27.2.1相似三角形的判定

第1課時平行線分線段成比例的基本事實(shí)

練基礎(chǔ)

知識點(diǎn)I相似三角形的定義及性質(zhì)

甘肅中考）若^ABCs4EF,BC=6,EF=4,則夢（）

A；B，C.|D.|

2（山東濟(jì)南槐蔭期末）如圖.已知△ABCs^ACP,NA-7（）o,NAPC-65cJMNBB4的度數(shù)為（）

A.45°B.50。C.550D.6O0

3（教材P57第2題改編）兩個相似三角形的相似比是|,第一個三角形的最大邊長為50cm,第二個三角形的最大邊

長是________cm.

知識點(diǎn)2|平行線分線段成比例

4人字梯（如下左圖）因其便捷、靈活的特性被廣泛應(yīng)用于電工操作上如下右圖是從某人字梯上抽象出的圖形,AD〃B

E〃CF,若AB=2,AC=5.EF=4,則DE的長度是（）

由生

A.6B.jC.53D.I

5（教材P3I第I題改編）如圖，已知直線k,12,13分別截直線U于點(diǎn)A,B,C,截直線I5于點(diǎn)D,E,F,且

⑴如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的長

（2）如果DE:EF=2:3.AC=25,求AB的長.

知識點(diǎn)3用平行線判定三角形相似

6（教材P31第2題改編）如圖，在口ABCD中點(diǎn)E,F分別在邊AD.BC上，且EF〃CD,G為邊AD延長線上一點(diǎn)，連接

BG,則圖中與^ABG相似的三角形的個數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

G

第6題圖第7題圖

7（易錯題攻口圖.在△ABC中,DE〃BC,AD=9,DB=3,DE=6,則BC的長為（)

A.6B.7C.8D.9

8（四川巴中中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為〉A(chǔ)OB的0A邊上一點(diǎn),AC:OC=1:2,過C作CD〃OB交AB于點(diǎn)

D,C,D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1,3,則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

C.6D.7

第8題圖第9題圖

9（山東濰坊期末）如圖,AB〃CD〃EF,AF交BE于點(diǎn)G,若AC=CG,AG=FG,則下歹I」結(jié)論錯誤的是（）

,DGI

4而=鼻BR?石F

CCF3。吟

BE3

10（四川成都校級模擬）如圖，在△ABC中，D,E,F分別是AB.AC.BC上的點(diǎn)，且DE〃BC.EF〃AB,若BF:FC=2:3.AB

=15JUBD=()

A.6B.9C.10D.12

第10題圖第11題圖

11（山東濟(jì)南萊蕪期末）如圖，已知△ABCs^ADB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn).CD=2.則AB的長為

12（陜西西安校級模擬）如圖，已知點(diǎn)F在AB上，且AF:BF=1:2點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn),BC:CD=2:1,連接FD與AC

交于點(diǎn)N,則FN:ND=.

練素養(yǎng)

13如圖，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8,0）,（0,6）,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A做勻速直線運(yùn)動，速度為每秒3個

單位長度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O做勻速直線運(yùn)動,速度為每秒2個單位長度，連接PQ,

若設(shè)運(yùn)動時間為/5（0</<y）.

⑴當(dāng)I為何值時,PQ〃BO?

（2）設(shè)^AQP的面積為S.

①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

知識點(diǎn)2兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

5（教材P34第I（I）題改編）已知△ABC如圖，則下列4個三角形中.與△ABC相似的是（）A

6中國義烏國際小商品博覽會以“面向世界服務(wù)全國',為辦展宗旨，對擴(kuò)大商品出口，促進(jìn)全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展等發(fā)揮著

積極的推動作用.如圖，將某四邊形展區(qū)ABDC分成甲、乙、丙、丁四個三角形展位若OA:OB=OC:OD=23則對于

這四個三角形的關(guān)系，下列敘述正確的是（）

A.甲與丙相似，乙與丁相似

B.甲與丙相似，乙與丁不相似

C.甲與丙不相似，乙與丁相似

D.甲與丙不相似，乙與丁不相似

7（甘肅金昌金川期末）已知，如圖，△ABC中，AB=4,BC=8,D為BC邊上一點(diǎn)BD=2.求證:△ABD^ACBA.

練提升

8新定義新概念問題（云南昆明中考）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做

格點(diǎn)三龜形如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6x6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形^ADE（不含△ABC）,使得△

ADEsaABC（同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個），這樣的格點(diǎn)三角形一共有)

C.6個D.7個

第8題圖第9題圖

9（江蘇南充中考）如圖在△ABC中,D為BC上一點(diǎn)，8C=則AD:AC的值為

10如圖，在正方形網(wǎng)格中，有兩個三角形△ABCAlBlCl.則NBAC的度數(shù)為

第10題圖第U題圖

II如圖AB是。O的直徑，點(diǎn)C在圓上，直線1經(jīng)過點(diǎn)C,且I〃AB,P為直線1上一個動點(diǎn)，若AC=4,BC=3以點(diǎn)PA,

C為頂點(diǎn)的二角形與△ABC相似，則PC=.

12如圖,在矩形ABCD中點(diǎn)E,F分別在CD,AD上，連接AE,BF,AE1BF,且AE=BF.

⑴求證:AB=AD;

⑵連接EF,BE.已知DF2=AFAD.求證：△DEF^ACEB.

練素養(yǎng)

13如圖，在^ABC和^ABC中,D.D，分別是AB,AB上一點(diǎn)，

⑴當(dāng)巖啜吟時,求證:△ABCsZkABC;

第3課時兩角關(guān)系判定三角形相似

練基礎(chǔ)

知識點(diǎn)I兩角分別相等的兩個三角形相似

I（教材P42第2⑵題改編）如圖在紙片△ABC中,NA=76\NB=34。.將紙片沿某處剪開，下列四種方式中剪下的陰影

①②③④

A.①②B.②0C.①③D.③?

2李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心*丁亂了解答過程的JI頁序,證明步驟正確的順序是（）

已知:如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，且DE〃BC.DF〃AC.求證:△ADE^ADBF.

證明:①又：DF〃AC,②?.?DE〃BC,③，ZA二NBDF,④,NADE=NB,

AAADE^ADBE

A.③②④①B.②④①③

C.③①④②D.②③④①

A

A

BFCBL—

第2題圖第3題圖

3如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件___________便△ADE-AABC.

4（江西中考）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上,/ACD=NABE.

⑴求證:△ABC^AAEB:

⑵當(dāng)AB=6,AC=4時，求AE的長.

E

DC

AB

知識點(diǎn)2直角三角形相似的判定

5（教材P36第2題改編）如圖在RtAABC中,NCAB=90\AD_LBC.在圖中的三角形中.兩兩相似的三角形的又掇為

()

第5題圖第7題圖

6（上海靜安二模）在RQABC和RtADEF中,NC=NF=901AC=3,BC=4,DF=6,DE=8.這兩個三角形（填“相似”

或不相似"）.

7（易錯題攻口圖、已知/ACB=NABD=9￥,AB=在,AC=2,當(dāng)AD的長為時，圖中兩直角三角形相似.

反思：本題易錯點(diǎn)是______________________________________________________

8（山東荷澤中考）如圖在RtAABC中,NABC=9（r\E是邊AC上一點(diǎn)且BE=BC.過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長

線于點(diǎn)D.求證：△ADE^AABC.

上

練提升

9如圖，在下列四個條件：①NB=NC②NADB=NAEC,③AD:AC=AE:AB,④PE:PD=PB:PC中.隨機(jī)抽取一個能使△

BPEs^CPD的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.1

第9題圖第10題圖

10如圖，已知RtAABC中,NC=90）NArNB,點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)（不與A,C重合），過P點(diǎn)的一條直線與aABC

的邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，這樣的直線有條.

II如圖，正方形ABCD中,AB=12,AE=3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動（不與B,C重合），過點(diǎn)P作PQ_LEP,交CD于點(diǎn)Q,貝!JC

Q的最大值為.

E

Q

C

12（上海中考）如圖所示在等腰三角形ABC中,AB=AC點(diǎn)E,F在線段BC上點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE,AE2=AQA

B.求證：

(1)ZCAE=ZBAF;

(2)CFFQ=AFBQ.

練素養(yǎng)

13如圖,△ABC和^DEF是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,ADEF的頂點(diǎn)E與^ABC的斜邊BC

的中點(diǎn)重合,將^DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時.求證:△BPE^ACQE;

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時，求證:△BPE^ACEQ;

⑶在（2）的條件下若8/FC6/求點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)間的距離（用含a的代數(shù)式表示）.

圖1圖2

27.2.1相似三角形的判定

第1課時平彳亍線分線段成比例的基本事實(shí)

1.D

2.A解析:???△ABCsZkACP,，ZACB=ZAPC=65°.VZA=70°,.\/B=180°?NA-NACB=180°-70°-65°=45°.故選A.

3.70解析：設(shè)第二個三角形的最大邊長為xcm,根據(jù)題意，得50：x=5：7,解得x=70.故第二個三角形的最大邊

長為70cm.

解題關(guān)鍵點(diǎn)：相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比.

4.Dfi?ST：VAD//BE//CF,AAB=DEF,H）全筆解得。耳.故選D.

5.解:（（1）口/1口/2口以□蔡=隼?

DCbr

例=3麻=6"4,口江器解得EF=8.?.?EF的長為8.

⑵口MW，□黃=學(xué)

*/DE:EF=2:3,AC=25,A25-AB=［解得AB=10.

JAB的長為10.

解題關(guān)鍵點(diǎn)：成比例線段注意對應(yīng)性，如上下=上

6.D解析：如圖，:四邊形ABCD為平行四邊形，

.,.CD4AB,AD#BC,AADGM^AAGB.ADGM^ACBM.

VEF//CD,/.ADGM^AEGN,ACBM^AFBN,

???△DGMs/XFBNs^CBMsaEGNsaAGB.故選D.

B

7.C解析:由題意得AB=AD+DB=12.：DE〃BC,；?Z\ADE口力品,□能=*=白=],口5。=[?！?8.故選C.易錯點(diǎn)易弄

oCI，q3

錯兩相似三角形的相似比.

8.CVCD//OB,A△ACD^AAOB,AAC=CDB.

匚力COC52,口令《口霽=；.

VCD兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為L3,ACD=3-1=2,

「六二，解得OB=6,即B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6.故選C.

OD3

9.D解析:,??."Z1C￡MC=CG,□絲=與=1選項A正確「?,CD〃EF,???4CDGSZ\FEG,，CDEF=CG/FC.???AC=CG,

BGAG2

AG=「伉□尸G=2CG,□黑=尊=:￡二,選項B,C正確；,.,AB〃EF,.,.BBC./C/6,*/AG=FG,ABG=EG./.BE=2BG.

EFFG2CF3

□=I,□BG=2DGy□BE=4DG,Zl辭=：、選項D錯誤，符合題意.故選D.

/>OZ1$匕4

10.B就:??,班口48,□"=/=：,口爺=濘?！昕?G口喘解得BD=9.故選B.

ACrC3nC3Bl)人CD!J3

11.20解析:,?點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),CD=2,/.AD=2,AC=2CD=4.VAABC^AADB,AB//AD,ZCB,AAB2=ADA

C=2x4=8,VAB>0,AAB=2近

12.2:3樨析:如圖過點(diǎn)F作FE〃BD.交AC于點(diǎn)心.△AFEs□48。,口9=喘?口47：8斤=1：2,口蕓=1,口9=1,即FE=

oCADAtiJZ>C3

:BC.DBC:CD=2:1,

口CO=：〃C.□尸Enz?。，

/.△FEN^ADCN,

璃噌=9泄FN:ND=2:3.

解題關(guān)犍點(diǎn)：作輔助線構(gòu)造相似三角形，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解.

13解:(1)由題意得OB=6,OA=8,AQ=2l,BP=3l,匚AR=JOR'OAT6?+82=io,則AP=10-3t.如圖1,VPQ//BO,AAPAB

4010-3/2t

二—即---,

40h108'

解得片百，:當(dāng)片片s時,PQ〃BO.

⑵由（1）知OA=8QB=6,AB=10.

①如圖2所示,過點(diǎn)P作PDJ_x軸，垂足為點(diǎn)D,則PD^BO.AAAPD-AABO,

*罪即*=今解得P*白

[5=；.4?？?0=1口2/門（6—%）=6Z-^=-1（/-^2+5,

??.S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為5=6/-沁0</t），當(dāng)W時，S取得最大值，最大值為5.

②由①，得當(dāng)s取最大值時，片;，

CPO=6一（片3,匚尸

又PD//BOJ此時PD為AOAB的中位線，則OZ>：CM=4,???P（4.3）.

又AQ=2t=j,DOQ=OA-AQ=y,[LQ（^^）J

依題意，得響量PQ”的坐標(biāo)為（卜，0-3）,即?-3）

，當(dāng)S取最大值時，“向量PQ”的坐標(biāo)為&，-3）.

核心素養(yǎng)本題綜合考查相似三角形的判定及性質(zhì)和二次函數(shù)最值問題，考查了運(yùn)算能力及模型觀念.

第2課時三邊關(guān)系、邊角關(guān)系判定三角形相似

1.A解析:因為尋方條=4,所以AABC與△DEF一定相似.故選A.

解題關(guān)腱點(diǎn)：注意“長對長，短對短\找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系.

2.B解析:因為△ABC的三邊長分別為6cm,7.5cm,9cm,所以三邊長的比為4:5:6,而^DEF的一邊長為5cm.B選項中

當(dāng)另外兩邊長為4cm,6cm時，三邊對應(yīng)成比例，這兩個三角形相似，A,C,D選項中的邊長與5cm都不符合三

邊比為4:5:6.故選B.

3.B解析：圖形①的三邊長分別為2,，歷，&；圖形②的三邊長分別為3,V5,V2；圖形③的三邊長分別為2,

2V2,2V5;圖形④的三邊長分別為3,叵47□壺-賽-圣匚①與③相似，故選B.

解題關(guān)理點(diǎn)：當(dāng)三角形在網(wǎng)格中時，可以通過勾股定理求得三角形的各邊長，再利用三邊對應(yīng)成比例判斷是否相似.

4.解:/B=/AED.理由如下：

由題意彳導(dǎo)AB=AD+BD=3+15=18,AC=AE+CE=6+3=9JU!J^=；=3,^=y=3,^=^=3,DAABC-AAE

AD3AE6DE5ADAEDE

D,AZB=ZAED.

5.D解析:由題圖可知,AB=AC=6,???/ONB=75。,，NA=30。.選項D中的三角形與△ABC滿足兩邊對應(yīng)成比例且

夾角相等,故選D.

6.A.OJ:O5=OC:(9D=2:3,n^=^,nCJOC=ZBOD,/.AAOC^ABOD.VAA=OCD.BP黑=案,口4。8=

NCOD.JZXAOBs^cOD.故選A.

7.證明:???AB=4,BC=8,BD=2,7*=照=；.

CoDAL

VZABD=ZCBA..\AABD^ACBA

8.C解析:如圖.使得△ADEs△ABC的格點(diǎn)三角形一共有6個.故選C.

9（解析：:口8。=7543=38。,口黑祟百.口口5=匚氏□□44。匚。44唬=*6,口/1。:40三.

10.1350解析:由題圖可知口8]/￡=135??設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,則A】C1二2,BC=5,由勾股定理，得A】B

L出石《=內(nèi),口急=評票彘端目荒目,」券=器=含，?.△ABCS/SA1B1C

i,???NBAC=NBIAiCi=135°.

11.5或3.2解析:,??AB是。O的直徑,JNACB=90。.在RtAABC中,由勾股定理得AB=5.VI/7AB,AZACP=ZA,

△PAC與△ABC相似.分兩種情況:

吟吟時，△CPAs4ABC.JPC/5=1.解得PC=5.

令喙時,△CAP<-AABC./.部。4解得PO3.2.綜上可知.若△ABC與^PAC相似.則PC=5或3.2.

解題關(guān)腿點(diǎn)：相似三角形的對應(yīng)邊不明確時，應(yīng)分情況討論，切勿漏解.

12.證明:(1),/四邊形ABCD是矩形.

JZBAD=ZADE=90°,/.ZABF+ZAFB=90°.

VAE1BF,/.ZDAE+ZAFB=90°,.*.ZABF=ZDAE.

又AE=BF,AAABF^ADAE(AAS),AAB=AD.

⑵匚談=4"AO,□黑=如

由(1)可知.△ABF^ADAE,/.AF=DE,ADF=CE.

又?：AD=BC,暇嘿?

丁ZFDE=ZBCE=90°,/.△DEF<^ACEB.

解題關(guān)槌點(diǎn)：將等積式轉(zhuǎn)化為等比式，通過等量代換得到證明三角形相似的條件.

13廨:⑴證明:□黑祭二拼條

CD_AC_AB.CD_AC_AD

LJ~—r-------r-?-LJ-：~：---------;~.

CDACAB'CDACAD

.,.△ADC^AA'D'C',/.ZA=ZA;

又ACAC=AB//,A△ABC^△A'B'C.

⑵解：相似.理由如下：

如圖，過點(diǎn)D,D，分別作DE〃BC,DE〃BC,DE交AC于E,DE交AC于E.

丁DE//BC,J△ADEs△ABC,J△AB二DE二AE,同理方=券=分

ADAD,,DEDE,,DERC(=11mAEAE,,AC-AEAC-AEAnECEC,,ECAC,CDACRC,,CDDE

ABAB5BCBCDEBCACACACACACACECACCDACBC,CDDE

EC

EC5

△DCEs△D'C'E',，ZCED=ZC'E'D'.

??DE//BC,I.ZCED+ZACB=180。.

同理，□C￡，，D，4-D/1，C^=I8O，□口力CB=匚/'CR.

VAC/>CC-0B/Cn,A△ABC<^△A'B'C.

第3課時兩角關(guān)系判定三角形相似

I.C解析:△ABC中,NA=76。,NB=34。廁NC=70。,圖①,③截得的陰影三角形中，都有兩個角分別與△ABC的兩個

角相等，因此都與原三角形相似；圖②截得的陰影三角形中,三個角分別是34%34%112%圖④截得的陰影三角

形中，三個角分別是70。，70。，40。,因此都與原三角形不相似.故選C.

2.B

3.NADE=NB(答案不唯一)

4.解:(1)證明:四邊形ABCD為菱形,；.ZACD=ZACB.

,/ZACD=ZABE,.\ZACB=ZABE,

VZBAC=ZEAB,AAABC^AAEB.

⑵解:由⑴得.△ABCS^AEB,u號=2

AtzAD

VAB=6,AC=4,.\-=7，AAE=9.

416

5.B解析:???AD_LBC,???NADC=NBDA=90。,???NBAC=NAD090。.又NC=/C,???△ADCs△BAC.同理△ADB^

△CAB,???Z\ADCs/\BDA.故選B.

解題關(guān)筵點(diǎn)：利用''同角的余角相等“得到證明三角形相似的條件.

6.不相似解析:在RSDEF中，???NF=90,DF=6,DE=8,口后尸=癡二正詞彳=24噌=［移=親=邛,□蔡聲

朱???R2ABC和RtADEF不相似.

EF

7.3或3a解析:??,NACB=NABD=90。,，要使△ACB和^ABD相似必須《=霧或?=*皿。=2/8=跖

AltAtJAISAiJ

［BC=UB?-心也口宗=［或得=點(diǎn)解得AD=3或3V2

易錯點(diǎn)未指明兩相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)分情況討論，易漏解.

8.證明:???BEuBC,，ZC=ZCEB.

,/ZCEB=ZAED.AZC=ZAED.

「AD1BE,JZD=ZABC=90°,AAADE^AABC.

9.C解析:①???NEPB=NDPC,NB=/C