第一章特殊平行四邊形單元試卷20251026學年北師大版數學九年級上冊

一、選擇題

1.矩形不一定具有的性質是（）

A.鄰邊相等B.對角線相等

C.四個內角都是直角D.對角線互相平分

2.如圖，剪兩張對邊平行目寬度相等的紙條隨意交叉會放在一起，轉動其中一張，重合部分構成一

個四邊形，則下列結論中不一定成立的是（）

A./.ABC="DC,乙BAD=乙BCD

B.AB=BC

C.AB=CD,AD=BC

D.Z.DAB+乙BCD=180°

3.如圖，菱形ABCD的周長為28,對角線AC,BD交十點0,E為AD的中點，則OE的長

等于（）

A.2B.3.5C.7D.14

4.如圖，點。是矩形ABCD兩條對角線的交點，E是邊AB上的點，沿CE折疊后，點B恰

好與點。重合.若BC=3,則折痕CE的長為（）

C.V3D.6

5.如圖，菱形ABCD中，對角線AC,BC相交于點0,H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為

28cm,則OH的長等于（）cm.

c

A.3.5B.4C.7D.14

6.如圖，把矩形ABCD繞點A順時針旋轉,使點B的對應點B落在04的延長線上，若

AB=2,BC=4,則點C與其對應點C的距離為（）

D'C

B

DAB，

A.6B.8C.2V5D.2同

7.用尺規(guī)在一個平行四邊形內作菱形48CD,下列作法中錯誤的是（）

4、2

A.丁BLC.D.“~

8.如圖，在菱形ABCD中:.對角線AC,BD相交于點。，BD=8,BC=5,AE1BC于點E,

貝1JAE的長為（）

D

不

E

A.5BYC-TD.

300

9.如圖，點E在正方形ABCD外，連接AE,BE,DE,過點A作AE的垂線交DE于

點F.若力E=/1F=a,BF=A.則下列結論不正確的是（）

A.^AFD^^AEBB.點B到直線AE的距離為2

C.EB1EDD-S^AFD+S&AFB=1+遍

10.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別為AD,BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則

下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）

A.ABB.DEC.BDD.AF

二、填空題(

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的頂點。在無軸上，邊BC在y軸上，若點

A的坐標為(12,13),則點C的坐標是—.

12.如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點0,過點。的直線分別交AD和BC于點

E,F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為一.

13.如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點E在8c的延長線上，若^ADB=32°,貝ij乙DCE

的度數為—.

14.如圖所示，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點。，若AC=6,80=8,AELBC,垂足

為E,則AE的長為.

DFC

AV

AEB

(1)求證：△4/)￡?絲△C8F.

⑵若4DE8=90。，求正四邊形DEBF是矩豚

20.如圖，正方形ABCD中，E為CO邊上一點，F為BC延長線上一點，CE=CF.

(1)求證：4BCEW4DCF.

(2)若zB￡C=60°,求LEFD的度數.

21.已知：如圖，在△48C中，AB=AC,AD是BC邊的中線，AN為△ABC的外角/-CAM的

平分線，CELAN于點E,線段DE交AC于點F.

(1)求證：四邊形ADCE為矩形：

(2)線段DF與AB有怎樣的關系？證明你的結論.

22.如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，CD=CE,連接DE.

(1)若/C=16,CD=10,求DE的長.

(2)G是BC上一點，若GC=GF=C”且CH1GF,垂足為P,求證：V2DH=CF.

23.如圖，菱形ABCD中，/lF=6cm,4WC=60。，點E從點D出發(fā).以lcm/s的速度沿射

線DA運動，同時點F從點A出發(fā)，以lcm/s的速度沿射線AB運動，連接CE,CF和EF,

設運動時間為t(s).

⑴當￡=3s時，連接AC與EF交于點G,如圖①所示，則EF=cm.

⑵當E,尸分別在線段AD和AB上時，如圖②所示.

①求證：4CEF是等邊三角形.

②連接BD,交CE于點G,若BG=BC,求EF的長和此時的t值.

(3)當E,F分別運動到04和AB的延長線上時，如圖③所示，若EF=3V6cm,直接寫出

此時t的值為.

?F圖③

答案

1.【答案】A

【解析】由矩形的性質可知：平行四邊形的性質矩形都具有：

角：矩形的四個角都是直角；

邊：鄰邊垂直；

對角線：矩形的對角線相等；

所以選項B,C,D都正確，而矩形的鄰邊不相等，

相等時就為正方形.

故選A.

2.【答案】D

【解析】；四邊形ABCD是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形,

AB//CD,AD//BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形）；

過點A分別作BC,CD邊上的高為AE,四.則

AE=4"（兩紙條相同，紙條寬度相同）；

???平行四邊形ABCD中，S3BC=S3CD，即BCxAE=CDxAF,

/.BC=CD,即AB=BC.故B正確；

???平行四邊形ABCD為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

LABC=4840=4BCD（菱形的對角相等），故A正確；

AB=CD,40=8C（平行四邊形的對邊相等），故C正確：

如果四邊形ABCD是矩形時，該等式成立.故D不一定正確.

3.【答案】B

【解析】：四邊形ABCD是菱形，且周長為28,

:.AB=AD=BC=CD=7,BO=DO,AC1BD,

???點E為AD的中點，BO=DO,

二0￡=：A8=3.5.

2

4.【答案】A

【解析】???點。是矩形ABCD兩條對角線的交點，

:.0A—0C,

???沿CE折段后，點B恰好與點。重合，BC=3,

:.0C=BC=3,乙COE==90°,

'.AC=2BC=6,0E是AC的垂直平分線，

?.AE=CE,

vZ-B=90°,BC=-AC,

2

:.乙BAC=30°,

.-.^OCE=z.BAC=30°,

V3

???OC=^-CE,

:.CE=2V3.

5.【答案】A

【解析】在菱形ABCD中，AB=AD=BC=DC,AO=OC,

v菱形的周長為28,

:.AB=7,

?：H為AD邊的中點，

OH為△4BD的中位線，

=3.5.

OH=-2A2B=-x7

6.【答案】D

【解析】連接AC,AC\如圖.

?.?四邊形ABCD為矩形，

Z.DAB=^.ABC=90°,

在Rt△ABC中，AC=V22+42=2V5,

矩形ABCD繞點A順時針旋轉,使點B的對應點B落在DA的延長線上,

^CAC'=ABAB'=90°,AC=AC,

^ACC為等腰直角三角形，

：,CC'=>/2AC=2>/5xV2=2x^10.

7.【答案】C

【解析】A、作的輔助線AC是BD的垂直平分線，由平行四邊形中心對稱圖形的性質可得AC

與BD互相平分且垂直，則四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意：

B、由輔助線可得AD=AR=RC,由平行四邊形的性質山得40〃9c則四邊形ABC。是菱形.

故B不符合題意；

C、輔助線AB,CD分別是原平行四邊形一組對角的角平分線，只能說明四邊形ABCD是平行四

邊形，故C符合題意；

D、此題的作法是：連接AC,分別作兩個角與已知角/&4D,LACB相等的角，即ABAC=

Z.DAC,Z-ACB=Z.ACD,由AD//BC,得Z.BAD+Z-ABC=180°,Z.BAC=Z.DAC=Z.ACB=

Z.ACD,貝ijAB=BC,AD=CD,乙BAD=々BCD,則Z.BCD+/.ABC=180°,貝UAB//CD,則四

邊形ABCD是菱形，故D不符合題意.

8.【答案】C

【解析】???四邊形ABCD是菱形，BD=8,

.?.80=00=4,4B0C=90°.

在Rt△OBC中，OC=減2-OB2=-52-42=3,

:.AC=2OC=6,

x

???S&ABC=|WExBC=BOxACt

故SAE=24,解得AE=^.

9.【答案】B

【解析】在正方形ABCD中，AB=AD,

??,AF1AE,

Z.BAE+Z.BAF=90°,

又vZ.DAF+乙BAF=乙BAD=90°,

:.乙BAE=Z/J/1F,

在△;1尸0和△4EB中，

(AE=AF,

\z-BAE=Z-DAF,

[AB=AD,

.??△一尸。絲△AEB(SAS),故A正確:

vAE=AF,AF1AE,

.%△AEF是等腰直角三角形，

Z/1EF=Z/1FE=45°,

???乙AEB=Z.AFD=180°-45°=135°,

:?乙BEF=135°-45°=90°,

EB1ED,故C正確；

vAE=AF=V2,

■.FE=V2AE=2,

在RtAFBE中，BE=y/FB2-FE2=V10-4=V6,

:，SfPD+S^APB=S^APE+S^BPE

=gxV2x或+1x2xV6

=1+、昆

故D正確；

過點B作BP_L4E交AE的延長線于P,

?.?4BEP=180°-135°=45°,

,△BEP是等腰直角三角形，

???BP=-y-xV6=V3?

即點B到直線AE的距離為V3,故B錯誤.

10.【答案】D

【解析】方法一：

力關于BD的對稱點，根據正方形的性質為C點,

：?連接EC交BD于點P,

AAP+EP=EC=AF.

方法二：

如圖，連接CP,

由AD=CD,^ADP=ACDP=45°,DP=DP,可得A.4DP^ACDP,

AP=CP,

AP+PE=CP+PE,

???當點E,P,C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，

此時，由AB=CD,Z.ABF=Z.CDE,BF=DE,

可得△△CDE,

:.AF=CE,

AAP+EP最小值等于線段AF的長.

11.【答案】(0,-5)

【解析】設C(0,y),

???4(12,13),。在工軸上，

:.OD=12,AD=13,

???四邊形ABCD為菱形,

:.CD=AD=13,

在Rt△OCD中，

CD2=OD2+OC2,

即1”=122+y2,

解得y=-5,y=5(舍去),

C(0,-5).

12.【答案】3

13.【答案】64°

14.【答案】=

【解析】???四邊形ABCD是菱形，

AB=BC,ACLBD,AO=-AC=3,B0=-BD=4.

22

在Rt△ABO中，AB=\/AO2+BO2=5,

:.BC=5.

AE±BC,

:.S}^ABCD=^AC-BD=BCAE,即gx6x8=SAE,

.「24

:.AE=—.

15.【答案】y

16.【答案】:

?J

17.【答案】V3

【解析】如圖，

由題意可得41=42,AN=MN,Z,MGA=90°,則NG=^AM,故AN=NG,

:.Z2=Z4.

vEF//AB,

???z.4=z3,

???zl=z2=z3=z4=x90°=30°.

???四邊形ABCD是矩形，對折短形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,

：.AE=\AD=\BC=I.

22

??MG=2.

：?EG=x/3.

18.【答案】10

19.【答案】

⑴■:四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD=CB,Z.A=Z.C,

在△40E和△CBF中，

(AD=CB,

(Z-A=zC,

UE=CF,

ADE^△CBF(SAS).

⑵■:四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

???AE=CF,

???BE=DF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

???乙DEB=90°,

二四邊形DEBF是矩形.

20.【答案】

(1)vABCD是正方形，

,DC=BC,Z.DCB=Z.FCE,

???CE=CF,

???△DCFg△BCE.

(2)???△BCEg△DCF,

Z.DFC=Z.BEC=60°,

???CE=CF,

:.Z.CFE=45°,

:.乙EFD=15°.

21.【答案】

(1)???在△48C中，AB=AC,AD是BC邊的中線,

:.AD1BC,/.BAD=Z.CAD,

Z/lDC=90o,

?:AN為4ABC的外角LCAM的平分線，

4MAN=4CAN,

Z.DAE=90°,

,:C.F.1AN,

:./.AEC=90°,

四邊形ADCE為矩形.

(2)DF//AB,DF=^AB.

理由:

???四邊形ADCE為矩形，

AF=CF,

???BD=CD,

二DF是AABC的中位線，

/.DF//AB,DF=^AB.

22.【答案】

(1)連接80交4C于K,

---四邊形ABCD是菱形，

.-.ACLBD,AK=CK=8,

在Rt△AKD中，

DK=V/1D2-AK2=V100-64=6,

???CD=CE,

EK=CE-CK=10-S=2,

???在Rt△DKE中，

DE=VDK2+EK2=V36+4=2V10.

(2)過H作HQ1CD于Q,過G作G/1CO于/,

vCH1Gb',

:.Z.GJF=Z.CQH=Z.GPC=90°,

???Z.QCH=Z.JGF,

在△CQ〃和△G/F中，

乙GJF=ACQH=9",Z.QCH=/.JGF,CH=GF,

???△CQH經△G/F(AAS),

???QH=CJ,

???GC=GF,

???“CH=乙JGF=aCG),CJ=FJ=^CF,

???GC=CH,

???Z-CHG=Z-CGH,

:.乙CDH+/LQCH=Z.HGJ+Z.CGJ,

Z.CDH=Z.HGJ,

v乙GJF=乙CQH=乙GPC=90°,

???乙CDH=乙HGJ=45°,

???DH=V2QH,yf2DH=2QH=CF.

23.【答案】

⑴3x/3

(2)①如圖②中，連接AC,

???四邊形ABCD是菱形，乙400=60°,

???DA=DC=AB=BC,

??.△ADC,△ABC都是等邊三角形，

:.Z.D=Z.ACD=Z.CAF=60°,ZM=4C,

vDE=AF=t,

.-.△DCE^ATICF(SAS),

???CE=CF,乙DCE=