND.

A

23.（12分）在△ABC中，AACB=90°,zX=30°,E是線段4B的中點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)如圖1,連接EC,求證：aCBE是等邊三角形；

(2)如圖2,8D是△力的角平分線，點(diǎn)N是線段AC上的一點(diǎn)，以BN為一邊,在BN的下方作NBNG=60。,

NG交DE延長線于點(diǎn)G.試探究ND,DG與力D數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,2B=4,點(diǎn)N為直線NC上的一動點(diǎn)，連接BN,在8N下方作等邊△BGN,貝！JCG的最小值為.

【答案】(1)見解析

(2)40=DG+DN^AD=DG-ND,理由見解析

(3)1

【分析】(1)先證BC=%B,再證BE=BC,然后由等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；

(2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，延長至點(diǎn)”，使得DH=DN,連接NH,根據(jù)角平分線的

概念和等邊三角形的判定，證出△“￡)可是等邊三角形，再得出△HGN三△DBN(ASA),由此得出

AD=DG+DN,當(dāng)點(diǎn)N在邊4D上時(shí)，同理得出4D=DG—ND即可；

(3)過點(diǎn)G作GP_L48于P,AC與GP交于點(diǎn)。，連接BD,過點(diǎn)C作CFLGE于尸，。時(shí)18。于赫，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)得出"BG=NNBC,再由全等三角形的判定得出△NCB三△GPB(AAS),得出PG是4B的垂

直平分線，CG的最小值就是CF的長，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出CM=如。=1,即可求出CF

的值.

【詳解】(1)在RtZi4BC中，AACB=90°,Z4=30°,

."=60。，BC=^AB,

■-E是線段4B的中點(diǎn)，

：.BE=^AB,

.-.BE=BC,ZS=60°,

.?.△CBE是等邊三角形.

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上，結(jié)論：AD=DG+DN,理由如下:

如圖2所示：延長ED至點(diǎn)使得DH=DN,連接NH,

圖2

"Z.BNG=60°,

.?/HNG=120°,

???BD是△力BC的角平分線，

：.^ABD=乙CBD=|x60°=30°,

.?.乙4=Z.ABD=30°,

：.AD=BD,

???06148于點(diǎn)。

：.Z-ADE=乙BDE=60°=乙HDN,

又?.?ON=DH,

??.△”DN是等邊三角形，

；,NH=DN4H=乙DNH=60°

"BND=120°=乙HNG,

在△HGN和AOBN中，

(Z-H=乙BDN

]NH=DN,

I乙HNG=乙BND

△HGN=△DBN(ASA),

，BD=HG=DG+DH,

.-.AD=DG+DN；

②當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，如圖3,結(jié)論：AD=DG—DN,理由如下:

如圖3,延長至〃，使得DH=DN,

圖3

由①得：DA=DB/2=Z3=60°,

.?.44=乙5=60°,

??.△ND”是等邊三角形，

：.NH=ND4H=Z6=60°,

=Z.2,

?.2BNG=60°=z6,

?'-Z-BNG+z.7=z.6+z.7,

即4ONG=乙HNB,

在△ONG和△”NB中，

(Z.H=z2

]HN=DN,

LLHNB=乙DNG

△DNG三△HNB(ASA),

：.DG=HB,

?：HB=HD+DB=ND+AD,

.-.DG=ND+AD,

-，AD=DG—ND；

綜上，NQDG與4。數(shù)量之間的關(guān)系為：AD=DG+DN或AD=DG—ND；

(3)-^ACB=90°,^BAC=30°fAB=4,

...BC=1^=1X4=2,

如圖4,過點(diǎn)G作GP148于尸，4c與GP交于點(diǎn)。，連接BD,過點(diǎn)。作CF1GE于產(chǎn)，CM180于

???△BNG是等邊三角形，

；.BN=BG/NBG=60°,

^^ABC=60°,

：,/.ABC=乙NBG,

"PBG=乙NBC,

MBPG=Z.NCB=90。,BN=BG,

在△NCB和△GPB中，

(乙PBG=乙NBC

]Z.BPG=乙NCB,

IBN=BG

；,ANCB三△GPB^AAS),

?，BP=BC=2,

:?P是48的中點(diǎn)，

-PGLAB,

???PG是ZB的垂直平分線，即點(diǎn)G在直線PG上，CG的最小值就是CF的長,