2025-2026學年四川省成都市第七中學高二上學期10月月考

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.直線%+y+2=0與直線％+y=0的距離為（）

A.-/2B.2。2D.1

2.直線x+V3y-2=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.若擲出兩枚骰子,則點數(shù)和為7的概率為（)

A*c-D

J9n

4.1^1(x-4)2+yz==9和圓+(y—3)Z=4的公切線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

5.已知向量方=(2,—1,3),5=(-1A-2),c=若優(yōu)I下共面，則2=（）

A.4B.2C.3D.1

6.在平行六面體48co-4BO中,底面正方形邊長為3,側(cè)棱44的長為2,且乙A4B==

120。，則4C'的長為（）

A./10B.10C.<34D.34

7.某學校為培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力，組織了?次“科技小發(fā)明”競賽活動，并對200位參賽學生的

綜合表現(xiàn)進行評分，評分的頻率分布直方圖如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，卜.列說法錯誤的是（）

B.評分在［50,60）的人數(shù)約為20

C.估計評分的下四分位數(shù)為65D.估計評分的平均數(shù)為76.5

8.已知/+V=，則碧爵的取值范圍為（）

A.-7,—B.[-2,-|jC.[—7,0]D.[—2,0]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)看,%2,1%6,其中占是最小值，X6是最大值，則()

A..Q,%3,%4,町的平均數(shù)等于％1，%2,…，的平均數(shù)

B.X2,x3,X4,%的中位數(shù)等于M,%2,…，％6的中位數(shù)

C.小，%3，%4,%5的標準差不小于X1，丫2，…，36的標準差

D.孫，“3，%4，%5的極差不大于31，%2/：X6的極差

10.在棱長為1的正方體4G中，有瓦冠=西，則下列說法中正確的是()

A.直線4名與平面4BG所成角的正弦值為堂

B.點M到直線4%的距離為1

C.四棱錐M-/18CD外接球表面積為瞿n

1O

D.動點P在正方體力G的表面上，滿足|PQ=2|P0|,則P的軌跡長為弓TT

11.已知直線Z：2tx+(l-t2)y4-l+t2=0(tG/?),當￡=￡1和￡=12時，對應直線分別為，1和，2，則下列

說法中正確的是()

A.存在t6R,使得/過點(1,1)

B.當。1。時，對任意GeR,總存在兩個不同的￡2值與之對應

C」"/，2的充要條件是t"2=-1

D.存在點Po,對任意tWR，使得PO到I的距離為常數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某市為了調(diào)查教師對統(tǒng)計軟件的了解程度，擬采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從4B,C三所學

校抽取60名教師進行調(diào)查，已知4B,C三所學校分別有180,270,90名教師，則從4學校中應抽取的人

數(shù)為.

13.直線，過點(-3,1),且其橫截正為縱截距的兩倍，則I的方程為.

14.已知向量五=(-2,1,2),平面Q的法向量元=(1,1,1),則五在平面Q上的投影向量坐標為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

己知直線!的方程為2x+3y-9=0,點P坐標為(2,6).

(1)若直線，'與直線!關(guān)于點P對稱，求直線廠的方程；

(2)若點P，與點P關(guān)于直線/對稱，求點？的坐標.

16.(本小題15分)

己知定點力(-1,0),8(1,0),動點M滿足3(拓??+而2)=I。羽彳麗

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)求用的取值范圍?

17.(本小題15分)

2025年六五環(huán)境日主題為“美麗中國我先行”，南京市某社區(qū)老辦“環(huán)保我參與”有獎問答比賽活動.某

場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答?道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答這道題正確的概率是

P甲、乙兩個家庭都回答正確的概率是言，乙、丙兩個家庭至少?家回答正確的概率是最各家庭回答是

43224

否正確相互獨立.

(1)求乙、丙兩個家庭各自回答這道題正確的概率：

(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答這道題正確的概率.

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD1平面4BCD,團P力。是邊長為2的等邊三角形，底面/BCD為直角

梯形，其中〃力D,ABLAD,AB=BC=1.

(1)取線段PA中點M,連接8M,證明：8M〃平面PCD：

(2)求8到平面PC。的距離；

(3)線段P。上是否存在一點E,使得平面E4c與平面D4c夾角的余弦值為千？若存在，求出第的值；若不

存在，請說明理由.

19.(本小題17分)

動圓C：/+丫2+石；+；1),一。+1)=0(/16/?)與直線1：、=2丫交于48兩點.

(1)證明：動圓C必過兩定點，并求出這兩點坐標；

(2)求|AB|的最小值;

(3)是否存在一條定直線，在其上任取點K,無論4為何值，都有雨?雨為常數(shù)，若存在，求出定直線方

程；若不存在，請說明理由.

參考答案

\.A

2.0

3.B

4.C

5.0

6.4

7.C

S.A

9.BD

iO.AC

11ACD

12.20

13.x+3y=0或％+2y+1=0

14?（一於'|）

15.【詳解】（1）易知直線-與直線!互相平行,

設，'的方程為2%+3y+4=0,點P到兩直線距離相等,

有|4十18-9|_|4±18+A|

,j22+32j22+32

即;1=-35,或4=一9（舍去）,

故，'的方程為2x+3y-35=0.

（2）設點P'的坐標為（血,九），

直線PPUI,且PP'的中點在直線【上,

而直線，的斜率為空，*，=痣,

c?n+2.令n+6八八

故有解瞰;二

m—22

故P'的坐標為（一2,0）.

16.【詳解】（1）解：設動點M的坐標為Q,y）,

因為做一1,0）,8（1,0）,可得麗=（一1一%一y）,而=（l-x,-y）,

.7.2?,

則MA=(x+l)2+y2,MB=(x—I)2+y2,MA-MB=x2+y2-1

又因為3(拓f+麗=10Mx.而，

可得3[(x+l)24-y2+(x—I)2+y2]=10(x2+y2—1),

整理得無2+y2=*所以動點M的軌跡方程為/+V=4.

(2)解：設愣|=t,t>0,則|拓?|=可得J(%+1)2+y2=tj(%_1)2+y2,

即(X+1)2+y2=亡2[(%一1)2+),2],

因為點M在/+y2=4上，可得y2=4-%2,

則Q+l)2+4-x2=t2[(x-l)2+4-x2],即2%+5=t2(5-2x),

2

即Q+2t2)%=5t2—5,所以“=條，，

因為點M在/+*=4上，可得一2WXW2,所以一24||言￡2,

由一24會也可得一4一4t245/一5,即嚴鴻，解得t*或￡工一家舍去);

由可得5尸一5工4+犯2,即產(chǎn)工/解得一3工￡工3,所以0<￡33,

綜上可得，即懦取值范圍為七,3].

17.解：(1)記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事

件4&C,

由甲家庭回答這道題止確的概率是:，

甲、乙兩個家庭都回答正確的概率是言，

則P⑷=Q(4B)=P(A)-P(B)=品

解得P⑻量,

由乙、丙兩個家庭至少一家回答正確的概率是首，

則1-P(BC)=1-P(B)?P?=翁，

即l-(l/a).p(—C)=工io,

所以P(G=;=P(C)=1

JJ

所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為黑畤;

o5

(2)有0個家庭回答正確的概率

Po=P68C)=P(A).P(B).P(C)=*xNH薪

有1個家庭回答正確的概率為

3511311527

--+X-X=-

一

一

---一

Pi=P(ABC+ABC+ABC)483483483

24

所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率P=I-P0-P1=I-A_Z=H

18.【詳解】(1)在四棱錐中，取P。中點N,連接MN,

則四邊形BCNM為平行四邊形，BM//CN,而CNu平面PC。，8M仁平面PCD,

所以3M〃平面PCO.

(2)取力。的中點0,連接P。，0C,由目/MO為等邊三角形，得PO_LHO,

而平面PAO_L平面/BC。，平面P/IOn平面48C0=AD,POu平面PA。，

則P01平面48c0,由4。=8C=l,40〃BC,得四邊形48。。是平行四邊形，

于鳧OC//AB,而48171D,則。C14D,直線。C,OD,0P兩兩垂直，

以0為坐標原點，直線OC,OD,0P分別為%,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

z.

則｛0,-l,0),D(0,l,0),C(l,0,0),B〔l,-4,0),P(0,0,O,CP=(-1,0,73),CD=(-1,1,0),

設平面PCD的法向量為k=(%,y,z),則卜.fP二一"+Cz=0,取z=i,得五

(n-CD=-x+y=0

又就=(0,1,0),所以B到平面PCD的距離d=曙=居=亨.

(3)令而=XPD=(0,A,-/32),aG[0,1],

AE=AP+PE=(0,1,/3)+(0,A,-y/lA)=(0,1+A,/3-<3；.),AC=(1,1,0),

設平面EAC的法向量為沅=?b,c),則，-

(77i?/IF=(1+A)b+(\3—V3x)c=0

取占=C(/l-l),得沆=(，5(1—2),C(/l-l),/l+l),平面D4C的法向量為麗=(0,0,，3),

I麗同_列a+i)_/io

于是|cos(。"，記)|=

麗=口?0以]。/+7=可

化簡得3乃一104+3=0,又46[0,1],解得4=]即黑=：

所以線段PD上存在點￡,使得平面E"與平面ZMC夾角的余弦值為駕，黑=今

。ILZO

19.【詳解】⑴%2+、2+&+；1y-Q+DnoqwR),

整理得M+y2-1+；1a+丫-i)=OQ七/?),

由仁+4二UH；：X：r

即動圓C恒過兩定點的坐標為(1,0)或(0,1).

(2)由圓的方程/+y2+Ax+Ay-(A+1)=0(AGR)可得，

圓c的圓心坐標為c(-;，-務

圓C的半徑為r=丫召+平+4=+1)=1V2A2+4A+4,

則圓。的圓心到直線1：y=2x的距離為d=包桌型=緝=梟,

2+奴+4)一至

所以4B兩點間的距離|AB|=2Vr2-d2=2

整理得MB|=22M+A+l,

4u

設t=4儲+入+1,其對稱軸為]=-2：9=一,

故tmin=X(-y)2+(一鄉(xiāng)