第02講立方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握立方根的概念，能夠熟練求一個(gè)數(shù)的立方根以及

①立方根的概念

利用立方根對一個(gè)數(shù)開立方運(yùn)算。

②立方根的性質(zhì)

2.掌握立方根的性質(zhì)，能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01同類項(xiàng)

1.立方根的概念：

如果一個(gè)數(shù)的立方等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根。這就是說，如果/=4,

那么工叫做。的立方根.記作—亞其中『叫做三次根號。根指數(shù)3不能省略。

2.求立方根：

求一個(gè)數(shù)的立方根叫做開立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

【即學(xué)即練1】

1.求下面數(shù)的立方根.

(1)-8：(2)—；(3)±125；(4)81X9.

64

【分析】直接利用立方根的意義計(jì)算得出答案即可.

【解答】解：(1)因?yàn)?-2)3=-8,所以-8的立方根是-2,即￥兩=-2；

（2）因?yàn)椋ǖ?=21,所以“.的立方根是3,即:叵=2；

464644v644

（3）因?yàn)椋ā?）3=±125,所以±125的立方根是±5,即.±125=±5；

（4）81X9=729,因?yàn)?3=729,所以729的立方根是9,即知81X9=9.

【即學(xué)即練2】

2.解下列方程：

（1）/=512（2）64x3-125=0（3）Cx-1）3=-216.

【分析】（1）根據(jù)開立方，可得答案；

（2）根據(jù)移項(xiàng)、等式的性質(zhì)，可得乘方形式，根據(jù)開方運(yùn)算，可得答案；

（3）根據(jù)開方運(yùn)算，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案.

【解答】解；（1）開方，得尸8；

（2）移項(xiàng)、系數(shù)化為1得，x

64

k2

4

（3）開方，得

x-1=-6,

移項(xiàng)，得

x=-5.

知識(shí)點(diǎn)（）2立方根的性質(zhì)

1.立方根的基本性質(zhì)：

由立方運(yùn)算可知，任何數(shù)都有立方根，且都只有1個(gè)立方根。正數(shù)的立方根是」E^；o的立

方根是o；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。立方根等于它本身的數(shù)是0,±1。

2.其他性質(zhì)：

①一個(gè)數(shù)的立方根的立方等于它本身.即即丫=。

②一個(gè)數(shù)的立方的立方根等于它本身。即波"二〃

③一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根。即-始=臚工

【即學(xué)即練1】

3.計(jì)算（狗）3=5?

【分析】根據(jù)（%）3=a，即可?

【解答】解：???（我尸=@，

*，*（Vs）3=5。

故答案為：5.

【即學(xué)即練2】

4.計(jì)算：3=-1.

【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解題即可.

【解答】解：即（一1）3=,_］=-1,

故答案為：-1.

題型精講

題型01求一個(gè)數(shù)的立方根

【典例1】8的立方根為（）

A.-2B.2C.±2D.64

【分析】首先根據(jù)立方根的定義求出8的立方，然后就可以解決問題.

【解答】解：:2的立方是8,

???8的立方根為2.

故選：B.

【變式1】-8的立方根是（）

A.2B.-2C.不存在D.-A

2

【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解答.

【解答】解：???（-2）3=

?8的立方根是?2.

故選：B.

［變式2］求下列各數(shù)的立方根：

（1）0.125；（2）；（3）729.

64

【分析】根據(jù)立方根的定義逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解；（1）0.125的立方根是0.5,即知0.125=。5

（2）的立方根是-,即;匚普=-條

644V644

（3）729的立方根是9,即牛就一9.

x=-4.

⑶???VT^=-2,

???x-2=-8,

x=-6.

(4)V(x+1)3=

27

???x+l=-告

7

3

題型03立方根的性質(zhì)

【典例1]立方根和算術(shù)平方根都等于它本身的數(shù)是（）

A.0B,1,0C.0,1,-ID.0,-1

【分析】首先設(shè)出這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)立方根是它本身列式為丁二-由算術(shù)平方根是它本身列式為五=x，

聯(lián)立兩式解得X.

【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為達(dá)

3.

根據(jù)題意可知，X-X,

Vx=x

解得x=\或0,

故選：B.

【變式1】已知，%G=x-1，則7-x的值為（）

A.0或1B.0或2C.0或6D.0、2或6

【分析】根據(jù)立方根等于本身的數(shù)有0,±1，求出x的值，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：???立方根等于本身的數(shù)有0,±1,

；?x-1=0或X-1=±1,

解得％=1或0或2,

.??/7的值為0或2.

故選：B.

【典例2]（-4）3的立方根是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【分析】根據(jù)題意可得（-4）3=-64,再根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：???（-4）3=

???（-4）3的立方根是牛項(xiàng)=_4

故選:B.

【變式1】若。＜0,則化簡值_,（a.2）3的結(jié)果為（）

A.2B.-2C.2-2aD.2a-2

【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義化簡即可.

【解答】解：???aV0，

，原式=-a-（a-2）

=-a-a\2

=2-2a,

故選：C.

【變式2】若卬（5.k）3=k-5,4％的值為5.

【分析】根據(jù)立方根的定義即可求得答案.

【解答】解：???J（5-k）3=5r=h5,

.??2=5.

故答案為：5.

【典例3］如果也+%=0,那么工與），的關(guān)系是（）

A.x=y=OB.x=yC.x+y=OD.xy=}

【分析】如果一個(gè)數(shù)的立方等于〃，那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果_?=〃，那

么x叫做a的立方根.記作：心由此即可得到答案.

【解答】解：..?也+%=0，

,?Vx=_Vy=V_y'

??x=-y,

/.A+J,=O.

故選：C.

題型04算術(shù)平方根、平方根以及立方根綜合應(yīng)用

【典例1】一個(gè)正數(shù)力的平方根為。+1和2.-7,則9〃+。的立方根是（）

A.2B.3C.9D.±3

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，0的平方根是0

即可求解.

【解答】解：???正數(shù)b的平方根為。為和2?7,

/.67+1+267-7=0,

；?〃=2,

?"+1=2+1=3,

二〃=32=9,

/.9?+Z;=9X2+9=27,

???9a+b的立方根是3,

故選:B.

【變式1］若2a+l的平方根是±3,3b-1的立方根是2,則的值是7.

【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義分別求得〃，〃的值，然后將其代入〃中計(jì)算即可.

【解答】解：T2a+1的平方根是±3,3。-1的立方根是2,

：.2a+\=9,3b-1=8,

解得：a=4,b=3,

則。+〃=4+3=7,

故答案為：7.

【變式2］已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,求a+b+1的立方根2.

【分析】根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義求得“，〃的值后代入，，十〃十】中II算，然后利用立方根的定義即

可求得答案.

【解答】解：V2?-1的平方根是±3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,

/.2?-1=9,3a+b-1=16,

o=5,〃=2,

；?〃+/?+1=5+2+1=8,

那么a+b+1的立方根為2,

故答案為：2.

【變式3］已知〃+1的平方根是±2,2〃+8-2的立方根是2,則J+序的算術(shù)平方根是5.

【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義求得。，。的值，然后將其代入/+后中計(jì)算，再利用算術(shù)平方根的

定義即可求得答案.

【解答】解：???〃+1的平方根是±2,2〃+力-2的立方根是2,

1=4,2a+b-2=8,

d=39〃=4,

則?2+/?2=32+42=9+16=25?

那么原式的算術(shù)平方根是5,

故答案為：5.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.■。的立方根為（）

27

A.--B.—C.--D.—

3399

【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可.

【解答】解：???（-￡■）3=-±,

327

.??-士的立方根為

273

故選：A.

2.下列各式中，正確的是（）

A.±V9=±3B.-（V2）2=4C.=-3D-7（-2）2=-2

【分析】依據(jù)平方根、平方根立方根、算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)求解即可.

【解答】解：A、±V9=±3,故4正確；

B、-（V2）2=-2,故B錯(cuò)誤；

C、年百工-3,故C錯(cuò)誤：

D、（-2）2=V4=2,故。錯(cuò)誤，

故選：4.

3.下列結(jié)論正確的是（）

A.64的立方根是±4

B.1的平方根是1

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0

D.VZ27=-^27

【分析】直接根據(jù)立方根，平方根，算術(shù)平方根的概念解答即可.

【解答】解：A.64的立方根是4,不正確，不符合題意：

B.1的平方根為±1,不正確，不符合題意；

C.算術(shù)平方根等于它本身的教只有1和0,不正確，不符合題意；

D.$-27=-3,-^/27=-3,故為-27=-我7,正確，符合題意,

故選：D.

4.甲、乙、丙三人對平方根和立方根進(jìn)行了研究，以下是他們?nèi)说慕Y(jié)論：甲：當(dāng)。＞0時(shí)，以二a；乙:

qV0時(shí)，一g=_小丙：當(dāng)。＞0時(shí)，牛工=-右，則下列說法正確的是（）

A.只有甲、乙正確B.只有甲、丙正確

C.甲、乙、丙都正確D.甲、乙、丙都不正確

【分析】利用平方根，算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)對甲，乙，丙進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：???當(dāng)心0時(shí)，Q=a，

???甲的說法正確；

??ZVO時(shí),(-a)=a,

???乙的說法不正確；

??,當(dāng)。>0時(shí),0-瑞，

???丙的說法正確.

故選：B.

5.已知而=&，則10?007+：7000的值是()

A.0.1aB.aC.1.1?D.10.1a

【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律即可得到答案.

【解答】解：???衿=a，

???施.+沂麗=憶弘麗

007V1010°+000><73Vl*ooo-+V1X^/7=-1^0-+10a=10.la.

故選：Q.

6.若m〃為實(shí)數(shù)，且」a+l+(9-b)"O,則%a+b的值為()

A.-2B.2C.±2D.3

【分析［根據(jù)二次根式的被開方數(shù)和偶次方為非負(fù)數(shù)，得到相應(yīng)的關(guān)系式求出。、〃的值，然后代入求解，

最后求數(shù)的立方根即可

【解答】解：：m+(9_b)2=0，

???。+1=0,9-/?=0,

解得：a=-\,b=9,

?**Va+b=A/-1+9=版=2，

故選：B.

7.一個(gè)正方體木塊的體積是27cM3,現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，每個(gè)小正方體木塊的棱長

是()

A3D9「9「3

?丹?TTCITD-venvrenu-~rcn

2424

【分析】由題意可知每個(gè)小正方體木塊的體積為衛(wèi)a/,再根據(jù)立方根的定義即可求出個(gè)小正方體木塊

的棱長.

【解答】解?：一-個(gè)正方體木塊的體積是27口〃3,將它據(jù)?成8塊同樣大小的小正方體木塊,

則每個(gè)小正方體木塊的體積為ZZc用，

8

所以每個(gè)小正方體木塊的棱長是耨哆力2,

故選：A.

8.若x>l,則/、x,Vx?打這四個(gè)數(shù)中（）

A.五最大，W最小B.%最大，料最小

C.f最大，放最小D.x最大，』最小

【分析】利用實(shí)數(shù)的大小比較來計(jì)算即可.

【解答】解：:號〉］,

A-2>X>VX>，

故選：C.

9.若/=（-3）2,/=-8,那么代數(shù)式x+y的值是（）

A.1B.-1C.1或-1D.1或-5

【分析】先由平方根與立方根定義求出x、y值，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：???，=（-3）2=9,

；?x=±3,

??jp=-8,

???），=-2,

當(dāng)x=3,y=-2時(shí)，x+y=3-2=1；

當(dāng)x=-3,y=-2時(shí)，x+y=-3-2=-5：

的值是1或-5,

故選：D.

10.實(shí)數(shù)“而介于〃?和/〃+1之間（機(jī)為整數(shù)），則機(jī)的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)立力根的定義估算:出延在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可.

【解答】解：???64V99V125,

?*-V64<V99<V125*

即4〈幻的〈5,

則m=4,

故選：D.

11.-64的立方根是-4

【分析】直接利用立方根的意義，一-個(gè)數(shù)的立方等于。，則”的立方根是這個(gè)數(shù)進(jìn)行求解.

【解答】解：根據(jù)立方根的意義，一個(gè)數(shù)的立方等于小則。的立方根是這個(gè)數(shù)，

可知-64的立方根為-4.

故答案為：?4.

12.如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是〃+1和2〃-22,這個(gè)正數(shù)的立方根是4.

【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，然后計(jì)算即可.

【解答】解：:一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是。+1和2〃-22,

a+1=-(2d-22)＞

解得4=7,

???這個(gè)正數(shù)是64,

???這個(gè)正數(shù)的立方根是4,

故答案為：4.

13.已知5x-I的平方根是±3,y-3的立方根是-2,則x+v=-3..

t分析】先根據(jù)平方根與立方根的定義求出x與y的值，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：V5.r-1的平方根是±3,)，-3的立方根是-2,

?.5x-1=(±3)2=9,)，-3=(-2)3=-8,

AB=2,y="5?

Ax+y=-3.

故答案為：-3.

14.已知|a-6b|+(c+b)2W^l=0,貝U。+匕一c的立方根是^

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出。、氏c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：.??以-6b|+(c+b)2Wc+l=0?

a-6b=0

'.a-6/?=0,c+b=(),(7+1=0,即＜c+b=0，

c+l=0

a=6

解得：＜b=l，

c=-l

/.a+b-c=6+l-(-1)=8,

，8的立方根是2,

故答案為：2.

15.若.2x+l-2x-l=S則％的值為0或-1或］.

【分析】根據(jù)立方根的定義得出2r+l=l或2x+l=0或2x+l=-1即可.

【解答】解：由卜知2x+l-2x-l=(b即知2x+l=2x+l,

所以2A+1=1或Zv+l=0或2x+\=-1,

解得x=0或x=-n■或x=-1,

2

故答案為：0或-I或q.

2

16.計(jì)算：

X②劃演-知-0.125

【分析】①先開立方，然后進(jìn)廳有理數(shù)的乘法運(yùn)算即可;

②先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)II勺減法運(yùn)算即可；

③先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算即可：

【解答】解：①原式=2X(-1)

4

2,

②原式=7-(-0.5)

=7.5；

③原式=?昆+_1

22

=-1.

17.求下列各式中未知數(shù)x的值.

(1)(2)2(工+1)3=250.

2163

【分析】（1）直接開立方求解;

（2）兩邊同時(shí)除2,然后開立方求出工+1的值，然后求解工的值.

3

【解答】解：（1）開立方得：』=-3；

（2）兩邊同時(shí)除2得，（2文+1）3=125,

3

開立方得：工.計(jì)1=5,

3

移項(xiàng)得：2工=4,

3

系數(shù)化為1得：x=12.

18.已知2a+l的一個(gè)平方根是3,1-〃的立方根為-1.

（1）求。與/?的值；

（2）求a+2b的立方根.

【分析】根據(jù)題意求出。、〃的值即可得到答案.

【解答】解：⑴??2+1的一個(gè)平方根是3,

/.2?+1=9,

解得。=4；

-人的立方根為-I,

：,b-1=1,

解得〃=2；

（2）V?=4,b=2,

???a+2/?=4+2X2=8,

???4+2A的立方根是2.

19.某金屬冶煉廠將27個(gè)大小相同的正方體鋼鐵在爐火中熔化，鑄成一個(gè)長方體鋼鐵，此長方體的長、寬、

高分別為16c”，8c〃?和4c〃?，求原來每個(gè)正方體鋼鐵的棱長.