2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：銳角三角函數(shù)（10題）

一,解答題（共10小題）

1.（2025?翁源縣一模）如圖1,這是一種海螺，圖2是由這種海螺抽象出的螺旋圖形，它是由一系列直角

三角形組成的，其中。4o=l,AoA\=A\A2=A2A?l=-=An-\An=1?且每個(gè)三角形都以點(diǎn)。為頂點(diǎn).

（1）求tanNAsO/U的值.

（2）如圖3,若有?個(gè)海螺圖形恰好由9個(gè)直角三角形拼成，其中每個(gè)直角三角形都有?條直角邊

為I,且這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為小則〃最接近哪個(gè)整數(shù)？

圖1圖2圖3

2.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）如圖，港口8位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏東

21°方向，港口（7位于港口8的北偏東760方向.一艘海輪從港口A出發(fā)，沿正北方向航行.已知港

II8到航線的距離為24如?，求港口C到航線的距離.

3.（2025?阿拉爾二模）王震將軍銅像不僅是石河子市的重要地標(biāo)，也是軍墾文化的象征，承教著人們對(duì)

王震將軍的崇敬和對(duì)軍墾先輩們的緬懷，激勵(lì)著新一代軍墾人傳承和弘揚(yáng)兵團(tuán)精神.某班數(shù)學(xué)實(shí)踐小組

想要測(cè)量王篋將軍銅像的高度.小組成員討論后，設(shè)計(jì)了如下兩種測(cè)量方案，并畫(huà)出相應(yīng)的測(cè)量草圖.

EE

方案一方案二

備注：兩位同學(xué)的觀測(cè)點(diǎn)C、。到地面的距離相等，線段EF長(zhǎng)表示王震將軍銅像的高度，點(diǎn)A,B,C,

D,E,尸均在同一豎直平面內(nèi)：

方案一CA=DB=].()nia=36.87°p=45°AB=\6Am

方案二CA=DB=\.6ma=36.87°0=45°AB=2.3〃？

問(wèn)題解決：請(qǐng)你選擇一種方案計(jì)算王震將軍銅像的高度￡足（結(jié)果精確到1/〃）（參考數(shù)據(jù)：sin36.87。

~0.60,cos36.87°^0.80,ian36.87°=0.75.)

4.（2025?合肥一模）下面為某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在完成項(xiàng)目“測(cè)量合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔高度”之

后撰寫(xiě)的項(xiàng)目報(bào)告.

項(xiàng)目主題測(cè)量合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔高度

項(xiàng)目背景合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔作為重要的紅色文化地

標(biāo)，其高度是一項(xiàng)關(guān)鍵數(shù)據(jù).為了讓大眾更深入地了

解勝利塔，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量勝利塔高

度的實(shí)踐活動(dòng)

測(cè)量工具測(cè)角儀

測(cè)量示意圖

測(cè)量過(guò)程1.在距離勝利塔底部一定距離的地面C處放置測(cè)角

儀，測(cè)角儀C。高度為1.6〃?，測(cè)得勝利塔頂部A的仰

角為45°

2.在與C處水平距離為168機(jī)的地面E處放置另一測(cè)

角儀，測(cè)角儀石尸高度同樣為1.6〃?，測(cè)得勝利塔頂部A

的仰角為53°

請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算勝利塔A8的高度.（結(jié)果精確到0.1〃?，參考數(shù)據(jù)：sin53°?cos53°

屋3，必九53。嗚4

5.（2025?白銀一模）某學(xué)習(xí)小組在物理實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，利用實(shí)驗(yàn)裝置探究幾何測(cè)量問(wèn)題.

課題探究物理實(shí)驗(yàn)裝置中的幾何測(cè)量問(wèn)題

成員組長(zhǎng)：XXX組員：XXX,XXX,XXX

實(shí)驗(yàn)工具測(cè)角儀，皮尺，攝像機(jī)等

方案一方案二

測(cè)量方案不意圖

P攝像機(jī)機(jī)位P攝像機(jī)機(jī)位

木塊工木塊

CBA

(已知PC1AC)

說(shuō)明點(diǎn)尸為攝像機(jī)的位置，小車從同一斜面上相同高度處由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，點(diǎn)

A為小車從斜面到達(dá)水平面的位置，點(diǎn)C為木塊的位置.

測(cè)量數(shù)據(jù)AB=4米，ZPBC=40°，ZPAB=\50AC=5.9米，NPCB=40°,ZPAB=

22°.

請(qǐng)選擇其中一種方案計(jì)算出攝像機(jī)機(jī)位P到小車行駛軸線A8的豎直距離.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)

據(jù)lan40°40.84,tan150-0.27,(an22°和0.40)

6.（2025?歷城區(qū)一模）根據(jù)以下材料，完成項(xiàng)目任務(wù):

項(xiàng)目測(cè)量光線入射點(diǎn)的距離及水池的深度

測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺等

測(cè)量光從空氣斜射入水中，入射光線AB射到水池的水面B點(diǎn)后折射光

線8。射到池底點(diǎn)。處，入射角N4BM=30°,折射角NOBN=

22°；入射光線AC射到水池的水面。點(diǎn)后折射光線CE射到池底

點(diǎn)￡處，入射角NACM'=60°,折射角NECN'=40.5°.DE

8.（2025?濰坊一模）如圖1,“天幕”是大家特別喜歡的一種露營(yíng)設(shè)備，通常由支桿、天幕布、拉繩組成.圖

2是其截面示意圖，天幕布八。=人。=2加，八8為可伸縮支行，拉繩。石、C/固定在水平地面EF上,

且點(diǎn)4、。、E共線,點(diǎn)4、C、尸共線，ABLEF于點(diǎn)B,CO_LA8于點(diǎn)O.拉繩在地面的固定點(diǎn)E與

點(diǎn)B的距離BE=3〃i,ZC4D=120°.

（1）求拉繩DE的長(zhǎng);

（2）如圖3,現(xiàn)將支桿84向上伸長(zhǎng)至點(diǎn)A',同時(shí)將固定點(diǎn)E、尸分別移動(dòng)至E'、尸，使A'、。'、

E'共線，4'、C'、F共線，且EE'=\m,在此過(guò)程中，拉繩長(zhǎng)度保持不變，求A'B的長(zhǎng).（結(jié)

果保留根號(hào)）

9.（2025?博山區(qū)一模）如圖，筆直的海岸線/上有A,8兩個(gè)觀測(cè)站，A在8的正東方向.有一艘漁船在

點(diǎn)尸處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從8處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B,P兩點(diǎn)之

間的距離為20海里，漁船從點(diǎn)P處沿射線A尸的方向航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)C,此時(shí)，從B測(cè)得漁船

在北偏西15°的方向.

（1）填空：ZCAB=度，ZACB=度：

（2）求觀測(cè)站A,6之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）求點(diǎn)。與點(diǎn)3之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：痘=1.73）

10.（2025?江西模擬）如圖I是“團(tuán)?大”紀(jì)念廣場(chǎng)的主雕塑，圖2是其正面示意圖，主雕塑由獨(dú)立的兩

個(gè)全等的平行四邊形（口EFMN,℃DLK）基座和它們上方承托的一面團(tuán)旗（四邊形人AB//GH）

組成，測(cè)得/七八7=75°,夕=5.56,〃，雕塑總高99〃，基座上的團(tuán)旗旅柱4G=4.64〃?，點(diǎn)E,N,L,

。在同一水平線上.

（1）求平行四邊形基座的高度;

（2）判斷團(tuán)旗旗柱AG是否與斜面MN平行?，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

(參考數(shù)據(jù)：sin/5"20.97,cos/50%0.26,tan75°23.73,結(jié)果精確至UO.lw)

圖1圖2

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：銳角三角函數(shù)（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2025?翁源縣一模）如圖I,這是一種海螺，圖2是由這種海螺抽象出的螺旋圖形，它是由一系列直角

三角形組成的，其中OAo=l,AOAI=AIA2=AM3=”=4〃-且每個(gè)三角形都以點(diǎn)。為頂點(diǎn).

（1）求⑶IZAJOAG的值.

（2）如圖3,若有一個(gè)海螺圖形恰好由9個(gè)直角三角形拼成，其中每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊

為1,且這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為。，則〃最接近哪個(gè)整數(shù)？

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；勾股定理.

【專題】規(guī)律型；解直角三角形及其應(yīng)用：運(yùn)算能力.

【答案】⑴當(dāng)；

6

（2）。最接近整數(shù)13.

【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理，求出OA1……0A6,利用解直角三角形，即可得到結(jié)

果；

（2）根據(jù)題意，表示出圖形的周長(zhǎng)，結(jié)合3VaU<4,且同更接近于3,即可得到結(jié)果.

圖2

;在Rt^OAoAi中，OAi=OAQ+AoAl,OAQ=1,AoAI=1?

：.OAl=12+12=2,

：,0A\=y[2,

同理：OAi=>/3?0A3=",0A4=V5,OA5=V6?OAe=A/7,

???在RtaOA5A6中，/月d5。=90°,A5A6=1,0A5=V6,

(2)如圖3,

由(1)可知，0A9=m

A,1431A

圖3A9

圖形的周長(zhǎng)為OAO+AOA1+A1A2+AM3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A7+A7A8+4sA9+Q49=10+m，

no+au,

■:炳〈同V風(fēng),

即3vCU<4,

???依較接近于3,

.??10+同最接近13,

即。最接近整數(shù)13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律探究，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意，正確找出變化的規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

2.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）如圖，港口3位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏東

21°方向，港口。位于港口8的北偏東760方向.一艘海輪從港口A出發(fā)，沿正北方向航行.已知港

口8到航線的距離為246，求港口C到航線的距離.

（參考數(shù)據(jù)：=捺，tan37°?,tan76°?4.）

t

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.

【專?題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀.

【答案】16km.

【分析】設(shè)BC交航線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作8Q_LAE于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

由題意得，BD=24km,NBED=NCEF=76°,ZBAD=3V，ZCAF=2\0.在RtZXABD中，可得

4及=77明3R孕=32(km),在RlZ\8OE中，可得OE=《學(xué)=6?〃?)?^CF=xkm,在Rl

cans/2cun/bq

4

△CE/中，可得(如?)，則A/=人力+?！辏?￡尸=(38+ix)km.在Rt^AC尸中，tan

can/b44

NC4"=tan21°=———1之^r>求出x的值即可.

力卜38+江21

【解答】解：設(shè)8c交航線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作BO_LAE于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作CF_LAE,交AE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、F,

北

由題意得，BD=24km,NBED=NCEF=76°,ZBAD=3V,ZC4F=21°.

nr\

在RtZXABO中，tanNRAO=ian370二卷，

..nBD24QOz.、

..AD=1加37。=丁=32(km).

在RtZXBOE中，tanZBED=tan76°=髭，

DE=右"=6（km）.

ta嗎n76”04

設(shè)CF=xkm,

在RlACE/中，lan/CEr=tan76°二德，

CF1

/.EF=Tt—anr7rbrzu右彳4x（km）,

：,AF=AD+DE+EF=（38+1x）km.

4

在RtZ\AC/中，tanNC4/=tan210=蒐=就區(qū)4券，

解得x=16,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的解且符合題意，

，港口C到航線的距離為16kM.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2025?阿拉爾二模）主震將軍銅像不僅是石河子市的重要地標(biāo)，也是軍墾文化的象征，承載著人們對(duì)

王震將軍的崇敬和對(duì)軍墾先輩們的緬懷，激勵(lì)著新一代軍墾人傳承和弘揚(yáng)兵團(tuán)精神.某班數(shù)學(xué)實(shí)踐小組

想要測(cè)量王震將軍銅像的高度.小組成員討論后，設(shè)計(jì)了如卜兩種測(cè)量方案，并畫(huà)出相應(yīng)的測(cè)量草圖.

備注：兩位同學(xué)的觀測(cè)點(diǎn)C、。到地面的距離相等，線段￡尸長(zhǎng)表示王震將軍銅像的高度，點(diǎn)A,B,C,

D,E,〃均在同一豎直平面內(nèi)；

方案一CA=O8=1.6〃？a=36.87°0=45°AB=l6Am

方案二CA=Z）B=1.6〃？a=36.87°0=45°AB=2.3m

問(wèn)題解決：請(qǐng)你選擇一種方案計(jì)算王震將軍銅像的高度EF.（結(jié)果精確到\m）（參考數(shù)據(jù)：sin36.87。

00.60,cos36.87°-0.80,tan36.87°^0.75.)

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】銅像的高度E尸為9防.

4

-X

【分析】方案一：由題意得C4_LA8,DB1AB,￡7乙148.且。4=。8=16〃，設(shè)EG=x，m則CG3

4

m,再列式1%+%=16.1,即可求出結(jié)果；

4

方案二：延長(zhǎng)CQ交EF于點(diǎn)G,同理得出=2.3,求解即可.

【解答】解：方案一：設(shè)EF交CD于點(diǎn)G,

工四邊形A8QC,AFGC,/^DG都是矩形,

設(shè)EG=xm,

在Rt^CEG中，ZECG=36.87°,

.“EG4

..CG="o^o=X

tan36.8703

在RtZkDEG中，ZEDG=45°,

**?DG=EG=K〃?，

,：AB=CD=CG+DG,

4

x+x=16.1,

3

解得：x=6.9,

AEF=EG+GF=6.9+1.6=8.59(W,

答：銅像的高度￡尸為9/〃；

方案二：如圖，延長(zhǎng)CO交放于點(diǎn)G,

E

由題意得C4_LA8,DBLAB,EFLAB.且CA=Z）8=1.6〃?，

，四邊形A8OG,AFGC,尸8DG都是矩形，

設(shè)EG=xin,

在Rtz^CEG中，ZECG=36.87°,

?_EG_4

??CG=.Qx0*70=弓xm9

tan36.8703

在RtZXOEG中，ZEDG=45°,

/?DG—EG—xni,

,:AB=CD=CG-DG,

4

,x—x=2.3,

3

解得：x=6.9,

/.EF=EG+GF=6.9+1.6=8.59（加），

答：銅像的高度E/7為9/〃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?合肥一模）下面為某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在完成項(xiàng)目“測(cè)量合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔高度”之

后撰寫(xiě)的項(xiàng)目報(bào)告.

項(xiàng)目主題測(cè)量合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔高度

項(xiàng)目背景合肥渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館勝利塔作為重要的紅色文化地

標(biāo)，其高度是一項(xiàng)關(guān)鍵數(shù)據(jù).為了讓大眾更深入地了

解勝利塔，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)最勝利塔高

度的實(shí)踐活動(dòng)

測(cè)量工具測(cè)角儀

測(cè)量示意圖

測(cè)量過(guò)程1.在距離勝利塔底部一定距離的地面C處放置測(cè)角

儀，測(cè)角儀CO高度為16",測(cè)得勝利塔頂部A的仰

角為45°

2.在與。處水平距離為168〃?的地面E處放置另一測(cè)

角儀，測(cè)角儀4高度同樣為16〃，測(cè)得勝利塔頂部A

的仰角為53°

請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算勝利塔4"的高度.(結(jié)果精確到0.1切，參考數(shù)據(jù)：sin53。a，cos53

34

?可,tan53°?9

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】勝利塔A8的高度約為97.6/小

【分析】連接。尸交A8于點(diǎn)G.由題意得CO=E/=8G=16〃，DF=CE=\6Sm,DFLAB.設(shè)。G=

xm,得到/G=。/?OG=(168-x)rm解直角三角形即匕得到結(jié)論.

【解答】解：連接。尸交A3于點(diǎn)G.

由題意得CQ=EF=4G=1.6〃!，DF=CE=\6^ihDF±AB.

設(shè)DG=xm.

：.FG=DF-DG=(168-A)m,

在RtaAOG中，ZADG=45°,

???AG=OG?tan450=xm,

在Rt/VIFG中，ZAFG=53°,

4,

??AG=FG?tan53°?弓(168-x)m,

4

Ax=5(168-x),

解得工=96,

，4G=96/71,

?"8=AG+8G=96+1.6=97.6(/??),

答：勝利塔AB的高度約為97.6m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?白銀一模）某學(xué)習(xí)小組在物理實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，利用實(shí)驗(yàn)裝置探究幾何測(cè)量問(wèn)題.

課題探究物理實(shí)驗(yàn)裝置中的幾何測(cè)量問(wèn)題

成員組長(zhǎng)：XXX組員：XXX,XXX,XXX

實(shí)驗(yàn)工具測(cè)角儀，皮尺，攝像機(jī)等

方案一方案二

測(cè)量方案示意圖

P攝像機(jī)機(jī)位P攝像機(jī)機(jī)位

說(shuō)明點(diǎn)P為攝像機(jī)的位置，小車從同一斜面上相同高度處由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，點(diǎn)

A為小車從斜面到達(dá)水平面的位置，點(diǎn)C為木塊的位置.

測(cè)量數(shù)據(jù)AB=4米，ZPBC=40°,ZPAB=\5aAC=5.9米，ZPCB=40°,ZR\B=

22°.

請(qǐng)選擇其中一種方案計(jì)算出攝像機(jī)機(jī)位戶到小車行駛軸線AB的豎直距離.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)

據(jù)tan400=^0.84,tanl5°^0.27,tan22°g0.40）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題：解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力：應(yīng)用意識(shí).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】先設(shè)8c=x（米），則4C=（x+4）米，在RlZXEAC和Rl^PBC中，分別將PC表示出來(lái)，即

0.27（x+4）=0.84%,求解計(jì)算即可.

【解答】解：選擇方案一：設(shè)BC=x(米)，則AC=G+4)米,

在RtZkHC中,PC=AC-tanl50=0.27(x+4),

在RtaPAC中，PC=8C?tan40"6().84工，

A0.27(x+4)=0.84%,

解得：上=而，

APC=1|x0.84^1.6（米），

答：攝像機(jī)機(jī)位P到小車行駛軸線AB的豎直距離約為1.6米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解

直角三角形是解題的關(guān)健.

6.（2025?歷城區(qū)一模）根據(jù)以下材料，完成項(xiàng)目任務(wù)：

項(xiàng)目測(cè)量光線入射點(diǎn)的距離及水池的深度

測(cè)最工具測(cè)角儀、皮尺等

測(cè)量光從空氣斜射入水中，入射光線AB射到水池的水面B點(diǎn)后折射光

線射到池底點(diǎn)。處，入射角NA8M=30°,折射角N/）8N=

22°；入射光線AC射到水池的水面C點(diǎn)后折射光線CE射到池底

點(diǎn)E處，入射角NACM'=60°,折射角NECM=40.5°.DE

//BC.MN.M'N'為法線.入射光線A8.AC和折射光線

CE及法線MN、M'N'都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A到直線3c的距離

參考數(shù)據(jù)

0.4,sin40.5。右0.65,cos40.5°七0.76,lan40.5°^=0.85

項(xiàng)目任務(wù)

任務(wù)一（1）求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）

任務(wù)二（2）若。E=4.56米，求水池的深（精確到（）.01米）.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】（1）2百米；

（2）2.44米.

【分析】（I）根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)，可以求得C/和8尸的值，然后即可計(jì)算出的值；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和銳角三角函數(shù)，可以求得水池的深.

【解答】解：（1）作A/LL8C,交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

則A/〃MN〃M'N',

AZABM=ZBAF,4ACM'=NCA凡

???NAZM/=3O°,AACM'=60°,

產(chǎn)=30°,NCA尸=6（T,

VAF=3米，

fa

尸tan30°=3x?=V5（米），CF=AF-tan60°=375（米），

ABC=CF-BF=3>/3-V3=273（米），

即BC的長(zhǎng)為26米；

（2）設(shè)水池的深為x米，則BN=CN'=x米，

由題意可知：ZDBN=22°,ZECN1=40.5°,。￡=8.72米，

???QN=8N?tan22°弋0.4%（米），N'E=CN'*tan40.5°%0.85x（米），

'：DN+DE=BC+N'E,

A0.4X+4.56=2x^3+0.85x,

解得產(chǎn)2.44,

即水池的深約為2.44米.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

7.（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）人間四月芳菲盡，山寺桃花始盛開(kāi).如圖所示，點(diǎn)8為學(xué)校所在地，點(diǎn)

。為歌樂(lè)山一寺廟，。點(diǎn)位于點(diǎn)3的北偏西30。方向.。點(diǎn)位于小雨家點(diǎn)A的北偏東15°方向.D點(diǎn)、

位于小瑜家點(diǎn)。的北偏西75°方向.又點(diǎn)4位于點(diǎn)4的正西方向，C點(diǎn)位于點(diǎn)4的正北方向，已知小

雨家離學(xué)校的距離4B=10公里.（參考數(shù)據(jù)：V6?2.45,V3?1.73,V2?1.41）

（1）求小雨家A離寺廟。的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）甲、乙、丙三人邀約小雨和小瑜去寺廟。處看桃花，他們?nèi)送瑫r(shí)從學(xué)校出發(fā)，為了接A處的小

雨，甲駕車以每小時(shí)60公里的速度從學(xué)校出發(fā)走路線①B-A-O,為了按C處的小瑜，乙駕車以每小

時(shí)50公里的速度從學(xué)校出發(fā)走路線②8-。一D,（接人時(shí)閏忽略不計(jì)）丙騎共享電動(dòng)自行車以每小時(shí)

30公里的從學(xué)校出發(fā)走路線③請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，甲、乙、丙三人誰(shuí)最晚達(dá)目的地。點(diǎn)？（結(jié)果

精確到0.01）

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）5n公里；

（2）丙最晚達(dá)目的地。點(diǎn).

【分析】（I）過(guò)點(diǎn)。作。EL18交于點(diǎn)￡在DE取點(diǎn)月使人戶=。凡得/人所=30',設(shè)AE=

LLDE

a,可求出產(chǎn)一人廠一2〃，EF=yf3a,得出（2Ia,在Rt△力B石中由「=lan60°列方程求出

。二15,5百=A￡°E=15、5V口,在印2\。八七中由勾股定理可求出力。二5歷公里;

（2）過(guò)點(diǎn)C作CHIDE于點(diǎn)H,得出四邊形BCHE是矩形，得CH=BE=鷺地，在CH取點(diǎn)G,

使DG=CG,得NOG〃=30°,設(shè)DH=m,則DG=2m,GH=V3?n,根據(jù)CH=（2+6）m=）+產(chǎn)

求出m=吟巨，由分別求出。。心7.05公里，8。比13.65公里，BC="E=10公里，A。鳧12.25公里，

分別求山三條路線用時(shí)，再進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作交于點(diǎn)已在OE取點(diǎn)F,使人尸=。尸，如圖,

n北

根據(jù)題意得，ZADE=\5°,

?；AF=DF,

：.ZDAF=ZADF=15°,NAFE=30°,

設(shè)八石=m貝IJA產(chǎn)=2〃，

：.DF=AF=2a,EF=\/AF2-AE2=V3a,DE=DF+EF=(2+V3)a,

???48=10

\'BE=\0-a,

VZABC=90°,NDBC=30‘，

DE(2+V3)a

，NOBE=60°,—=tcm^DBE,----------=tan600=Vr3,

BEIQ-a

解得，a二-尸,

?Ai:15-5v?.與、15+58

..AE=-----，DnEc=(2+、/3)Q=-----------，

在RtZkOAE中，AD=y/AE2+DE2=，)2+嚴(yán)多百,)2=5后,

答：小雨家人離寺廟。的距離為5遍公里；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CHLDE于點(diǎn)H,

15-5/355/3+5

則得出四邊形8CHE是矩形，CH=BE=10-，BC=HE,

22

在C”取點(diǎn)G,使。G=CG,根據(jù)題意得，ZDCH=\5°,

:?/GDH=/DCH=l5°,

：,ZDGH=30°，

設(shè)?！?/〃，則OG=2〃?，GH=y/DG2-DH2=C1=（2+圾m=升尹,

.?…亨加=駕心15+5/35/3-5

HE=DE-DH=12=10,

在中,

CD=>JDH2+CH2=Jf5^-5）2+（^y^）2=5&*5x1.41=7.05（公里）,

在Rt/XBOE中，NBQE=30°,BE=，+產(chǎn),

：,BD=2BE=5+5>/3?5+8.65=13.65（公里），

又AO=5乃*5X2.45=12.25（公里）,

???①8-A-O用時(shí)為（10+1225）4-60^0.37（小時(shí)）;

②3-CfQ用時(shí)為（10+7.05）+50=0.34（小時(shí)）;

③。用時(shí)為13.654-30^0.46（小時(shí)），

V0.34<0.37<0.46,

???丙最晚達(dá)目的地短點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一方向角問(wèn)題和勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

8.(2025?濰坊一模)如圖1,“天幕”是大家特別喜歡的一種露營(yíng)設(shè)備，通常由支桿、天幕布、拉繩組成.圖

2是其截面示意圖，天幕布AC=AQ=2/〃，/W為可伸縮支檸，拉繩。石、C廠固定在水平地面EF上，

且點(diǎn)人、。、E共線，點(diǎn)A、C、/共線，/于點(diǎn)8,CO_L48于點(diǎn)0.拉繩在地面的固定點(diǎn)E與

點(diǎn)B的距離BE=3m,ZCAD=120°.

(1)求拉繩DE的長(zhǎng);

(2)如圖3,現(xiàn)將支桿BA向上伸長(zhǎng)至點(diǎn)A',同時(shí)將固定點(diǎn)E、尸分別移動(dòng)至E'、F',使A'、。'、

E'共線，A'、C'、Ff共線，且EE'=lm,在此過(guò)程中，拉繩長(zhǎng)度保持不變，求A'B的長(zhǎng).(結(jié)

果保留根號(hào))

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(I)(2V3-2)m；

(2)2&.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)求出NACD=N4OC=3(T,由平行線的性質(zhì)推出NAE8=NAOC=

30°,由cos/AEB=第二*，求出AE=2g〃?，即可得到。石的長(zhǎng)；

(2)求出BE'=2/n,由勾股定理即可求出4'B=2V2m.

【解答】解：(1)如圖2,

'：AC=AD—Zm,NCAO=120°,

AZACD=ZADC=|x(180°-120°)=30°,

\*AB±EF,CDA.AB,

：,EF//CD,

???NAE8=N4Z)C=30°,

BE43

VcosZAEB=cos30”荏=三'BE=3m,

.\AE=2y[3m,

：,DE=AE-AD=(2V3-2)w；

(2)如圖3,

BE=3m,EE'=\m,

：.BE'=BE-EE'=2(m),

???拉繩長(zhǎng)度保持不變，

?/E'=AE=26m,

???A'B=^A'E'2-BE'2=2V2(/??).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是由銳角的余弦定義求出AE的長(zhǎng)，由

勾股定理求出A'8的長(zhǎng).

9.(2025?博山區(qū)一模)如圖，筆直的海岸線/上有A,8兩個(gè)觀測(cè)站，A在8的正東方向.有一艘漁船在

點(diǎn)產(chǎn)處，從A處測(cè)得漁船在北偏西6(廣的方向，從3處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得8,P兩點(diǎn)之

間的距離為20海里，漁船從點(diǎn)〃處沿射線4P的方向航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)C,此時(shí)，從B測(cè)得漁船

在北偏西15°的方向.

（1）填空：ZCAB=3（）度，NACB=45度;

（2）求觀測(cè)站A,B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）求點(diǎn)。與點(diǎn)8之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）30,45；

（2）觀測(cè)站A,B之間的距離為（10&+10遍）海里；

（3）點(diǎn)C與點(diǎn)8之間的距離約為27海里.

【分析一】（1）根據(jù)已知的方位角得/CA8和/C84,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得NAC8=180°-

ZA-NC3A；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作尸Z）_LA8,垂足為D利用解直角三角形得PD=8￡>=8P?cos45°,進(jìn)一步求得4D=需所,

VCZrIOU

則AB=BD+AD；

（3）過(guò)點(diǎn)8作8F_LAC,垂足為F,在中，ZBAF=30°,則BFnaAB,在RiaBCr中，

BC=或8F即可.

【解答】解；（1）???從A處測(cè)得點(diǎn)〃處漁船在北偏西60。的方向，

：.ZCAB=30°,

???從B處測(cè)得漁船點(diǎn)尸處在其東北方向，從B測(cè)得點(diǎn)C漁船在北偏西15°的方向，

???NCBA=105°,

AZACB=1800-ZA-ZCBA=45°,

故答案為：30,45：

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)一作PO_LA8于。點(diǎn)，則/8D〃=NAOP=9（）",

在中，NPBD=9（）°-45°=45。，6尸=2（）海里，

：.DP=BP-sin450=1072（海里），BD=BP-cos450=1072（海里），

在Rl△%。中，N%0=90°-60°=30°,

遙（海里），

L14-11。U

：.AB=BD+AD=（10V2+10遙）海里，

???觀測(cè)站4，B之間的距離為（10a+10乃）海里；

（3）根據(jù)題意，得/A8C=105°.如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PO_LA8于。點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作垂足為F,

圖2

在RtZ\A8/中，NAFB=90°,NBA/=30°,

：.BF=\AB=（5V2+5連）海里.

乙

在中，ZBFC=90°,ZC=45°,

=\f2BF=10+10A/3?27（海里），

則點(diǎn)。與點(diǎn)B之間的距離約為27海里.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌

握銳角三角形函數(shù)的定義.

10.（2025?江西模擬）如圖1是“團(tuán)一大”紀(jì)念廣場(chǎng)的主雕塑，圖2是其正面示意圖，主雕塑由獨(dú)立的兩

個(gè)全等的平行四邊形8EFMN,nCDLK）基座和它們上方承托的?面團(tuán)旗（四邊形A8”G,AB//GH）

組成，測(cè)得NEFG=75°,￡/=5.56/〃，雕塑總高99〃，基座上的團(tuán)旗旗柱4G=4.64如點(diǎn)￡N,L,

。在同一水平線上.

(1)求平行四邊形基座的高度；

(2)判斷團(tuán)旗旗柱AG是否與斜面MN平行，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

(參考數(shù)據(jù)：sin75°%0.97,cos75020.26,tan75063.73,結(jié)果精確到0.1m)

圖1ISt

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；推理能力：應(yīng)用意識(shí).

【答案】(1)5Aim

(2)AG〃MN,理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)P,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEFG=/產(chǎn)EP=75°,根據(jù)三角函數(shù)

pppp

定義得出sinFEP=s出75。=與=&=0.97,求出結(jié)果即可；

(2)過(guò)點(diǎn)人作AQ_LG產(chǎn)于點(diǎn)Q,求出4Q=9.9-5.4=45(〃?)，解直角三角形得出N4GQ=75°.根

據(jù)平行線的性質(zhì)證明4G〃EE根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出根據(jù)平行公理得出HG〃