人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末必考題型|典例+考點(diǎn)+必會(huì)+拓展

必考知識(shí)點(diǎn)01：數(shù)軸與運(yùn)算

一點(diǎn)P從數(shù)軸上表示數(shù)-2的點(diǎn)A向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左彩

動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，然后又向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)6彳

單位長(zhǎng)度……照此規(guī)律一直動(dòng)下去.

①寫出點(diǎn)P向右移動(dòng)100個(gè)單位長(zhǎng)度后在數(shù)軸上表示的數(shù)；

②寫出點(diǎn)P向左移動(dòng)2019個(gè)單位長(zhǎng)度后在數(shù)軸上表示的數(shù).

解:①根據(jù)題意，-2-1+2-3+4-5+6-…-99+100

=-2+1X50=48,

???點(diǎn)P向右移動(dòng)100個(gè)單位長(zhǎng)度后在數(shù)軸上表示的數(shù)為48.

②-2-1+2-3+4-5+6-----2015+2016-2017+2018-2019

=-2+1X1009-2019

=-1012.

???點(diǎn)P向左移動(dòng)2019個(gè)單位長(zhǎng)度后在數(shù)軸上表示的數(shù)為7012.

【考點(diǎn)鞏固】

①在數(shù)軸上，Ix|表示數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|x-Q|表示數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與數(shù)Q對(duì)￡

點(diǎn)B之間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度.

②數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，且右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)大.

③一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，則它在數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就越大.

④數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)問題：可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加減運(yùn)算，當(dāng)初始點(diǎn)未知時(shí)，只需要設(shè)元良

簡(jiǎn)單方程即可.

⑤整點(diǎn)覆蓋問題：線段長(zhǎng)為N個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)線段端點(diǎn)在數(shù)軸的整數(shù)位置覆蓋點(diǎn)最多為［N

,當(dāng)線段端點(diǎn)不在數(shù)軸整點(diǎn)時(shí)最少覆蓋［N］個(gè)整點(diǎn).

【必會(huì)拓展】

L用數(shù)軸表示數(shù)

①數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，正半軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是正數(shù)，負(fù)半軸上伊

點(diǎn)表示的數(shù)都是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)表示0；

②在數(shù)軸的正半軸和負(fù)半軸上都有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)都只表示一個(gè)數(shù)；

③任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；

④任何一個(gè)有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定表示有理數(shù).

2.借助數(shù)軸比較大小

①在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

②正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

【綜合創(chuàng)新】

1.數(shù)形結(jié)合

①利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小，左小右大；

②利用數(shù)軸求絕對(duì)值、相反數(shù)；

③表示實(shí)際問題中的距離（線段長(zhǎng)度）.

2.分類討論

①到已知點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，注意討論；

②求一條線段覆蓋整數(shù)點(diǎn)時(shí)也要注意分類討論.

3.轉(zhuǎn)化思想

在解決實(shí)際問題時(shí)（行程問題），注意利用數(shù)軸思想，把數(shù)據(jù)用數(shù)軸表示，便于解決問題.

根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件，解答下面的問題:

.一灣...j.,一

-6-5-4^3^-2-1012345

①如圖所示，已知點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為1、-|

、-3,觀察數(shù)軸，與點(diǎn)A的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是—,B、C兩點(diǎn)之間的距離為一；

②若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則與B點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)是—；若此數(shù)軸上M、

兩點(diǎn)之間的距離為2015（M在N的左側(cè)），且當(dāng)A點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，M點(diǎn)與N點(diǎn)也恰好重合，則M

N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是M—,N；

③若數(shù)軸上P、Q兩點(diǎn)間的距離為m（P在Q左側(cè)），表示數(shù)n的點(diǎn)到P、Q兩點(diǎn)的距離相等，則帶

數(shù)軸折疊，使得P點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時(shí)，P、Q兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為：P—,Q—（用含m、n的:

子表示這兩個(gè)數(shù)）.

【解析】①與點(diǎn)A的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是1+3=4或1-3=-2；B、C兩點(diǎn)之間的距離為

②與B點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)是一1+[-1-(-|)]=

M=-l--=-1008.5,N=-l+—=1006.5；

22

@P=n--,Q=n+-

22

故答案為：①4或-2,|；②/-1008.5,1006.5；

有m,m

③n-于n+-

【考點(diǎn)鞏固】

數(shù)軸折疊過程中要弄清楚，兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)與折痕處點(diǎn)的基本規(guī)律，即折痕對(duì)應(yīng)點(diǎn)為中點(diǎn)，若很

對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為m、n（m>n）,中點(diǎn)記為x,貝ljm-x=x-n,所以x==三

=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)

=b；

③若xVO,則x—3V0.

1閉一2%|_|_x_2c|_-3x=_*

|%~31—|x|3

【考點(diǎn)鞏固】

1.絕對(duì)值的代數(shù)意義

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

①取絕對(duì)值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號(hào)是“II”，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是根據(jù)性質(zhì)去拮

絕對(duì)值符號(hào)；

②絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0；

③任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和它的絕對(duì)值，如：-5的符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)隹

是5.

2.求數(shù)a的絕對(duì)值

a(a>0)

?\a\=-0(a=0)

-a(aVO)

a(aNO)

②|a|=二

-a(aVO)

a(a>0)

③|a|=:

-a(aWO)

3.利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.

4.絕對(duì)值非負(fù)性：如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.

【必會(huì)拓展】

絕對(duì)值的其他重要性質(zhì)

1.任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即IQI2a,且IQ

I

2.若|Q|=|b|,則。=1）或（1=-1）.

3.Iab|=Ia|?|bI；IfI=號(hào)8」0）

b|b|

4.IQI2=|a2|=◎2.

5.||aI-Ib||<|a+b|WIaI+Ib|,

①對(duì)于|a+b|WIaI+Ib|,當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)或a、b中至少有一個(gè)為0時(shí)，等號(hào)成.

②對(duì)于IIQI-IbIIWIa+b|,當(dāng)且僅當(dāng)a、b異號(hào)或a、b中至少有一個(gè)為0時(shí)，等號(hào)

成立.

6?若a>0,則用=1；若aVO,則回=-1

同a

【綜合創(chuàng)新】

在去絕對(duì)值時(shí)，若不知絕對(duì)值內(nèi)式子正負(fù)，需要分類討論，我們往往會(huì)采用零點(diǎn)分段法由

行去絕對(duì)值.

1.當(dāng)x=a時(shí)，Ix-a|=0,此時(shí)a是Ix-a\的零點(diǎn)值.

2.零點(diǎn)分段討論的一般步驟：

①找零點(diǎn)；②分區(qū)間；③定符號(hào)；④去絕對(duì)值符號(hào),即先令各絕對(duì)值式子為零，求得若干

絕對(duì)值為零的點(diǎn)，在數(shù)軸上把這些點(diǎn)標(biāo)出來(lái)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成若干部分，再在各部分市

化簡(jiǎn)求值.

必考知識(shí)點(diǎn)04：絕對(duì)值的幾何意義

【題型典例】

閱讀理解：我們知道IX|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即|X|=

X-0|,也就是說Ix|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：

Ix-y|表示在數(shù)軸上數(shù)x、y對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.

如：|x-1|表示在數(shù)軸上數(shù)x、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；Ix+1|+|x-2|表示在數(shù)軸上數(shù)x.

T和x與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和.

問題探究：利用絕對(duì)值的幾何意義解決下列問題：

Ix-3|的最小值為—；

Ix-2017|+|x-2018|的最小值為；

Ix-1|+|x-3|+|x+5I的最小值為；

Ix+7|+|x+3|+|x-2|+|6-x|的最小值為o

歸納總結(jié)：

若如-V&n+i,當(dāng)滿足時(shí)，Ix-ai|+|x-a>|+...+Ix-a2n,i|取得最小值；

若處〈供<...<a2n,當(dāng)滿足時(shí)，Ix-ai|+Ix-a2I+…+IX-Q2nl取得最小值.

【答案】問題探究：0；1；8；18.

歸納總結(jié)：X=Qn+i；QWXWQU+1.

【考點(diǎn)鞏固】

1.IaI的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

2.Ia-b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a、b對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離.

【必會(huì)拓展】

零點(diǎn)分段討論的一般步驟:

①找零點(diǎn)；②分區(qū)間；③定符號(hào)；④去絕對(duì)值符號(hào).即先令各絕對(duì)值式子為零，求得若干，

絕對(duì)值為零的點(diǎn)，在數(shù)軸上把這些點(diǎn)標(biāo)出來(lái)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成若干部分，再在各部分市

化簡(jiǎn)求值.

【綜合創(chuàng)新】

對(duì)于含參數(shù)絕對(duì)值代數(shù)式求最值時(shí)，需要考慮討論零點(diǎn)的大小關(guān)系，注意問題的嚴(yán)謹(jǐn)性利

一般性；一般地，對(duì)于可化簡(jiǎn)為一次代數(shù)式的絕對(duì)值最值問題往往都是在零點(diǎn)取得最值，

這一點(diǎn)特別注意，有時(shí)在做題中有意想不到的奇效.

計(jì)算：一四一停一（埒+：2）一（+L）］

解：原式=_￡_e_q_g+2—募）

2

273一嘉）

2

H---------2H—

2732732

【考點(diǎn)鞏固】

有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：

1.先乘方，再乘除，最后加減；

2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

注意：①有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，并且從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算，乘除阻

是第二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方（以后學(xué)習(xí)）是第三級(jí)運(yùn)算；②在含有多重括號(hào)的混合運(yùn)算中，

有時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)也可按大括號(hào)、中括號(hào)、小括號(hào)的順序進(jìn)行；③在運(yùn)算過程中注意運(yùn)算

律的運(yùn)用.

【考點(diǎn)鞏固】

1.有理數(shù)及其運(yùn)算是整個(gè)數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)，有關(guān)式的所有運(yùn)算都是建立在數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)

深刻理解有理數(shù)相關(guān)概念，掌握一定的有理數(shù)運(yùn)算技巧是數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

2.有理數(shù)的運(yùn)算不同于算術(shù)的運(yùn)算，這是因?yàn)橛欣頂?shù)的運(yùn)算每一步要確定符號(hào)，有理數(shù)小

運(yùn)算很多時(shí)候是字母運(yùn)算，也就是常說的符號(hào)運(yùn)算.

【綜合創(chuàng)新】

有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問題，因此在運(yùn)算口寸應(yīng)當(dāng)把握“遇減化加，遇防

變乘，乘法化乘”這一原則，避免混亂.

計(jì)算:+那+…+總）-。+渭+…+短）X渭+.T

解：令1+二+2+…+1=a

232018

則原式=（。-1+短）Q—（Q+烹）9一1）

111

a—優(yōu)一Q+Q+

201920192019

]

2019

【考點(diǎn)鞏固】

1.在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn):

①注意符號(hào)：自從有了負(fù)數(shù)，符號(hào)就與運(yùn)算有了不解之緣，在運(yùn)算時(shí)，首先要注意符號(hào)小

確定；②注意運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)其

面的；③注意運(yùn)算步驟：對(duì)于每一個(gè)運(yùn)算，都應(yīng)先確定結(jié)果的符號(hào)，再計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)雀

即“符號(hào)先判斷，絕對(duì)值后計(jì)算”；④注意運(yùn)算律的靈活應(yīng)用：包括加法交換律、結(jié)合

乘法交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律.若能靈活、巧妙地運(yùn)用它們，將使計(jì)算過程;

得簡(jiǎn)單快捷.

2.在具體運(yùn)用時(shí)?，主要有以下幾種技巧：

①互為相反數(shù)結(jié)合；②湊整結(jié)合；③正、負(fù)數(shù)分別結(jié)合（同號(hào)結(jié)合）；④分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整婁

分別結(jié)合（同類結(jié)合）；⑤帶分?jǐn)?shù)拆開后，整數(shù)、分?jǐn)?shù)分別結(jié)合；⑥同分母或分母易通分白

先結(jié)合；⑦易約分的先結(jié)合等.

注意在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，往往是兩種或兩種以上的技巧結(jié)合起來(lái)運(yùn)用。

【必會(huì)拓展】

運(yùn)算能力是運(yùn)算技巧與推理能力的結(jié)合，這就要求我們既能正確地算出結(jié)果，又能善于羽

察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合理的運(yùn)算方法，提高運(yùn)算的速度,有理數(shù)運(yùn)算的常用的技巧與:

法有：利用運(yùn)算律；以符代數(shù)；恰當(dāng)分組；整體換元；裂項(xiàng)相消；分解相約；倒序相加2

錯(cuò)位相減等.

【綜合創(chuàng)新】

常見裂項(xiàng)公式:

1_11

(1)--------------------------

n(n+l)nn+1

(2)

(n+fc)-k島-㈢

(3)—i—=___________i—'

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

(4)11

(n-l)(n+l)2

先化簡(jiǎn)，再求值：

3(2a2b-ab2)-(5a2b-4ab2),其中Q=2,b=-l.

解：原式=64b-3ab2式出b+4ab2=a2b+ab2,

將a=2,b=-l代入得：原式=-2.

【考點(diǎn)鞏固】

整式化簡(jiǎn)求值

1.步驟：一化，二代，三計(jì)算.

注意：首先需要判斷是否需要化簡(jiǎn).若需要，一般先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)；若有些待求，

的整式結(jié)構(gòu)完好無(wú)簡(jiǎn)可化，則切勿把所有變形都當(dāng)作化簡(jiǎn).

2.常用的方法：（1）直接代入法；（2）整體代入法；（3）降次法；（4）賦值法等.3.整式比較

小的方法：作差法.BPa-b>0,則a>b；a-b<0,則aVb；a-b=O,則@=箕

【必會(huì)拓展】

整式求值時(shí)，需正確地進(jìn)行數(shù)值代入，整式歸根結(jié)底還是一個(gè)數(shù)，具體是哪個(gè)數(shù)由字母白

取值決定，正確地代入須遵循：①挖去字母換上數(shù)，數(shù)字、符號(hào)都保留；②換上分?jǐn)?shù)或《

數(shù)，需帶上小括號(hào)；③原括號(hào)內(nèi)出括弧，逐級(jí)向下變括弧（小、中、大）.

【綜合創(chuàng)新】

代數(shù)式求值：①求代數(shù)式的值是由一般到特殊的思維過程，其基本方法是代入求值，但先

于較復(fù)雜的代數(shù)式往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值；②求代數(shù)式的值，一般有兩種形式：一表

已知代數(shù)式中字母的值，求代數(shù)式的值；二是已知條件等式，據(jù)此求代數(shù)式的值；③求不

數(shù)值的過程中，往往要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變換.這是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和整體思想的體現(xiàn),

深刻領(lǐng)會(huì)，加以運(yùn)用.

已知：2a2-3a-5=0,求4a112a?+9。2To.

32

解：4agi2Q3+94-10=4仆6Q3-6a+9a-10

=2a2(2tz2-3a)-3a(2a2-3a)-10

=(2a2-3a)2-10

=52-10

=15.

【考點(diǎn)鞏固】

整體思想是初中階段的重要數(shù)學(xué)思想，在學(xué)習(xí)完代數(shù)式之后，我們就可以將兩者結(jié)合起

學(xué)會(huì)利用整體思想來(lái)幫助我們進(jìn)行代數(shù)式的求值.

【必會(huì)拓展】

利用整體思想求代數(shù)式值時(shí)，往往與其他代數(shù)技巧相結(jié)合，并且需要對(duì)題目中的代數(shù)式過

行一定的變形處理，以達(dá)到湊整的目的，從而結(jié)合整體思想，來(lái)幫助我們解題.

【綜合創(chuàng)新】

利用整體思想解決整式問題，是初中階段重要的解題手段，并且往往與其他知識(shí)點(diǎn)或技工

相結(jié)合.首要目標(biāo)是“湊整”，確定哪一個(gè)整式作為整體看待，然后再沿著題目所給條件:

步解題.

按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：L1,2,3,4,6,9,13,19……按此規(guī)律排列下去，列后1

的數(shù)應(yīng)為—O

【答案】28.

【解析】規(guī)律如下:3=1+2,4=1+3,6=2+4,9=3+6,13=4+9,19=6+13,第n個(gè)數(shù)筆

于第nT個(gè)數(shù)與第n-3個(gè)數(shù)之和，則19后面的數(shù)等于19+9=28.

【考點(diǎn)鞏固】

1.找規(guī)律這類問題往往是初一階段學(xué)?？荚嚨臒狳c(diǎn)，

一般有數(shù)字找規(guī)律、代數(shù)式找規(guī)律、圖形找規(guī)律以及周期找規(guī)律.

2.常見的數(shù)列規(guī)律

①1,3,5,7,9,…，2n-l（n為正整數(shù)）；

②2,4,6,8,10,…，2n（n為正整數(shù)）；

③2,4,8,16,32,…，2。（n為正整數(shù)）;

④2,5,10,17,26,d+Kn為正整數(shù)）；

⑤0,3,8,15,24,M-Mn為正整數(shù)）；

（§）2,6,12,20,…,n（n+l）（n為正整數(shù)）;

⑦-x,+x,-x,+x,-x,+x,…，（T）"x（n為正整數(shù)）；

⑧+x,-x,+x,-x,+x,-x,???,（T）n”x（n為正整數(shù)）.

【必會(huì)拓展】

特殊數(shù)列：①斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13……從第三個(gè)數(shù)開始每一個(gè)數(shù)等于上

它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和；②三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21,絲等.

【綜合創(chuàng)新】

找規(guī)律解題思維過程，從簡(jiǎn)單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)

獲得結(jié)論.有時(shí)候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件.一般有下列幾個(gè)類型：①一列婁

的規(guī)律：把握常見兒類數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)n之間的關(guān)系；②一列等式的規(guī)

用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)n之間的關(guān)系；③圖形（圖表）規(guī)律：：

察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)n之間的關(guān)系；④圖形變換I

規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，

進(jìn)而觀察商和余數(shù)；⑤數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前n項(xiàng)（一般為前3項(xiàng)）及利用題中的已知條

歸納猜想一般性結(jié)論.

必考知識(shí)點(diǎn)10：定義新運(yùn)算和程序運(yùn)算

現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算/△b=3a+b,已知54x比x45大4,求x的值.

解：由新運(yùn)算得54x=15+x,xA5=3x+5,15+x-（3x+5）=4,解得x=3.

【考點(diǎn)鞏固】

L定義新運(yùn)算

①基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，/

后按照基本運(yùn)算過程、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算.

②注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算律，特別注意運(yùn)算順序；每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào),

能在本題中使用.

2.程序計(jì)算

①解題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解新程序的數(shù)學(xué)意義，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

②注意事項(xiàng)：要理解數(shù)學(xué)意義，首先要把初始值代入，嚴(yán)格按照程序進(jìn)行計(jì)算，再通過日

算結(jié)果歸納分析.

3.數(shù)學(xué)能力：探究、歸納總結(jié)和知識(shí)遷移的能九

【必會(huì)拓展】

1.觀察新定義，對(duì)比代入，注意運(yùn)算順序以及符號(hào).

2.程序運(yùn)算：①注意循環(huán)型的，判斷成立即可輸出，不成立繼續(xù)循環(huán)，可能會(huì)多次循環(huán);

②已知輸出時(shí)注意分類討論；③直接計(jì)算的注意符號(hào)以及運(yùn)算順序，已知輸出求輸入時(shí),

運(yùn)算順序相反.

【綜合創(chuàng)新】

處理程序運(yùn)算和定義新運(yùn)算這類題型，首先應(yīng)當(dāng)仔細(xì)閱讀題目所給信息，掌握定義的運(yùn)籬

法則，然后代入進(jìn)行計(jì)算，最后不要忘記檢驗(yàn)條件.

關(guān)于x的方程mx+4=3x-n,分別求m、n為何值時(shí)，原方程：①有唯一解；②有無(wú)數(shù)多解；(

無(wú)解.

解：方程可以轉(zhuǎn)化為(m-3)x=-n-4,

①當(dāng)mW3,n為任意值時(shí)，方程有唯一解；

②當(dāng)m=3,n=-4時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；

③當(dāng)m=3,nW-4時(shí)，無(wú)解.

【考點(diǎn)鞏固】

1.一元一次方程的基本解法：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、x項(xiàng)系數(shù)化為1.同時(shí)-

注意以下幾點(diǎn)：①去分母時(shí)，方程兩邊要同時(shí)乘以分母的最小公倍數(shù)，常數(shù)項(xiàng)不要漏乘;

②去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的系數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)都乘；③移項(xiàng)的時(shí)候要變號(hào)；④方程的解

的形式要寫成X在等號(hào)左邊的形式.

2.解一元一次方程的技巧：小數(shù)化為整數(shù)、整體思想、裂項(xiàng)、湊項(xiàng).

3.求含參方程的解的情況：對(duì)原方程整理后，可化為ax=b（a和b為參數(shù)，x為未知數(shù)）的

形式.求此類方程的解時(shí)需要對(duì)a和b的取值分類討論.

4.同解方程：兩個(gè)方程的解相同的方程.

5.整數(shù)解方程：解為整數(shù)的方程.

【必會(huì)拓展】

1.求含參方程的解的情況

①先把方程整理成出=13的形式；

②分類討論：

?當(dāng)aWO時(shí)，x=g,原方程有唯一解；

?當(dāng)a=0且b=0時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)解；

?當(dāng)a=0且bWO時(shí)，原方程無(wú)解.

2.同解方程問題

①普通方程和含參方程的解相同：?解出普通方程的解；?將普通方程的解代入含參方利

中；?求出參數(shù)值.

②兩個(gè)含參方程的解相同：?將其中一個(gè)方程的解用參數(shù)表示出來(lái)；?將?中的解代入5

一個(gè)方程中，消去未知數(shù)；?求出參數(shù)值.

3.方程的整數(shù)解問題：①將方程整理成ax=b的形式；②解方程，得x=2③求出滿足條

a

的參數(shù)值，常用枚舉法或分離常數(shù)法.

【綜合創(chuàng)新】

有的題目給出兩個(gè)含有相同字母的同解方程，可以先將一個(gè)方程的解用含有字母的式子?

示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程求出未知參數(shù)的值，根據(jù)參數(shù)的值去求方程的解.

把一批作業(yè)本發(fā)給某班的學(xué)生，如果每人發(fā)2本，則剩12本；如果每人發(fā)3本，則缺24本,

求這個(gè)班有多少學(xué)生？

解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，

依據(jù)題意，得2x+12=3x-24,解得x=36.

答：這個(gè)班有36名學(xué)生.

【考點(diǎn)鞏固】

1.解一元一次方程應(yīng)用題的步驟

①審：分析題目中的已知量和未知量，明確數(shù)量關(guān)系；

②找：找出題目中的等量關(guān)系；

③設(shè)：設(shè)未知數(shù).一般有直接設(shè)元和間接設(shè)元；

④列：根據(jù)找出的等量關(guān)系列方程；

⑤解：求解方程的解；

⑥驗(yàn)：檢驗(yàn)解是否為方程的解且要滿足實(shí)際意義；

⑦答：寫出答案（注意單位）.

2.常見的等量關(guān)系：

①和、差、倍、分問題

?倍數(shù)關(guān)系：關(guān)鍵詞語(yǔ)常以“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率??

…”來(lái)體現(xiàn).

?多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余……”來(lái)體現(xiàn).

?兩數(shù)和=較大的數(shù)+較小的數(shù)，較大的數(shù)=較小的數(shù)X倍數(shù)土增(或減)數(shù).

②相關(guān)公式

?售價(jià)=標(biāo)簽價(jià)X折扣；

?利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；

?利潤(rùn)=瞿、100%

進(jìn)價(jià)

?路程=速度義時(shí)間；

?流水行船問題：V順?biāo)?%；；+V水，V逆水=V船-V水；

?追擊問題：S=(v-v2)t,相遇問題：s=(vi+\”)t；

?工程問題：工作量=工作效率X時(shí)間；

?濃度=要x100%=-^—x100%；

溶液溶劑+溶質(zhì)

【必會(huì)拓展】

1.在用一元一次方程解決利潤(rùn)類問題時(shí)，要先理解幾個(gè)量之間的關(guān)系:

①利潤(rùn)=售價(jià)-成本；

②利潤(rùn)率=代價(jià):成本X100%.

成本

2.在解決打折類問題時(shí)，要先理解幾個(gè)量之間的關(guān)系：

①售價(jià)=原價(jià)X折扣；

②售價(jià)=成本X(1+利潤(rùn)率)義折扣.

【綜合創(chuàng)新】

1.我們也可以用方程的思想解決生活中的日歷問題，這里需要注意，對(duì)于日歷問題，每一

行的數(shù)字從左到右逐漸加1,每一列的數(shù)字從上到下分別加7.

2.在用方程解決多個(gè)長(zhǎng)方形拼接的面積類問題時(shí)，一般可以設(shè)小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)排

接以后的大圖形找到等量關(guān)系.

團(tuán)體購(gòu)買公園門票，票價(jià)如下:

購(gòu)票人數(shù)1-50人51700人100人以上

每人票價(jià)13元11元9元

今有甲乙兩個(gè)旅游團(tuán)，若分別購(gòu)票，兩團(tuán)總計(jì)應(yīng)付門票1314元，若合在一起作為一個(gè)團(tuán)刊

購(gòu)票，總計(jì)支付門票費(fèi)1008元，問這兩個(gè)旅游團(tuán)各有多少人？

解：V1008>100X9,

...兩團(tuán)總?cè)藬?shù)在100人以上，

根據(jù)100人以上每人9元的票價(jià),可以計(jì)算出兩團(tuán)的總?cè)藬?shù)為：1008+9=112（人）.

V112X11=1232<1314,112X13=1456>1314,

?,?只能是一個(gè)團(tuán)的人數(shù)在1-50人之間，另一個(gè)團(tuán)的人數(shù)在51T00人之間，并且兩彳

團(tuán)加起來(lái)的人數(shù)在100人以上.

設(shè)人數(shù)在51-100人之間的一個(gè)團(tuán)的人數(shù)為x人，

根據(jù)題意,得據(jù)x+llX（112-x）=1314,解得x=4L

答：兩個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為41人和71人.

【考點(diǎn)鞏固】

數(shù)字問題:①清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字為,

其中a,b,c均為整數(shù)，且lWaW9,0WbW9,0<cW9）則這個(gè)三位數(shù)表示為100a+10b+c.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程；②數(shù)字問題中的一些表示：

兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2rl表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n,2n+2：

2n-2表示；奇數(shù)用2n+l或2nT表示.

【必會(huì)拓展】

1.在解決圖表類作為已知條件的題目時(shí)?，要注意梳理出圖表中的各個(gè)信息對(duì)應(yīng)的關(guān)系，徒

找出等量關(guān)系來(lái)列等式.對(duì)于分段計(jì)價(jià)類應(yīng)用題，要注意每一段的價(jià)格不要弄混.

2.設(shè)元法。①直接設(shè)元：?jiǎn)柺裁丛O(shè)什么；②間接設(shè)元：?jiǎn)柺裁床辉O(shè)什么，而是通過設(shè)其例

量為未知數(shù)，間接求出所求的量；③設(shè)輔助元：有些時(shí)候設(shè)的未知數(shù)不夠，需要再設(shè)一彳

未知數(shù)，才能列方程，而設(shè)的第二個(gè)元不需要求解，解題過程中可以消掉.

【綜合創(chuàng)新】

在解決方案選擇類題目時(shí)，為了確定選擇哪種方案好，一般先分別求出每種方案的獲利憎

況，然后進(jìn)行比較從而選出.

必考知識(shí)點(diǎn)14：圖形中的觀察、歸納與猜想

【題型典例】

圖1、圖2、圖3是晉商大院窗格的一部分，其中“O”代表窗紙上所貼的剪紙，則第n個(gè)性

形所貼剪紙〃?！ǖ膫€(gè)數(shù)為

（圖二）

【解析】觀察圖形規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)字的規(guī)律，在基準(zhǔn)圖形的基礎(chǔ)上增加的數(shù)量是多少,

圖一：5；

圖二：5+3X(2-1)=5+3=8；

圖三:5+3X(3-1)=5+6=11；

圖N:5+3(N-l)=3N+2(個(gè)).

【考點(diǎn)鞏固】

歸納與猜想類問題是極具特色的一類題型，它主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知、生

納、應(yīng)用能力,該類試題可分為對(duì)“數(shù)”的規(guī)律探索和對(duì)“形”的規(guī)律探索.

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律?其中，以圖形為

體的數(shù)字規(guī)律最為常見.猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來(lái)，再:

所列式進(jìn)行對(duì)照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論.

【必會(huì)拓展】

此類題目在前面基礎(chǔ)題型的前提下進(jìn)行了適當(dāng)?shù)碾y度拔高，找規(guī)律仍為核心要素，需要學(xué)

生在整體里面找局部的規(guī)律，有可能一部分圖形為等差規(guī)律，另一部分為乘積規(guī)律等，i

后整體的規(guī)律為二者的和或者差的規(guī)律.

【綜合創(chuàng)新】

綜合圖形規(guī)律題目為本知識(shí)點(diǎn)最終極挑戰(zhàn)，圖形的規(guī)律為第一考點(diǎn)，轉(zhuǎn)換為數(shù)字規(guī)律后婁

字規(guī)律也是一些特殊的數(shù)列，如平方數(shù)列、立方數(shù)列等，需要學(xué)生拓寬眼界，對(duì)于會(huì)出現(xiàn)

的所有數(shù)列進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)的梳理，熟練掌握數(shù)列規(guī)律.

必考知識(shí)點(diǎn)15：三視圖、立體圖形的展開圖與截面圖

【題型典例】

一個(gè)立體圖形是由若干個(gè)小正方體堆積而成的,其三視圖如下圖，則組成這個(gè)立體圖形小

解：如圖，根據(jù)主視圖可得小正方體有3列3層,根據(jù)俯視圖可得底面有5個(gè)小正方體，然,

第2層有2個(gè)小正方體，第3層1個(gè),故共8個(gè)小正方體.

23

1I1I11（俯視圖）

【考點(diǎn)鞏固】

1.三視圖考點(diǎn)

①給出幾何體，判斷三視圖；

②給出三視圖，判斷幾何體形狀；

③給出三視圖，判斷幾何體個(gè)數(shù)；

④給出某一視圖和幾何體個(gè)數(shù)，判斷幾何體；

⑤判斷幾何體各面的相鄰關(guān)系；

⑥畫圖。

“主俯看列，俯左看行，主左看層，分清行列層，計(jì)數(shù)不求人”.

2.常見的幾何體及其側(cè)面展開圖

名稱側(cè)面展開圖

圓柱矩形（特殊時(shí)為正方形）

直棱柱矩形（特殊時(shí)為正方形）

圓錐扇形

【必會(huì)拓展】

1.正方體的11種展開圖

①"1"4-1"型（六種）.

扣臚Eg

③“3-3”型（一種）.

④"2-2-2"型（一種）.

2.截一個(gè)幾何體

①截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面.

②截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)則圖形.

【綜合拓展】

1.當(dāng)一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體時(shí)，一般的截面與幾何體的幾個(gè)面相交就得到幾條交線，S

面就是幾邊形，因此，若一個(gè)幾何體有幾個(gè)面，則截面最多為幾邊形.

2.圓柱體的側(cè)面展開圖是矩形或者正方形，直棱柱的側(cè)面展開圖也是矩形或者正方形，13

錐的側(cè)面展開圖是扇形，不可能是圓.

3.正方體的十一種展開圖中，“3-3型”和“2-2-2型”各只有一種.

已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=6,BC=4,M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).求線段MN的長(zhǎng)度.

解：???AC=6,BC=4,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),

AMN=i(1AC+CB)=j1x10=5

【考點(diǎn)鞏固】

線段計(jì)算，如果沒有給圖，就需要分類討論.

【必會(huì)拓展