備戰(zhàn)深圳數(shù)學中考一一3年真題及模擬分類匯編

專題16解答壓軸函數(shù)綜合題

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為X,軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描點：請將表格中的（X,），）描在圖2中；

CII）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；

（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線），=。（工-力『+攵的頂點為C,該數(shù)學興趣小組用水平

和豎直直尺測量其水平跨度為A8,豎直跨度為CD,且A8=根，CD=n,為了求出該拋物線的開口大

小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中?種方案，并完善過程：

方案一；將二次函數(shù)y=a（x-/if+R平移，使得頂點。與原點O重合，此時拋物線解析式為），=依2.

①比時點的坐標為

②將點"坐標代入y=中，解得。=；（用含切，”的式子表示）

方案二：設。點坐標為（力次）

①此時點B的坐標為;

②將點4坐標代入），=〃（工一力）2十攵中解得?=；（用含，小〃的式子表示）

（3）【應用】如圖4,已知平面直角坐標系xO1y中々A,8兩點，A%=4，且A6〃x軸，二次函數(shù)

G：y=2（工+/?『+4和6：%=。（工+〃『+〃都經(jīng)過A，8兩點，且C1和G的頂點P，Q距線段的

距離之和為10,若48〃x軸且A3=4,求。的值.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人

們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個溫室空間.如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形A8CO和拋物線AE。構(gòu)成，其

中4B=3m,BC=4m,取8。中點O,過點O作線段8C的垂直平分線OE交拋物線AED于點E,

若以。點為原點，3c所在直線為x軸，OE為），軸建立如圖所示平面直角坐標系.

請回答下列問題：

（1）如圖，拋物線AEO的頂點片（0,4）,求拋物線的解析式；

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFG7,SMNR,若

FL=NR=Q75m,求兩個正方形裝置的間距GM的長；

（3）如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到。點，此時大棚截面的陰影為8K,求8K的長.

3.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個玻璃球體近似半圓。,力8為直徑，半圓。上點C處有個吊燈ER

EF//AB,CO1AB,所的中點為D,OA=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線,M在OB上,OM=1.6,。/=0.8,求8長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓0相切，H為切點、,M為OE上一點,"”為入射光線，M7為反射光線，

3

N0HM=40HN=45°,tan4coH=二，求QN的長度.

4

(3)如圖③，M是線段08上的動點，為入射光線，/〃。河=50。,“可為反射光線交圓0于點",

在M從0運動到8的過程中，求N點的運動路徑長.

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)【項目式學習】

項目主題：車輪的形狀

項目背景：在學習完圓的相關(guān)知識后，九年級某班同學通過小組合作方式開展項目式學習，深入探究車輪

制作成圓形的相關(guān)原理.

【合作探究】

(I)探究A組：車輪做成圓形的優(yōu)點是：車輪滾動過程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車

輪在滾動過程中，最高點到地面的距離也是不變的.如圖I,惻形車輪半徑為4cm,其車輪最高點到地面

的距離始終為cm；

(2)探究3組：正方形車輪在滾動過程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車輪的軸心為。,

BD

/。1線a、K：門認、『。

左側(cè)投影面右側(cè)投影面.............4...........or

長度為/長度為，

圖1圖2

材料二：重要定義

①視差——點p在左、右相機的視差定義為a=同一ai.

②盲區(qū)一相機固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當目標點尸位于該區(qū)域時，若在左、右投影面

上均不能形成成像點，則該區(qū)域稱為盲區(qū)（如圖2,陰影區(qū)域是盲區(qū)之一）.

③感應區(qū)——承卜,若在左、右投影面均可形成成像點,則該國域稱為感應區(qū).

材料三：公式推導片段

以下是小明學習筆記的一部分：

fEP.FP

如經(jīng)3,顯然，△。出E△P。/”，40RFAPOrH,可得工=君=77^

ZC/rrz

fEP.+FPr

所以，*7=。用+0,〃（依據(jù)）…

任務:

（1）請在圖2中（A,B,C,。是兩投影面端點），畫出感應區(qū)邊界，并用陰影標示出感應區(qū).

（2）填空：材料三中的依據(jù)是指；已知某雙目相機的基線長為200mm,焦距/為4mm,則位

于感應區(qū)的目標點尸到基線的距離z（mm）與視差d（mm）之間的函數(shù)關(guān)系式為.

（3）如圖4,小明用（2）中那款雙目相機（投影面C。長為10mm）正對天空連續(xù)拍攝時，一物體M正

好從相機觀測平面的上方從左往右飛過，已知”的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當“剛好進入感

應區(qū)時，=0.05mm,當M剛好經(jīng)過點O,的正上方時，視差d=0.02mm,在整個成像過程中，d呈

現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當"恰好減小到上述4的;時，開始變大.

①小明以水平基線為工軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標系，則該拋

物淺的表達式為（友情提示：注意橫、縱軸上的單位：lm=1000mm）；

②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時，距離基線的高度.

6.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考二模）【項目式學習】

項目主題：設計落地窗的遮陽篷

項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度A3=2m，為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬

的設計方案，請根據(jù)不同設計方案完成以下任務.

方案1：直角形遮陽篷

如冬I,小明設計的第一個方案為直角形遮陽篌點。在的延長線卜CDAC

CD

B-

N——J-----------M

A

（1）若3C=0.5m,C￡）=lm,則支撐桿80=—m.

（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平

14

面的最小夾角為〃，最大夾角為從小明查閱資料，計算出tan〃=Q,tan/7=-,為了讓遮陽篷既能最

大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)（太陽光與BD平行），乂能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光（太陽光與

A。平行）.請求出圖2中3CCD的長度.

圖2

方案2：拋物線形遮陽篷

（3）如圖3,為了美觀及實用性，小明在（2）的基礎(chǔ)上將C'。邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點/為拋

物線的頂點，。廠段可伸縮），且NC7D=90。，BC,8的長保持不變.若以。為原點，CD方向為

x軸，8C方向為y軸.

①求該二次函數(shù)的表達式.

2

②若某時刻太陽光與水平地面夾角。的正切值tan6=§使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽蓬點。上升

的高度最小值（即點以到。。的距離）

圖3

7.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考一模）如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口，離地豎直高度為〃=1.2

米.建立如圖2所示的平面百.角坐標系,可以把灌溉車噴出水的卜、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象.

把泳化帶橫截面抽象為矩形OEFG,其水平寬度。石=2米，豎直高度所=0.7米，下邊緣拋物線是由

上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌

（2）求下邊緣拋物線與x軸交點4的坐標；

（3）若。=3.2米，灌溉車行駛時噴出的水（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶.

8.（2024.廣東深圳.南山區(qū)一模）己知一次函數(shù)》=&+/〃土0）的圖象與二次函數(shù)），二;（"2）2—2的

圖象相交于點

(1)求一次函數(shù)的表達式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式丘+〃<!*+2)2-2的解集：

(3)當時，拋物線y=；(x+2)2-2與直線y=〃只有一個交點，求〃的取值范圍；

2

(4)把二次函數(shù))，=萬5+2)2-2的圖象左右平移得到拋物線G：y=-(x-m)-2t直接寫出當拋物

線G與線段AB只有一個交點時加的取值范圍.

9.(2024.廣東深圳.羅湖區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，已知4(2,0)、C(l,3^),將

二Q4C繞4C的中點旋轉(zhuǎn)180。，點。落到點4的位置.，拋物線)，=。/-2傷經(jīng)過點4,點。是拋物線

的頂點.

D

(1)求拋物線的解析式：

(2)判斷點B是否在拋物線.匕

(3)若點P是線段Q4上的點，且NAPQ=N0A8,求點。的坐標；

(4)若點P是八?軸上的點，以P、A、。為平行四邊形的三個頂點作平行四邊形，使該平行四邊形的另一

個頂點在)，軸上，請直接寫出點P的坐標.

10.(2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模)根據(jù)以下素材，探索完成任務.

如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？

圖1中有一座拱橋，圖2是其

素拋物線形橋拱的示意圖，某時■^_一■_L

材測得水面寬20m,拱頂離水面

15m.據(jù)調(diào)查，該河段水位在rH-----20m-----H

用1曲2

此基礎(chǔ)上再漲1.8m達到最高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面

的橋拱上懸掛40cm長的燈

籠，如圖3.為了安全，燈籠底橋橫/"]刖

素[2

部距離水面不小于1m；為了/安全距離：

材

實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的/：最高

2

水平間距均為1.6m；為了美

圖3

觀，要求在符合條件處都掛上

燈籠，且掛滿后成軸對稱分布.

問題解決

任

務確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式.

1

任

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標

務探究懸掛范圍

的最小值和橫坐標的取值范圍.

2

任

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，

務擬定設計方案

求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標.

3

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務.

如何設計噴泉安全通道?

在拋物線形的噴泉水柱下設置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時間穿過安全通道時不被水柱噴到（穿

梭過程中人的高度變化忽略不計）.

圖1為音樂噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂變化

素It

而上下移動.不同高度的噴頭噴出來的水呈拋物線型或拋物線的

材-

一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點都在噴水管的

1圖l

右側(cè).

八

圖2是當噴水頭在地面上時（噴水頭最低），其拋物線形水柱的

OM

素示意圖，水落地點離噴水口的距離為。4m,水柱最高點離圖2

材地面3m.

2圖3是某一時刻時?，水柱形狀的示意圖.Q4為噴水管，3為水

1

的落地點，記。8長度為噴泉跨度.

GB

圖3

41

素安全通道CO在線段。8上，若無論噴頭高度如何變化，水柱都\

A

材不會進入CD上方的矩形區(qū)域，則稱這個矩形區(qū)域CDEF為安

3全區(qū)域.ocDBM

圖4

問題解決

任在圖2中，以。為原點，所

務確定噴泉形狀.在直線為x軸，建立平面直角坐

1標系，求出拋物線的函數(shù)表達式.

任若噴水管。4最高可伸長到

務確定噴泉跨度的最小值.2.25m,求出噴泉跨度08的最

2小值.

現(xiàn)在需要一條寬為2m的安全通

道CO,為了確保進入安全通道

任

8上的任何人都能在安全區(qū)域

務設計通道位置及兒童的身高上限.

內(nèi)，則能夠進入該安全通道的人

3

的最大身高為多少？（精確到

0.1m）

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）【項目式學習】

項目主題：學科融合一用數(shù)學的眼光觀察世界

項目背景：學習完相似三角形性質(zhì)后，某學?？茖W小組的同學們嘗試用數(shù)學的知識和方法來研究凸透鏡成

像規(guī)律.

項目素材：

素材一：凸透鏡成像規(guī)律:

0102030405060708090100Cfn

U-------------------------------------

像的大像的正

物體到凸透鏡距離像到凸透鏡距離

小倒

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距縮小倒立

距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距放大倒立

距

小于焦距與物同側(cè)放大正立

素材二：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過透鏡中心的光線不發(fā)生改變：平行于主光軸的光線經(jīng)過折射后

光線經(jīng)過焦點.

項目任務：

任務一：凸透鏡的焦距。下為6cm,蠟燭AZ?的高為4cm,離透鏡中心。的距離是9cm時，請你利用所

學的知識填空：①O%N=，②MN=

任務二：凸透鏡的焦距OF為6cm,蠟燭A3是4cm,離透鏡中心。的距離是xcm（工＞6）時，蠟燭的成

像MN的高,請你利用所學的知識求出y與x的關(guān)系式：

任務三：

（I）根據(jù)任務二的關(guān)系式得出下表：

物距

???810121416???

x/cm

像高

???1264m2.4???

j/cm

其中機二；

（2）請在坐標系中畫出它的圖像:

-y

12

10…—??—?”?：

8.

6

2

68101214161820x

（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖像寫出1條你得到的結(jié)論:

13.（2024?廣東深圳-33校三模）數(shù)學活動：如何提高籃球運動罰球命中率一以小華同學為例活動背景:

某學校體育節(jié)進行班級籃球比賽，在訓練過程中發(fā)現(xiàn)小華同學罰球命中率較低，為幫助小華同學提高罰球

命中率，該班數(shù)學小組拍攝了如下圖片并測量了相應的數(shù)據(jù)(圖片標注的是近似值).

(1)模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時腳的位置，籃球在運動過程中8、D、F

為籃球的三個不同位置，4點為球出手時候的位置.已知

AB=1.75m,CD=3.202m,EF=3.042m,AC=2.2m,AE=3.8m,籃球運動軌跡是拋物線的一部分，

數(shù)學小組以A、B、C、D、E、尸中的某一點為原點，水平方向為x軸，豎直方向為)，軸建立平面直角坐標

系，計算出籃球的運動軌跡對應的拋物線解析式為》=-1/+*工，根據(jù)解析式，請你判斷該數(shù)學小組

是以點(填A、B、。、D、E、尸中的一個)作為坐標原點.

(5)0

!??

1??

????

1?.一一一一一一一一一一?j一一一一一一一一一?一一一一?

AaCE

(2)問題解決：已知籃球框與我球線水平距離為4米，距離地面為3米，請問在(1)的情況下，小華的

這次罰球能否罰進？并說明理由.

(3)模型應用：如下圖所示為拋物線)，=—：/+工+2的一部分函數(shù)圖象，拋物線外一點/4,3),試通

過計算說明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過點

P.

14.(2024.廣東深圳龍華區(qū)二模)【項H式學習】

項目主題：合理設計智慧泉源

項目背景：為加強校園文化建設，學校計劃在原有的噴泉池內(nèi)增設一塊矩形區(qū)域，安裝LE。發(fā)光地破燈，

用于展示校園文化標語，要求該矩形區(qū)域被噴泉噴出水柱完全覆蓋，因此需要對原有噴泉的噴頭鞋直高度

進行合理調(diào)整.圍繞這個問題，某數(shù)學學習小組開展了“合理設計智慧泉源”為主題的項目式學習.

任務一測量建模

(I)如圖1,在水平地面上的噴泉池中心有一個可以豎直升降的噴頭，它向四周噴出的水柱為拋物線.經(jīng)

過測量，水柱的落點均在水平地面半徑為2米的圓上，在距池中心水平距離0.75米處，水柱達到最高，高

度為1.25米.學習小組根據(jù)噴泉的實景進行抽象，以池中心為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建

立平面直角坐標系，畫出如圖2所示的函數(shù)圖象，求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式(不

需寫自變量的取值范圍)；

任務二推理分析

(2)學習小組通過進一步分析發(fā)現(xiàn)：當噴頭豎直高度調(diào)整時，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，

當噴頭豎直高度增加〃米，水柱落點形成的圓半徑相應增加4米，〃與〃之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，求出力

與〃之間的數(shù)量關(guān)系式；

任務三設計方案

(3)現(xiàn)計劃在原有噴水池內(nèi)增設一塊矩形區(qū)域ABC。，A3=1.4米，AC=0.4米，增設后的俯視圖如

圖3所示，A8與原水柱落點形成的圓相切，切點為A8的中點P.若要求增設的矩形區(qū)域ABCO被噴泉

噴出水柱完全覆蓋，則噴頭豎直高度至少應該增加米.

15.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模)綜合與應用

如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分.建立如圖2所

示的平面直角坐標系xQy,運動員從點4(0,10)起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y(m)

與水平距離x(m)滿足二次函數(shù)的關(guān)系.

(1)在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表:

水平距離X

011.5

(m)

豎直高度y

10106.25

(m)

根據(jù).上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)在(1)這次訓練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離0。的長；

(3)信息I：記運動員甲起跳后之到最高點8到水面的高度為k(m),從到達到最高點B開始計時，則他

到水面的距離，(m)與時間r(s)之間滿足h=-5r+k-

信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270c動作.

問題解決：

①請通過計算說明，在(1)的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？

②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度y(m)與水平距離x(m)的關(guān)系為

y=ar2-^+10(?<0),若選手在達到最高點后要順利完成270c動作，則〃的取值范圍是.

16.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模)【項目式學習】

項目主題：如何擬定運動員拍照記錄的方案？

項目背景：

任務一：確定滑道的形狀

(I)圖1是單板滑雪運動員從大跳臺滑雪場地滑出的場景，圖2是跳臺滑雪場地的橫截面示意圖.AC垂

直于水平底面BC,點。到4之間的滑道呈拋物線型，已知AC=3m,8C=4m,且點8處于跳臺滑道

的最低處，在圖2中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蠡浪趻佄锞€的函數(shù)表達式.

任務二：確定運動員達到最高點的位置

(2)如圖3,某運動員從點4滑出后的路徑滿足以下條件：

①運動員滑出路徑y(tǒng)D、A之間的拋物線衫泳相回，

②該運動員在底面上方豎直距離9.75m處達到最高點產(chǎn)

③落點Q在底面BC下方豎直距離2.25m.

在司一平面直角坐標系中，求運動員到達最高處時與點A的水平距離.

任務三：確定拍攝俯角。

(3)高速攝像機能高度還原運動員的精彩瞬間，如圖4,有一臺攝像機M進行跟蹤拍攝：

①它與點8位于同一高度，且與點3距離25.5m；

②運動過程需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能記錄，記攝像頭的俯角為。；

③在平面直角坐標系中，設射線的解析式為)，=履+/攵工0),其比例系數(shù)左和俯角a的函數(shù)關(guān)系如

圖5所示.

若要求運動員的落點。必須在攝像機M的視角范圍內(nèi)，則俯角。至少多少度(精確到個位)？

17.(2024?廣東深圳?南山區(qū)三模)【問題背景】

水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當作噴射劑.圖

I是某學校興趣小組制做出的一款簡易彈射水火箭.

【實驗操作】

為驗證水火箭的一些性能，興趣小組同學通過測試收集了水火箭相對于出發(fā)點的水平距離X（單位：m）

與飛行時間/（單位：s）的數(shù)據(jù)，并確定了函數(shù)表達式為：x=3r.同時也收集了飛行高度）'（單位：川）

與飛行時間，（單位：S）的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其近似滿足二次函數(shù)關(guān)系.數(shù)據(jù)如表所示：

飛行時

02468…

間“S

飛行高

010161816???

度y/m

【建立模型】

任務1：求V關(guān)于/的函數(shù)表達式.

【反思優(yōu)化】

圖2是興趣小組同學在室內(nèi)操場的水平地面上設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺（距離地面的高度為PQ）,

當彈射高度變化時，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段為水火箭回收區(qū)域，已知

AP=42m,43=（18及-.

任務2：探究飛行距離，當水火箭落地（高度為0m）時，求水火箭飛行的水平距離.

任務3：當水火箭落到內(nèi)（包括端點A,3）,求發(fā)射臺高度PQ的取值范圍.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)），=-/+云+c的圖象與軸交

于A,B點,與y軸交于點C（0,3）,點4的坐標為（3,0）,點P是拋物線上一個動點.

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若P點在第一象限運動，當P運動到什么位置時，△8PC的面積最大？請求出點P的坐標和△BPC

面積的最大值；

（3）連接尸O,PC,并把