2025-2026學(xué)年福建省福州外國語學(xué)校高三（上）10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={-1,1,2,3},B={x\lnx<1},則An8=（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,2}D.{-1,1,2）

2.已知W是復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)，l（i為虛數(shù)單位），貝Uz的虛剖是（）

A.iB.-iC.1D.-1

3.已知平面向量范石是兩個單位向量，方在石上的投影向量為夢，則五.0+石）=（）

A.1B.1C.<2D.73

4.已知85（75。+］）=等，則孫（30。-的的值為（）

A.1B.C.|D.

5.已知函數(shù)/（無）的定義域?yàn)镽,/W-1為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，則f（l）+/（2）+…+/（16）=（）

A.0B.16C.22D.32

6.漳州市龍海區(qū)港尾鎮(zhèn)和浮宮鎮(zhèn)盛產(chǎn)楊梅，楊梅果味酸甜適中，有開胃健脾、生津止渴、消暑除煩，抑菌

止瀉，降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時(shí)間很短，當(dāng)?shù)丶夹g(shù)人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后

的時(shí)間t（單位：小時(shí)）與失去的新鮮度y滿足函數(shù)關(guān)系y=［堿唬°&￡<10,其中m,Q為常數(shù).已知采用

Vmac,10<t<100

該種保鮮方法后，楊梅采摘10小時(shí)之后失去10%的新鮮度，采摘40小時(shí)之后失去20%的新鮮度.如今我

國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，為了保證港尾鎮(zhèn)的楊梅運(yùn)輸?shù)奖狈侥吵鞘袖N售時(shí)的新鮮度不低于85%,則物流時(shí)間

（從楊梅采摘的時(shí)刻算起）不能超過（）（參考數(shù)據(jù)：log23aL6）

A.20小時(shí)B.25小時(shí)C.28小時(shí)D.35小時(shí)

7.在1r九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面

為矩形，一惻棱垂直于底面的四楂錐，鱉睛為四個面都為直角三第形的三棱錐,

如圖,在塹堵ABC-Ai/Ci中,AC1BCt44i=2,鱉膈/一人也道的外接

球的體積為學(xué)小則陽馬B-4CC14體積的最大值為（）

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8.正實(shí)數(shù)a,b,c滿足Q+2一。=2,b+3b=3,c+log4c=4,則實(shí)數(shù)Q,b,c之間的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知在Q-：)"的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則下列說法正確的有()

A.n=6B,只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.H4的系數(shù)為-12D.各項(xiàng)系數(shù)之和為-1

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為當(dāng),若535>等S36<0,則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.a18>0

C.當(dāng)S”取得最大值時(shí)，n=18D.|a18|>|a19|

11.在正方體/8。。一4/。山1中，P為I)%的中點(diǎn),M是底面/BCD上一點(diǎn)，則()

A.M為AC中點(diǎn)時(shí)，PM1ACX

B.M為中點(diǎn)時(shí)，PM〃平面48cl

C.滿足2PM=CDD］的點(diǎn)M在圓上

D.滿足直線PM與直線■。成30。鳧的點(diǎn)M在雙曲線上

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.曲線y=(x+l)ln(l+外在％=0處的切線方程為_____.

22

13.已知雙曲線C：器一方=1(Q>0/>0),以原點(diǎn)。為圓心、C的焦距為半徑的圓交x軸于4,B兩點(diǎn)，P

是圓。與C的一個公共點(diǎn).若［P川=>/l\PB\f則。的離心率為.

14.函數(shù)/(x)=sina)x(co>0),將/'(%)的圖象上所有的點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后將所

得圖象向左平移］個單位長度得到函數(shù)9(%),則化簡后g(x)=_____,若函數(shù)九(%)=/XgQ))-1在(0,2切

內(nèi)伶有4個零點(diǎn)，則3的取值范圍是______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

若數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S“，且%>0,嫌一2s“+%=0.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若以=第數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為7\,證明：Tn<l，

16.(本小題15分)

己知a,b,c分別為AABC三個內(nèi)角A,8,C的對邊,向量沅=(a/+c)1=(y［3sinC+cosC,l),mn=2(d+

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c)?

⑴求4

(2)若c=2C,兩=2就，4M=2.求△ABC的面積.

17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中,點(diǎn)。在BC上，AD1DCr.

(1)證明:力。1平面BB]gC；

(2)若AB=AC=2y[2,AB1AC,二面角C-4cl-。的大小為半

躁與平面ADg所成角的正弦值；

②點(diǎn)E在側(cè)面45當(dāng)月1內(nèi)，且三棱錐E-4DC1的體枳為￡求￡的軌跡的長度.

18.(本小題17分)

已知a為常數(shù)，函數(shù)/(%)=x，nx+ad.

(I)當(dāng)Q=1時(shí)，求/?(%)在％=1處切線方程；

(II)討論函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個數(shù)；

(III)若函數(shù)/(%)有兩個極值與，%2(X1<%2)，求證一gV/(%1)V0.

19.(本小題17分)

我們把下面的定義稱為雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與到定直線&x=^(c>a>0)的

距離之比為常數(shù)(的點(diǎn)的軟跡叫做雙曲線，其方程為圣一3=l(a>0,b>0),其中b2=c2—次,此時(shí)/叫做

該雙曲線的右準(zhǔn)線.已知雙曲線C：5一噲=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸](一2,0),&(2,0)，直線2：

%=1是C的右準(zhǔn)線.

(1)求C的方程以及C的離心率：

(2)設(shè)I與工軸的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)尸2的直線與C的右支相交于4B兩點(diǎn)，

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4={-1,1,2,3},B={x\lnx<1}={x|0<x<e],

所以4nB={1,2}.

故選：C.

由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到8={x|0<x<e）,即可求解.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由，i=1,

得2=±=^7'=一八則2=八故Z的虛部為1.

故選：C.

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及共規(guī)復(fù)數(shù)概念即可求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)槠矫嫦蛄课?，石是兩個單位向量，々在不上的投影向量為3瓦

所以黯中

所以五?方=

所以五-(a+b)=a2+a-b=1+1

4.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?5（75。+?）=?,

所以cos(150°+a)=2cos2(75。+5)-1=2x(^)2-1=-1,

所以cos(30°-a)=cos[180°-(150°+a)]=—cos(150°+a)=—(-i)=

JJ

故選：A.

利用二倍角公式，可得8$（150。+。）的值，再由誘導(dǎo)公式，得解.

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握二倍角公式，誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,

屬干基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

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【解析】解：因?yàn)?。)一1為奇函數(shù)，所以f(O)=l,

且/(乃的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對稱，

即/(%)+/(一乃=2.

因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，

所以/(%+2)=f(2-x),WJ/(x+4)=/(-x),

所以f(%)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x4-8)=2,

所以f(%)=f(x+8),故/(x)的周期為8.

因?yàn)閒(l)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+f(7)=2,f(4)+f(8)=2,所以/(I)+/(2)+…+/(16)=

2[/(l)+/(2)+-+/(8)]=16.

故選:B.

根據(jù)函數(shù)的對稱性，周期性等相關(guān)知識可解.

本顧考杳函數(shù)的對稱性與周期性，屬于某礎(chǔ)撅.

6.【答案】C

【解析】解：由題意可知

(20%=maw

:.a30=2即a=230,m=馬，

由題意可知當(dāng)tv10時(shí)，失去的新鮮度小于百分之十，沒有超過百分之十五，

3/31

當(dāng)t之10時(shí),則有王<15%即養(yǎng)(2前y<1S%.

(24)Y部，

t33L

二30-2+log?"?

解得t<28.

故選：c.

利用題中的條件列出等式，解出參數(shù)m,Q的值，進(jìn)而就可以解出了.

本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，指數(shù)和對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)=BC=y,三棱錐當(dāng)-468的外接球半徑為r,

則三棱錐/-4gB的外接球的體積為：

Q8>/~2nrx

—47rrJ=---,r=v2,

v%2+y24-4=(2r)2=8,

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%24-y2=4.

又因馬B-4CG4的體積為：

V[X52124

B-ACC1Ai=3矩形4CQ4iXBC=jXy<-（X+'?）=§,

當(dāng)且僅當(dāng)％='=，1時(shí)，等號成立，

.邛E馬8-4CG4體積的最大值為2

故選:B.

設(shè)<C=x,BC=y,B]-4C$的外接球半徑為r,根據(jù)鱉膝Bi—A[C]B的外接球的體積即可求得r,再根

據(jù)為-AC*的外接球的半徑與三棱柱力BC-48]Ci的外接球的半徑相同可得到％,y的關(guān)系式，再根據(jù)四

棱錐的體積公式，基本不等式，即可求解.

本題考查四棱錐的體積的最值的求解，三棱錐的外接球問題，基本不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

8.【答案】A

【解析】解：c+log4c=4=>log4c=4-c,

即c為函數(shù)y=log/與y=4-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

b+3b=3=1+3、=4-6,

即〃為函數(shù)y=1+3、與y=4-式的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

a+2-a=2=2+擊=4-a,

即G為函數(shù)y=2+費(fèi)與y=4-工的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，可得bvavc.

故選：A.

說明c為函數(shù)y=log4”與V=4-K的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，b為函數(shù)y=1+3"與y=4-x的圖象交點(diǎn)的橫坐

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標(biāo)，a為函數(shù)y=2+*與y=4的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4由題意可得2"=64,解得〃=6,故力正魂；

對于8,展開式共有7項(xiàng)，故只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故8錯誤；

對干C,展開式通項(xiàng)為。+1=《--/（—：）「=（一2）/c"6-21r=o,i,…，6,

令6-2r=4,可得r=L則公的系數(shù)為（-2）1以=一12,故C正確；

對于D,令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為（1一彳）6=1,故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得幾=6,結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及展開式通項(xiàng)公式判斷人8、C,最后應(yīng)用賦值法求各

項(xiàng)系數(shù)方和判斷。.

本寇主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬廣基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解:等差數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為Sn,

S35>°，S36<°，

y（?i+Q35）=35al8>0

（學(xué)（。1+。36）=18（。18+。19）《。

a18>0,a18+a19<0,故4正確；

???數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列,故4錯誤;

當(dāng)S”取得最大值時(shí)，n=18,故C正確；

|a18|<|ai9b故。錯誤?

故選：BC.

11.【答案】BCD

【解析】解:以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC,所在的直線分別為％,y,z軸，建立間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體棱長為2,如圖，因?yàn)镻為0小的中點(diǎn)，

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Z

則P(O,O,1),4(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),

對4項(xiàng)，M為AC中點(diǎn)，則

PM=(1,1,-1),何=(-2,2,2)，PM-ACl=-2+2-2=-2^0.

PM與4g不垂直，故力錯誤.

對B項(xiàng)，M為4D中點(diǎn)時(shí),PM“ADi，因?yàn)榱〃氏Q,48=。心,

則四邊形4BCW1為平行四邊形，則ADJ/8C],:.PM〃BC[,

因?yàn)?Gu平面48C],所以PM//平面AiBCi，故8正確；

對C,令M(無,y,0),PM=弓0。1=苧x2=

???”在以。為圓心，J至為半徑的圓上，故C正確；

對。，麗=(3,-1),而=(2,0,0)，

學(xué)=cos30°=|cos<'PM,~AD>\=-)--------

LJ"+y2+ix2'

化簡得《一'2=1，其為雙曲線方程，故。正確.

故選：BCD.

建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，對4計(jì)算麗?宿即可判斷；對8,利用線面平行的判定定理

即可判斷；對C,計(jì)算得則得到其軌跡；對。，根據(jù)線線夾角公式得到關(guān)于％,y的方程，化簡即

可.

本題考查空間向量的綜合應(yīng)用，屬「?中檔題.

12.【答案】x-y=0

【解析】解:由已知/'(%)=(%+l)ln(l+x),

從而f'(%)=ln(l+x)+1?

f(0)=0,/z(0)=Znl+1=1,

曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y=x,

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故答案為：x-y=O.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算/IO),/''(()),求出切線方程即可；

本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道常規(guī)題.

門+/7

13.【答案】

-2-

【解析】解：由題意可得，圓。的方程為%2+'2=牝2,與入軸的交點(diǎn)分別為(-2C,0),(2C,0),

則|A8|=4c,△APB為直角三角形，又|P川=，^|P8],

???tanzABP=俄=門，即=60°,連接。P,△OBP為等邊三

角形，

過P作PQ1AB,可得Q為。8的中點(diǎn)，?x

v\0B\=2c,A\0Q\=c,\PQ\=因此P的坐標(biāo)為(C,CC)，

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，可需一箸二1,即告一弟7=1，

化簡得：--5/+1=0,解得/=省亙

又e>l,得e=§￡Z.

故答案為：粵2.

由題意畫出圖形，求解三角形可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，整理即可求得雙曲線C的離心率.

本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

14.【答案】COSX(y,y]

【解析】解：依題意有，函數(shù)f(x)=sina)x(a)>0),

將/(%)的圖象上所有的點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃倍，得到函數(shù)y=sinx,

再將所得圖象向左平移5個單位長度得到函數(shù)g(x),則g(x)=sin(x+與)=cosx；

所以M%)=sin(wcosx)—1,

因?yàn)閔(x)=f(g(x))-1在(0,2。內(nèi)恰有4個零點(diǎn)，故/(cosx)-1=0,

即sin(wcosx)=1在(0,2加)內(nèi)恰有4個零點(diǎn)，

則scosx=3+2kjr,(kGZ)在(0,2立)內(nèi)恰有4個零點(diǎn)，

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由數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)k=0時(shí)3cos無=物兩根，當(dāng)k=-1時(shí)3C0SX=-手也有兩根,

<_空

故12,即萼<34停放3的取值范圍是咨，當(dāng).

2222

故答案為：cos%；(:用].

根據(jù)三角函數(shù)圖像變換，確定g(x)的解析式，再利用整體思想求解困數(shù)零點(diǎn)問題.

此題考查了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了整體思想，屬于難題.

15.【答案】解:(1)由成一2s北+%=0,(D

取”=1,得居—%=0,

VQ1>0,二Qi=1,

當(dāng)ZIN2時(shí)，有力7—2Sn_i+%.i=0，②

⑦-(即+%-1)(即一。?2-1-1)=0，

又分>0,,,,dn-Qfj-i=1，

即數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

則％=14-1x(n-1)=n：

證明：(2)由(1)知即=九，且勾=愛=嬴

則%=：+|+|+???++晶

1T_1,2n-1n

50=靜+3+…+苗+科’

可得白丁--+—++-___L_式1_~母____!!——Iri!_)

J何31n一3十32十…十3"3"1一3"]-2H3“)3"+I'

T_3/I1、1n_32n+31,3

?F=彳(1—，3^<4-

【解析】(1)由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列,由此可得數(shù)列的通項(xiàng)

公式；

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(2)直接利用錯位相減法求和.

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯位相減法求和，是中檔題.

16.【答案】解：(1)根據(jù)訪=(a,力+c),n=(<3sinC+cosC,l),可得沆?濟(jì)=Q(CS勿C+cosC)+b+c,

結(jié)合題意沅-n=2(/?+c),化簡得VSasinC+acosC=b+c,

根據(jù)正弦定理得，5sizMsinC+sinAcosC=sinB+sinC,

因?yàn)椤鰽BC中，sinB=sin(/l+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以，1st7MsiTIC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,整理得，=sinC(cosA+1).

結(jié)合△ABC中，sinC0,化簡得，Jsi/M-cos/l=1,BP2sin(A—^)=1,

在△ABC中，力一*€(一*,?),所以=34=看

ooooo3

(2)由麗=2就，可得而一袍=2(刀一麗)，化簡得祠=;而+,近，

JO

所以|而7|2=(.而十,前)2=+^AB-AC,

因?yàn)?8=c=2/3,/IC=b,AM=2,

所以4=J(2O2?乃cos9整理得反+信力-6=0,解得b=C(舍負(fù)).

所以SDIBC=^bcsinA=誓?

【解析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，算出Cas》C+acosC=b+c,結(jié)合正弦定理化為角的關(guān)系

式，然后利用兩角和的正弦公式與輔助角公式算出答案；

(2)利用平面向量的線性運(yùn)算法則，可得而？=：而+,配，結(jié)合題意可知|祠產(chǎn)=4,根據(jù)平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算性質(zhì)與三角形的面積公式加以計(jì)算，可得△力BC的面積.

本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角形的面積公式等知識，考查了計(jì)算

能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析；①a②2c.

【解析】(1)證明：在直三棱柱48。一481cl中，Cg_L平面力BC,

因?yàn)?Du平面ABC,所以CCi1ADt

又因?yàn)?D1DC1，CC1ODC1=CCi，Dgu平面

所以ND，平面881cle

(2)04直三棱柱ABC-AiBiCi中，AA}L^ABC,ABLAC,

以。京元,4,；}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

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則D(7I,<2,0)，設(shè)為(2/1,0,a),G(0,2口,a),

設(shè),K面力。％的法向量4=(x,y,z),

則［/1%,中］而.而=+V7y=0

(n71AC［l可?ACi=2y/~2y+QZ=0

取X=l,得y=—l,z=2,

Q

所以平面人￡)G的一個法向量厄=(1,一1,等),

乂平面&4g的法向量超=(1,0,0),

n|n7n7|11

所以cos§=而而二手=5,

解得a=2.

所以聲=(1,-1,右),n=(0,2<7,0)，

所以cos<rC[,AC>==-

設(shè)4c與平面ADC1所成角為仇則sE9=1.

庭為AD1DCitAD=2,DCX=2VI，

所以SAADC[=2>[2.

因?yàn)槿忮FE-力DC1的體積為:

所以E到平面ADC1的距離為

因?yàn)镋在側(cè)面;4BB遇i上，可設(shè)E(x,0,z),

E到平面8Dg的距離為d=需3=三空=/2,

即軌跡方程為z=-等％+2，

而4(0,0,2),8(277,0,0),

所以E在側(cè)面;48B送1上的運(yùn)動軌跡是線段4道,

所以后的軌跡長度為=2/3.

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(1)根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可得證；

(2)以｛而，冠，標(biāo)｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，

①中求出平面的法向量，利用向量夾角得出直棱柱的高，再由線面角的向量求法求解：

②卜根據(jù)三棱錐體積求出點(diǎn)E到平面的距離，再由向量法求距離，化簡可得軌跡方程，利用軌跡方程確定軌

跡為線段，即可得解.

本題考查線面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解:(I)當(dāng)Q=1時(shí)，f(x-)=xlnx+x2,/⑴=1,

/z(x)=1+/nx+2x,ff(1)=3,

所以/'(x)在％=1處切線方程為：y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.

(II)由已知/'(%)=x(lnx+ax)(x>0),

設(shè)9(%)=lnx+?x(x>0),故f。),g(%)具有相同零點(diǎn),

g/CO=；+a，

①當(dāng)a=0時(shí)，gQ)=Inx,有且只有一個零點(diǎn)％=1：

②當(dāng)Q>0時(shí)，g'(%)>0,所以g(x)為增函數(shù)，

又9(?一。)=—a+ae~a=a(e~a—1)<0,

g(l)=Q>0,所以g(x)有且只有一個零點(diǎn)；

③當(dāng)aV0時(shí)，由g(x)=0,解得x=—：,

若％W(0,-，)，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

若xW(一;,+8),g7(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

又XT0+時(shí)，g(x)oo,又Xt+8時(shí)，g(x)T-8,

故g(—；)=ln(一5)-1V0,即aV-T時(shí)，g(x)無零點(diǎn)；

^(-i)=ln(—i)—1=0,即。=一］時(shí).0(x)有一個零點(diǎn)：

。(一：)=也(一；)-1>0即一；VQ<0時(shí)，g(x)有兩個零點(diǎn)?

綜上所述：。20或。=一!時(shí)，/(x)有一個零點(diǎn)；

一：<Q<0時(shí)，/(無)有兩個零點(diǎn)：

時(shí)，/(%)無零點(diǎn).

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(Ill)證明:由已知f'(幻=+1+2ax(x>0)有兩個零點(diǎn),

/"(x)=i+2a(x>0),

,z

(1)當(dāng)2QN0時(shí)，f(x)>0成立，所以/''(x)單調(diào)遞增，

所以(幻至多一個零點(diǎn)，不符合題意；

(2)當(dāng)2Q<0時(shí)，f"(乃=0,解得％=-2，

當(dāng)N€(0,-白)，ff(x)>0,廣(乃單調(diào)遞增，

乙a

若X￡(-*,+8),/'“(%)<0,/'(%)單調(diào)遞減，

依題意：ff(-^)=ln(-^)+l+2a(-^)>0,

所以一a<0,

因?yàn)閒'(1)=1+2。>0,所以0<Yi<1,所以/(丫1)=丫11丫1+0Y彳(0<■Xj<1).

由/(Xi)=伍+1+2axi=0,得a/=—^(lnxl+1),

所以f(》i)=xAlnxx+/(-1(ZiUi+1))=jxjZnXi-1x]=呆[(出-1),

因?yàn)?V.V1,所以/'(%i)<0,

設(shè)/(%)=xlnx—x(0<%<1),

所以F'(%)=Inx<0,故F(x)=xlnx-x(0<x<1)單調(diào)遞減，

所以尸(x)>F(l)=-1,所以/Oi)=：(%1加%1-%i)>-1,

綜上所述：—,Vf(%i)V0.

【蟀析】(I)求出/(%)的解析式，從而可得〃1),再利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得答案；

(II)/(x)=x(lnx+ax)(x>0)與g(無)=Inx+ax(x>0)具有相同零點(diǎn)，對g(x)求導(dǎo)，對a分類討論,判斷函

數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷零點(diǎn)個數(shù)；

(III)由已知/''(x)=Inx+1+2ax(x>0)有兩個零點(diǎn)，對/''(%)求導(dǎo)，當(dāng)2aN0時(shí)不符合題意，當(dāng)2aV0

時(shí)，判斷函數(shù)/''(%)的單調(diào)性，垢合零點(diǎn)個數(shù)求出a的取值范圍，再通過構(gòu)造函數(shù)即可證明不等式成立.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，不等式的證明，考

查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

19.【答案】號一1=1,離心率為，2；(i)[2，Z+8)；⑺是，1.

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【解析】解：(1)設(shè)C的半焦距為c[c>0),易知c=2,

因?yàn)镮：%=1為C的右準(zhǔn)線，所以4=1，

C

22

解得Q2=C=2,所以〃=c-a=2,

所以C的方程為4一4=