2025-2026學年上學期初中數(shù)學華東師大版八年級期中必刷?？碱}之因式

分解

一.選擇題（共7小題）

I.（2024秋?澤州縣期末）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（）

A.（?+/?）2=（T+2ab+lr

B.2mcr+4ma+2m=2m（?+1）2

C.cr-b2-\=（。+力）（a-b）-I

D.f+6x+36=（x+3）2+27

2.（2024秋?安岳縣期末）若一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“揚帆數(shù)”.則

下列各數(shù)中是“揚帆數(shù)''的是（）

A.224B.220C.198D.154

3.（2024秋?霸州市期末）下列多項式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A.JC-y2B.y2-x2C.-x2-y2D.x4-y2

4.（2024秋?肥城市期末）下列多項式：①49+4*②/-%，+勺2；③疝+醇；④-J+4/中，能用

公式法分解因式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2025春?雁塔區(qū)期末）下列各式不能運用平方差公式進行醫(yī)式分解的是（）

A.-/+射B.-x2-/C.49.r-?D.16混-25/

6.（2024秋?通遼期末）取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理

是：如對于多項式J-y4,因式分解的結果是（x-y）（x+田（/+）2）,當x=9,y=9時，各個因式的

值是x-y=0,x+y=18,jr+y2=l62,于是就可以把“018162”作為六位數(shù)的密碼，對于多項式4戶-冷2,

取x=10,），=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼可以是（）

A.1OIO3OB.010103C.100130D.301001

7.（2024秋?平輿縣期末）把多項式6//，-3/扇-12//分解因式時，應提取的公因式是（）

A.3a2bB.3ab2C.3aVD.3a2b2

二.填空題（共6小題）

8.（2024秋?肥城市期末）若整式/-ai-1有一項因式為x+1,那么。的值為.

9.（2024秋?東區(qū)期末）多項式依+6因式分解后有一個因式為2,則k的值為.

10.（2024秋?敘水縣期末）已知x?y=5,個=?3,則代數(shù)式dy?x/的值為.

11.(2024秋?錫林郭勒盟期末)已知"=-2,a+b=-3,則a?/計2a*+a/的值為.

12.(2025?磁縣校級四模)分解因式：-25y=.

13.(2025?墾利區(qū)三模)因式分解：3a，+6ar.y+302=.

三,解答題(共2小題)

14.(2024秋?騰沖市期末)教科書中這樣寫道：”形如。2±2出計廬的式子稱為完全平方式”，如果一個多項

式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個

項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決

一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題.

例如：分解因式：/+2x?3

解：原式=(f+2rH)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(J+1-2)=(x+3)(x-1)

再如：求代數(shù)式/+2x-3的最小值.

解：原式=(7+2x+l)-1-3=(x+1)2-4

又???(X+1)2是一個非負數(shù)，

???(x+1)2>0.

/.(x+1)2-4>-4

可知當x=?1時，/+1V-3有最小值，最小值是?4.

根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：?-4x-5=；(直接寫出結果)

當x=時，多項式X2-4x-5有最小值，這個最小值是;

(2)利用配方法，已知小江c?為△48。的三條邊，a2+5/?2+c2-4ab-6b-10c+34=0,求△ABC的周

長.

15.(2025?赤峰模擬)中國著名數(shù)學家華羅庚曾說過，“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”.數(shù)形結合的

思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化.我們學習的多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解

釋.如圖1,現(xiàn)在有三種類型的紙片，1號紙片是邊長為。的正方形紙片，2號紙片是邊長為〃的正方

形紙片，3號紙片是長為人寬為”的長方形紙片?.

~~KI

a1號b2號"3號________________

bQ(

abbbboabb

圖1圖2圖3

(1)由邊長分別為G。的兩個小正方形和兩個長為人寬為〃的長方形拼成如圖2所示的大正方形,

可知大正方形的邊長為(“+〃)，即可求得大正方形的面積.由此可得到一個乘法公

式：;

(2)如圖3,根據(jù)所拼圖形的面積，可以把多項式J+4M+3戶分解因式，其結果是；

(3)用一張1號紙片，一張2號紙片，一張3號紙片可以拼接成如圖4所示的圖形.若陰影部分的面

積為32,3號紙片的面積為24,求〃，力的值.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】B

【分析】設兩個連續(xù)偶數(shù)為"和兼+2a為正整數(shù))，表示出這兩個數(shù)的平方差，然后逐項驗證即可.

【解答】解：設兩個連續(xù)偶數(shù)為乂和2A+2a為正整數(shù))改為正整數(shù)，

:.(2A+2)2-(2k)2=4么+歐+4-4乒=弘+4,

若8&+4=224,解得k二苧，

選項不合題意；

若8k+4=220,解得k=27,

??.8選項符合題意；

若8%+4=198,解得，=竽,

工。選項不合題意：

若8k+4=154,解得k=與，

，。選項不合題意：

故選：B.

【點評】本題考查了新定義，整式的混合運算，以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是表示出這兩個

數(shù)的平方差.

3.(2024秋?霸州市期末)下列多項式中，不能用平方差公式分解因式的是()

A.B.)2-./C.-x2-/D./-/

【考點】因式分解■運用公式法.

【專題】整式；運算能力.

【答案】C

【分析】結合平方差公式的結構特征：$一〃2=(。十〃)([_〃)，左邊需滿足兩數(shù)(或式)的平方差，

逐項分析判斷即可.

【解答】解：A.原式=(x+y)(x-y),故本選項不符合題意；

B.原式=Cy+x)(y-x),故本選項不符合題意；

C.-』-『，不是兩數(shù)(或式)的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故本選項符合題意；

D.原式=(/+/)(』-』)=(7+),2)(x+y)故本選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了因式分解一運用公式法，理解并掌握平方差公式的結構特征是解題關鍵.

4.（2024秋?肥城市期末）下列多項式：①4，+4*②，-2沖+勺③獷;④-J+4/P中，能用

公式法分解因式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】因式分解-運用公式法.

【答案】B

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進而得出答案.

【解答】解：①4/+4x=4x（尤+1）,是提取公因式法分解因式；

②/-Zq葉49，用公式法分解因式；

③〃2-岫+筋2=（〃一④力）2,符合題意；

④-/+4）=（2b-a）（2b+a）,符合題意;

故選:B.

【點評】此題主要考杳了公式法以及提取公因式分解因式，正確掌握乘法公式是解題關鍵.

5.（2025春?雁塔區(qū)期末）下列各式不能運用平方差公式進行區(qū)式分解的是（）

A.-/+廬B.-x2-/C.49./-z2D.16序-25/

【考點】因式分解-運用公式法.

【專題】整式；符號意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)平方差公式的公式結構對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：4、?/+戶符合平方差公式結構，故本選項不合題意；

B、?』?>2不符合平方差公式結構，故本選項符合題意：

C、49/-Z?符合平方差公式結構，故本選項不合題意；

。、16〃?2-25〃2符合平方差公式結構，故本選項不合題意.

故選：B.

【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式的公式結構是解題的關鍵.

6.（2024秋?通遼期末）取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理

是：如對于多項式因式分解的結果是（工?）,）（x+W（』+』），當『/）,=9時，各個因式的

值是x-y=0,x+y=18,Ay2=162,于是就可以把“0⑻62”作為六位數(shù)的密碼，對于多項式4.V3

取x=10,y=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼可以是（）

A.101030B.010103C.100130D.301001

【考點】因式分解的應用；因式分解的意義.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】對多項式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把數(shù)值代入計算即可確定

出密碼.

【解答】解：4^-xy2=x(4A2-y2)=x(2x+y)(2r-y),

當x=10,)，=10時，2x+y=30,2x-y=10,

組成密碼的數(shù)字應包括30,10,

故選：A.

【點評】本題主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新穎，熟記公式結構是解題

的關鍵.

7.(2024秋?平輿縣期末)把多項式6/廿-3/廿一12廿83分解因式時，應提取的公因式是()

A.3crbB.3/C.3aVD.3a2/72

【考點】因式分解■提公因式法.

【專題】整式；運算能力.

【答案】。

【分析】將原式因式分解后即可求得答案.

【解答】解：原式=3/后(2d-1-4b),

則應提取的公因式是3/戶，

故選：。.

【點評】本題考杳因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關鍵.

二.填空題(共6小題)

8.(2024秋?肥城市期末)若整式4-辦-1有一項因式為.計1,那么。的值為2.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】2.

【分析】不妨設/-ai-1=(x+1)(戶儂+c),然后利用整式的乘法得到F-ax-1=9+/(/?+!)+x

(c+h)+c,從而得到6+1=0,c+b=-a,-l=c,最后算得答案.

【解答】解：若整式/?好?I有一項因式為x+1,

不妨設原式=(A+1)C^+bx+c)

11

那么入3-Qx-i=(x+1)(/+6x+c)=x^+bx+xc+x+bx+cf

.'.x3-ax-\=/+/(Hl)+xCc+b)+c,

.*./?+!=0,c+b=-a,-l=c,

:?b=-I,a=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了因式分解和整式的乘法，熟練掌握以上知識點是解即的關鍵.

9.(2024秋?東區(qū)期末)多項式『-依+6因式分解后有一個因式為x-2,則大的值為5.

【考點】因式分解的意義.

【專題】計算題；因式分解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用十字相乘法判斷即可.

【解答】解：???多項式/-丘+6因式分解后有一個因式為工-2,

，另一個因式是(x-3),即/-丘+6=(x-2)(x-3)=/-5x+6,

則攵的值為5,

故答案為：5

【點評】此題考查了因式分解的意義，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

10.(2024秋?敘永縣期末)已知x-y=5,xy=-3,則代數(shù)式『v-xv?的值為-15.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】75.

【分析】先把7)，-冷2提公因式分解因式，再整體代入進行計算即可.

【解答】解：:")，=5,xy=-3,

-x)^=xy(.x->1)=-3x5=-15.

故答案為：-15.

【點評】本題考查的是提公因式分解因式，因式分解的應用，求解代數(shù)式的值，掌握“整體代入進行求

值”是解本題的關鍵.

II.(2024秋?錫林郭勒盟期末)已知"=-2,a+b=-3,則/加的值為-18.

【考點】因式分解的應用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】78.

【分析】把所求式子因式分解為"(a+b)2,再代值計算即可.

【解答】解：?:ab=-2,a+h=-3,

/.a^b+2a2b2+ab^

(/+2〃力+廬)

=ab(a+b)2

=-2x(-3)2

=-18,

故答案為：-18.

【點評】本題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解是關鍵.

12.(2025?磁縣校級四模)分解因式：/y?25y=y(x+5)模-5).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先提取公因式)，，然后再利用平方差公式進行二次分解.

【解答】解：A2y-25V

=y(7-25)

=y(x+5)(x-5).

故答案為：)，(.v+5)a-5).

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式進行二次分解因式是解本題的難點，

也是關鍵.

13.(2025?墾利區(qū)三模)因式分解：3aA2+6ory+3a.y\3a(x+y)).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】3a(x+y)2.

【分析】根據(jù)提取公因式法和完全平方公式進行因式分解解答即可.

【解答】解：3/+6”)葉3aly2

=3a(x^+lxy+y^)

=3〃(x+y)2.

故答案為：3a(A'+y)2.

【點評】本題考查了提公因式法勺公式法的綜合運用，熟練掌握提取公因式法和公式法進行因式分解是

解題的關鍵.

三,解答題(共2小題)

14.(2024秋?騰沖市期末)教科書中這樣寫道：“形如『±2"+戶的式子稱為完全平方式”，如果一個多項

式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個

項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決

一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題.

例如：分解因式：7+2x-3

解：原式=(?+2x+i)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(J+I-2)=(x+3)(x-i)

再如：求代數(shù)式.P+Zt?3的最小值.

解：原式=+2rH)-1-3=("1)2-4

又???(x+1)2是一個非負數(shù)，

???(x+1)2>0.

，(x+1)2-4>-4

可知當x=-1時，-3有最小值,最小值是-4.

根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：/-4x?5=(x-5)(x+l)；(直接寫出結果)

當戶2時，多項式r-4.「5有最小值，這個最小值是-9；

(2)利用配方法，已知小b,。為AAAC的三條邊，a2+5h2^c2-4ab-6b-10c+34=0,求△A8c的周

長.

【考點】因式分解的應用；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

【專題】因式分解?；運算能力.

【答案】(1)(x-5)(x+1)；2,-9；

(2)14.

【分析】(1)原式利用十字相乘法分解即可；多項式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出最小值，以及此時

%的值即可；

(2)已知等式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出小〃，c的值，進而求出三角形周長即可.

【解答】解：(I)?-4x-5=(x-5)(x+1)；

當x=2時，多項式/-4x-5=(？-4x+4)-9=(x-2)2-9有最小值，這個最小值是-9；

故答案為：(X-5)(x+I)；2>-9；

(2)已知等式整理得：(/-4出計4戶)+(Z?2-6/?+9)+(?-10(+25)=0,

整理得：(a-2b)2+(方-3)2+(c-5)2=0,

：.a-2b=0,〃-3=0,c-5=0,

解得：a=6,b=3,c=5,

則^ABC的周長為6+3+5=14.

【點評】此題考查了因式分解的應用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

15.（2025?赤峰模擬）中國著名數(shù)學家華羅庚曾說過，“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結合的

思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化.我們學習的多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解

釋.如圖1,現(xiàn)在有三種類型的紙片，1號紙片是邊長為。的正方形紙片，2號紙片是邊長為人的正方

形紙片，3號紙片是長為人寬為〃的長方形紙片.

（1）由邊長分別為。，〃的兩個小正方形和兩個長為。、寬為〃的長方形拼成如圖2所示的大正方形,

可知大正方形的邊長為（a+6，即可求得大正方形的面積.由此可得到一個乘法公式：（a+b）2=

。2+2岫+/：

（2）如圖3,根據(jù)所拼圖形的面積，可以把多項式J+4（必+3序分解因式，其結果是一"+據(jù)（〃+3〃）；

（3）用一張I號紙片，一張2號紙片，一張3號紙片可以拼接成如圖4所示的圖形.若陰影部分的面

積為32,3號紙片的面積為24,求m。的值.

【考點】因式分解的應用；完全平方公式的幾何背景.

【專題】整式；運算能力.

【答案】(1)(a+b)2=(r+2ab+b2；

(2)(a+b)(a+3b)；

（3）〃=8；b=3.

【分析】（1）根據(jù)面積相等的兩次計算可得結論；

（2）根據(jù)多項式c?+4ab+3/的幾何背景是邊長為（a+b）,<a+3b）的長方形的面積解答;

（3）根據(jù)陰影面積=總面積-兩個三角形的面積求解即可.

【解答】解：（1）根據(jù)圖形可知（a+b）2=J+2出底.；

故答案為：（a+〃）2=a2+2ab+b2；

(2)根據(jù)所拼圖形的面積把多項式/+4〃/升3力2分解因式，其結果是(“+/?)(a+3b),

故答案為：(a+b)(a+3b)：

(3)圖形的總面積為:cr+ab^b2,

11cl11

三角形面枳分別為：-b(Q+2b)=—ab+b?；—+b)=—a2o4--ab,

22222

，S用影=a2ab+b2-^ab-b2a2-tab=la2=32,

???4=8(負數(shù)舍去)，

??7〃=24,

.*./?=3.

【點評】本題考查此題考查了完全平方公式的幾何背景，弄清題意畫出相應的圖形，利用數(shù)形結合思想

是解本題的關鍵.

考點卡片

1.非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為。時，則其中的每一項都必須等于0.

2.完全平方公式的幾何背景

<1）運用兒何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過兒何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式

做出幾何解釋.

（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形

Ca+b）2=^+2出計..（用大正方形的面積等于邊長為〃和邊長