重難點(diǎn)02函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用(舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練)

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】....................................................................3

【題型2函數(shù)的最值問(wèn)題】.............................................................................4

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】....................................................................4

【題型4函數(shù)的圖象問(wèn)題】.............................................................................5

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】..................................................................6

【題型6類周期函數(shù)1.........................................................................................................................................7

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】....................................................................7

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................................8

命題規(guī)律

1、函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱

性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相

結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對(duì)于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考

杳函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等

式、求參數(shù)范圍等，難度較??；對(duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，夏習(xí)時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練.

方;福巧

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題的解題策略

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法：②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性：④導(dǎo)致法.

(2)函數(shù)月3x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)7=&)和內(nèi)層函數(shù)后始)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若/(x)是增函數(shù),則-/(x)為減函數(shù)；若/(勸是減函數(shù),則-/(x)為增函數(shù);

②若/(X)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若〃x)>0且f(x)為增函數(shù)，則函數(shù)/府為增函數(shù)，「一為減函數(shù)；

fM

④若/(x)>0且/"(不)為減函數(shù)，則函數(shù)/府為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

fM

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法:先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷/(X)與/(R是否具有笠量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

(/(工)+/(㈤=0(奇函數(shù))或/(X)次刁=0：偶函數(shù)))是否成立.

⑶運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù),

如/'(X)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),/(x)+g(x)?

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇±奇=奇；偶士偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇X(+)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(七)

偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)N=/[g*)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為僉.

(5)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/'(工)=〃?(勺1)。工0)或函數(shù)/'(工)=〃?("').

a-1a+1

②函數(shù)/(用=±(/-，，).

③函數(shù)/(x)=log“二^=loga(l+3-)或函數(shù)/(x)=log“=logjl-3-)

x-nix-mx+mx+m

22

④函數(shù)/(x)=logo(Vx+1+x)或函數(shù)f(x)=log(,(\lx+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)

或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫(huà)函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何百觀求解相關(guān)問(wèn)撅.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的常用結(jié)論

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(。是不為。的常數(shù))

(1)若y(x+G=/a),則T=a；

(2)若/(x+a)=4x-a),則T=2a\

(3)若貝|JT=四；

(4)若/(x+a)=/(J,

則7=2。；

(5)若.凡￥+〃)=一/'(5),

則T=2a；

(6)若/(x+a)=/(x+/)),貝ljT=\a-b\(a^b)\

2.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

⑴若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)=/S-x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線工=對(duì)稱.

⑵若函數(shù)次幻滿足兒什工尸人力㈤，則月G)的圖象關(guān)于點(diǎn)(缺之"對(duì)稱.

(3)若函數(shù)外)滿足/(a+x)4y(6-x)=c,則尸外)的圖象關(guān)于點(diǎn)("；人，!")對(duì)稱.

3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)歹=/(x)有兩條對(duì)稱軸K="，x=6(a<b),則函數(shù)/(X)是周期函數(shù)，且TuZS-a)；

(2)若函數(shù)9=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(瓦c)(a<6)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且7T=2(b-a)；

⑶若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸x=〃和一個(gè)對(duì)稱中心S,O)(aC)，則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

知識(shí)點(diǎn)4抽象函數(shù)的解題策略

1.抽象函數(shù)及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用廣信)表示，抽象函

數(shù)問(wèn)題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身,

是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問(wèn)題一般采用賦值法解決.

舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2025?廣東?三模)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(0,+8)單調(diào)遞增的是()

A.y=x3B.y=|x|+1

C.y=-x24-1D.y=2Txi

【變式1-1](2025?湖北荊門?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-7―-%3+2,則不等式/(TH?)+/(771-2)<6的

?511

解集為()

A.(-1,2)B.(-oo,-1)u(2,+oo)

C.(—2,—1)D.(-co,-2)U(1,+co)

【變式1-2](2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=￡B.f(x)=}C./(x)=xlnxD.f(x)=x-Inx2

【變式1-3](2025天津武清?模擬預(yù)測(cè))已知定義在區(qū)上的函數(shù)/0)=%?0%。=/(1。83遍),6=-/。083》

c=/(ln3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>h>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【題型2函數(shù)的最值問(wèn)題】

【例2】(2025?寧夏陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(%+1)=2'-2?“，則/'(%)在[-1,1]上的最大值為()

A.9315B.vC.0D.1

24

【變式2-1](2025?湖南?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/■(%),則，％2(0,+8),/(%)之2”是“/(%)在(0,+8)上的最

小值為2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式2-2】(2025?新疆?三模)己如函數(shù)f(%)=In若/(%)在區(qū)間(m,7標(biāo))上有最大值，則實(shí)數(shù)〃？的

取值范圍是()

A.(V2,V3)B.(V2,2)C.(2,3)D.(75,3)

【變式2-3X2025?江西萍鄉(xiāng)?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足:/⑵=總且E氏都有€淅》?/(y)-

esiny.f(x)>(e2slnx_?2siny)./(%).f(y)恒成立，則f(%)的最大值為()

A.-B.-C.eD.2e

2ee

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2025?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè))已知f(x)=鼾三是奇函數(shù)，則a=()

A.2B.-2C.1D.-1

【變式3-1】(2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％>0時(shí)，/⑺=2*—3,則f(一

2)=()

A.1B.-C.-ID.--

44

【變式3-2](2025?重慶?三模)已知函數(shù)y=/(X+1)是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意修,也€[1，+8),且勺H外

都有△筆詈■)>0，若Q=/(log36),b=/(In^),c=/(eT),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.h<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【變式3-3](2025?湖南長(zhǎng)沙?三模)己知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域均為R,且y=f(4+%)為偶函數(shù)，y=g(x+

4)+1為奇函數(shù)，若VxtR,均有/'(x)+g(%)=x2+i,則/(7)-g(7)=()

A.575B.598C.621D.624

【題型4函數(shù)的圖象問(wèn)題】

【例4】（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（%）=（|4-/|一4）ln（4■-/）的圖象大致為（）

【變式4-1]（2025?天津?二模）函數(shù)/（%）的部分圖象如圖所示，則/（乃的解析式可能為（）

A./(x)=—B./(x)=

'COSXJCOSX

C.'/?(%)=smxD.7fW=smx

【變式4?2】(2025?安徽?三模)函數(shù)/?(%)=0襄的圖象大致是()

【變式4-3](2025?四川南充?三模)函數(shù)/(》)的圖象如圖所示，則/(幻的解析式可能為()

A.9=瞽B.八幻=喏

C./(%)=第二D.fM=

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

【例5】(2025?河北邢臺(tái)?三模)己知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/'a+2)為偶函數(shù)，f(4+x)=-/(4-x),

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.f(x)的圖象關(guān)于(4,0)中心對(duì)稱

B./(%)的周期為8

C./(2025)=/(I)

D.當(dāng)丁W[0,2]時(shí),fix')=x2-2x,則/(7)的值為一1

【變式5-1】(2025?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足/?(x)+/(2-%)=2,則()

A./(2)=0B.f(10)=10

C.f(x)的最小正周期為2D.x=1是曲線y=f(x)的一條對(duì)稱軸

【變式5-2】(2025?遼寧?三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/?(2x+l)為奇函數(shù)，旦/?(%)的圖象關(guān)于直

線％=2對(duì)稱，則2譽(yù)f①=()

A.-1B.0C.1D.2

【變式5-3](2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%),g(x)的定義域均為R，且/'(1一工)+g(x)=3,g(3-x)-

fM=l,y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x￡[0,1)時(shí)，fM二好十匕則八2024)+g(2026)=()

A.1B.3C.4D.2025

【題型6類周期函數(shù)】

1例6](2024?云南昆明?二模)定義“函數(shù)y=/(無(wú))是〃上的a級(jí)類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=/Q),%€D,對(duì)

于給定的非零常數(shù)a,總存在非零常數(shù)丁，使得定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)%都有a/(x)=f(%+T)恒成立，此時(shí)7

為/(%)的周期.若y=/(功是[1,+8)上的a級(jí)類周期函數(shù)，且T=1,當(dāng)無(wú)W[1,2)時(shí),/(%)=2x+1,且y=f(x)

是口,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為()

A.[1,+oo)B.[2,+a)C.[|,+oo)D.[10,+oo)

【變式6-1](24-25高一上?江西吉安期末)設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且fa+4)=2f(%),當(dāng)工￡(0,4]時(shí),

fM=2x2-8x,若對(duì)于都有/?(%)之一施成立，則/的取值范圍是()

A.(-oo,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-1]

【變式6-2](2025?江西新余?一模)若函數(shù)y=f(x),x€M對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)a,總存在非零常數(shù)。使

得定義域M內(nèi)的任意實(shí)數(shù)%,都有afCOu/a+T)恒成立，此時(shí)T為/'(X)的假周期，函數(shù)y=fl*)是M上的a

級(jí)假周期函數(shù)，若函數(shù)y=fa)是定義在區(qū)間[0，+8)內(nèi)的3級(jí)假周期函數(shù)且7=2,當(dāng)％W[0,2),/(%)=

(22*'°***1,函數(shù)g(%)=-2]nx+12+%+血，若m義]￡[6,8],3x2￡(0,+8)使。(外)一

1/(2-x),1<x<22

/(勺)W0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-oo,-]B.(-oo,12]C.(-oo,39]D.[12,+8)

【變式6?3】(2025,安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)/"(%)滿足/"(%+1)="(x),且當(dāng)xe[0,1)時(shí)，f(x)=

1一|2x-1|.當(dāng)1W[m,+8)時(shí)，/(%)<則m的最小值為()

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】

【例7】(2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/?(%)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)”,都有/(%)=/(X-2)-/(4-

x)，且f(0)=2,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B./(%)為周期函數(shù)且周期為12

C./⑷=-1D.蹬J⑵)=2

【變式7-1](2025?江西九江?一?模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x￡R,都有

/(2+x)=/(l)-/(-x)；②/'(2%)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱：③/(2)=1,/?(1)二?.則下列說(shuō)法正確的

是()

A./Q+2)是奇函數(shù)B./Q+1)是偶函數(shù)

C./(4)=-TD.W")=0

【變式7-2](2025?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Xx)的定義域?yàn)閆,且滿足/■(盼+/(y)=f(x+y)-2xy+

2,/(1)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=12B.方程/X%)=x有解

C./1+鄉(xiāng)是偶函數(shù)D./(無(wú)一力是偶函數(shù)

【變式7-3X2025遼寧撫順一?！狄阎x域?yàn)槿问嫌?｝的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)[/3)+f。)]=f(x)f。)，

/(l)=2,且當(dāng)％W(0,+8)時(shí)，/(x)>0恒成立，則下列結(jié)論正確的是()

A./g)=6B./(2x)=2f(x)

C./(%)為奇函數(shù)D./(%)在區(qū)間(0,+8)是單調(diào)遞增函數(shù)

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

[例8](2025?山東德州?三模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x+1)-2為奇函數(shù)，對(duì)任意的。G

[-3,2],不等式/(2。+￡)+/(。2-1)工4恒成立，則實(shí)數(shù)亡的取值范圍是()

A.(一8,—5]B.(-oo,0]C.[0,+8)D.[-5,+8)

【變式8-1](2025?重慶?三模)已知定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)fW滿足：①/U+6)為偶函數(shù)；②VxW

R,/-(2+x)+/(4-x)=0；③VXI，%2￡(0,3),/G"78)>0.則/(2),/(5),/(121)的大小順序?yàn)?/p>

()

A./(2)</(5)</(121)B./(2)</(121)</?⑸

C./(121)</(2)</⑸D./?⑸V/(2)</(121)

【變式8-2](2025高三上?四川成都?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)，9(。的定義域均為RJQ)為偶函數(shù)，且/'(幻+

g(2-x)=l,^(x)-/(x-4)=3,下列說(shuō)法正確的有()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱

B.函數(shù)/■(%)的圖象關(guān)于(-1,-2)對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)

D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)

【變式8-3](2025?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(%)的定義域是(-8,0)u(0,+oo),對(duì)任意的必,x2G(0,+

8),都有223>o,若函數(shù)y=/(%+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)成中心對(duì)稱，且f(l)=4,則

X2-X1

不等式/(%)＞：的解集為()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(l,+aj)

C.(-co,-1)U(0,1)D.(-co,-1)U(1,4-co)

過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2025?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,/(%+2)為偶函數(shù)，/(X+1)為奇函數(shù)，則()

A./(-1)=0B./(-I)=0

C./(2)=0D.八4)=0

2.(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))已知/(%)=x2-mx,g(x)=(x+m)eL兩個(gè)函數(shù)圖象至少有一個(gè)在區(qū)間(一1,2)

上不單調(diào)，則m的取值范圍是()

A.(-2,4)B.(-3,0)C.(-3,-2)D.(-3,4)

3.(2025?天津河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(均是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.y=f(\x\)B.y=/(x2)

C.y=x-f(x)D.y=f(x)+x

4.(2025?河北邢臺(tái)?三模)函數(shù)/(%)=?一,勺部分圖象大致是()

5.(2025?云南?模擬預(yù)測(cè))已知/(乃是定義在R上的奇函數(shù)，且=若對(duì)任意的力，勺€(。，+8),

均有粵等>1成立，則不等式/'(%-D+1>》的解集為()

A.(0,1)U(2,+8)B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(0,1)D.(-2,-1)U(0,1)

6.(2025?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%),其圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，已知/?。+2)-1為

奇函數(shù),且/⑴=。，則￡譽(yù)用)=()

A.2023B.2024C.2025D.2026

7.(2025?安徽蚌埠三模)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)尸(乃的定義域都是/?,若函數(shù)/(乃是偶函數(shù),/'(無(wú))+眇+工

也是偶函數(shù)，且/則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(、,

A.(—8,9B.8+8)C.D.(-oo,l)uQ,+co)

8.(2025?遼寧盤(pán)錦?三模)已知定義域均為R的函數(shù)/(%),g(x)滿足/'(2-x)+/(x)=2,g(4-u)=g宇),

g(2)=3,若/(工)=9(2+均+4,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.-8為f。)的一個(gè)周期

C./(2023)=-1D./(/c)=16

二、多選題

9.(2025?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)fW=，則()

A./(V3)=V6B./?(%)的定義域?yàn)槭?)

C./(%)是奇函數(shù)D./(乃的最小值為0

10.(2025?寧夏銀川?三模)已知定義在/?上的函數(shù)/(%)滿足/(幻=-/(x+|)J(-l)=1,/(0)=一2,且/(工一

3為奇函數(shù)，則()

A.f(x)為奇函數(shù)B./(%)為偶函數(shù)

C.f(x