第四章三角函數(shù)與解三角形（綜合訓(xùn)練）（全國(guó)通用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,3行），貝!jtan（-a）=（）

A.-72B.-2C.72D.2

【答案】C

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可.

【詳解】tan（-a）=-tana=-^^=拒.

—3

故選：C

2.已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則，等于（）

b

A.2B.3C.y/2D.6

【答案】D

【詳解】由Z?sin2A=asin3,可得2Z?sinAcosA=asin6,

由正弦定理可得2sinBsinAcosA=sinAsin

又因?yàn)?〈A5v7i,所以sinAsinBwO,所以cosA=—,

2

在VABC中，c=2b,由余弦定理可得儲(chǔ)=匕2.-be2-2bccosA=5b2-2b2=3b2,

所以：=石.

b

故選：D.

3.已知Vasina—sin[a+E）=],貝ijcos（2a-

【答案】A

=^sin?-lcos^sinL-^=3

［詳解］^3sincr-sinfcr+j=^3sina+—cosa

22I6)5

故選：A.

4.某公園擬用柵欄圍成一個(gè)扇形花池，已知圍扇形花池一周的柵欄總長(zhǎng)C=80m,則此扇形花池的面積S的

最大值為（）

A.200m2B.300m2

C.400m2D.500m2

【答案】C

【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,半徑為L(zhǎng)則2r+/=80,

所以S==400,當(dāng)且僅當(dāng)2r=/=40時(shí)，S有最大值400.

244I2J

故選：C.

5.線段的黃金分割點(diǎn)定義：若點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C靠近2點(diǎn)），且滿足AC2=8C-AB,則稱點(diǎn)C為

線段A8的黃金分割點(diǎn).在VABC中，AB=AC,A=36。，若角B的平分線交邊AC于點(diǎn)則點(diǎn)。為邊AC

的黃金分割點(diǎn).利用上述結(jié)論，可以求出cos36*（）

A-1口下+1—>/5-1D.^±1

A.-------D.--------C.--------

4422

【答案】B

【詳解】如圖所示，^AB=AC=l,AD=x,則CD=1—x,

由A￡）2=CZ）-AC，可得尤2=1_》，gpx2+x-1^0,

解得丈=立匚或x=（舍去），所以AD=避二1,

222

在VABC中，AB=AC,A=36。，所以NA8C=72°,

因?yàn)锳D是角8的角平分線，

所以ZAB￡>=36°=ZAn3D=AD,

1

-AB

所以cosA=cos36°=2__2

AD下一1

2

故選：B.

6.已知sin2。二人sin2尸=〃，且加

m-n

m-n

【答案】B

【詳解】因?yàn)閟in2a=sin[(a+￡)+(a-；0)]=sin(cr+/?)cos(a-^)+cos(cr+/?)sin(cr-/?)=m,

sin2y0=sin[(6Z+y0)-(cr-y0)]=sin(a+4)cos(a-,)—cos(a+6)sin(cr—萬(wàn))=加,

所以：sin(6r+yg)cos(6r-yg)=m^n,cos(a+夕)sin(a一夕)=皿?〃

m+n

tan(cr+y0)sin(a+〃)cos(a—〃)~m+n

tan(cr-/?)cos(a+')sin(a-,)m—nm-n

故選：B

7.已知函數(shù)/Xx）=2cos（。尤+。）3>0,⑷<無(wú)）的圖象如圖，點(diǎn)B在/（x）的圖象上，過(guò)A,8分別

作x軸的垂線，垂足分別為C,D,若平行四邊形ACBD的面積為乎兀，則/（*）=（）

C\D

A.-73C.72D.6

【答案】D

【詳解】由四邊形ACS。為平行四邊形，點(diǎn)4士也），ACLCD,BDLCD,

得忸q=|AC|=0,S“=S^BDC=-X^X\CD\,

由平行四邊形ACBD的面積為乎兀，得2xgx0x|cM=孝兀，m\CD\=^,

由函數(shù)/（X）圖象的對(duì)稱性得函數(shù)/（尤）的周期為兀，又。>0,貝1］。=三=2,

71

由/（；）=&,得2cos（2x至+°）=0,即cos（四+夕）=受，

4422

TTTT37r

而了（%）圖象在點(diǎn)A處是上升的，貝喘+夕=2?—kcZ,0=2E—芋，keZ,

244

3jr3兀

又〈兀，則。=一-因此/（%）=2cos（2%---）,

44

LLt、t"7九、_/7兀3兀、_71.rr

所以/仁7）=2cos（二一--）=2cos（z--）=V3

241246

故選：D.

8.在VABC中，若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，3。=2且b=4,

則△回（?周長(zhǎng)的最小值為（）

A.2+2血B.2725C.4+4應(yīng)D.4

【答案】C

=

【詳解】由題可得，^^ABCS4ABD+SMCD，

BP—acsmZABC=—BDcsm-------F—BDtzsin------

22222

ZABCZABCZABCZABC

又BD=2,b=4,所以2〃csin------cos------=2csin+2asin

因?yàn)椤?lt;ZABC5所以。〈管心則sin等"

ZABCZABCc+a

^^accos=c+a即cos

2ac

又因?yàn)閏osZABC=L+"T6,且cosNABC=2cos2幺些-1,

2ac2

所以2[*]2_]=八/]6

\ac)lac

整理得4(C+Q)2=〃C[(C+〃)2-16],

所以4(C+Q)2=qc[(c+〃)2_]6]W(c；〃).[(c+〃)2一間,

解得(C+Q)2N32,貝l」a+c240，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=20時(shí)等號(hào)成立,

貝iJb+Q+cN4+4后，故VABC周長(zhǎng)的最小值為4+4夜.

故選：C.

B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列等式成立的是()

A.sinl50cosl5°=—B.cos75°cos150+sin75°sin15O=0

4

—tan120+tan33°.

C.2sin215°-l=—D.----------------------=1

21-tan12°tan33°

【答案】AD

【詳解】對(duì)于A,sinl50cosl50=-sin30°=-,A正確；

24

對(duì)于B,cos75ocosl50+sin75osinl50=cos(75°-15°)=cos60°=-^,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,2sin215°-1=-cos30°=--,C錯(cuò)誤；

2

riT—tan12°+tan33°…

對(duì)于D,----------------------=tan(12°+33°)=tan45°=l,D正確.

1-tan12°tan33°

故選：AD

目?jī)牲c(diǎn)，將/⑴的

10.已知函數(shù)〃x)=sin(ox+o)(?>o,0<9(兀)部分圖象如下，它過(guò)0,2J

圖像向右平移g個(gè)單位得到g(x)的圖象,則下列關(guān)于g(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是

B.圖像關(guān)于《兀，。：中心對(duì)稱

C.在卜日最小值為一,TT

D.在0,-上單調(diào)遞增

【答案】ABD

T2兀

一〈—/—

2339\13

【詳解】由圖知,，可得又/(O)=sin°=—,0<°<兀，

jJ.，兀24)

-->----

14-----3

?！?兀丁,j.12n].(2TT)?2TI,/,

解得："=§或-^1I=sinl-?+^I=0>—co+cp=kit[keZ).

,,兀3左一1十"”■++*2兀3k—2r,_-、，“、.(c27r

右9=4,。=^—,無(wú)解；右°=?-,0=2-，則0=2,所以/(x)=sin[2x+y向右平移方得到

g(x)=sin2x,

對(duì)于A：因?yàn)間(x)=sin2x,所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：令2x=fat,.,.尤=萬(wàn)，故對(duì)稱中心1萬(wàn),0}%eZ,故B錯(cuò)誤；

JTTTTT2冗

對(duì)于C:因?yàn)橛葊,則2xe,所以g(x)=sin2x在區(qū)間土三的最小值為:

對(duì)于D：因?yàn)閤e,所以2xe[0,兀],所以g(x)=sin2x在此區(qū)間不單調(diào)，故D錯(cuò)誤;

故選：ABD

11.當(dāng)VABC內(nèi)一點(diǎn)尸滿足條件NR4B=NP3C=NPC4=，時(shí)，稱點(diǎn)尸為VABC的勃羅卡點(diǎn)，角。為勃羅卡

角.三角形的勃羅卡點(diǎn)于1816年首次被法國(guó)某數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，而后于1875年被法國(guó)軍官勃羅卡重新發(fā)現(xiàn)且展

開研究，最終用他的名字命名.如圖，在VA3C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為dc,記VA3C的面積為S,

點(diǎn)尸是VABC的勃羅卡點(diǎn)，勃羅卡角為巴則()

B.若〃=c且尸C=尸5時(shí)，cos9=—

111

C.若AMC為銳角三角形'則做=----1-----1----

tanAtanBtanC

D.4S-tan0=a2+b2+c2

【答案】ABC

【詳解】當(dāng)b=c時(shí)，由“等邊對(duì)等角“得ZB=NC設(shè)=/尸3C=NPC4=。，則:

在AEAB中，APBA=AB-0

在△PJBC中，NPCB=NC—9,故NPBA=NPCB

根據(jù)相似判定可得△上鉆?△PBC，由相似三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)邊成比例”，有:

—=—nPB?=PA-PC,A正確；

PBPC

pAPR4D

當(dāng)b=c時(shí)，N3=N。且由選項(xiàng)A的相似性△PAS~ABCP,得：—=---=---

PBPCBC

^AB=c,BC=a,則裝=￡,結(jié)合pc=gPB，得工=±=>。=缶此時(shí)△PBC中，由余弦定理

PCaa72

a2=Z?2+c2（a=T2c,/7=c）^ZA=90°,ZB=ZC=45°

PCBC

在△PBC中，由正弦定理且ZBPC=180。-e-（45。-e）=135

sin。sinZBPC

PC_a\p2,c

—尸=2c=>PC=2c-sin6

得：sin。sin135°

2

在NPCA中,APAC=90°-0,ZPCA=0,ZAPC=90

由三角函數(shù)定義PC=ACcos9=c?cos夕（AC=b=c）

結(jié)合尸C=2c-sin，，得:

122y

c-cos=2c-sin^=>tan^=—^>cos0=-----=------,B正確；

2Jlf+45

tanB+tanC

已知A+B+C=TI,所以A=兀-（3+C）,tanA=-tan（5+C）=

1-tanBtanC

則1_1-tanBtanC

、tanAtan3+tanC

因?yàn)?PAB=NPBC"PCAE"4曲號(hào)

1111-tanBtanC11

在VABC中,-----1------1------------------1------1-----

tanAtanBtanCtanB+tanCtanBtanC

11tanB+tanC

經(jīng)過(guò)通分和三角函數(shù)的恒等變換:-----1-----=----------

tanBtanCtanBtanC

1-tanBtanCtanB+tanC

-----------1----------高,故c正確;

tanB+tanCtanBtanC

在APABAPBCOPAC中,分別由余弦定理得:

BP2=c2+AP2-QG^AP0CP2=^+^~aBP6AP2=b2+CP2-bCP6

三式相力口整理得：2cose(c24P+aaP+bCP)=/+/+/①

由三角形面積公式S=jsinC=工AcsinA=工acsin3

222

=

得J：APR~?APsin0SAPC--bXJP-sinOS=—cOBP-sin0

'AArt>2△ArC?ACrPDR?

三式相加整理得：2S=sine((HAP+aBP+bCP)@

I2+從+C22cos0(c?AP+aBP+bCP)

結(jié)合①②式，可得：---

sin0(c?AP+aBP+bCP)

4V

整理可得：a2+b-+c2=~^-,D錯(cuò)誤.

tan。

故選：ABC.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在VABC中，若tanA,tanB是關(guān)于x的方程三+°（%+1）+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則cos2C=.

【答案】0

【詳解】因?yàn)閠anA,tanB是關(guān)于x的方程/+「苫+0+1=。的兩個(gè)實(shí)根,

tanA+tanB=-/;

所以由韋達(dá)定理可得:

tanAtanB=p+1

tanA+tanB

則tan(A+B)=-----------=1

1-tanAtan3l-(p+l)

又因?yàn)锳+8e（0,兀）,

所以A+5=：.

又因?yàn)槿?5+。=兀,，

所以。=三3兀，

4

3兀

則cos2C=cos一=0.

2

故答案為：0.

13.如圖，河流的一側(cè)是以。為圓心的扇形區(qū)域OCD,河的另一側(cè)有一建筑物AB垂直于水平面，假設(shè)扇

形0C￡＞與8處于同一水平面上，記。8交c。于E若在C,O,E處看A的仰角分別為45。，30。和60。，則

NCOB的余弦值為.

A

【詳解】由題意，可得/ACB=45。，/4。8=30。和/4￡8=60。，所以NE4B=30。,

設(shè)扇形所在圓的半徑為R，可得AE=OE=R,且AB垂直于水平面,

在直角AABE中，可得BE=AEcos600=，R,

2

所以。8S.BC=AB=AEsin60°=—R,

22

(-7?)2+7?2-

在中，可得c"C吁二O?2_5

3~6

2x-RxR

2

故答案為：--

6

14.已知x>0,(peR,/(x)=sin(^x+^),直線y=g與函數(shù)y=/(x),工￡。,5的圖象的交點(diǎn)為4、4、

若對(duì)1口＜/4叩。,，一），|4局的最小值為?最大值為g則/

L、4,

【答案】1或-;

【詳解】設(shè)4（%,%）,

由/(x)=sin(Gx+0)=」可知，①入+0=工+2左1兀(仁GZ)或GX+0=2+2左2兀(左GZ),

266

因?yàn)閺年J出二，則相鄰交點(diǎn)最小距離為白即（巾-七比

2

.5兀_,?7T_?2兀_/__\

由——F2左2兀-I~+2左T］兀I———F2（22—兀，

1,7T47r

可知研為+「%）min=5啰=可，所以口=7.

,2兀3

所以最小正周期為r=d=5.

畫2

因?yàn)锳&Lt=37且5一汽，所以舊"（5）=4

故;刃+夕=事+夕=.+2fai或當(dāng)+。=|+2也（左￡Z）.

所以9=2左兀一］或eZ）,

當(dāng)夕=2防c■(左￡Z)時(shí)，f(x)=sin^-^-x——

〃

當(dāng)夕=2kn+弓（女￡Z）時(shí),x)=sin(++3

故答案為：1或-彳.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）已知角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-3,耳，且tana=—1.

6求5皿萬(wàn)一°）+5由怎+9的值；

（2）將。的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)J，此時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角為加求sin（a+￡）的值.

【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可得小二子《得廣"..............................2分

3

則cosa-i=

7(-3)2+425，

444

sina=tana=——6分

*3)2+4?5，3

71.431

sin(萬(wàn)一a)+sin|—+a=sma+cosa=----=一8分

2555

7Ca冗

(2)因?yàn)閟in/3=sina~~,COSB=cos~~

也sina-立cos”逑3=旦。sa+2ina=叵,

所以sin/=H分

22102210，

4V237A/2170

所以sin(a+￡)=—x-----------x-------=13分

51051050

717C

16.(15分)在VABC中，點(diǎn)。在邊AC上，ZABD=~,NDBC=—,AB=1.

26

(1)若3c=2,求AD；

⑵若">=2CD,求AD.

2兀

【詳解】（1）在VABC中，ZABC=—

由余弦定理,

27r

AC2=AB2+BC2-2AB?BC-cosZABC=l2+22-2xlx2cos—=7,

3

得AC=此3分

AB2+AC2-BC21+7-42不

所以cos/BAC=6分

2ABAC2xlx近一7

AB1—不

Ar)=

所以在Rta/WC中，cosA2^72?8分

7

(2)設(shè)CD=f,AD=2t,(r>0),在ABCD中，

CDBCAD1

由正弦定理得又因?yàn)閟inZCDB=sinZADB=——二—

sinZCBD~sin/CDB'AD2t

BC

代入上式有：si。71JLJ得5C=1.11分

6It

由余弦定理得AC=^1+1-2cos

綜上，AD=—AC=—\/3.15分

33

17.(15分)已知〃也c分別為VA3C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若為/A4c的內(nèi)角平分線，且CD=3,

B=y^,(tz+c)(sinA-sinC)=(Z?-c)sinB.

⑴求A的大小;

(2)求角平分線AD的長(zhǎng)度:

(3)求VA3c的面積.

【詳解】(1)因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=(6-c)sin3,

所以①+c)(a-c)=S-c)6,gpz)2+c2-a2=bc,

be1

所以COSA=?+S?T2分

2bc2bc2

因?yàn)锳e(O,Jt),

TT

所以A=g;4分

TT

(2)因?yàn)閆BAC=1,A。為，BAC的內(nèi)角平分線,

TT

所以ZBAZ)=NC4O=—,

6

因?yàn)?工，B=—

312

所以c三6分

在△C4D中，由正弦定理得,

3

\CD\皿，即

.71.71，

sinZCADsinCsin—sin—

64

解得，|Ar>|=3?,

所以角平分線AD的長(zhǎng)度為3a;9分

77r

(3)由(2)知，ZADC=—

12

在AC4￡)中，由正弦定理得,

313

，即.兀.7兀，

sinZCADsinZADCsin-sin—

612

解得,|AC|=11分

在VABC中,由正弦定理得,

MM"=網(wǎng)

=，即.5兀.71,

sinBsinCsin——sin—

124

解得|AB卜30,.................................................................................................................................................13分

所以S“ABc=3A8HAa-sinN8AC=：x3^x[^1^]x*=曰(3+6),

乙乙I乙1乙

所以VABC的面積為苫(3+&)..........................................................................................................................15分

4

7T

18.(17分)如圖，在平面四邊形A8C。中，己知AC,BD交于O,AO=0C=垃，BD=2,ZAOB=-,

4

且。O>2O,令NCDO=cr,^BAO=/3.

(1)判斷：AB=CD是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑵求cos(a-/7)的值；

7T

（3）證明：當(dāng)月=:時(shí)，。位于VABC外接圓的內(nèi)部.

6

【詳解】（1）成立，理由如下；

由題可知：/-COD=AAOB=—,AO=00—,^2,BD=2,

4

設(shè)。3=尤，OD=2-x

所以43?=AO2+OB2-2AOOBcosZAOB,CD2=OD2+OC2-2ODODcosZCOD,

所以AB?=%2-2X+2,CD2=X2-2X+2

所以/1B=CD.............................................................................4分

AB_______OA_______OA

（2）在VA03中，溫u標(biāo)

sin(兀一/一/AOi?)sin(/+NAO3)

CDOC

在△CO。中,.........................................................7分

sinZCODsina

由(1)可知AB=C￡),ZCOD=ZAOB=,所以sin[〃+；J=sina,

TTTT

貝！]/?+—=a或￡+—+1=兀，.............................................................10分

44

當(dāng)夕+；=a,即=；時(shí)，所以cos(a-/)=^^;

IT

當(dāng)￡+—+戊=兀時(shí)，所以NQB4=a,則△AO5豈△C8,所以與OO>H9矛盾，

4

所以cos.....................................................................14分

（3）要證明。位于VABC外接圓的內(nèi)部，即證明。>/?

IT

由（2）可知a-"=z，所以a>4........................................................17分

19.（17分）為了增強(qiáng)游客體驗(yàn)，某景區(qū)擬在一塊半徑為100m的圓形空地內(nèi)建造一個(gè)內(nèi)接四邊形區(qū)域作

為游客漫時(shí)光體驗(yàn)區(qū).如圖所示，在四邊形ABC。區(qū)域中，將AACZ）區(qū)域設(shè)計(jì)成花卉觀賞區(qū)，VABC區(qū)域設(shè)

計(jì)成漫時(shí)光DI