第一篇章工程力學(xué)基礎(chǔ)篇

模塊三平面力系合成和平衡任務(wù)一平面力系與力系的簡化任務(wù)二平面力系合成和平衡工程力學(xué)復(fù)習(xí)簡單回顧：1、力的三要素大小、方向、作用點2、四大公理加減平衡力系公理二力平衡公理力的平行四邊形法則作用和反作用定律教學(xué)要求知識要點能力要求力在坐標(biāo)軸上的投影、合力投影定理、匯交力系的合力、匯交力系的解析條件(1)用力的多邊形、解析法求解平面匯交力系的合力(2)能力在坐標(biāo)軸上的投影(3)能用解析法求解匯交力系力矩的單位及其正負號；力偶及基本性質(zhì)、(1)理解力矩的定義(2)力對點之矩的計算(3)理解力偶及基本性質(zhì)(4)能夠計算平面力偶系的合力偶與平面力偶系平衡力的平移定理、主矢和主矩的概念。平面一般力系的平衡條件、物體系的平衡條件。(1)能夠計算平面一般力系主矢和主矩(2)能夠運用平衡條件進行物體、物體系平衡問題的分析平面匯交力系：各力作用線匯交于一點的力系。平面力系：各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系，否則為空間力系。平面平行力系：各力作用線平行的力系。平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。對所有的力系均討論兩個問題：1、力系的簡化（即力系的合成）問題；2、力系的平衡問題。1.1平面匯交力系力在平面坐標(biāo)軸上的投影正負規(guī)定：投影起點至終點的指向與坐標(biāo)軸正向一致，規(guī)定為正，反之為負。反之，當(dāng)投影X、Y

已知時，則可求出力

F

的大小和方向。y

b′a′abFOxBFxFyA

解各力在x、y軸上的投影為F1x=F1cos45

=100N×0.707=70.7N

F1y

=F1sin45

=100N×0.707=70.7N

F2x=-F2cos30

=-150N×0.866=-129.9N

F2y=-F2sin30

=-150N×0.5=-75NF3x=F3cos90

=0

F3y=-F3sin90

=-200N×1=-200N

F4x=F4cos60

=200N×0.5=100N

F4y=-F4sin60

=-200N×0.866=-173.2N例

試分別求出圖中各力在x軸和y軸上投影。已知F1=100N，F(xiàn)2=150N，F(xiàn)3=F4=200N，各力方向如圖所示。。O45

F1xA1yA2。。。F4F3F230

60

A4A31.1平面匯交力系平面匯交力系的合成設(shè)任意的力F1、F2、F3……的作用線匯交于A點，構(gòu)成一個平面匯交力系。由力的平行四邊形法則，可將其兩兩合成，最終形成一個合力RF1F2RF3xABCDabcdAF2F1F4F3R1.1平面匯交力系合力投影定理合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。合力R在x軸上投影：F1F2RF3xABCDabcd各力在x軸上投影：F1x=ab

F2x=bc

F3x=-dcRx=ad=ab+bc-dcRx=F1x+F2x+F3x

1.1平面匯交力系合力投影定理合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。推廣到任意多個力F1、F2、Fn組成的平面共點力系：F1F2RF3xABCDabcd例試分別求出圖中各力的合力在x軸和y軸上投影。已知F1=20kN，F(xiàn)2=40kN，F(xiàn)3=50kN，各力方向如圖所示。

解各力的合力在x、y軸上的投影為OF1xyF334F21.1平面匯交力系平面匯交力系的平衡條件充要條件:力系中各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別為零。1.1平面匯交力系運用平衡條件求解未知力的步驟為：1、合理確定研究對象并畫該研究對象的受力圖；2、由平衡條件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。例

圖示三角支架，求兩桿所受的力。解：取B節(jié)點為研究對象，畫受力圖P由∑Y=0，建立平衡方程：由∑X=0，建立平衡方程：解得：負號表示假設(shè)的指向與真實指向相反。解得：NBCNBA1.取滑輪B的軸銷作為研究對象，畫出其受力圖。例

圖(a)所示體系，物塊重

P=20kN，不計滑輪的自重和半徑，試求桿AB和BC所受的力。解：2、列出平衡方程：解得：

反力NBA為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿AB實際上受拉力。由∑Y=0，建立平衡方程：解得：由∑X=0，建立平衡方程：例小滑輪C鉸接在三腳架ABC上，繩索繞過滑輪，一端連接在絞車上，另一端懸掛重為W=100kN的重物。不計各構(gòu)件的自重和滑輪的尺寸。試求AC和BC所受的力。1.2平面力偶系的計算力矩

MO(F)=±F·dO點稱為矩心

d稱為力臂力F使物體繞矩心O點逆時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。力矩的單位：N·m或kN·m1kN·m=103N·m=106N·mmdFO力矩在下列兩種情況下等于零：力等于零或力的作用線通過矩心(即力臂等于零)。當(dāng)力沿作用線移動時，不會改變它對矩心的力矩。例

如圖所示，當(dāng)扳手分別受到F1、F2、F3作用時，求各力分別對螺帽中心O點的力矩。已知F1=F2=F3=100N。解根據(jù)力矩的定義可知MO(F1)=-F1·d1=-100N×0.2m=-20N·m

MO(F2)=F2·d2=100N×0.2m/cos30

=23.1N·mMO(F3)=F3·d3=100N×0=0O○30

0.2mF1F2F3例

求圖中荷載對A、B兩點之矩(a)(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：MA=-4×2×1

=-8kN·m

MB=4×2×1=8kN·m例

求圖中力對A點之矩解：將力F沿X方向和Y方向等效分解為兩個分力，得：由于dx=0，所以：合力矩定理

一個力對一點的力矩等于它的兩個分力對同一點之矩的代數(shù)和。1.2平面力偶系的計算力偶力偶：大小相等、方向相反、作用線相互平行的一對力稱為力偶。M=MO(F)+MO(F')=-Fx+F'(x+d)=Fd力偶矩：力偶使剛體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。FF'dOx力偶力偶臂FF'FF'1.2平面力偶系的計算力偶的特性特性一：力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與轉(zhuǎn)動中心的位置無關(guān)，所以力偶在作用平面內(nèi)可任意移動、轉(zhuǎn)動。（剛體）特性二：力偶的合力為零，所以力偶的效應(yīng)只能與轉(zhuǎn)動效應(yīng)平衡，即只能與力偶或力矩平衡，而不能與一個力平衡。FF'dOx力偶力偶臂FF'FF'1.2平面力偶系的計算平面力偶系的合成BAdF1=F1'=M1/dF2=F2'=M2/dF2BAF'1F'2F1M1M2dFRF'R

M=FRd=(F1－F2)d=M1+M2合力偶的矩等于各分力偶矩的代數(shù)和，即M＝M1+M2+…+Mn＝∑Mi例如圖所示，在物體的某平面內(nèi)受到三個力偶的作用。設(shè)F1=200N，F(xiàn)2=600N，M=100N·m求其合力偶。解各分力偶矩為

M1=F1d1=200N×1m=200N·m

M2=F2d2=600N×0.25m/sin30

=300N·mM3=－

M=－100N·m得合力偶矩為M＝M1+M2+M3＝200N·m+300N·m－100N·m=400N·m即合力偶的矩的大小等于400N·m，轉(zhuǎn)向為逆時針方向，與原力偶系共面。1m0.25mF1'F1F2'F230°60°M1.2平面力偶系的計算平面力偶系的平衡條件平衡的充要條件：力偶系的合力偶矩等于零∑M＝01.3平面一般力系平面一般力系如果在一個力系中，各力的作用線均勻分布在同一平面內(nèi)，但它們既不完全平行，又不匯交于同一點，那么我們將這種力系稱為平面一般力系。對于平面一般力系，討論兩個問題：

1、力系的合成；

2、力系的平衡。1.3平面一般力系力的平移定理BAF。。BAF'。。F'F"dMM=Fd=MB(F)作用在剛體上的力可以平移到剛體上任意一個指定位置，平面內(nèi)附加一個力偶，附加力偶的矩等于原力對指定點之矩，稱為力的平移定理。BAF。。1.3平面一般力系力的平移定理BAF。。BAF'。。F'F"dMM=Fd=MB(F)逆過程：可以將同平面內(nèi)的一個力F和力偶矩為M的力偶簡化為一個力F'，此力F'與原力F大小相等、方向相同、作用線間的距離為d=M/F。BAF。。例

鋼柱受到一10kN的力作用，如圖所示。若將此力向鋼柱中心線平移，得到一力和一力偶。已知力偶矩為800N·m，求原力至中心線的距離d。解根據(jù)力的平移定理，力的大小方向不變。附加力偶矩M等于力對鋼柱中心線的力矩。M=MO(F)=

F×d10kNdO1.3平面一般力系平面力系的簡化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·O為簡化中心

F'R=

F'1+

F'2+…+

F'n=

F1+F2+…+

Fn=∑Fi

F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RMO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)MO=∑MO(Fi)主矢主矩1.3平面一般力系平面力系的簡化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RFRx=F'1x+F'2x+…+F'nx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

FRy=F'1y+F'2y+…+F'ny=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。1.3平面一般力系平面力系的簡化F1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·F'1F'2F'nM1M2MnMOF'R

MO=∑MO(Fi)平面任意力系的主矩的大小與轉(zhuǎn)向與簡化中心O的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。例將圖所示平面任意力系向O點簡化，求其所得的主矢及主矩，并求力系合力的大小、方向及合力與O點的距離d。并在圖上畫出合力之作用線。圖中方格每格邊長為5mm，F(xiàn)1=5N，F(xiàn)2=25N，F(xiàn)3=25N，F(xiàn)4=20N，F(xiàn)5=10N，F(xiàn)6=25N。F1OxyF2F6F5F4F3∑Fx

=F1x+F2x+…+F6x∑Fy

=F1y+F2y+…+F6y解(1)向O點簡化

(2)力系的合力力系的合力大小與主矢的大小相等，方向與主矢平行。合力的作用點至O點的距離為

OxydF1OxyF2F6F5F4F3

MO=∑MO(F)=–5N×20mm–15N×30mm–20N×20mm+20N×20mm=–550N·mm主矢與x軸的夾角為

=45

解(1)向O點簡化

FRF'RMO1.3平面一般力系的平衡平衡條件平面力系平衡的必要和充分條件是力系的主矢和對任意一點O的主矩均為零，即F'R

＝0MO＝01.3平面一般力系的平衡平衡方程投影方程

∑Fx＝0∑Fy＝0

∑MO(F)＝0力矩方程基本形式1.3平面一般力系的平衡平衡方程∑MA(F)＝0∑MB(F)＝0∑MC(F)＝0二力矩形式

∑Fx＝0∑MA(F)＝0∑MB(F)＝0其中A、B、C三點不共線三力矩形式其中A、B兩點的連線不與x軸垂直運用平衡條件求解未知力的步驟為：1、合理確定研究對象并畫該研究對象的受力圖；2、由平衡條件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。1.3平面一般力系例

已知q=2KN/m，求圖示結(jié)構(gòu)A支座的反力。解：取AB桿為研究對象畫受力圖。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：例

求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：取AB桿為研究對象畫受力圖。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑X=0：例

求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：取整個結(jié)構(gòu)為研究對象畫受力圖。AC例

在圖示結(jié)構(gòu)中，橫梁AC為剛性桿，A端為鉸支，C端用一鋼索BC固定。已知AC梁上所受的均布荷載集度為q=30kN/m，試求橫梁AC所受的約束力。解（1）取梁AC為研究對象

（3）建立坐標(biāo)系（4）列平衡方程并解之

（2）畫受力圖xFAxFAyFTyB4mq3mACq（4）列平衡方程并解之ACxFAxFAyFTyq

FT×0.6×4m–30kN/m×4m×2m=0

FT=100kN∑Fy＝0100kN×0.6–30kN/m×4m+FAy=0FAy＝60kN（↑）∑Fx＝0–100kN×0.8+FAx=0FAx=80kN

（→）例

試計算圖示三種支架A、C兩處的約束反力。解(1)取桿AD為研究對象，畫出受力圖

（2）建立坐標(biāo)系（3）列平衡方程并解之∑Fy＝0

FAy–10kN=0FAy=10kN（↑）xy∑MA(F)=0FBC×2m·cos45

–10kN×4m·sin45

=0FBC=20kN（拉）∑Fx＝0

FAx–20kN=0FAx=20kN（→）

第一篇章工程力學(xué)基礎(chǔ)篇

模塊三平面力系合成和平衡任務(wù)三平面力系合成和平衡應(yīng)用工程力學(xué)2.1平面一般力系的平衡物理系統(tǒng)的平衡由若干個物體通過一定的約束方式連接而成的系統(tǒng)，稱為物體系統(tǒng)當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，組成該系統(tǒng)的每個物體或若干物體組成的局部也處于平衡狀態(tài)。求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，既可選取系統(tǒng)的整體作為研究對象，也可選取系統(tǒng)的局部或單個物體作為研究對象。

一個研究對象最多有三個平衡條件，因此研究對象上最多只能有三個未知力。注意到BC桿有三個未知力，而AB

桿未知力超過三個，所以應(yīng)先取BC桿為計算對象，然后再取AB桿為計算對象。例

求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：由∑X=0：由∑y=0：由∑MB=0：BC桿：由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：AB桿：注意作用與反作用關(guān)系，所以：例

求圖示三鉸拱的支座反力。由∑y=0：由∑MA=0：取整體為研究對象，畫受力圖：解：由∑X=0：由∑MC=0：取右半部分為研究對象，畫受力圖：將XB

代入式：即：得：例

位于鉛垂面的活動折梯放在光滑水平面上，梯子由AC和BC兩部分用鉸鏈C和繩子EH連接而成，如圖所示。今有一人重為W=600N，站在AC梯的D處。折梯自重不計。試求A、B兩處地面的反力、繩EH的拉力及鉸鏈C所受的力。

解（1）以整體研究對象（b）列平衡方程并解之ΣMA(F)=0FB×2×3m·cos75

–600N×2m·cos75

=0FB=200N（↑）ΣFy=0FA+FB–F=0FA+200N–600N=0FA=400N（↑）（a）畫受力圖75

75

A3mBCEHDW1m1m75

75

A3mBCEHDW1m1mFAFB（2）以BC研究對象FB=200N（↑）FA=400N（↑）（a）畫受力圖75

3mBCEW1m1mFB（b）列平衡方程并解之ΣFy=0FCy+FB=0FCy=–FB=–200N（與圖示方向相反）ΣMC(F)=0FB×3m·cos75

–FEH×2m·sin75

=0FEH

=80.4NΣFx=0–FCx–FEH=0FCx=–FEH=–80.4N（與圖示方向相反）FCxFCyFEH例

梁AB和BC在B處用光滑鉸鏈連接。如圖所示。已知q，F(xiàn)=ql，M=ql2

，梁的重力不計。試計算A、B和E三處的約束力。

解（1）以BC研究對象（b）列平衡方程求解ΣFx=0，F(xiàn)Bx=0ΣMB=0，F(xiàn)E×l–q×l×(1+0.5)l–M=0FE=5ql/2（↑）ΣFy=0，F(xiàn)By+FE–q×l=0FBy=–3ql/2（與圖示方向相反）（a）畫受力圖FBxFByFDqE

MABCllllqE

MBCE

FEqE

MBCE

（2）以AB研究對象（b）列平衡方程求解ΣFx=0FAx=0ΣFy=0，F(xiàn)Ay–F'By–F=0FAy=–ql/2（↓）ΣMA=0，MA–F×l–F'By×2l=0

MA=–2ql2（）（a）畫受力圖FBx=F‘Bx=0FE=5ql/2FBy=F'By=–3ql/2F'BxF'ByFDqE

MABCllllFDABFDABFAxFAyMA2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析桁架結(jié)構(gòu)是指各桿兩端都是鉸相連接的結(jié)構(gòu)。在結(jié)點荷載作用下，桁架的內(nèi)力主要是軸力，而彎矩和剪力數(shù)值很小，可以忽略不計。為了簡化計算，在取桁架的計算簡圖時，作如下假設(shè)：各桿在兩端用絕對光滑的理想鉸相互聯(lián)結(jié)。所有各桿的軸線都是直線，且處于同一平面內(nèi)，并通過鉸的中心。所有荷載和支座反力都作用在結(jié)點上，并且都位于桁架的平面內(nèi)。通常把符合上述假定條件的桁架稱為理想桁架。2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析由于桁架的主要內(nèi)力為軸力，在桿件的橫截面上分布均勻，這樣桿件的材料可以得到充分利用，故與同跨度的梁相比，具有自重輕、承載大的特點。FP/2FP/2FPFPFPFPFP上弦桿豎桿斜桿下弦桿結(jié)點跨度l桁高h節(jié)間d2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析靜定桁架的內(nèi)力計算主要有兩種方法。1．結(jié)點法取桁架的結(jié)點為隔離體，利用結(jié)點的靜力平衡方程求出各桿的內(nèi)力。桁架各桿只承受軸力，作用于任一結(jié)點的各軸力必然組成一個平面匯交力系，可以列出兩個平衡方程，每次只能求解兩個未知力。在實際應(yīng)用中，可先由整體平衡方程求出各支座反力，然后從未知力數(shù)不超過兩個的結(jié)點開始計算，依次就可以算出桁架中各桿的內(nèi)力。在計算中，一般先假設(shè)桁架各桿的軸力為拉力，若計算結(jié)果為負值，則說明為壓力。2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析靜定桁架的內(nèi)力計算主要有兩種方法。1．結(jié)點法取桁架的結(jié)點為隔離體，利用結(jié)點的靜力平衡方程求出各桿的內(nèi)力。桁架各桿只承受軸力，作用于任一結(jié)點的各軸力必然組成一個平面匯交力系，可以列出兩個平衡方程，每次只能求解兩個未知力。在實際應(yīng)用中，可先由整體平衡方程求出各支座反力，然后從未知力數(shù)不超過兩個的結(jié)點開始計算，依次就可以算出桁架中各桿的內(nèi)力。在計算中，一般先假設(shè)桁架各桿的軸力為拉力，若計算結(jié)果為負值，則說明為壓力。2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析靜定桁架的內(nèi)力計算主要有兩種方法。1．結(jié)點法

零桿判斷FN1=0FN2=0FN1=FN2FN3=0FN2FN1FN3FN2FN4FN4FN1FN3FN2FN1FN1=FN2FN3=FN4FN3=

-FN4（a）（b）（c）

（d）xy10kN20kN20kN20kN10kNαABCDEFGH4×2m=8m2m

[例]

一屋架的尺寸及所受荷載如圖所示，試用結(jié)點法求每根桿的內(nèi)力。

[解](1)求支座反力?！芃A（F）=0，F(xiàn)RB×8m－10kN×8m－20kN×6m－20kN×4m－20kN×2m＝0FRB＝40kN（↑）∑Fy=0，F(xiàn)RA+FRB－10kN－20kN－20kN－20kN－10kN＝0FRA＝40kN（↑）(2)計算桿件內(nèi)力先對桁架各結(jié)點進行判斷FRAFRB可知FNDF=FNEH=0，F(xiàn)NAF=FNFG，F(xiàn)NHG=FNBH。由于本例中結(jié)構(gòu)和荷載都是對稱的，所以左右兩邊對稱位置桿件的內(nèi)力必然相等，因而只需計算半個屋架即可。其中例

一屋架的尺寸及所受載荷如圖所示，試用結(jié)點法求每根桿的內(nèi)力。

解(1)求支座反力。FRB＝40kN（↑）；FRA＝40kN（↑）

ⅰ)取A點為研究對象FNADFNAF10kN

Axy(2)計算桿件內(nèi)力FNDF=FNEH=0，F(xiàn)NAF=FNFG，F(xiàn)NHG=FNBH∑Fy=0，F(xiàn)NADsin

+40kN－10kN＝0

FNAD＝30kN/0.447=－67.1kN（壓）∑Fx=0，F(xiàn)NADcos

+FNAF＝0

FNAF=FNADcos

=67.1kN×0.894=60kN（拉）

ⅱ)取D點為研究對象∑Fx=0，F(xiàn)NDAcos

+FNDCcos

+FNDGcos

＝0∑Fy=0，F(xiàn)NDAsin

+FNDCsin

－FNDGsin

－20kN＝0

解得FNDC＝－44.7kN（壓）

FNDG＝－22.4kN（壓）α20kND

FNDAFNDCFNDGFRAFRB10kN20kN20kN20kN10kNαABCDEFGH4×2m=8m2m例

一屋架的尺寸及所受載荷如圖所示，試用結(jié)點法求每根桿的內(nèi)力。

解(1)求支座反力。FRB＝40kN（↑）；FRA＝40kN（↑）

ⅰ)取A點為研究對象FNADFNAFα20kNDαFNDAFNDCFNDG10kN

Axy10202020104040-67.1-67.1-44.7-44.7-22.4-22.4206060606000單位：kN10kN20kN20kN20kN10kN

ABCDEFGH4×2m=8m2mFRAFRB(2)計算桿件內(nèi)力FNDF=FNEH=0，F(xiàn)NAF=FNFG，F(xiàn)NHG=FNBH

FNAD=－67.1kN（壓）；FNAF=60kN（拉）

ⅱ)取D點為研究對象

FNDC＝－44.7kN（壓）；

FNDG＝－22.4kN（壓）

ⅲ)取C點為研究對象∑Fx=0，F(xiàn)NCDcos

－FNCEcos

＝0FNCD＝FNCE＝－44.7kN∑Fy=0，－FNCDsin

－FNCEsin

－FNCGsin

－20kN＝0FNCG＝20kN（拉）最后將各桿件的內(nèi)力標(biāo)在圖上，其中正號表示拉力，負號表示壓力。20kNC

FNCDFNCGFNCE2.2平面一般力系的平衡桁架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析靜定桁架的內(nèi)力計算主要有兩種方法。2．截面法用一個截面截斷若干根桿件將整個桁架